專題1.4 平行線的性質(zhì)（教師版）

專題1.4平行線的性質(zhì)1.掌握平行線的性質(zhì)，學(xué)會用同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的關(guān)系來證明平行線關(guān)系；2.學(xué)會利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)；3、掌握平行線的性質(zhì)在生活中的實(shí)際應(yīng)用；4、掌握平行線性質(zhì)的綜合性問題；知識點(diǎn)01平行線的性質(zhì)【知識點(diǎn)】性質(zhì)（1）：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡單說成：兩直線平行，同位角相等。幾何語言：∵a∥b∴∠1=∠5（兩直線平行，同位角相等）性質(zhì)（2）：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等。簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。幾何語言：∵a∥b∴∠3=∠5（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）性質(zhì)（3）：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。幾何語言：∵a∥b∴∠3+∠6=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）【典型例題】例1．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）一條公路修到湖邊時，需拐彎繞道而過，第一次拐彎的度數(shù)為，第二次拐彎的度數(shù)為，到了點(diǎn)后需要繼續(xù)拐彎，拐彎后與第一次拐彎之前的道路平行，則的度數(shù)為（）A．100° B．160° C．140° D．120°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作，如圖，∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，，直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求得的度數(shù)，又由平分，求得的度數(shù)，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求得的度數(shù)．【詳解】解：，，，，平分，，，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與角平分線的定義，注意掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)與兩直線平行，內(nèi)錯角相等定理的應(yīng)用．例3．（2022春·黑龍江齊齊哈爾·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，ABCD，若，，則＝________．【答案】100度##100°【分析】過點(diǎn)E作EFAB，可得∠BEF+∠ABE=180°，從而得到∠BEF=60°，再由ABCD，可得∠FEC=∠DCE，從而得到∠FEC=40°，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作EFAB，∵EFAB，∴∠BEF+∠ABE=180°，∵∠ABE=120°，∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-120°=60°，∵EFAB，ABCD，∴EFCD，∴∠FEC=∠DCE，∵∠DCE=40°，∴∠FEC=40°，∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°+40°=100°．故答案為：100°【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2022·安徽合肥·校聯(lián)考三模）如圖，直線，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，利用兩直線平行，同位角相等得到一對角相等，由的度數(shù)求出的度數(shù)，再由對頂角相等，由的度數(shù)求出的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，又∵，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記相關(guān)知識點(diǎn)（兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．2．（2022春·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，將含有45°角的三角板EFP的直角頂點(diǎn)F放在直線CD上，頂點(diǎn)E放在直線AB上，若∠2＝20°，則∠1的度數(shù)為（）A．45° B．28° C．25° D．30°【答案】C【分析】由題意得∠FEP=45°，∠EFP=90°，從而可得∠FEB=65°，利用平行線的性質(zhì)可求得∠EFD=115°，即可求∠1的度數(shù)．【詳解】解：由題意得：∠FEP=45°，∠EFP=90°，∵∠2=20°，∴∠FEB=∠FEP+∠2=65°，∵，∴∠EFD+∠FEB=180°，∴∠EFD=180°-∠FEB=115°，∴∠1=∠EFD-∠EFP=25°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形，平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．3．（2022春·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）如圖，滿足下列條件之一，能夠得到的有（

）個①②AG平分∠FAE，且③④，且A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定條件進(jìn)行分析即可．【詳解】解：①當(dāng)∠BAC＝∠DCA時，由內(nèi)錯角相等，兩直線平行得，故①不符合題意；②∵AG平分∠FAE，∴，∵∠BAC＝∠BCA，∴∠BCA＝∠DAC，∴，故②符合題意；③∵∠CAD＋∠BCG＝180°，∠BCA＋∠BCG＝180°，∴∠BCA＝∠CAD，∴，故③符合題意；④∵，∴，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BCD＋∠ADC＝180°，∴，故④符合題意；綜上所述，符合條件的有②③④，共3個，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定，解答的關(guān)鍵是對平行線的判定條件的掌握與運(yùn)用．4．（2022春·河南商丘·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)O在AB上，OE平分∠BOD，，，則∠AOF的度數(shù)是______．【答案】35°##35度【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠BOD＝∠D＝110°，∠AOD＝70°，由OE平分∠BOD，得到∠DOE＝55°，由垂直的定義得到∠FOE＝90°，進(jìn)一步即可求得答案．【詳解】解：∵CDAB，∠D＝110°，∴∠AOD+∠D＝180°，∠BOD＝∠D＝110°，∴∠AOD＝70°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE∠BOD＝55°，∵OF⊥OE，∴∠FOE＝90°，∴∠DOF＝90°﹣55°＝35°，∴∠AOF＝70°﹣35°＝35°．故答案為：35°．【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)、垂直的定義、角平分線的相關(guān)計(jì)算等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．5．（2022春·重慶榮昌·七年級校考期中）如圖，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后ED與BC的交點(diǎn)為G，點(diǎn)D，C分別折疊到點(diǎn)M，N的位置上，若，則____________．【答案】72°##72度【分析】利用平角的定義先求出∠EFC，再利用平行線的性質(zhì)求出∠FED，最后利用折疊的性質(zhì)和平角的定義求出∠1的度數(shù)．【詳解】解：∵∠EFG+∠EFC=180°，∠EFG=54°，∴∠EFC=126°．∵四邊形ABCD是長方形，∴DE∥CF．∴∠EFC+∠FED=180°．∴∠FED=54°.∵四邊形EFNM是由四邊形EFCD折疊而成，∴∠DEF=∠MEF=54°．∵∠1+∠DEF+∠MEF=180°，∴∠1=72°．