天津市濱海新區(qū)大港第八中學(xué)2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

天津市濱海新區(qū)大港第八中學(xué)2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．向量，，且，則等于（）A． B． C．2 D．102．有一個內(nèi)角為120°的三角形的三邊長分別是m，m+1，m+2，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．1 B． C．2 D．3．設(shè)直線系．下列四個命題中不正確的是（）A．存在一個圓與所有直線相交B．存在一個圓與所有直線不相交C．存在一個圓與所有直線相切D．M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等4．若集合A={x|2≤x<4},?B={x|x>3}A．{x|3≤x<4} B．{x|3<x<4} C．{x|2≤x<3} D．{x|2≤x≤3}5．在中秋的促銷活動中，某商場對9月14日9時到14時的銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示，已知12時到14時的銷售額為萬元，則10時到11時的銷售額為（）A．萬元 B．萬元 C．萬元 D．萬元6．已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則使得為直角三角形的點(diǎn)的個數(shù)為（）A． B． C． D．7．如圖，正方體中，異面直線與所成角的正弦值等于A． B． C． D．18．在空間中，有三條不重合的直線，，，兩個不重合的平面，，下列判斷正確的是A．若∥，∥，則∥ B．若，，則∥C．若，∥，則 D．若，，∥，則∥9．已知點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別在線段上運(yùn)動，則的周長的最小值為()A． B． C． D．10．等比數(shù)列中,,,則公比()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則的取值范圍是_______；12．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，關(guān)于數(shù)列，有下列三個命題：（1）若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則；（2）若，則是等差數(shù)列：（3）若，則是等比數(shù)列這些命題中，真命題的序號是__________________________.13．已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則________．14．觀察下列式子：你可歸納出的不等式是___________15．_________________．16．設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在數(shù)列中，，.（1）分別計(jì)算，，的值；（2）由（1）猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.18．設(shè)函數(shù)和都是定義在集合上的函數(shù)，對于任意的，都有成立，稱函數(shù)與在上互為“互換函數(shù)”．（1）函數(shù)與在上互為“互換函數(shù)”，求集合；（2）若函數(shù)（且）與在集合上互為“互換函數(shù)”，求證：；（3）函數(shù)與在集合且上互為“互換函數(shù)”，當(dāng)時,，且在上是偶函數(shù),求函數(shù)在集合上的解析式．19．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，為的平分線，．（1）求；（2）若,,求．20．如圖，在直三棱柱中，，，是棱的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：．21．某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，質(zhì)量測試分為：指標(biāo)不小于為一等品；指標(biāo)不小于且小于為二等品；指標(biāo)小于為三等品。其中每件一等品可盈利元，每件二等品可盈利元，每件三等品虧損元?，F(xiàn)對學(xué)徒甲和正式工人乙生產(chǎn)的產(chǎn)品各件的檢測結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：測試指標(biāo)甲乙根據(jù)上表統(tǒng)計(jì)得到甲、乙生產(chǎn)產(chǎn)品等級的頻率分別估計(jì)為他們生產(chǎn)產(chǎn)品等級的概率。求：（1）乙生產(chǎn)一件產(chǎn)品，盈利不小于元的概率；（2）若甲、乙一天生產(chǎn)產(chǎn)品分別為件和件，估計(jì)甲、乙兩人一天共為企業(yè)創(chuàng)收多少元？（3）從甲測試指標(biāo)為與乙測試指標(biāo)為共件產(chǎn)品中選取件，求兩件產(chǎn)品的測試指標(biāo)差的絕對值大于的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

先由數(shù)量積為，得出，求出的坐標(biāo)，利用模長的坐標(biāo)公式求解即可.【詳解】由題意可得，則則故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量模的坐標(biāo)表示以及向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

由已知利用余弦定理可得，解方程可得的值.【詳解】在三角形中，由余弦定理得：，化簡可得：，解得或（舍）.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

對于含變量的直線問題可采用賦特殊值法進(jìn)行求解【詳解】因?yàn)樗渣c(diǎn)到中每條直線的距離即為圓的全體切線組成的集合，所以存在圓心在，半徑大于1的圓與中所有直線相交,A正確也存在圓心在，半徑小于1的圓與中所有直線均不相交，B正確也存在圓心在半徑等于1的圓與中所有直線相切，C正確故正確因?yàn)橹械闹本€與以為圓心，半徑為1的圓相切,所以中的直線所能圍成的正三角形面積不都相等，如圖

與

均為等邊三角形而面積不等,故錯誤，答案選D.【點(diǎn)睛】本題從點(diǎn)到直線的距離關(guān)系出發(fā)，考查了圓的切線與圓的位置關(guān)系，解決此類題型應(yīng)學(xué)會將條件進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化.4、B【解析】

