廣東省汕頭市2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題含答案

2024年汕頭市普通高考第一次模擬考試

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫

清楚，并貼好條形碼.請認真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名和科目.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在

試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)城內(nèi).

4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的

11c

a>——<2

1.“2”是“a”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

2.在3與15之間插入3個數(shù)，使這5個數(shù)成等差數(shù)列，則插入的3個數(shù)之和為（）

A.21B.24C.27D.30

3.ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,C,若A=60°,b=10,則結(jié)合。的值，下列解三角

形有兩解的為（）

A.a=8B.a=9C.a=10D.a=11

4.[l+g]（l+x）7展開式中d項的系數(shù)為（）

A42B.35C.7D.1

m+x

5.已知函數(shù)/(%)=ln(加>0,〃>0)是奇函數(shù),則--1—的最小值為（)

1-n-xmn

A.3B.5C.3+2加D.3+4加

6.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，下列命題是真命題的為（）

A.若zwO,貝Uz-W是純虛數(shù)

B.若z2=—|z「，貝”是純虛數(shù)

C.若z；+z；=0,則Z]=0且Z2=0

D.若Z］、Z2為虛數(shù)，則ZiZz+ZiZz^R

7.已知圓錐的頂點為S,。為底面圓心，母線與S3互相垂直，△S45的面積為8,與圓錐底面所

成的角為30，則（）

A.圓錐的高為1

B.圓錐的體積為24兀

c.圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為哀況

3

D.二面角S—AB—O的大小為45

8.如圖，設(shè)《、工分別是橢圓的左、右焦點，點P是以4耳為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交

點，延長尸入與橢圓交于點Q,若忸耳|=4代段，則直線產(chǎn)區(qū)的斜率為（）

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級中隨機抽取了100名學(xué)生的成績，整理得到如

圖所示的頻率分布直方圖.為進一步分析高分學(xué)生的成績分布情況，計算得到這100名學(xué)生中，成績位于

［80,90）內(nèi)的學(xué)生成績方差為12,成績位于［90,100）內(nèi)的同學(xué)成績方差為10.則（）

參考公式：樣本劃分為2層，各層的容量、平均數(shù)和方差分別為：〃八s；；〃、y>s；.記樣本平均數(shù)

為石，樣本方差為$2,s2=^「s；+G—⑹1+—歹—⑹2二

m+n^-」m+n^-」

A.61=0.004B.估計該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為77.14

C.估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的平均數(shù)為87.50

D.估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為30.25

10.已知函數(shù)=COS2A>COS[2X+FJ—一—,貝U()

A.曲線y=對稱軸為％=左兀一女，左￡Z

6

B./(%)在區(qū)間上單調(diào)遞增

C./(%)的最大值為g

D./(九)在區(qū)間[0,2可上的所有零點之和為8兀

11.如圖，是連接河岸A3與OC的一座古橋，因保護古跡與發(fā)展的需要，現(xiàn)規(guī)劃建一座新橋BC,同

時設(shè)立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求：

①新橋與河岸AB垂直；

②保護區(qū)的邊界為一個圓，該圓與相切，且圓心/在線段Q4上；

③古橋兩端。和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m.

4

經(jīng)測量，點AC分別位于點。正北方向60m、正東方向170m處，tan/BC。=§.根據(jù)圖中所給平面

直

角坐標(biāo)系，下列結(jié)論中，正確的是()

A.新橋的長為150nl

B.圓心M可以在點A處

C.圓心/到點。的距離至多為35m

D.當(dāng)長為20m時，圓形保護區(qū)的面積最大

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.第13、14題第一空2分，第二空3分.

