專題15 圓的有關(guān)概念、性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系綜合過關(guān)檢測（解析版）

專題15圓的有關(guān)概念、性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系綜合過關(guān)檢測（考試時間：90分鐘，試卷滿分：100分）一、單選題（本題共10小題，每題3分，共30分）1．如圖，扇形AOB的圓心角為142°，點(diǎn)C是弧AB上一點(diǎn)，則∠ACB的度數(shù)是(

)A．38° B．120° C．109° D．119°【答案】C【詳解】如圖所示，在⊙O上取點(diǎn)D，連接AD，BD，∵∠AOB=142°，∴∠ADB=∠AOB=×142°=71°．∵四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ACB=180°﹣71°=109°．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出圓周角是解答此題的關(guān)鍵．2．如圖點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∠BIC=130°，則∠BAC=（）A．65° B．50° C．80° D．100°【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外接圓得到∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠IBC+∠ICB，求出∠ACB+∠ABC的度數(shù)即可．【詳解】解：∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，∵∠BIC=130°，∴∠IBC+∠ICB=180°-∠CIB=50°，∴∠ABC+∠ACB=2×50°=100°，∴∠BAC=180°-（∠ACB+∠ABC）=80°．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查對三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)的理解和掌握，能求出∠ACB+∠ABC的度數(shù)數(shù)解此題的關(guān)鍵．3．如圖，已知在⊙O中，AB=4，AF=6，AC是直徑，AC⊥BD于F，圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用勾股定理求得BD=2BF=4，連接OB、OD、BC，先求得∠ABC=90°，進(jìn)而根據(jù)射影定理求得FC=2，從而求得直徑的長，根據(jù)余弦函數(shù)求得∠BAF=30°，進(jìn)而得出∠BOD=120°，最后根據(jù)S陰影=S扇形-S△BOD即可求得陰影的面積．【詳解】解：∵AC是直徑，AC⊥BD于F，∴BF=DF，，∴∠BAC=∠DAC，在RT△ABF中，∴BD=2BF=4，連接OB、OD、BC，∵AC是直徑，∴∠ABC=90°，∴BF2=AF?FC，即（2）2=6FC，∴FC=2，∴直徑AC=AF+FC=6+2=8，∴⊙O的半徑為4，∵AB=4，AF=6，∴，∴∠BAF=30°，∴∠BAD=60°，∴∠BOD=120°，∵OC=4，F(xiàn)C=2，∴OF=2，∴故選擇：D.【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，扇形的面積、及直角三角函數(shù)和勾股定理等知識，難度適中．4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，D為線段AB的中點(diǎn)，延長OD交⊙O于點(diǎn)E，連接AE，BE，則下列五個結(jié)論①AB⊥DE，②AE=BE，③OD=DE，④∠AEO=∠C，⑤弧AE=弧AEB，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】已知OE是⊙O的半徑，D是弦AB的中點(diǎn)，可根據(jù)垂徑定理的推論來判斷所給出的結(jié)論是否正確．【詳解】解：∵OE是⊙O的半徑，且D是AB的中點(diǎn)，∴OE⊥AB，弧AE=弧BE=弧AEB；（故①⑤正確）∴AE=BE；（故②正確）由于沒有足夠條件能夠證明③④一定成立，所以一定正確的結(jié)論是①②⑤；故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系及垂徑定理的推論；垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對的兩段?。?．如圖，在中，，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿運(yùn)動，點(diǎn)在運(yùn)動過程中速度始終為，以點(diǎn)為圓心，線段長為半徑作圓，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為，當(dāng)與有個交點(diǎn)時，此時的值不可能是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)⊙C與△ABC有3個交點(diǎn)，可知⊙C與Rt△ABC只有三個交點(diǎn)的半徑r只有2個，一個是r=3，另一個是r=2.4（此時圓與斜邊AB相切），依此作答即可．