故答案為：72°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，弄清線段的和差關(guān)系、掌握平角的定義及“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是解決本題的關(guān)鍵．6．（2022秋·吉林長春·七年級?？计谀咎岢鰡栴}】若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【解決問題】分兩種情況進(jìn)行探究，請結(jié)合下圖探究這兩個角的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖1，，，試證：；（2）如圖2，，，試證：；【得出結(jié)論】由（1）（2）我們可以得到結(jié)論：若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系為_____________；【拓展應(yīng)用】（3）若兩個角的兩邊分別平行，其中一個角比另一個角的2倍少，求這兩個角的度數(shù)．（4）同一平面內(nèi)，若兩個角的兩邊分別垂直，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系為_____________．【答案】【提出問題】相等或互補(bǔ)【解決問題】（1）證明見解析；（2）證明見解析【得出結(jié)論】相等或互補(bǔ)【拓展應(yīng)用】（3）當(dāng)一個角為時，另一個角為；當(dāng)一個角為時，另一個角為；（4）相等或互補(bǔ)【分析】“提出問題”：根據(jù)題意，分兩種情況，數(shù)形結(jié)合討論即可得到答案；“解決問題”：（1）由圖可知，利用平行線性質(zhì)，即可得證；（2）由圖可知，利用平行線性質(zhì)，即可得證；“得出結(jié)論”：由【提出問題】【解決問題】可知，若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系：相等或互補(bǔ)；“拓展應(yīng)用”：（3）根據(jù)題意，設(shè)一個角為，則另一個角為，根據(jù)若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系為相等或互補(bǔ)，列方程求解即可得到答案；（4）根據(jù)題意，分兩種情況，作出圖形，數(shù)形結(jié)合即可得到答案．【詳解】解：“提出問題”分兩種情況，如圖所示：或，即若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系：相等或互補(bǔ)；“解決問題”（1）如圖所示：，，，，；（2）如圖所示：，，，，；“得出結(jié)論”由（1）（2）我們可以得到結(jié)論：若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系為相等或互補(bǔ)，故答案為：相等或互補(bǔ)；“拓展應(yīng)用”（3）設(shè)一個角為，則另一個角為，若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系為相等或互補(bǔ)，或，解得或，當(dāng)一個角為時，另一個角為；當(dāng)一個角為時，另一個角為；（4）如圖所示：由圖可知或，同一平面內(nèi)，若兩個角的兩邊分別垂直，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系為相等或互補(bǔ)，故答案為：相等或互補(bǔ)．【點(diǎn)睛】本題考查幾何綜合，考查了平行線的性質(zhì)，探究應(yīng)用類題型，讀懂題意，分析情況，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)求證即可得到答案．知識點(diǎn)02根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【典型例題】例1．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直線b上，且，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)，再由兩角互余的性質(zhì)求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．例2．（2021秋·湖南長沙·八年級?？计谥校⒁桓比浅甙慈鐖D擺放，點(diǎn)E在上，點(diǎn)D在的延長線上，，，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用互余關(guān)系求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出，利用即可得解．【詳解】解：∵，，，∴，∵，∴，∴；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角板中求角的度數(shù)問題，以及平行線的性質(zhì)．熟練掌握直角三角板中角的關(guān)系，以及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3．（2022春·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期末）將一塊直角三角板()按如圖所示的方式擺放，點(diǎn)A、分別在直線、上，，若，則的度數(shù)是______．【答案】50°##50度【分析】先求得的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)可求解．【詳解】解：，，，直線，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，兩直線平行，同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，內(nèi)錯角相等．【即學(xué)即練】1．（2022秋·陜西漢中·七年級統(tǒng)考期末）一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在的延長線上，，，，，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用三角板的特點(diǎn)結(jié)合根據(jù)平行線的性質(zhì)，計(jì)算得，，利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可求得，在中可得到【詳解】∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴在中，，，∴，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度及直角三角板的特點(diǎn)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度是解決問題的關(guān)鍵2．（2023春·七年級單元測試）如圖，AB∥CD，平分，，，，則下列結(jié)論：；平分；；其中正確的有(

)A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)、垂直的定義，判斷各個小題中的結(jié)論是否成立，從而解答本題．【詳解】解：，，，平分，，，故①正確；，，平分，，，，，，，故③正確；平分，故②正確；，，，而題目中不能得到，故④錯誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)、垂直、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．3．（2022春·山東淄博·六年級統(tǒng)考期末）如圖，，，的平分線與的平分線交于點(diǎn)G，當(dāng)時，（