12.在一組樣本數(shù)據(jù)(XI,yi),(X2,丫2),…，(xn,Jn)(n>2,Xl,X2,Xn不全相等)的散點圖中，若

所有樣本點(劉，yi)(i=l,2,…，n)都在直線y=gx+l上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為

13.已知C：_A5C外接圓的半徑為1,圓心為點。，且滿足4OC=—204—308,貝UcosNAO5=

-------------'AB-0A=-------------

14.如圖，在正方體ABCD—4片&2中，E是棱cq中點，記平面與平面ABCD的交線為

平面與平面45與4的交線為“，若直線A3分別與所成的角為以A，貝1Jtanc=

,tan(a+/7)=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知數(shù)列｛4｝和｛〃｝,其中a=2〃”，〃eN*，數(shù)歹!J｛%+〃｝的前〃項和為

(1)若4=2"，求S“；

(2)若｛2｝是各項為正的等比數(shù)列，S"=3n,求數(shù)列｛%｝和｛2｝的通項公式.

16.已知函數(shù)/(x)=ax—1—+eR).

(1)當(dāng)a=-l時，求曲線y=/(x)在點(e"(e))處切線方程；

（2）若/（尤）既存在極大值，又存在極小值，求實數(shù)。的取值范圍.

17.如圖，三棱臺A5C-4與。1中，側(cè)面四邊形ACGA為等腰梯形，底面三角形ABC為正三角形，且

4。=24￡=2.設(shè)￡）為棱4。1上的點.

（1）若。為4cl的中點，求證：ACJ.BD；

7

（2）若三棱臺ABC-A4G的體積為三，且側(cè)面ACGA，底面43。，試探究是否存在點。，使直線

3。與平面BCG4所成角的正弦值為姮？若存在，確定點。的位置；若不存在，說明理由.

10

2

18.已知點〃（司，九）為雙曲線三一丁2=1上的動點.

（1）判斷直線號-%y=l與雙曲線的公共點個數(shù)，并說明理由；

（2）（i）如果把（1）的結(jié)論推廣到一般雙曲線，你能得到什么相應(yīng)的結(jié)論？請寫出你的結(jié)論，不必證

明；

2222

（ii）將雙曲線C:=-二=1（。>0/>0）的兩條漸近線稱為“退化的雙曲線”，其方程為二—4=0,請利

abab

用該方程證明如下命題：若T（九編為雙曲線C上一點，直線/:=1與。的兩條漸近線分別交于

ab

點P、Q,則T為線段尸。的中點.

19.2023年11月，我國教育部發(fā)布了《中小學(xué)實驗教學(xué)基本目錄》，內(nèi)容包括高中數(shù)學(xué)在內(nèi)共有16個學(xué)科

900多項實驗與實踐活動.我市某學(xué)校的數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生至『‘牛田洋”進行科學(xué)實踐活動，在某種植番石榴

的果園中，老師建議學(xué)生嘗試去摘全園最大的番石榴，規(guī)定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結(jié)

果，學(xué)生小明兩手空空走出果園，因為他不知道前面是否有更大的，所以沒有摘，走到前面時，又發(fā)覺總

不及之前見到的，最后什么也沒摘到.假設(shè)小明在果園中一共會遇到〃顆番石榴（不妨設(shè)九顆番石榴的大小

各不相同），最大的那顆番石榴出現(xiàn)在各個位置上的概率相等，為了盡可能在這些番石榴中摘到那顆最大

的，小明在老師的指導(dǎo)下采用了如下策略：不摘前左（1〈左<九）顆番石榴，自第k+1顆開始，只要發(fā)現(xiàn)比

他前面

見過的番石榴大的，就摘這顆番石榴，否則就摘最后一顆.設(shè)左=優(yōu)，記該學(xué)生摘到那顆最大番石榴的概率

為尸.

（1）若"=4,左=2,求尸；

（2）當(dāng)〃趨向于無窮大時，從理論的角度，求P的最大值及P取最大值時/的值.

111,n

—------------1——I-----------=1n—

（取kk+in-i左）2024年汕頭市普通高考第一次模擬考試

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫

清楚，并貼好條形碼.請認真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名和科目.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在

試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)城內(nèi).

4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

第I卷選擇題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的

11c

a>——<2

1.“2”是“a”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件求解即可.