【詳解】以C為圓心，作半徑為r的圓，則與Rt△ABC只有三個交點(diǎn)的半徑r只有2個，一個是r=3，另一個是r=2.4（此時圓與斜邊AB相切），其余情況都不能滿足與Rt△ABC只有三個交點(diǎn)，所以以2.4和3為半徑做圓，與Rt△ABC相交的點(diǎn)有6個，t分別為2.4，3，4.8，6.6，9，9.6．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是由⊙C與△ABC有3個交點(diǎn)得出可能的情況數(shù)，有一定的難度．6．如果等邊三角形的邊長為，那么它的外接圓的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】三角形的外接圓的圓心是三條角平分線的交點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，外接圓的半徑為高的，等邊三角形的邊長為6，則高為3，所以它的外接圓的半徑為2．【詳解】∵等邊三角形的邊長為6，∴高為3．∵外接圓的半徑為高的，∴它的外接圓的半徑為2．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外接圓的性質(zhì)．掌握等邊三角形三線合一的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，、、是的切線，、、是切點(diǎn)，分別交、于、兩點(diǎn)，若，，則下列結(jié)論：①；②的周長為；③．正確的個數(shù)為（）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【答案】B【分析】根據(jù)切線長定理，可判斷①正確；將的周長轉(zhuǎn)化為，可判斷②錯誤；連接、、，求出，再由，可判斷③正確.【詳解】、是的切線，，故①正確；、、是的切線，，，的周長，故②錯誤.連接、、，，，故③正確.綜上可得①③正確，共2個.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)以及切線長定理，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角.8．如圖，AB是⊙O的直徑，弦DC交AB于E，過C作⊙O的切線交DB的延長線于M，若AB=4，∠ADC=45°，∠M=75°，則CD的長為（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】連接OC，過O作OF⊥CD，構(gòu)造垂徑定理，利用已知的45°角，可以得到∠OCF度數(shù)，再利用垂徑定理所構(gòu)造的直角三角形，可得到CD長.【詳解】解：連接OC，過O作OF⊥CD，利用垂徑定理得到F為CD的中點(diǎn)，∵CM為圓O的切線，∴∠OCM=90°，∵∠ADC與∠AOC都對弧AC，∴∠AOC=2∠ADC=90°，∴∠CDM=∠BOC=45°，∵∠M=75°，∴∠DCM=60°，∴∠OCF=30°，在Rt△OCF中，OC=2，∴CF=OC?cos∠OCF=，則CD=2CF=2．故選D．【點(diǎn)睛】垂徑定理:垂直與弦的直徑平分這條弦,并且平分這條弦所對的兩段弧.推論一:平分弦(不是直徑)的直徑垂直與這條弦,并且平分這條弦所對的兩段弧.推論二:弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分這條弦所對的弧.推論三:平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦,并且平分這條弦所對的另一條弧.推論四:在同圓或者等圓中,兩條平行弦所夾的弧相等.構(gòu)造垂徑定理后，往往有直角三角形，再利用直角三角形的相關(guān)知識解決問題.9．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，過B,C兩點(diǎn)的⊙O交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接EO并延長交⊙O于點(diǎn)F.連接BF,CF.若∠EDC=135°,CF=,則AE2+BE2的值為