）A．65° B．60° C．55° D．50°【答案】D【分析】如圖過點(diǎn)G作GN∥BE，根據(jù)BE∥DF，可得BE∥GN∥DF，故∠EBG=∠2，∠1=∠GDF，由∠DBE和∠CDF的角平分線交于點(diǎn)G，可知∠EBG=∠GBD，∠CDG=∠FDG，進(jìn)而可得∠EBD+∠CDF=∠EBG＋∠GBD＋∠CDG＋∠FDG=2∠2＋2∠1=2（∠2＋∠1）=2×65°=130°，則∠BDC=180°－∠EBD－∠CDF=180°－130°=50°．【詳解】解：如圖過點(diǎn)G作GN∥BE，∵BE∥DF，∴BE∥GN∥DF，∴∠EBG=∠2，∠1=∠GDF，∵∠DBE和∠CDF的角平分線交于點(diǎn)G，∴∠EBG=∠GBD，∠CDG=∠FDG，∴∠EBD+∠CDF=∠EBG＋∠GBD＋∠CDG＋∠FDG=2∠2＋2∠1=2（∠2＋∠1）=2×65°=130°，∴∠BDC=180°－∠EBD－∠CDF=180°－130°=50°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查考查平行線的性質(zhì)，平行的傳遞性，角平分線的性質(zhì)，能夠熟練應(yīng)用平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．4．（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，把三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若，則的度數(shù)為______．【答案】##58度【分析】先根據(jù)“三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上”得到，求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)作答即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意可得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，能夠根據(jù)題意得到是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·遼寧丹東·七年級?？计谀┤鐖D，，與相交于點(diǎn)，且，，若，則______．【答案】3【分析】過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，依此即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，∵，∴，∴，，，∴，∵，，∴，∴．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．6．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）【感知】如圖①，，，，的度數(shù)為______．【探究】如圖②，，點(diǎn)P在射線上運(yùn)動，，，（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動時，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系．（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段C，D兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時（點(diǎn)P與點(diǎn)C，D，O三點(diǎn)不重合），直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系為______．【答案】感知：；探究：（1）；（2）或．【分析】感知：過點(diǎn)P作直線，根據(jù)平行線性質(zhì)知兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可以求出，和即可；探究：（1）如圖，過點(diǎn)P作直線，而，可得，可得，，從而可得答案；（2）當(dāng)在的左側(cè)時，如圖，過點(diǎn)P作直線，而，可得，可得，，當(dāng)在的右邊時，如圖，過點(diǎn)P作直線，而，，，，再利用角的和差可得答案．【詳解】解：感知：過點(diǎn)P作直線，∵，∴．∴，，∵，，∴，，∴．∴的度數(shù)為．故答案為：105°；探究：（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動時，過點(diǎn)P作直線，而，∴，∴，，∴．（2）當(dāng)在的左側(cè)時，如圖，過點(diǎn)P作直線，而，∴，∴，，∴．當(dāng)在的右邊時，如圖，過點(diǎn)P作直線，而，∴，∴，，∴．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建平行線探究角與角之間的聯(lián)系是解本題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)03平行線的性質(zhì)在生活的應(yīng)用【典型例題】例1．（2022春·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期中）如圖，木條a、b、c通過B、E兩處螺絲固定在一起，且，，將木條a、木條b、木條c看作是在同一平面內(nèi)的三條直線AC、DF、MN，若使直線AC、直線DF達(dá)到平行的位置關(guān)系，則下列描述正確的是（

）A．木條b、c固定不動，木條a繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)B．木條b、c固定不動，木條a繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)C．木條a、c固定不動，木條b繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)D．木條a、c固定不動，木條b繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定定理判斷求解即可．【詳解】解：A．木條b、c固定不動，木條a繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)23°，∴∠ABE=40°+23°=63°≠∠DEM，∴AC與DF不平行，故A不符合題意；B．木條b、c固定不動，木條a繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)103°，∴∠CBE=180°-（103°-40°）=117°≠∠DEM，∴AC與DF不平行，故B不符合題意；C．木條a、c固定不動，木條b繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)37°，∴∠DEM=77°-37°=40°=∠ABE，∴AC//DF，故C符合題意；D．木條a、c固定不動，木條b繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)158°，∴∠DEM=360°-77°-158°=125°≠∠CBE，∴AC與DF不平行，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．例2．（2021·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）如圖，一束水平光線照在有一定傾斜角度的平面鏡上，若入射光線與出射光線的夾角為60°，則平面鏡的垂線與水平地面的夾角α的度數(shù)是（）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】B【分析】作CD⊥平面鏡，垂足為G，根據(jù)EF⊥平面鏡，可得CD//EF，根據(jù)水平線與底面所在直線平行，進(jìn)而可得夾角α的度數(shù)．【詳解】解：如圖，作CD⊥平面鏡，垂足為G，∵EF⊥平面鏡，∴CD//EF，∴∠CDH＝∠EFH＝α，根據(jù)題意可知：AG∥DF，∴∠AGC＝∠CDH＝α，∴∠AGC＝α，∵∠AGCAGB60°＝30°，∴α＝30°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了入射角等于反射角問題，解決本題的關(guān)鍵是法線CG平分∠AGB．例3．（2022春·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，某工程隊(duì)從A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏西67°方向修一條公路AD，在BD路段出現(xiàn)塌陷區(qū)，于是改變方向，由B點(diǎn)沿北偏東23°的方向繼續(xù)修建BC段，到達(dá)C點(diǎn)又改變方向，從C點(diǎn)繼續(xù)修建CE段，若使所修路段，應(yīng)為______度．【答案】90【分析】根據(jù)題意可得BQ∥AP，再利用平行線的性質(zhì)可得∠DBQ＝67°，從而求出∠DBC＝90°，然后利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：由題意得：BQ∥AP，∴∠DBQ＝∠DAP＝67°，∵∠QBC＝23°，∴∠DBC＝∠DBQ＋∠QBC＝90°，∵EC∥DB，∴∠ECB＝180°?∠DBC＝90°，故答案為：90．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，方向角，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2021春·全國·七年級期末）如圖是長方形紙帶，，將紙帶沿折疊成圖，再沿折疊成圖，則圖中的的度數(shù)是（