【詳解】因為4〉一=>2?！?=>—<2,而一<2推不出—，例如Q=—1滿足一<2,但—不成

2aa2a2

立，

所以“a〉!”是“4<2”的充分不必要條件，

2a

故選：A

2.在3與15之間插入3個數(shù)，使這5個數(shù)成等差數(shù)列，則插入的3個數(shù)之和為（）

A.21B.24C.27D.30

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求解即得.

【詳解】令插入的3個數(shù)依次為%,%，%，即3,15成等差數(shù)列，

因此2a2=3+15,解得。2=9,

所以插入的3個數(shù)之和為%+%+%=3%=27.

故選：C

3.的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,C,若A=60°,6=10,則結(jié)合。的值，下列解三角

形有兩解的為（）

A.a=8B.a=9C.a=10D.a=11

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由正弦定理代入計算，即可得到結(jié)果.

,y/3

10x

【詳解】由正弦定理可得，~^—=——，所以.DbsinAV56，

sinAsinBsmB=-------=-----幺=——

aaa

因為三角形有兩解，所以sinB<l,且因此由選項知，只有。=9符合.

故選：B

4.[l+g]（l+xy展開式中d項的系數(shù)為（）

A.42B.35C.7D.1

【答案】A

【解析】

【分析】寫出展開式通項，令X的指數(shù)為3,求出參數(shù)的值，代入通項后即可得解.

【詳解】（1+力7的展開式通項為4+i=C>y（r=0,l,2,、7）,

因為[1+1(1+X)7=(1+X)7+X-3(1+X)7,

在C；?/&=（）,1,2,、7）中，令1=3,可得V項的系數(shù)為C”35；

在/=C?X"3/=O,I,2,,7）中,令左—3=3,得左=6,可得V項的系數(shù)為C；=7.

所以，[1+5卜1+》）7展開式中/項的系數(shù)為35+7=42.

故選：A.

H7+X]2

5.已知函數(shù)/（x）=ln；-------（相>0,〃>0）是奇函數(shù)，則一+一的最小值為（）

1—n—xmn

A.3B.5C.3+2后D.3+40

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得加+〃=1,利用基本不等式求最值即可.

【詳解】令J+X〉0,得（%+根）（％-1+〃）<。，故函數(shù)/（X）的定義域為｛N（X+M）（X-

因為/（X）是奇函數(shù)，則其定義域關(guān)于原點對稱，

可得一加+1—〃=0,即m+n=\^

止匕時/（x）=In-------,可得/（x）+f（-x）=In--------1-In--------=In1=0,

m—xm—xm+x

可得〃九）是奇函數(shù)，即冽+〃=1符合題意；

,,12[12]z__n2m__/r-

故—I—=—I—(jn+〃)=3-1----1----------->3+2A/2,

mn\mn)mn

當(dāng)且僅當(dāng)」=——，即加=J5—1，〃=2—J5時等號成立，

mn

i2

故一+一的最小值為3+2行，

mn

故選：C.

6.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，下列命題是真命題的為（）

A.若zwO,則z-I是純虛數(shù)

B.若z2=_|z『,則Z是純虛數(shù)

C.若z；+z；=0,則Z]=0且Z2=0

D.若Z]、Z2為虛數(shù)，則ZiZz+ZiZz^R

【答案】D

【解析】

【分析】利用特殊值法可判斷ABC選項；利用共輾復(fù)數(shù)的定義結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法、復(fù)數(shù)的概念可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，取z=l，則W=1，所以，z-z=O,此時，z-1不是純虛數(shù)，A錯；

對于B選項，取z=0,貝吐=—|z「成立，但z不是純虛數(shù)，B錯；

對于C選項，取4=i,z2=1,則z；+z；=O,但Z]#0且Z2WO,C錯；

對于D選項，若Z]、Z2為虛數(shù)，設(shè)4=。+歷，z2=c+di(a,b,c,deR),

則Z1=a-bi,z2=c-di,

所以，Ze+ZR2=(a+Z?i)(c—M)+(a—bi)(c+di)=(ac+Z?d)+(bc—6zZ)i+(ac+Z?d)+(6z/—Z?c)i

=2(ac+bd]GR,D對.