（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角的定義可得∠ADE=∠ABC=45°，再證得∠ADE=∠A=45°即可得AE=AD；根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠FCE=90°，在Rt△EFC中求得EF=4；連接BD，可證得BD為為⊙O的直徑，在Rt△BDE中根據(jù)勾股定理可得,由此即可得結(jié)論.【詳解】∵∠EDC=135°，∴∠ADE=45°，∠ABC=180°-∠EDC=180°-135°=45°；∵∠ACB=90°，∴∠A=45°，∴∠ADE=∠A=45°，∴AE=AD，∠AED=90°；∵EF為⊙O的直徑，∴∠FCE=90°，∵∠ABC=∠EFC=45°，CF=，∴EF=4；連接BD，∵∠AED=90°，∴∠BED=90°，∴BD為⊙O的直徑，∴BD=4；在Rt△BDE中，,∴AE2+BE2=16.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理及其推論、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及勾股定理等知識點(diǎn)，會綜合運(yùn)用所學(xué)的知識點(diǎn)解決問題是解題的關(guān)鍵.10．如圖所示，MN是⊙O的直徑，作AB⊥MN，垂足為點(diǎn)D，連接AM，AN，點(diǎn)C為弧AN上一點(diǎn)，且弧AC=弧AM，連接CM，交AB于點(diǎn)E，交AN于點(diǎn)F，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①AD=BD；②∠MAN=90°；③弧AM=弧BM；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)AB⊥MN,垂徑定理得出①③正確,利用MN是直徑得出②正確,,得出④正確,結(jié)合②④得出⑤正確即可.【詳解】∵M(jìn)N是⊙O的直徑,AB⊥MN,∴AD=BD,,∠MAN=90?.(①②③正確)∵,∴,∴∠ACM+∠ANM=∠MOB(④正確)∵∠MAE=∠AME,∴AE=ME,∠EAF=∠AFM,∴AE=EF,∴.(⑤正確).正確的結(jié)論共5個.所以D選項是正確的.故選D【點(diǎn)睛】此題考查圓周角定理,垂徑定理,以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識.A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題（本題共10小題，每題3分，共30分）11．已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，如果AB=8，CD=6，那么OE=______________【答案】【分析】連接OC，根據(jù)垂徑定理求出CE，在△OEC中，根據(jù)勾股定理求出OE即可．【詳解】解：連接OC．如圖所示：∵AB是圓O的直徑，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=3，OC=OB=AB=4，在△OCE中，由勾股定理得：故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、垂徑定理；關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，求出CE的長，用的數(shù)學(xué)思想是方程思想，把OE當(dāng)作一個未知數(shù)，題目較好．12．如圖，AB切⊙O于點(diǎn)B，BC∥OA，交⊙O于點(diǎn)C，若∠OAB=30°，BC=6，則劣弧BC的長為____________．【答案】2π【分析】連接OB，OC，由AB為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到三角形AOB為直角三角形，再由BC與OA平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到∠OBC為60度，又OB=OC，得到三角形BOC為等邊三角形，確定出∠BOC為60度，利用弧長公式即可求出劣弧BC的長．【詳解】解：連接OB，OC，∵AB為圓O的切線，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，∠OAB=30°，∴∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又∵OB=OC，∴△BOC為等邊三角形，∴∠BOC=60°，BO=CO=BC=6，則劣弧BC長=.故答案為2π.【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，以及弧長公式，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．13．如圖，已知是的半徑，過的中點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，，以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤，正確的是____________．（填序號）．【答案】①②③④⑤【分析】由OC是⊙O的半徑，過OC的中點(diǎn)D作DC的垂線交⊙O于點(diǎn)A，B，根據(jù)垂徑定理可得AD=BD，；又由圓心角與弧的關(guān)系，可得∠AOC=∠BOC，由垂直平分線的性質(zhì)，可得AC=BC，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)，求得∠OAB=30°．【詳解】∵OC⊥AB，∴AD=BD，，故①③正確；∴∠AOC=∠BOC，故④正確；∵過OC的中點(diǎn)D作DC的垂線交⊙O于點(diǎn)A，B，即OC是AB的垂直平平分線，∴AC=BC，故②正確；∵OD=OC=OA，∴∠OAB=30°，故⑤正確．