根據(jù)交集定義計(jì)算．【詳解】由題意A∩B={x|3<x<4}．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解析】分析：先根據(jù)12時到14時的銷售額為萬元求出總的銷售額，再求10時到11時的銷售額.詳解：設(shè)總的銷售額為x,則.10時到11時的銷售額的頻率為1-0.1-0.4-0.25-0.1=0.15.所以10時到11時的銷售額為.故答案為C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查頻率分布直方圖求概率、頻數(shù)和總數(shù)，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平.(2)在頻率分布直方圖中，所有小矩形的面積和為1，頻率=.6、D【解析】

分、、是直角三種情況討論，求出點(diǎn)的軌跡，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的軌跡圖形與圓的公共點(diǎn)個數(shù)問題，即可得出正確選項(xiàng).【詳解】①若為直角，則，設(shè)點(diǎn)，，，則，即，此時，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，圓與圓的圓心距為，，則圓與圓的相交，兩圓的公共點(diǎn)個數(shù)為；②若為直角，由于直線的斜率為，則直線的斜率為，直線的方程為，即，圓的圓心到直線的距離為，則直線與圓相交，直線與圓有個公共點(diǎn)；③若為直角，則直線的方程為，圓的圓心到直線的距離為，直線與圓相離，直線與圓沒有公共點(diǎn).綜上所述，使得為直角三角形的點(diǎn)的個數(shù)為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查符合條件的直角三角形的頂點(diǎn)個數(shù)，解題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓、圓與圓的公共點(diǎn)個數(shù)之和的問題，同時也考查了軌跡方程的求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想以及分類討論思想的應(yīng)用，屬于難題.7、D【解析】

由線面垂直的判定定理得：，又，所以面，由線面垂直的性質(zhì)定理得：，即可求解．【詳解】解：連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，又，所以面，所以，所以異面直線與所成角的正弦值等于1，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，屬中檔題．8、C【解析】

根據(jù)空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，A中，若∥，∥，則與可能平行、相交或異面，故A錯誤；B中，若，，則與c可能平行，也可能垂直，比如墻角，故B錯誤；C中，若，∥，則,正確；D中，若，，∥，則與可能平行或異面，故D錯誤；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面位置關(guān)系的判定與證明，其中解答中熟記空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，以及線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于中檔試題．9、C【解析】

分別求出設(shè)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，關(guān)于對稱的點(diǎn)，當(dāng)共線時，的周長取得最小值，為，利用兩點(diǎn)間的距離公式，求出答案.【詳解】過兩點(diǎn)的直線方程為設(shè)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，則，解得即，同理可求關(guān)于對稱的點(diǎn)，當(dāng)共線時的周長取得最小值為.故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)關(guān)于直線的對稱性的簡單應(yīng)用，試題的技巧性較強(qiáng)，屬于中檔題.10、B【解析】

將與用首項(xiàng)和公比表示出來，解方程組即可.【詳解】因?yàn)?，且，故：，且，解得：，即，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查求解等比數(shù)列的基本量，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

本題首先可以根據(jù)向量的運(yùn)算得出，然后等式兩邊同時平方并化簡，得出，最后根據(jù)即可得出的取值范圍．【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，即，所以的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查向量的運(yùn)算以及向量的數(shù)量積的相關(guān)性質(zhì)，向量的數(shù)量積公式，考查計(jì)算能力，是簡單題．12、（1）、（2）、（3）【解析】

利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和形式，逐一判斷即可.【詳解】既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是非零常數(shù)列，故（1）正確.等差數(shù)列的前項(xiàng)和是二次函數(shù)形式，且不含常數(shù)，故（2）正確.等比數(shù)列的前項(xiàng)和是常數(shù)加上常數(shù)乘以的形式，故（3）正確.故答案為：（1），（2），（3）【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，同時考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于簡單題.13、【解析】

利用等差數(shù)列{an}的公差為1，a1，a3，a4成等比數(shù)列，求出a1，即可求出a1．【詳解】∵等差數(shù)列{an}的公差為1，a1，a3，a4成等比數(shù)列，

∴（a1+4）1=a1（a1+2），

∴a1=-8，

∴a1=-2．

故答案為-2.．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題.．14、【解析】

觀察三個已知式子的左邊和右邊，第1個不等式左邊可改寫成；第2個不等式左邊的可改寫成，右邊的可改寫成；第3個不等式的左邊可改寫成；據(jù)此可發(fā)現(xiàn)第個不等式的規(guī)律.【詳解】觀察三個已知式子的左邊和右邊，第1個式子可改寫為：，第2個式子可改寫為：，第3個式子可改寫為：，所以可歸納出第個不等式是：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理，考查學(xué)生分析、解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．15、3【解析】

分式上下為的二次多項(xiàng)式,故上下同除以進(jìn)行分析.【詳解】由題,,又,故.