故選：D.

7.已知圓錐的頂點為S,。為底面圓心，母線&4與S3互相垂直，△S45的面積為8,與圓錐底面所

成的角為30，則()

A.圓錐的高為1

B.圓錐的體積為24兀

c.圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為哀況

3

D.二面角S—AB—O的大小為45

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角形的面積公式求出圓錐SO的母線長，結(jié)合線面角的定義可判斷A選項；利用圓錐的體

積公式可判斷B選項；利用扇形的弧長公式可判斷C選項；利用二面角的定義可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，因為SO與底面垂直，為底面圓的一條半徑，則SOLQ4,

所以，叢與圓錐底面所成的角為NS4O=30，

又因為&4，S5,所以，△必呂的面積為工;!又以2=8,解得$4=4,

22

所以，該圓錐的高為SO=S4-sin30=4x-=2,A錯；

2

對于B選項，該圓錐的底面半徑為。4=SA,cos30=4xX3=2g，

2

故該圓錐的體積為V=§兀xOA2xSO=§7i><（2j^）義2=8兀，B錯；

對于C選項，設(shè)該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為。，

底面圓周長為2兀xAO=4也兀，則，=生包=生國=后，C錯；

SA4

對于D選項，取A3的中點E,連接。E、SE,

因為SA=SB,E為A3的中點，則SELAB,由垂徑定理可得0ELA5,

所以，二面角S—AB—O的平面角為NSEO,

因為50,平面。4E,OEu平面AOE,則SOLOE,

因為&4,SB,SA=SB,則△S4B為等腰直角三角形,

則AB=4Si+Sfi2=%+42=40,所以，SE=-AB=2y/2,

2

所以，sinZSEO=—=^r=—,

SE2V22

因為0<ZSEO<90，故NSEO=45，所以,二面角S—AB—O的大小為45，D對.

故選：D.

8.如圖，設(shè)《、工分別是橢圓左、右焦點，點P是以4月為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交

點，延長尸鳥與橢圓交于點Q,若|尸周=4四周，則直線產(chǎn)區(qū)的斜率為（）

C.-2D.-3

2

【答案】C

【解析】

【分析】由點P為圓與橢圓的焦點，可得尸耳，「巴，|P照+|P區(qū)|=2a,結(jié)合條件，應(yīng)用勾股定理即可得.

【詳解】

連接「耳、QF[,由尸在以4耳為直徑的圓上，故

P、。在橢圓上,故有耳|+|「閭=2匹|Q耳|+|Q&|=2a,

設(shè)|Q閶=7%,則歸國=4|。閭=4利,

則有|PQ|=2。一4m+加=2a—3m，閨0=2a-m,

即可得（4mJ+（2a-3n?）-=（2<7-m）2,解得a=3m,

PF.\

故閭=2。-4m=2/〃，則tanNP8片=e詈=2,

極kpF,=tan（7i-ZPK7*；）=-tanZP/s^i=_2.

故選：C.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級中隨機抽取了100名學(xué)生的成績，整理得到如

圖所示的頻率分布直方圖.為進一步分析高分學(xué)生的成績分布情況，計算得到這100名學(xué)生中，成績位于

[80,90）內(nèi)的學(xué)生成績方差為12,成績位于[90,100）內(nèi)的同學(xué)成績方差為10.則（）

參考公式：樣本劃分為2層，各層的容量、平均數(shù)和方差分別為：m、x>s；；〃、7、s；.記樣本平均數(shù)

22

為石，樣本方差為$2,?=-^p+(x-?)l+—^k+(y-?)