）A．102° B．112° C．120° D．128°【答案】A【分析】根據(jù)兩條直線平行，內(nèi)錯角相等，則∠BFE=∠DEF=26°，根據(jù)平角定義，則∠EFC=154°（圖a），進(jìn)一步求得∠BFC=154°-26°=128°（圖b），進(jìn)而求得∠CFE=128°-26°=102°（圖c）．【詳解】解：∵AD∥BC，∠DEF=26°，∴∠BFE=∠DEF=26°，∴∠EFC=154°（圖a），∴∠BFC=154°-26°=128°（圖b），∴∠CFE=128°-26°=102°（圖c）．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，平行線的性質(zhì)和平角定義，根據(jù)折疊能夠發(fā)現(xiàn)相等的角是解題的關(guān)鍵．2．（2021春·浙江·七年級期末）如圖，的兩邊均為平面反光鏡，，在上有一點(diǎn)，從點(diǎn)射出一束光線經(jīng)上的點(diǎn)反射后，反射光線恰好與平行，這里，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)D作DF⊥AO交OB于點(diǎn)F．根據(jù)題意知，DF是∠CDE的角平分線，可得∠1=∠3；然后又由兩直線CD∥OB推知內(nèi)錯角∠1=∠2；最后由三角形的內(nèi)角和定理求得∠DEB的度數(shù)是70°．【詳解】解：過點(diǎn)D作DF⊥AO交OB于點(diǎn)F．∵入射角等于反射角，∴∠1=∠3，∵CD∥OB，∴∠1=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）；∴∠2=∠3（等量代換）；在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=35°，∴∠2=55°；∴在△DEF中，∠DEB=180°-2∠2=70°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)．解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到法線，然后由法線的性質(zhì)來解答問題．3．（2022春·湖南益陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞道而過，如果第一次拐的，第二次拐的，第三次拐的，這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)B作直線BD與第一次拐彎的道路平行，由題意可得，進(jìn)而可得，然后問題可求解．【詳解】解：過點(diǎn)B作直線BD與第一次拐彎的道路平行，如圖所示：∵第三次拐的，這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，∴直線BD與第三次拐彎的道路也平行，∵，∴，，∵，∴，∴；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·云南昆明·七年級統(tǒng)考期末）《七彩云南》少數(shù)民族傳統(tǒng)藝術(shù)表演，是七彩云南歡樂世界的王牌演藝節(jié)目，它薈萃云南人文之美，深受觀眾喜愛．在展演中，舞臺上的燈光由燈帶上位于點(diǎn)和點(diǎn)的兩盞激光燈控制．如圖，光線與燈帶的夾角，當(dāng)光線與燈帶的夾角______時，．【答案】140°或40°【分析】當(dāng)AB與在AC同側(cè)時，CB′∥AB，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；當(dāng)AB與CB"在AC異側(cè)時，CB"∥AB，內(nèi)錯角相等．【詳解】解：如下圖：當(dāng)AB與CB′在AC同側(cè)時，當(dāng)CB′∥AB時，∵∠CAB+∠ACB′=180°∴∠ACB′=140°當(dāng)AB與CB"在AC異側(cè)時，當(dāng)CB"∥AB時，∠CAB=∠ACB"=40°答案：140°或40°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)及需要由分論討論的思想求解．5．（2021春·江蘇南京·七年級南京玄武外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當(dāng)光線從水中射向空氣時，要發(fā)生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光線，在空氣中也是平行的，如圖，∠1+∠2＝103°，則∠3﹣∠4的度數(shù)為_____．【答案】77°．【分析】光在水中是平行的光線，在空氣中也是平行的，依據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行判斷，即可得出圖中∠3﹣∠4的度數(shù)．【詳解】解：如圖，∵AB∥CD，∴∠5+∠2＝180°，∴∠5＝180°﹣∠2，∵AC∥BD，∴∠3＝∠5，∵AE∥BF，∴∠1＝∠6，∵EF∥AB，∴∠4＝∠6，∴∠3﹣∠4＝∠5-∠6=∠5-∠1=180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣（∠1+∠2）＝77°．故答案為：77°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行時，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．6．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）光線照射到鏡面會產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，例如：在圖1中，有∠1＝∠2．(1)如圖2，已知鏡子MO與鏡子ON的夾角∠MON＝90°，請判斷入射光線AB與反射光線CD的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖3，有一口井，已知入射光線AO與水平線OC的夾角為50°，當(dāng)平面鏡MN與水平線OC的夾角為°，能使反射光線OB正好垂直照射到井底；(3)如圖4，直線EF上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射線AB、CD分別繞A點(diǎn)、C點(diǎn)以3度/秒和1度/秒的速度同時逆時針轉(zhuǎn)動，設(shè)時間為t秒，在射線AB轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，是否存在某時刻，使得CD與AB平行？若存在，求出所有滿足條件的時間t．【答案】(1)ABCD，理由見解析(2)65或115(3)在射線AB轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，存在時間t，使得CD與AB平行，其t=10s或100s．【分析】（1）計(jì)算∠ABC+∠BCD的值便可得出結(jié)論；（2）先計(jì)算出∠AOB，進(jìn)而得∠AOM+∠BON的值，再根據(jù)入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，得出結(jié)果；（3）分四種情況討論：當(dāng)0s≤t≤20s時，當(dāng)20s＜t≤40s時，當(dāng)40s＜t≤80s時，當(dāng)80s＜t≤120s時，根據(jù)角度大小變化關(guān)系鎖確ABCD時的t值．【詳解】（1）解：ABCD．理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-2∠2，∠BCD=180°-∠3-∠4=180°-2∠3，∴∠ABC+∠BCD=360°-2（∠2+∠3），∵∠BOC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥CD；（2）解：∵∠AOC=40°，∠BOC=90°，∴∠AOM+∠BON=180°-90°=40°=50°，∵∠AOM=∠BON，∴∠AOM=∠BON=25°，∴∠COM=25°+40°=65°，∠CON=25°+90°=115°，∴當(dāng)平面鏡MN與水平線OC的夾角為65°或115°時，能使反射光線OB正好垂直照射到井底，故答案為：65或115；（3）解：①當(dāng)0s≤t≤20s時，如下圖，若ABCD，則∠BAC=∠ACD，即120+3t=140+t，解得t=10，∴當(dāng)t=10s時ABCD；②當(dāng)20s＜t≤40s時，如下圖，有∠BAE＜90°＜∠ACD，則AB與CD不平行；③當(dāng)40s＜t≤80s時，如下圖，有∠BAC＜∠ACD，AB與CD不平行；④當(dāng)80s＜t≤120s時，如下圖，若ABCD，則∠BAC=∠DCF，即3t-240=t-40，解得t=100，∴當(dāng)t=100s時，ABCD；綜上可知，在射線AB轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，存在時間t，使得CD與AB平行，其t=10s或100s．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是應(yīng)用分類討論思想解決問題．知識點(diǎn)04平行線性質(zhì)的綜合問題【典型例題】例1．（2022春·山東青島·七年級華東師范大學(xué)青島實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，直線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB和直線CD上，點(diǎn)P在兩條平行線之間，和的角平分線交于點(diǎn)H，已知，則的度數(shù)為（