故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查了分式型多項(xiàng)式的極限問題，注意：當(dāng)時,16、【解析】試題分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，，解得.所以，于是當(dāng)或時，取得最大值.考點(diǎn)：等比數(shù)列及其應(yīng)用三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),；

(2),證明見解析【解析】

(1)分別令即可運(yùn)算得出，，的值；(2)由(1)可猜想出,當(dāng)時成立,再假設(shè)當(dāng)時,成立,再利用推導(dǎo)出即可.【詳解】(1)令有；

令有；

令有所以，，(2)由(1)可得,,,,故可猜想.證明：當(dāng)時,成立；假設(shè)當(dāng)時,成立,且即當(dāng)時,,即,化簡得,,即也滿足,當(dāng)時成立,故對于任意的,有,證畢.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，其中步驟為：(1)證明當(dāng)取第一個值時命題成立.對于一般數(shù)列取值為0或1；(2)假設(shè)當(dāng)()且為自然數(shù)）時命題成立,證明當(dāng)時命題也成立.

綜合(1)(2),對一切自然數(shù),命題都成立.18、（1）（2）見解析（3），【解析】

（1）利用列方程，并用二倍角公式進(jìn)行化簡，求得或，進(jìn)而求得集合.（2）由，得（且），化簡后根據(jù)的取值范圍，求得的取值范圍.（3）首先根據(jù)為偶函數(shù)，求得當(dāng)時，的解析式，從而求得當(dāng)時，的解析式.依題意“當(dāng)，恒成立”，化簡得到，根據(jù)函數(shù)解析式的求法，求得時，以及，進(jìn)而求得函數(shù)在集合上的解析式.【詳解】（1）由得化簡得，，所以或．由解得或，，即或，．又由解得，．所以集合，或，即集合．（2）證明：由，得（且）．變形得，所以．因?yàn)椋瑒t，所以．（3）因?yàn)楹瘮?shù)在上是偶函數(shù)，則．當(dāng)，則，所以．所以，因此當(dāng)時，．由于與函數(shù)在集合上“互換函數(shù)”，所以當(dāng)，恒成立．即對于任意的恒成立．即．于是有，，．上述等式相加得，即．當(dāng)（）時,，所以．而，，所以當(dāng)時，，【點(diǎn)睛】本小題主要考查新定義函數(shù)的理解和運(yùn)用，考查二倍角公式和特殊角的三角函數(shù)值，考查指數(shù)運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)的值域，考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分析、思考與解決問題的能力，屬于難題.19、(1)(2)【解析】

（1）令，正弦定理，得，代入面積公式計(jì)算得到答案.（2）由題意得到，化簡得到，，再利用面積公式得到答案.【詳解】(1)因?yàn)榈钠椒志€，令在中，，由正弦定理，得所以.(2)因?yàn)?，所以，又?得，，因?yàn)?，所以所?【點(diǎn)睛】本題考查了面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生靈活利用正余弦定理和面積公式解決問題的能力.20、(1)見詳解；（2）見詳解.【解析】

（1）連接AC1，設(shè)AC1∩A1C＝O，連接OD，可求O為AC1的中點(diǎn)，D是棱AB的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)可證OD∥BC1，根據(jù)線面平行的判斷定理即可證明BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可證平行四邊形ACC1A1是菱形，由其性質(zhì)可得AC1⊥A1C，利用線面垂直的性質(zhì)可證AB⊥AA1，根據(jù)AB⊥AC，利用線面垂直的判定定理可證AB⊥平面ACC1A1，利用線面垂直的性質(zhì)可證AB⊥A1C，又AC1⊥A1C，根據(jù)線面垂直的判定定理可證A1C⊥平面ABC1，利用線面垂直的性質(zhì)即可證明BC1⊥A1C．【詳解】（1）連接AC1，設(shè)AC1∩A1C＝O，連接OD，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1是平行四邊形，所以：O為AC1的中點(diǎn)，又因?yàn)椋篋是棱AB的中點(diǎn)，所以：OD∥BC1，又因?yàn)椋築C1?平面A1CD，OD?平面A1CD，所以：BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可知：側(cè)面ACC1A1是平行四邊形，因?yàn)椋篈C＝AA1，所以：平行四邊形ACC1A1是菱形，所以：AC1⊥A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因?yàn)椋篈B?平面ABC，所以：AB⊥AA1，又因?yàn)椋篈B⊥AC，AC∩AA1＝A，AC?平面ACC1A1，AA1?平面ACC1A1，所以：AB⊥平面ACC1A1，因?yàn)椋篈1C?平面ACC1A1，所以：AB⊥A1C，又因?yàn)椋篈C1⊥A1C，AB∩AC1＝A，AB?平面ABC1，AC1?平面ABC1，所以：A1C⊥平面ABC1，因?yàn)椋築C1?平面ABC1，所以：BC1⊥A1C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的判定，線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力