A.a=0.004

B.估計該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為77.14

C.估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的平均數(shù)為87.50

D.估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為30.25

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為1,列等式求出實數(shù)。的值，可判斷A選項；利

用中位數(shù)的定義可判斷B選項；利用總體平均數(shù)公式可判斷C選項；利用方差公式可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為1,

則(2a+3a+7a+6a+2。)義10=200a=1,解得a=0.005，A錯;

對于B選項，前兩個矩形的面積之和為（2?+3a）x10=50a=0.25<0.5,

前三個矩形的面積之和為（2a+3a+7a）x10=120a=0.6>0.5,

設(shè)計該年級學(xué)生成績的中位數(shù)為加，則me（70,80）,

根據(jù)中位數(shù)的定義可得025+（70）x0.035=0.5,解得相a77.14,

所以，估計該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為77.14,B對；

對于C選項，估計成績在80分以上的同學(xué)的成績的平均數(shù)為

6ax85+二“義95=87.5分,C對；

6a+2a6a+2a

對于D選項，估計該年級成績在80分及以上學(xué)生成績的方差為

:[12+（87.5—85）2]+；[10+（87.5—95）2]=30.25,口對.

故選：BCD.

一當(dāng)，則()

已知函數(shù)/(%)=cos2x.cos12X+￡

10.

A.曲線y=/(x)的對稱軸為工=也一四，左eZ

6

B./(%)在區(qū)間［上單調(diào)遞增

C.7(尤)的最大值為g

D.“X)在區(qū)間［0,2可上的所有零點之和為配

【答案】BC

【解析】

【分析】由題意利用三角恒等變換整理可得：/(x)=1cosl4x+-^j,結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)逐項分析判斷.

【詳解】由題意可得：/(x)=cos2x-cos+-^j_

V32_1._06G41.01(4J

=——cos2x——sin2%cos2x----=——cos4x——sin2x=—cos4x+—

224442(6

jrKTTTT

對于選項A：令4尤+—=E，4wZ,解得x=------,keZ,

6424

所以曲線y=/(x)的對稱軸為x=f—故A錯誤；

,471

對于選項B：因為xe貝14x+-e

//JTjTT.］/jrJT?

且丁=以光兀在石，3內(nèi)單調(diào)遞增，所以/(x)在區(qū)間匕,§上單調(diào)遞增，故B正確；

當(dāng)4x+6=2仇丘Z,即》=5—(次eZ時，/(%)取到最大值為?故C正確;

對于選項C：

-TTJTKTTTT

對于選項D：令4x+k=E+g,左eZ,解得x=1+五次eZ,可知/(%)的零點為

kit7C

x----1-----,%￡Z,

412

則/(%)在區(qū)間［0,2可上零點為2，］，…，野，共8個，結(jié)合A可知，這些零點均關(guān)于直線

23兀

2323

所以〃龍)在區(qū)間［0,2可上的所有零點之和為4x2義五兀=§兀，故D錯誤；

故選：BC.

11.如圖，Q4是連接河岸A3與OC的一座古橋，因保護古跡與發(fā)展的需要，現(xiàn)規(guī)劃建一座新橋BC,同

時設(shè)立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求：

①新橋與河岸AB垂直；

②保護區(qū)的邊界為一個圓，該圓與相切，且圓心/在線段。4上；

③古橋兩端。和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m.

4

經(jīng)測量，點AC分別位于點。正北方向60m、正東方向170m處，tan/BC。=§.根據(jù)圖中所給的平面

直角坐標(biāo)系，下列結(jié)論中，正確的是()

A.新橋的長為150m

B.圓心M可以在點A處

C.圓心M到點。的距離至多為35m

D.當(dāng)長為20m時，圓形保護區(qū)的面積最大

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的方程，聯(lián)立求出點B的坐標(biāo)判斷A；設(shè)由題意列

r-Z>80|3?-680|

出不等式組再結(jié)合r=J----------L代換求得方的范圍，判斷BCD.

r-(60-0>805

【詳解】如圖,以O(shè)C,OA為無,V軸建立直角坐標(biāo)系，則C(170,0),A(0,60),

44

依題意，直線的斜率&C=-Q，直線方程為：y=——(x—170),

33

,133

直線A3的斜率=一二則直線A3方程為y=7x+60,

BC4

4

y=--(x-170)

x=80

解得《,即3(80,120),\BC\=7(80-170)2+1202=150.A正確;