故答案是：①②③④⑤．【點(diǎn)睛】考查了圓心角與弧的關(guān)系、垂徑定理、線段垂直平分線的性質(zhì)以及含30°直角三角形的性質(zhì)．注意理解題意是關(guān)鍵．14．在Rt△ABC中，，，，如果以點(diǎn)C為圓心作圓，使點(diǎn)A在圓C內(nèi)，點(diǎn)B在圓C外，那么圓C半徑r的取值范圍為____________【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則r>AC，點(diǎn)B在圓C外，則r<BC，即可得出答案.【詳解】∵以點(diǎn)C為圓心作圓，使點(diǎn)A在圓C內(nèi)，∴r>AC，即r>5，∵以點(diǎn)C為圓心作圓，使點(diǎn)B在圓C外，∴r<BC，即r<8，∴.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.熟記“設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，則當(dāng)d<r時，點(diǎn)在圓內(nèi)；當(dāng)d=r時，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d>r時，點(diǎn)在圓外”是解題的關(guān)鍵．15．如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)為D，E，F(xiàn),若AD、BE的長為方程的兩個根，則△ABC的周長為____________．【答案】40；【詳解】分析：求△ABC的周長，關(guān)鍵是求出兩條直角邊的長；由已知的方程可求出AF、BE的長，結(jié)合切線長定理和勾股定理，可求得CE、CF的長，進(jìn)而可求出AC、BC的長；再由勾股定理求得AB，即可求△ABC的周長．詳解：如圖；解方程，得：x=12，x=5，∴AD=AF=5，BF=BE=12；AB=17,設(shè)CE=CD=x，則AC=5+x，BC=12+x；由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2,即172=(5+x)2+(12+x)2，解得：x=3(負(fù)值舍去)，∴AC=8，BC=15；因此△ABC的周長=AC+BC+AB=8+15+17=40,.故答案為40.點(diǎn)睛：此題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,解一元二次方程-因式分解法等知識點(diǎn)，掌握三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.注意勾股定理的應(yīng)用.16．如圖，⊙C過原點(diǎn)，與x軸、y軸分別交于A、D兩點(diǎn)．已知∠OBA=30°，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，），則⊙C半徑是____________【答案】4【詳解】分析：連接AD，根據(jù)圓周角定理得出AD為直徑，根據(jù)圓周角定理得出∠ADO=30°，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AD的長度，從而得出半徑．詳解：連接AD，∵∠AOD=90°，

∴AD為直徑，∵∠OBA=30°，∴∠ADO=30°，∵OD=，∴AD=8，∴⊙C半徑是4．點(diǎn)睛：本題主要考查的是圓周角定理，屬于基礎(chǔ)題型．根據(jù)直角所對的弦為直徑得出AD為直徑是解決這個問題的關(guān)鍵．17．如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，以正方形的一邊BC為直徑在正方形ABCD內(nèi)作半圓，過A作半圓的切線，與半圓相切于F點(diǎn)，與DC相交于E點(diǎn)，則△ADE的面積為____________.【答案】6cm2【詳解】【分析】由于AE與圓O切于點(diǎn)F，根據(jù)切線長定理有AF=AB=4cm，EF=EC；設(shè)EF=EC=xcm．則DE=（4-x）cm，AE=（4+x）cm，然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出關(guān)于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出△ADE的面積．【詳解】∵AE與圓O切于點(diǎn)F，顯然根據(jù)切線長定理有AF=AB=4cm，EF=EC，設(shè)EF=EC=xcm，則DE=（4-x）cm，AE=（4+x）cm，在三角形ADE中由勾股定理得：（4-x）2+42=（4+x）2，∴x=1cm，∴CE=1cm，∴DE=4-1=3cm，∴S△ADE=AD?DE÷2=3×4÷2=6(cm2)．故答案為6cm2【點(diǎn)睛】本題考核知識點(diǎn):切線長定理，正方形，勾股定理.