2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：立體幾何中的動態(tài)問題練習(xí)（3大考點+強化訓(xùn)練）

2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題練習(xí)★★

立體幾何中的動態(tài)問題(3大考點+強化訓(xùn)練)

“動態(tài)”問題是高考立體幾何問題最具創(chuàng)新意識的題型，它滲透了一些“動態(tài)”的點、線、面等元素，

給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力，題型更新穎.同時，由于“動態(tài)”的存在，也使立體幾何題更趨多元化，

將立體幾何問題與平面幾何中的解三角形問題、多邊形面積問題以及解析幾何問題之間建立橋梁，使得它們

之間靈活轉(zhuǎn)化.

知識導(dǎo)圖

Z一?考點一：動點軌跡問題

★立體幾何中的動態(tài)問題------?考點二：折疊、展開問題

考點三：最值、范圍問題

ill考點分類講解

考點一：動點軌跡問題

規(guī)律方法解決與幾何體有關(guān)的動點軌跡問題的方法

(1)幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進(jìn)行判定.

(2)定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定或用代數(shù)法進(jìn)行計算.

(3)特殊值法：根據(jù)空間圖形線段長度關(guān)系取特殊值或位置進(jìn)行排除.

【例1】(2024?浙江溫州?一模)如圖，所有棱長都為1的正三棱柱ABC-44。，BE=2EC，點產(chǎn)是側(cè)棱

明上的動點，且AP=2CG，H為線段網(wǎng)上的動點，直線平面=M,則點M的軌跡為()

A.三角形（含內(nèi)部）B.矩形（含內(nèi)部）

C.圓柱面的一部分D.球面的一部分

【變式1】（多選）（23-24高三上?貴州安順?期末）如圖，在棱長為2的正方體A8CD-4BC.中，點、E、

F、G、”分別為棱CC]、GQ、40、AB的中點，點M為棱44上動點，則（）

A.點E、F、G、”共面B.的最小值為1+6

C.點8到平面做C的距離為述

D.DEYA.H

3

【變式2】（2023?貴州?一模）如圖，已知正方體ABCD-AgCQ的棱長為2,M,N,尸分別為棱

M，CG，A。的中點，。為該正方體表面上的點，若M,N,P,。四點共面，則點0的軌跡圍成圖形的面

積為_________

【變式3]（2023?寧波聯(lián)考）正方體ABC。一AiBiCQi的棱長為1,點尸滿足筋=/病+〃麗（九〃WR）,則下

列說法正確的有（）

A.若；,+〃=1,則AP_LA￡）i

B.若汁〃=1,則三棱錐4—PDG的體積為定值

C.若點P總滿足E4J_8Oi，則動點P的軌跡是一條直線

D.若點尸到點A的距離為小，則動點尸的軌跡是一個面積為兀的圓

考點二：折疊、展開問題

規(guī)律方法畫好折疊、展開前后的平面圖形與立體圖形，抓住兩個關(guān)鍵點：不變的線線關(guān)系、不變的數(shù)量關(guān)

系.

【例2】（2024?河南?模擬預(yù)測）為體現(xiàn)市民參與城市建設(shè)、共建共享公園城市的熱情，同時搭建城市共建

共享平臺，彰顯城市的發(fā)展溫度，某市在中心公園開放長椅贈送點位，接受市民贈送的休閑長椅.其中觀景

草坪上一架長椅因其造型簡單別致，頗受人們喜歡（如圖1）.已知A3和8是圓。的兩條互相垂直的直

徑，將平面ABC沿翻折至平面ABC,使得平面ABC_L平面ABD（如圖2）此時直線A3與平面C'BD

所成角的正弦值為（）

【變式1］（22-23高三上?浙江?開學(xué)考試）如圖，矩形ABCD中，AD=2,AB=3,AE=2EB,將VADE沿直

線DE翻折成△AOE,若M為線段AC的點，滿足CN=2M4,,則在VADE翻折過程中（點4不在平面

DEBC內(nèi)）,下面四個選項中正確的是（）

A.詡///平面4?！?

B.點〃在某個圓上運動

C.存在某個位置，使OELAC

D.線段BA的長的取值范圍是（正,3）

【變式2］（2024高三?全國?專題練習(xí)）如圖1,在等邊ABC中，點、D、E分別為邊AB、AC上的動點且滿

DE

定DE"BC,記==2.將VADE沿QE翻折到的位置，使得平面AIDE，平面。EC8,連接MB,

MC,如圖2,N為MC的中點.