3”b=120

y=—x+60

-4

設(shè)。W=f,即M(0j)(0W/W60),直線BC的一般方程為4x+3y—680=0,

|3Z-680|Ir-?>803

圓M的半徑為r=J----------L顯然由0</<60,得r=136—

5r-(60-?)>805

3

136--r-r>80

5

則,解得10<f<35,即31長的范圍是10<|3/歸35B錯誤，C正確;

3

136--r-(60-/)>80

當(dāng)，=10,即31長為10m時，圓M的半徑「最大，圓形保護區(qū)的面積最大，D錯誤.

故選：AC

【點睛】關(guān)鍵點點睛：某些實際應(yīng)用問題，由題意建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解是解題的關(guān)鍵.

第II卷非選擇題

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.第13、14題第一空2分，第二空3分.

12.在一組樣本數(shù)據(jù)（%1,yi）,（X2,丁2）,…，（%n,yn）（H>2,Xl,X2,Xn不全相等）的散點圖中，若

所有樣本點（x“V）（/=1,2,?）都在直線y=；x+l上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為

【答案】1

【解析】

【詳解】試題分析：由已知，這組樣本數(shù)據(jù)的樣本完全正相關(guān)，故其相關(guān)系數(shù)為1.

考點：變量的相關(guān)性.

13.已知C:_A5c外接圓的半徑為1,圓心為點。，且滿足4OC=—204—303，則cosNAQB=

--------------，AB?OA=-------------

13

【答案】①.-##0.25②.--##-0.75

44

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運算律及數(shù)量積的定義求出夾角余弦、數(shù)量積.

【詳解】由40c=-2。4—3。月兩邊平方得：16OC2=4OA2+9QB2+12OA-OB，

依題意，16=4+9+12cosNAO6,所以cos/AOB=L；

4

.--23

ABOA=(OB-OA)OA=OBOA-OA=cosZAOB-1=.

13

故答案為：一；—

44

14.如圖，在正方體ABC?！狝4GR中，E是棱CG的中點，記平面與平面A3CD的交線為

平面與平面45與4的交線為如若直線A5分別與44所成的角為以力，則tana=

,41

【答案】①.1##0.5②.-##1-

233

【解析】

【分析】利用平面基本事實作出直線4，進而求出tan(z；利用面面平行的性質(zhì)結(jié)合等角定理，再利用和角

的正切計算即得.

【詳解】在正方體ABC。—A4G2中，E是棱CQ的中點，

延長與。C延長線交于點尸，連接A尸，則直線■即為直線c=NBAF,

由CE//D),得CF=r)C,又AB//CD,于是tana=tanNAFD=g,

由平面CDD[C\〃平面AB51A,平面ADXEn平面ABB^=l2,平面AD{En平面CDD?=D1E,

則RE/〃2,又CQ\//AB,因此/?=NG2石，tan〃=；,

_1_?—1

--/C、tan+tan/?o74

所以tan(a+0=丁二一苫=上產(chǎn)？=?

1—tanatanf311〉13

~22

【點睛】關(guān)鍵點睛：利用平面的基本事實作出直線A戶是求出角a的關(guān)鍵.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知數(shù)列｛4｝和｛么｝,其中a=2冊，“cN*，數(shù)歹！H4+2J的前〃項和為S”.

(1)若4=2〃，求S”；

(2)若｛2｝是各項為正的等比數(shù)列，Sn=3n,求數(shù)列｛4｝和｛2｝的通項公式.

4

【答案】⑴S?=n2+?+-(4B-l)

(2)%=1，b,=2

【解析】

【分析】(1)先判定數(shù)列｛4｝和仍“｝分別為等差和等比數(shù)列，進而分別得到其通項公式，從而利用分組求

和的方法得到數(shù)列｛4+包｝的前〃項和Sn.