）A．92° B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)作//，過點(diǎn)作//，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠，結(jié)合角平分線的定義得到∠，同理可得∠【詳解】解：過點(diǎn)作//，過點(diǎn)作//，∵//∴////∴∠∵∠∴∠∴∠∵平分∠，平分∠∴∠同理可得，∠故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得出結(jié)論例2．（2022春·安徽滁州·七年級?？计谀┤鐖D，，，，分別是，的平分線，于．下列結(jié)論：①；②；③；④平分；⑤．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)逐個分析判斷即可．【詳解】解：①∵AB//CD∴∴不一定等于180°，故①說法不正確；②∵BF是∠ABC的平分線，CG是∠BCD的平分線，∴∵AB//CD∴∴，故說法②正確；③∵BF是∠ABC的平分線，CG是∠BCD的平分線，∴∵AB//CD∴∴∠FBC=∠BCG∴BF//CG，故③說法正確；④∵BC//DE∴∵，即∴∴∵CG平分∴∴DG平分∠CDE，故④說法正確；⑤∵AB//CD∴又BC//DE∴∴∵BF是∠ABC的平分線∴又DG是∠CDE的平分線∴∠CDE=2∠GDC∴∴，故⑤說法正確，綜上，說法正確的結(jié)論有②③④⑤共4個，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)運(yùn)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．例3．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，直線EF上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠BAF＝110°，CD與AB在直線EF異側(cè)．若∠DCF＝60°，射線AB、CD分別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和6度/秒的速度同時順時針轉(zhuǎn)動，設(shè)時間為t秒，在射線CD轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，當(dāng)時間t的值為____時，CD與AB平行．【答案】2秒或38秒##38秒或2秒【分析】分情況討論：①AB與CD在EF兩側(cè)，分別表示出與,然后根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行，列式計(jì)算即可求解；②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)，分別表示出與，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計(jì)算即可求解；③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)，分別表示出與，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計(jì)算即可求解【詳解】存在．分三種情況：①如圖，AB與CD在EF的兩側(cè)且CD在EF左側(cè)時：，∴0＜t＜20，∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，∴，，要使，則∠ACD＝∠BAF，即，解得t＝2符合要求②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)時，，∴，∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，∴，∠BAC＝110°﹣t°，要使，則∠DCF＝∠BAC，即，解得t＝38③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)時，此時t＞50，∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，∴，∠BAC＝t°﹣110°，要使AB∥CD，則∠DCF＝∠BAC，即（6t）°﹣300°＝t°﹣110°，解得t＝38，∵38＜50，∴此情況不存在．綜上所述，當(dāng)時間t的值為2秒或38秒時，CD與AB平行．故答案為：2秒或38秒．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵，要注意分類討論．【即學(xué)即練】1．（2021春·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期中）一副直角三角尺疊放如圖1所示，現(xiàn)將45°的三角尺固定不動，將含30°的三角尺繞頂點(diǎn)A順時針轉(zhuǎn)動，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，如圖2，當(dāng)時，，則（）其它所有可能符合條件的度數(shù)為（

）A．60°和135° B．60°和105° C．105°和45° D．以上都有可能【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再由平行線的性質(zhì)定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖當(dāng)∥時，；當(dāng)∥時，；當(dāng)∥時，∵，∴；當(dāng)∥時，∵，∴．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)及直角三角板的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵．2．（2020春·浙江·七年級期中）如圖，的平分線的反向延長線和的平分線的反向延長線相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別過、作的平行線和，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可用和分別表示出和，從而可找到和的關(guān)系，結(jié)合條件可求得．【詳解】解：如圖，分別過、作的平行線和，，，，，，，，，又，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①兩直線平行同位角相等，②兩直線平行內(nèi)錯角相等，③兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，④，．3．（2020·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，，，，分別平分，，則的度數(shù)為（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】作CG//AB，PF//AB，可證∠ABC+∠EDC=68°，由角平分線的定義可知∠ABP=∠ABC，∠EDP=∠EDC，進(jìn)而可求∠ABP=34°．【詳解】解：作CG//AB，PF//AB，∵，∴CG//DE，PF//DE．∴∠ABC=∠BCG，∠EDC=∠DCG，∴∠ABC+∠EDC=∠BCG+∠DCG=，同理可證：∠BPC=∠ABP+∠EDP．∵，分別平分，，∴∠ABP=∠ABC，∠EDP=∠EDC，∴∠ABP+∠EDP=(∠ABC+∠EDC)=34°，∴∠ABP=34°．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．平行線的性質(zhì)：①兩直線平行同位角相等，②兩直線平行內(nèi)錯角相等，③兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)．也考查了角平分線的定義．19．（2022春·福建三明·七年級統(tǒng)考期中）觀察下列圖形：已知，在第一個圖中，可得，根據(jù)規(guī)律，則______度．【答案】【分析】分別過P1、P2、P3作直線AB的平行線P1E，P2F，P3G，由平行線的性質(zhì)可得出：∠1+∠MPE=180°，∠3+∠4=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠2=180°，根據(jù)規(guī)律得到∠1+∠2+∠P1+∠P2+∠P3+∠P4=5×180°．【詳解】解：如圖，分別過、、作直線的平行線，，，，∴，由平行線的性質(zhì)可得出：，，，，∴（1），（2），（3），（4），∴．故答案為：900°【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解答此題的關(guān)鍵．20．（2022春·山東濟(jì)寧·七年級統(tǒng)考期中）如圖是放置在水平操場上的籃球架及其側(cè)面示意圖，已知籃球架的橫梁EF始終平行于底座AB，主柱AD垂直于地面．調(diào)整前，橫梁EF與上拉桿CF形成的∠F＝140°，當(dāng)∠CDB＝25°時，點(diǎn)H，D，B在同一條直線上，此時∠H的度數(shù)是______．