A

M

⑴當(dāng)E/V//平面的時，求;l的值.

⑵隨著彳的值的變化，二面角KD-E的大小是否改變？若是，請說明理由；若不是，請求出二面角

的正弦值.

【變式3】（2023?邵陽模擬）如圖所示，在矩形ABCD中，AB=^3,A￡）=1,AP_L平面ABC￡>,且AP=3,點

E為線段CD（除端點外）上的動點，沿直線AE將△D4E翻折到△?AE,則下列說法中正確的是（）

A.當(dāng)點E固定在線段CD的某位置時，點。'的運動軌跡為球面

B.存在點E,使A3,平面。'AE

C.點A到平面BCF的距離為坐

D.異面直線EF與BC所成角的余弦值的取值范圍是普，留

考點三：最值、范圍問題

規(guī)律方法在動態(tài)變化過程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大（?。⒔堑姆秶葐栴}，常用的解題思路是

（1）直觀判斷：在變化過程中判斷點、線、面在何位置時，所求的量有相應(yīng)最大、最小值.

（2）函數(shù)思想：通過建系或引入變量，把這類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最

值.

【例3】（多選）（2023?鞍山模擬）如圖，正方體ABC。-45CQi的棱長為1,尸是線段上的動點，則下列

結(jié)論正確的是（）

A.四面體出。欣的體積為定值

B.AP+PC的最小值為2吸

C.4P〃平面AC。

7T

D.直線4P與AC所成的角的取值范圍是［。，f

【變式1】（2023?青島模擬）三面角是立體幾何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解決三面角問題的重要

依據(jù).三面角P—ABC是由有公共端點P且不共面的三條射線總，PB,PC以及相鄰兩射線間的平面部分

所組成的圖形，設(shè)NAPC=a,/BPC=p,ZAPB^y,二面角4一尸。一2為仇由三面角余弦定理得cos6

cosy-cosa-cosB,_..,

=~tinasin/"在二棱錐P—ABC中,PA=6,ZAPC=60°,ZBPC=45°,ZAPS=90°,PB+PC=6,

則三棱錐P-ABC體積的最大值為（）

A27sc27〃9「9

B-yC,2D.4

【變式2］（23-24高三下?北京?開學(xué)考試）正方體ABCD-A4C。的棱長為1，動點M在線段C&上，動

點尸在平面AqGR上，且AP2平面上出2.線段AP長度的取值范圍是（）

【變式3】（2023?黑龍江哈爾濱?三模）已知四棱錐P-ABCD的底面為正方形，底面

45co，尸。=A□，點E是線段尸8上的動點，則直線DE與平面P3C所成角的最大值為（）

71717171

A.—B.一C.—D.一

6432

強化訓(xùn)練

一、單選題

1.（2023?云南保山?二模）己知正方體ABC。-AAG。，。為上底面44GA所在平面內(nèi)的動點，當(dāng)直線

DQ與DA1的所成角為45。時，點Q的軌跡為（）

A.圓B.直線C.拋物線D.橢圓

2.（2023?全國三模）在平面直角坐標(biāo)系中，P為圓尤2+y2=i6上的動點，定點4（-3,2）.現(xiàn)將y軸左側(cè)半

圓所在坐標(biāo)平面沿y軸翻折，與y軸右側(cè)半圓所在平面成、的二面角，使點A翻折至A,2仍在右側(cè)半圓

和折起的左側(cè)半圓上運動，則A,P兩點間距離的取值范圍是（）

A.[713,375]B.[4-V13,7]C.14-疝3司D.[713,7]

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，已知矩形ABC。中，E為線段CO上一動點（不含端點），記=

現(xiàn)將VADE沿直線AE翻折到VAPE的位置，記直線CP與直線AE所成的角為A,則（）

D.sincr<cos/?

4.（2023?上海寶山二模）在空間直角坐標(biāo)系。-型中，已知定點4（2,1,0）,3（0,2,0）和動點

C（OJ/+2）4O）.若.（MC的面積為S,以O(shè),A,3,C為頂點的錐體的體積為V,則2的最大值為（）

A.—A/5B.-y/5C.土亞D.-V5

155155

5.（23-24高三上?河北衡水,階段練習(xí)）正三棱柱ABC-A與G中，/山=2,/切=6,0為BC的中點，M為

MNMO

棱BG上的動點，N為棱期上的動點，且蕨=加，則線段MN長度的取值范圍為（）

瓜4小

A.*近B.