(2)利用數(shù)列｛4+a｝的前幾項和Sn=3〃列出方程組，解之即可求得外、d、仄、q,進而求得數(shù)列｛4｝

和｛2｝的通項公式.

【小問1詳解】

解：當(dāng)時，4—a-1=2“-2("-1)=2,從而｛4｝是等差數(shù)列，an=2n,

b20"

[*=2K=4,所以仍“｝是等比數(shù)列，

2-12"

又4=2%=22=4,則bn=4x4"T=4",

所以S=?(2+2/i)+4x(1-4")=++4_

“21-43

【小問2詳解】

解：｛〃｝是各項為正的等比數(shù)列，設(shè)其首項為偽，公比為心

由bn=2"",可得an=log2bn,則an+l-an=log2么礴-log?bn=log2q,(定值)

則數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，設(shè)其首項為生,公差為d,

由數(shù)列｛。“+bn｝的前n項和S.=3n,

a1+b1—3

A+d+麗=3d+bq一如=0

可得方程組《「：2c,整理得x

32

%+2d+t\q=3d+b{q-b1q-0

q+3"如3-3

解得：44(4一1)2=。，4。0,鄉(xiāng)。0,「.9=1且4=。,

由%+2%=3,可得。1=1,則4=2,

則數(shù)列｛%｝的通項公式為an=l；數(shù)列｛2｝的通項公式為bn=2.

【點睛】本題考查數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；會根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的

通項公式，是難題.

16.已知函數(shù)/(%)=依----(Q+l)hix(a￡R).

x

(1)當(dāng)a=—l時，求曲線y=/(x)在點(e,〃e))處的切線方程；

(2)若/(尤)既存在極大值，又存在極小值，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴y=(^--1)%--；

(2)(0,l)O(l,+a)).

【解析】

【分析】(1)把。=-1代入，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.

(2)求出函數(shù)/(力的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，求出a的范圍.

【小問1詳解】

當(dāng)。=一1時，函數(shù)/(x)=—X—L求導(dǎo)得了'(x)=3—l,貝ur(e)=1—1,而/(e)=—e-L

x%ee

所以曲線y=/(元)在點(e,7(e))處的切線方程為y-(-e--)=(4-DO-e),即y=([—l)x—2.

eeee

【小問2詳解】

函數(shù)/(無)=",+1)Inx的定義域為(0,+<?),

X

-P*日/曰rt/\1a+1—(l+l)%+l(6ZX—1)(%—1)

求導(dǎo)倚/(x)=a+—-------=-----------2--------=---------2-------

XXXX

當(dāng)〃<0時，ax-1<0,由/'(%)>。，得由/'(%)<。，得］>1,

則函數(shù)在(0,1)上遞增，在(L+8)上遞減，函數(shù)/(九)只有極大值/(D,不合題意;

當(dāng)a>0時，由/'(%)=。，得x=l或冗二’,

a

①若0<工<1,即Q>1,由/'(x)>。，得0<%<L或%>1,由/'(x)<。，得

aaa

則函數(shù)f(x)在(02),(1,+00)上遞增，在(工,1)上遞減，

aa

因此函數(shù)的極大值為了(工)，極小值為/(I),符合題意；

a

②若L>1,即0<a<l,由/''(x)>0,得0<X<l或x〉L,由/'(尤)<0,得1<X<,，

aaa

則函數(shù)/(%)在(0,1),(-,+8)上遞增，在(1,工)上遞減，

aa

因此函數(shù)的極大值為/(I),極小值為/(工)，符合題意；

a

③若，=1,即。=1,由/'(%)2。在(0,+8)上恒成立，得了⑺在(0,+8)上遞增,

函數(shù)/(幻無極值，不合題意,

所以。的取值范圍為(0,1)0(1,+<*).

17.如圖，三棱臺A3C-4與￡中，側(cè)面四邊形ACGA為等腰梯形，底面三角形ABC為正三角形，且

AC=2AG=2.設(shè)。為棱4。上的點.