【答案】115°##115度【分析】過D點(diǎn)作DI∥EF，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可求∠FDI＝40°，根據(jù)平角的定義可求∠ADB＝25°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求∠ABH＝65°，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可求∠H＝115°．【詳解】解：過D點(diǎn)作DI∥EF，如圖，∴∠F+∠FDI＝180°，∵∠F＝140°，∴∠FDI＝40°，∵∠CDB＝25°，主柱AD垂直于地面，EF始終平行于底座AB，∴∠ADB＝180°﹣90°﹣25°﹣40°＝25°，∴∠ABH＝90°﹣25°＝65°，∵GH∥AB，∴∠H+∠ABH＝180°，∴∠H＝180°﹣65°＝115°．故答案為：115°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行線性質(zhì)定理有：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．24．（2021春·貴州黔東南·七年級?？计谀╅喿x下在材料：彤彤遇到這樣一個問題：已知：如圖甲，ABCD，E為AB，CD之間一點(diǎn)，連接BE，DE，得到∠BED，求證：∠BED=∠B+∠D．彤彤是這樣想的：過點(diǎn)E作EFAB，則有∠BEF=∠B，ABCD，∴EFCD，∴∠FED=∠D，∴∠BED=∠BEF+∠FED，即∠BED=∠B+∠D．請參照彤彤思考問題的方法，解決下列問題：如圖．已知：直線，點(diǎn)A，B在直線上，點(diǎn)C，D在直線上，連接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在直線交于點(diǎn)E．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時，若∠ABC=，∠ADC=，求∠BED的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時，設(shè)∠ABC=，∠ADC=，直接寫出∠BED的度數(shù)（用含有、的式子表示）【答案】(1)(2)【分析】（1）過點(diǎn)E作EFAB，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時，根據(jù)∠ABC=60°，∠ADC=70°，參照彤彤思考問題的方法即可求∠BED的度數(shù)；（2）過點(diǎn)E作EFAB，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時，∠ABC=α，∠ADC=β，參照彤彤思考問題的方法即可求∠BED的度數(shù)．（1）如圖1，過點(diǎn)作，

，

，，，，（2）過點(diǎn)E作EFAB，如圖2，則∠BEF+∠EBA=180°，∴∠BEF=180°-∠EBA，∵ABCD，∴EFCD，∴∠FED=∠EDC，∴∠BEF+∠FED=180°-∠EBA+∠EDC，即∠BED=180°-∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA=∠ABC=α，∠EDC=∠ADC=β，∴∠BED=180°-∠EBA+∠EDC=180°-α+β．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)．題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2022秋·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期末）如圖，兩條平行線a，b被第三條直線c所截．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由對頂角相等得到，再由平行線的性質(zhì)得到．【詳解】解：如圖，∵，∴，∵兩條平行線a，b被第三條直線c所截，∴，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)、對頂角相等知識，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·新疆·模擬預(yù)測）如圖，直線，被直線，所截，，，，則的大小是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定可以得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出．【詳解】解：，，，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，并準(zhǔn)確運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022·四川德陽·模擬預(yù)測）如圖，直線，將三角尺的直角頂點(diǎn)放在直線上，如果，那么的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，由平角性質(zhì)可知即可得出結(jié)論．【詳解】如圖：，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)推理是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，小明從處出發(fā)沿著北偏東方向行走至處，又沿北偏西方向走至處，此時需把方向調(diào)整到與出發(fā)時一致（即），則方向的調(diào)整應(yīng)是（

）A．左轉(zhuǎn)100° B．右轉(zhuǎn)100° C．左轉(zhuǎn)80° D．右轉(zhuǎn)80°【答案】B【分析】從處出發(fā)沿著北偏東方向行走至處，北偏西方向走至處，根據(jù)平行的性質(zhì)可知，把方向調(diào)整到與出發(fā)時一致（即），則，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，當(dāng)時，，根據(jù)方向上，點(diǎn)處的平角可知，方向向右轉(zhuǎn)，即可得到，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查方位角，掌握方位角中方向與偏角的關(guān)系，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，和的角平分線交于點(diǎn)E，延長交于點(diǎn)F，，則_________．【答案】58°##58度【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義，即可得到，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴∵平分∴，，∴，∴，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．6．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，若，EF與AB，CD分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，，平分線與EP相交于點(diǎn)P，，則__________°．【答案】【分析】由題可求出，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可知，根據(jù)角平分線的定義可得到結(jié)果．【詳解】∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與角平分線的定義，以及三角形的內(nèi)角和定理，注意數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵．7．（2022·浙江麗水·一模）如圖，直線，分別與直線交于P，Q兩點(diǎn)．把一塊含的三角板按如圖位置擺放，若，則_____________．【答案】94°##94度【分析】根據(jù)兩條直線平行，同位角相等可得∠1=∠3，再根據(jù)平角定義即可求出∠2的度數(shù)．【詳解】解：如圖，∵，∴∠1=∠3=56°，∵∠4=30°，∴∠2=180°-∠3-∠4=180°-56°-30°=94°．故答案為：94°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．8．（2022春·遼寧丹東·七年級?？计谀┤鐖D，點(diǎn)是長方形紙片的邊上一點(diǎn)，沿折疊紙片交于點(diǎn)，且，則的度數(shù)是______．【答案】##38度【分析】根據(jù)題意由平行線的性質(zhì)可得，再由折疊的性質(zhì)得即可得出的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，由折疊性質(zhì)得，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)及圖形的對稱，熟練應(yīng)用平行線的性質(zhì)和圖形對稱的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．