7

D.[6

6.（23-24高三下?山西?階段練習(xí)）在棱長為4的正方體ABCD-AgGA中，E是8的中點，歹是CG上的

動點，則三棱錐A-DEF外接球半徑的最小值為（）

A.3B.2石C.713D.715

7.（2023?陜西咸陽?模擬預(yù)測）如圖，點尸是棱長為2的正方體ABCD-ABIGA的表面上一個動點，則以

下不正確的是（）

A.當(dāng)尸在平面BCC畫上運動時，四棱錐尸-A4QQ的體積不變

7171

B.當(dāng)尸在線段AC上運動時，。/與AG所成角的取值范圍是y,-

C.使直線AP與平面ABCD所成的角為45。的點尸的軌跡長度為兀+40

D.若尸是4片的中點，當(dāng)尸在底面ABCD上運動，且滿足尸尸//平面2cA時，尸產(chǎn)長度的最小值是不

8.（2023?吉林長春?模擬預(yù)測）四棱柱A8CD-ABG0中，側(cè)棱"一底面ABC。，ABCD,

2AB=BC=CD,BCLCD,側(cè)面AAB瓦為正方形，設(shè)點。為四棱錐A-CCQ。外接球的球心，E為

。。上的動點，則直線4E與。3所成的最小角的正弦值為（）

嶼2遙1

A.Lr(---------------D.-

555

二、多選題

1.（23-24高三下?江蘇蘇州?開學(xué)考試）在正方體A5CQ-AgGA中，點M為棱上的動點，則

（）

A.平面ABCQ，平面4。河

B.平面平面4。/

TTTT

c.AM與BG所成角的取值范圍為

D.AM與平面ABCA所成角的取值范圍為7,7

64_

2.（2023?全國?模擬預(yù)測）如圖①，四邊形ABC。是兩個直角三角形拼接而成，AB=1,BD3,

ZABD=ZC=90°,/3DC=45。.現(xiàn)沿著3。進(jìn)行翻折，使平面平面BCD,連接AC,得到三棱錐

A-BCD（如圖②），則下列選項中正確的是（）

圖①圖②

A.平面ABC/平面AC。

B.二面角AD-C的大小為60。

C.異面直線與8c所成角的余弦值為追

3

D.三棱錐A-3CD外接球的表面積為兀

3.（2023?全國?模擬預(yù)測）如圖1,矩形用BCG由正方形用8AA與AACG拼接而成.現(xiàn)將圖形沿4人對折

成直二面角，如圖2.點P（不與瓦,C重合）是線段用C上的一個動點，點E在線段A3上，點p在線段

4G上，且滿足PELAB,PF±AG,則（）

PE=PFB.B|C_L平面PEF

NEP尸的最大值為二D.多面體CE4EP的體積為定值

1.（2023?河南?模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體ABCO-A/iGR中，尸是棱加式不包含端點）上一

動點，則三棱錐尸-的體積的取值范圍為.

2.（2023?江蘇淮安?模擬預(yù)測）某同學(xué)參加課外航模興趣小組活動，學(xué)習(xí)模型制作.將一張菱形鐵片ABCD

進(jìn)行翻折，菱形的邊長為1，ZABC=60°,E是邊BC上一點,將-CDE沿著。E翻折到一.C力E位置，使

平面C'DEL面ABED,則點A與C'之間距離最小值是.

3.（23-24高三上?河北保定?期末）如圖，在棱長為8的正方體中，E是棱人4上的一個動

點，給出下列三個結(jié)論：①若尸為22上的動點，則收的最小值為4?;②。到平面BE2的距離的最

大值為空；③M為8C的中點，尸為空間中一點，且PD與平面ABCD所成的角為30。，PM與平面

ABCD所成的角為60。，則尸在平面ABC。上射影的軌跡長度為3屆，其中所有正確結(jié)論的序號

是.

四、解答題

1.（2023?河南?二模）如圖所示，正六棱柱ABCDEF-ABGRE；月的底面邊長為1,高為6，P為線段

DFt上的動點.

（1）求證：AP〃平面4BC；

（2）設(shè)直線AP與平面所成的角為