B、

(1)若。為AG中點，求證：AC1BD；

7

(2)若三棱臺ABC-4月q的體積為一，且側(cè)面ACC1A，底面ABC,試探究是否存在點。，使直線

8

3。與平面BCG耳所成角的正弦值為邊5?若存在，確定點。的位置；若不存在，說明理由.

10

【答案】(1)證明見解析；

(2)存在，。與4重合，理由見解析.

【解析】

【分析】(1)取AC中點利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.

(2)以M為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法求解即得.

【小問1詳解】

取AC中點連結(jié)DM、BM，則

由DM3M平面得AC,平面皮W，又5Du平面5QM，

所以AC13D.

【小問2詳解】

取AG中點N,連結(jié)MN,由(1)得NWB為二面角平面A-AC-8的平面角,

由平面ACGA，平面ABC得：NNMfi=90°，即

以M為原點，直線"A,MB,MN分別為工％z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由聯(lián)制+也+亭，人，得人邛，

設(shè)該棱臺的高為〃,

則A（1,O,O）,5（0,君,0）,。（-1,0,0）,q-g,0,與）,CB=（1,也,0）,西=（；,0,與）

設(shè)平面3月GC的法向量為〃=（x,y,z）,

CB-n=x+6y=0

取x=G,得“=（g,-1,-1），

則“一1，百_n

CO.F=—XH---Z—\J

122

!<?<1），則5D=?,_G,

設(shè)。=90,

于是〈加，加;用V15111

=—,解得。=5或/=—不（舍去）,

所以存在點。滿足條件，此時。與A1重合.

18.已知點M（%,九）為雙曲線—y2=1上的動點.

（1）判斷直線號-%y=i與雙曲線的公共點個數(shù)，并說明理由；

（2）（i）如果把（1）的結(jié)論推廣到一般雙曲線，你能得到什么相應(yīng)的結(jié)論？請寫出你的結(jié)論，不必證

明；

2222

（ii）將雙曲線C:+y-3v=1（。>0,6>0）的兩條漸近線稱為“退化的雙曲線”，其方程為Yj-V4=0,請利

abab

用該方程證明如下命題：若7（九〃）為雙曲線C上一點，直線/：胃-?=1與。的兩條漸近線分別交于

ab

點P、Q,則T為線段尸。的中點.

【答案】（1）1個，理由見解析；

22

（2）（i）過雙曲線2=1（。>0,6>0）上一點（不，%）的切線方程為學(xué)—學(xué)=1；⑸）證明見解析?

【解析】

【分析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，借助判別式求解即得.

（2）（i）寫出結(jié)論；（ii）分"=O,〃WO討論，直線與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理求解即得.

小問1詳解】

22

由點〃（飛，方）在雙曲線］一丁2=1上，得申—資=1，即X；=蓑-1

j=l22

由2消去y得：（甚―（1+

y：）=0，

手—124

、乙

2

則x-2xox+XQ=0,顯然△=4尤;-4x；=0,

所以該直線與雙曲線有且只有1個公共點.

【小問2詳解】

2

（i）由（1）知，直線2匹一為y=i與雙曲線上—V=1相切于點（九0,%），

22'

所以過雙曲線—7,—工~=1（。>0,Z?>0）上一■點（%,為）白，J切線方程為￥-誓=1.證明如下:

abab

22

顯然咚T=l,即戶焉一片火二片廿，

ab

$二］

12

J4bb22b2_2

由《D0消去y得：——x-x^x+b+y：=。，

1ylaa

b-F=1

汕=0,

于是A=^_#（/+/）=4/（4」一：2>一

aaa

因此直線—=1與雙曲線—z-—=l（a>0,Z?>0）相切于點（工,陽），

abab

所以過雙曲線］—［=1（。>04>0）上一點（%,%）白,J切線方程為岑-浮=1.

abab

（ii）當(dāng)〃=0時，直線/的斜率不存在，由對稱性知,點了為線段尸。的中點；

當(dāng)〃