9．（2023秋·重慶渝中·七年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┱埌严旅孀C明過程補(bǔ)充完整．如圖，，，，求證：．證明：∵（已知）∴__________（__________）∵（已知）∴（__________）∴__________（__________）∴__________（__________）∵（已知）∴__________（等量代換）∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）【答案】；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；等量代換；；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；【分析】已知，可以得出，結(jié)合可以得出，可以得出，由已知，即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵（己知）∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∵（已知）∴（等量代換）∴（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵（已知）∴（等量代換）∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定，熟記平行線的判定定理和性質(zhì)，并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·安徽亳州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知三角形的頂點(diǎn)，分別在直線和上，且．若，．(1)當(dāng)時，求的度數(shù)．(2)設(shè)，，求和的數(shù)量關(guān)系（用含，的等式表示）．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求解；（2）過點(diǎn)過點(diǎn)作，可得，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到，，由此得到，在中，，由此即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，即，∵，，，∴，∴．（2）解：如圖所示，過點(diǎn)作，∴，∵，∴，∴，∴，即，∵在中，，，∴，∴，∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線與三角形的綜合運(yùn)用，掌握平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．題組B能力提升練1．（2022秋·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，直線交于，，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行性質(zhì)，兩直線平行同位角相等得到，再根據(jù)互補(bǔ)、互余的定義即可得到的度數(shù)，從而得到答案．【詳解】解：，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行線性質(zhì)、互余、互補(bǔ)定義求角度，熟記相關(guān)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023秋·重慶大渡口·八年級重慶市第九十五初級中學(xué)校?？计谀┤鐖D，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)作，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出，然后整理即可得解.【詳解】過點(diǎn)作，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），，（已知），（平行于同一直線的兩直線平行），（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），，.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出平行線是解題的關(guān)鍵.3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，生活中，將一個寬度相等的紙條按圖所示折疊一下，如果，那么的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；【詳解】如圖，將一個寬度相等的紙條按右圖所示折疊，，，，，，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，準(zhǔn)確結(jié)合已知條件進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·重慶秀山·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，給出下列條件．①；②；③，且；④其中，能推出的條作為（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定定理依次判斷即可．【詳解】解：①∵，∴，正確，符合題意；②∵，∴，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），選項(xiàng)不符合題意；③∵，，∴，∴，正確，符合題意；④∵，∴，由同位角相等，兩直線平行可得，正確，符合題意；故能推出的條件為①③④．故選C．【點(diǎn)睛】題目主要考查平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題關(guān)鍵．5．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，直線被直線所截，分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，過點(diǎn)B的直線交于點(diǎn)C．若，則_________．【答案】##70度【分析】先根據(jù)判定，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出即可．【詳解】解：如圖，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練應(yīng)用判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，，把三角板的直角頂點(diǎn)放在直線上，若，則的度數(shù)為_________【答案】35【分析】先由直角三角板得，再由直線根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可．【詳解】解：如圖：∵，∴，∵，∴，故答案為35．【點(diǎn)睛】題考查了學(xué)生對平行線性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出．7．（2021春·浙江溫州·七年級溫州繡山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，將三角板與直尺貼在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)在直尺的一邊上，若，則______度．【答案】62【分析】由直角尺兩邊平行得到一對同位角相等，可得出與互余，即可確定出度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，則．故答案為：62．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．8．（2022春·江蘇南通·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，，BF，CG分別平分，BF與CG的反向延長線交于點(diǎn)F，若，則___________°．【答案】40【分析】過F作，根據(jù)角平分線的有關(guān)計(jì)算、平行線的性質(zhì)將相關(guān)角結(jié)合在四邊形BECF中進(jìn)行計(jì)算即可得到解答．【詳解】解：過F作，∵，∴，∴，∵BF，CG分別平分，∴，∴，，∴在四邊形BECF中，，∴，∴，∵，∴，故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形內(nèi)角和、平行線的性質(zhì)和角平分線的有關(guān)計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是正確的做出輔助線．9．（2022秋·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一二六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，，．