解題關(guān)鍵點(diǎn)：運(yùn)用切線長定理求出AF=AB，EF=EC.18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M經(jīng)過點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)P為⊙M上一點(diǎn)，且在第一象限，則sin∠P的值為____________.【答案】【詳解】【分析】連接AB，利用同弧所對圓周角相等，可得∠P=∠ABO，利用勾股定理可得AB，利用三角函數(shù)定義，可得sin∠P=sin∠ABO=.【詳解】連接AB，因?yàn)椤螾和∠ABO是弧AO所對的圓周角，所以，∠P=∠ABO，因?yàn)辄c(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B（3，0），所以，OA=4,OB=3,所以，AB=5，所以，sin∠P=sin∠ABO=.故正確答案為：【點(diǎn)睛】本題考核知識點(diǎn)：圓周角，解直角三角形.解題關(guān)鍵：作輔助線，利用同弧所對圓周角相等，得∠P=∠ABO.再解直角三角形.19．如圖，在矩形中，，，以為直徑作.將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使所得矩形的邊與相切，切點(diǎn)為，邊與相交于點(diǎn)，則的長為____________．【答案】4【詳解】分析：連結(jié)EO并延長交CF于點(diǎn)H，由旋轉(zhuǎn)和相切知四邊形EB′CH是矩形，再根據(jù)勾股定理即可求出CH的長,從而求出CF的值.詳解：連結(jié)EO并延長交CF于點(diǎn)H.∵矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到矩形，∴∠B′=∠B′CD′=90°,A′B′∥CD′,BC=B′C=4,∵A′B′切⊙O與點(diǎn)E,∴OE⊥A′B′,∴四邊形EB′CH是矩形，∴EH=B′C=4,OH⊥CF,∵AB=5,∴OE=OC=AB=,∴OH=,在Rt△OCH中，根據(jù)勾股定理得CH===2,∴CF=2CH=4.故答案為4.點(diǎn)睛：此題主要考查切線的性質(zhì),垂徑定理及矩形的性質(zhì)等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用.20．把直尺、三角尺和圓形螺母按如圖所示放置于桌面上，，若量出，則圓形螺母的外直徑是____________．【答案】【詳解】解：設(shè)圓形螺母的圓心為O，與AB切于E，連接OD，OE，OA，如圖所示：∵AD，AB分別為圓O的切線，∴AO為∠DAB的平分線，OD⊥AC，OD⊥AC．又∵∠CAB=60°，∴∠OAE=∠OAD=∠DAB=60°．在Rt△AOD中，∠OAD=60°，AD=8cm，∴tan∠OAD=tan60°=，即=，∴OD=8cm，則圓形螺母的直徑為16cm．故答案為16cm．點(diǎn)睛：本題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，銳角三角函數(shù)定義，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握性質(zhì)及定理是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題（共3題，共40分）21（12分）．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，AC的延長線上有點(diǎn)D，AC=3CD，連接BD，E為BD的中點(diǎn)，CE是⊙O的切線．（1）求證：BD與⊙O相切；（2）求∠ACE的度數(shù)．【答案】（1）詳見解析；（2）120°【分析】（1）連接OC，如圖，利用圓周角定理得∠ACB＝90°，再根據(jù)斜邊上的中線性質(zhì)得CE＝BE＝DE，所以∠1＝∠2，接著根據(jù)切線的性質(zhì)得∠1＋∠3＝90°，于是∠2＋∠4＝90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；（2）設(shè)CD＝x，則AC＝3x，先證明△ABC∽△ADB，利用相似比得到AB＝2x，然后在Rt△ACB中利用余弦定義求出∠A＝30°，則∠OCA＝∠A＝30°，從而得到∠ACE的度數(shù)．【詳解】（1）連接OC，如圖，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵E為BD的中點(diǎn)，∴CE=BE=DE，∴∠1=∠2，∵OB=OC，∴∠3=∠4，∵CE是⊙O的切線．∴OC⊥CE，∴∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°，即∠OBE=90°，∴BD⊥AB，∴BD與⊙O相切；（2）解：設(shè)CD=x，則AC=3x，∵∠CAB=∠BAD，∠ACB=∠ABD=90°，∴△ABC∽△ADB，∴，即，∴AB=2x，在Rt△ACB中，∵cosA==，∴∠A=30°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠ACE=30°+90°=120°．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定