(1)求證：．(2)若，，則的大小為___________．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得，等量代換即可得出，根據(jù)平行線的判定可得，由平行線的性質(zhì)可得結(jié)合對頂角相等可得出；（2）由平行線的性質(zhì)，結(jié)合已知可得，可求得，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵；∴，∴，∴，∵∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定定理，解答此題的關(guān)鍵是注意平行線的性質(zhì)和判定定理的綜合運(yùn)用．10．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）已知，點(diǎn)B在直線之間，．(1)如圖1，請直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系：_________．(2)如圖2，和滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．(3)如圖3，平分，平分，與交于點(diǎn)G，則的度數(shù)為_________．【答案】(1)(2)，見解析(3)【分析】（1）過點(diǎn)B作，利用平行線的性質(zhì)即可求得結(jié)論；（2）過點(diǎn)B作，利用平行線的性質(zhì)即可求得結(jié)論；（3）利用（2）的結(jié)論和三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和即可求得結(jié)論．【詳解】（1）解：過點(diǎn)B作，如圖，∴．∵，，∴．∴．∵．∴．故答案為：；（2）解：和滿足：．理由：過點(diǎn)B作，如圖，∴．∵，，∴．∴．∴．∵．∴．∴．∴；（3）解：設(shè)與交于點(diǎn)F，如圖，∵平分，平分，∴，，∵，∴．∵，∴．∵，∴．由（2）知：，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022秋·廣東深圳·八年級?？计谥校┤鐖D，若AB∥CD，則α、β、γ之間的關(guān)系為（

）A．α+β+γ=360° B．α﹣β+γ=180° C．α+β﹣γ=180° D．α+β+γ=180°【答案】C【分析】過E作EFABCD，由平行線的質(zhì)可得∠α+∠AEF=180°，∠ECD=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系．【詳解】解：過點(diǎn)E作EFAB，∴∠α+∠AEF=180°，∵ABCD，∴EFCD，∴∠FEC=∠ECD，∵∠β=∠AEF+∠FED，又∠γ=∠ECD，∴∠α+∠β-∠γ=180°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，平分交于，，，、分別是，延長線上的點(diǎn)，點(diǎn)在上，下列結(jié)論：①；②；③；④平分，其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)AB⊥BC得出∠B=90°，進(jìn)而得到∠1+∠AEB=90°，因?yàn)锳E⊥DE，證得∠AEB+∠CED=90°，等量代換得到∠1=∠CED，已知∠1+∠2=90°，則∠CED+∠2=90°，從而得出∠C=90°，證得ABCD，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)進(jìn)一步分析其它結(jié)論即可．【詳解】解：∵AB⊥BC，∴∠B=90°，∴∠1+∠AEB=90°，∵AE⊥DE，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠1=∠DEC，∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴ABCD，故①正確；∵AE平分∠BAD交BC于E，∴∠1=∠EAD，又∵∠1=∠DEC，∵∠DEC=∠EAD，故②正確；∵∠AEB=∠2，∠2+∠EDN=180°，∴∠AEB+∠EDN=180°，∵∠EDN≠∠ADC，∴∠AEB+∠ADC≠180°，故③錯誤；∵AE⊥DE，∴∠EAD+∠ADE=90°，∵∠2+∠DEC=90°，∠DEC=∠EAD，∴∠2+∠EAD=90°，∴∠2=∠ADE，∴DE平分∠ADC，故④正確．故正確的結(jié)論有①②④．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、角平分線的定義，熟練應(yīng)用判定定理是解題的關(guān)鍵．平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．3．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，已知長方形紙片ABCD，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AD和BC上，且∠EFC=37°，點(diǎn)H和點(diǎn)G分別是邊AD和BC上的動點(diǎn)，現(xiàn)將點(diǎn)A，B，C，D分別沿EF，GH折疊至點(diǎn)N，M，P，K，若MNPK，則∠KHD的度數(shù)為（）A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°【答案】D【分析】分兩種情況討論，①當(dāng)在上方時，延長、相交于點(diǎn)，根據(jù)，推出，得到，求出的度數(shù)，再根據(jù)即可求解；②當(dāng)在下方時，延長、相交于點(diǎn)，根據(jù)，推出，得到，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：①當(dāng)在上方時，延長、相交于點(diǎn)，如圖所示∵∴∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴②當(dāng)在下方時，延長、相交于點(diǎn)，如圖所示∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折、平行線的判定和性質(zhì)、對頂角等知識點(diǎn)，分情況討論，畫出對應(yīng)圖形進(jìn)行求解是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022春·廣東江門·七年級校考期中）如圖，,點(diǎn)E是邊DC上一點(diǎn)，連接AE交BC的延長線于點(diǎn)H，點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn)，使得，作的角平分線交BH于點(diǎn)G，若，則的度數(shù)是（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】AD∥BC，∠D=∠ABC，則AB∥CD，則∠AEF=180°-∠AED-∠BEG=180°-2β，在△AEF中，100°+2α+180°-2β=180°，故β-α=40°，即可求解．【詳解】解：設(shè)FBE=∠FEB=α，則∠AFE=2α，∠FEH的角平分線為EG，設(shè)∠GEH=∠GEF=β，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，而∠D=∠ABC，∴∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD，∠DEH=100°，則∠CEH=∠FAE=80°，∠AEF=180°-∠FEG-∠BEG=180°-2β，在△AEF中，在△AEF中，80°+2α+180-2β=180°，故β-α=40°，而∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是落腳于△AEF內(nèi)角和為180°，即100°+2α+180°-2β=180°，題目難度較大．5．（2022春·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，平分，．（1）的度數(shù)為______；（2）的度數(shù)為______．【答案】

60°##60度

150°##150度【分析】（1）利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求解；（2）由（1）求得，由角平分線的定義得，再利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求的度數(shù)．【詳解】解：，，，，故答案為：；平分，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解答的關(guān)鍵是會判斷同旁內(nèi)角和熟記平行線的性質(zhì)并靈活運(yùn)用．6．（2022春·遼寧葫蘆島·七年級?？茧A段練習(xí)）①如圖1，ABCD，則∠A+∠E+∠C＝180°；②如圖2，ABCD，則∠E＝∠A+∠C；③如圖3