2022年中考壓軸題：瓜豆原理

2022?中考A林身：人呈原理（教嚀版）

教學(xué)內(nèi)容

!/、用禹蠲它多反近孩預(yù)邇；

；人筒度期定動(dòng)反立寂孜或；,

II

，3、圜機(jī)遂.1

\I

教學(xué)過程

考點(diǎn)一:距離確定動(dòng)點(diǎn)直線軌跡

例1.如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E為AB的中點(diǎn)，歹為EC上一動(dòng)點(diǎn)，尸為。尸中點(diǎn)，連接尸3,則

PB的最小值是_2后

訓(xùn)練1-1.（2019秋?寶安區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0,2）,點(diǎn)尸是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，將

線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段AQ,當(dāng)點(diǎn)尸從當(dāng)（-3,0）運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（1,0）時(shí)，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的路

徑長為4.

訓(xùn)練1-2.如圖，等腰直角AABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,M為AB中點(diǎn)，D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連

接A。，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AE,連接或入ME,則點(diǎn)。在運(yùn)動(dòng)過程中ME的最小值

為2.

考點(diǎn)二：角度確定動(dòng)點(diǎn)直線軌跡

例1.如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC=2,。為AC中點(diǎn)，若點(diǎn)。

回

在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接OE,則在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)過程中，則OE的最小值是為—.

一2一

訓(xùn)練1-1.（2019年寶安區(qū)二模）如圖，正方形ABC。中，BC=6,點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為邊C。上一動(dòng)點(diǎn),

連接AP,過點(diǎn)P作AP的垂線交BC于點(diǎn)M,N為線段A尸上一點(diǎn)，且PN=PM,連接MN,取MN的中點(diǎn)”,

372

連接則EH的最小值是—

~2~

訓(xùn)練1-2.（2020?寶安區(qū)二模）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△鈿（?的邊BC在x軸上，A（0,3）,B

（-?,0）,點(diǎn)0）為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AM,將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AN.

（1）當(dāng)M點(diǎn)在3點(diǎn)的左方時(shí)，連接CN,求證：4BAM/4CAN；

（2）如圖3,是否存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)N恰好在拋物線y=-2，+4fx+3上，如果存在，請求出山的值，如果

不存在，請說明理由.

【解答】解：（1）證明：:△ABC是等邊三角形，.?./BAC=60°,AB=AC,

?.?將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AN,：.AM^AN,ZMAN=60°=ZBAC,

即/CAN+/BA^=NM4B+/BAN,：.ZCAN=ZMAB,：.^BAM^/\CAN(SAS)；

(2)如圖2,過點(diǎn)C作CE〃AB交y軸于點(diǎn)E,由(1),(2)可知點(diǎn)N,在直線CE上，CE與拋物線交于

點(diǎn)Ni，N2,

：.ZABC=ZOCE=60°,0C=0B=M，：,0E=3,：.E（0,-3）,

設(shè)直線CE的解析式為y=fcc+6,...八用k+b=°,解得：1kS,

lb=-3lb=-3

fy=-2x2+4^3x+3

直線CE的解析式為y=Mx-3,

IyWsx_3

x=里

百

%i=22,:.Ni（2如,3）,Nr（-返，-9）,

解得：

922

若AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AM時(shí)，M(m,0),...AAf=AM=2五,

-：AB=2y/3,AM〃x軸，.?.點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，即相=加,

若AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AM時(shí)，MCm,0）,

VC（V3,0）,."'2='（?+|率）2+（0得）2=3愿，

由（1）可知BM2=CN2=3?,OM2=OB+BM2=V3+3V3=4/3-

.\m=-4^3.

綜合以上可得，小或-傘/§.

考點(diǎn)三：圓軌跡

例1.如圖，拋物線y=4與無軸交于A,B兩點(diǎn),尸是以點(diǎn)C(0,3)為圓心，2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn),

4

。是線段融的中點(diǎn)，連結(jié)則線段的最大值是3.5.

訓(xùn)練1-1.如圖，點(diǎn)尸(3,4),半徑為2,A(2.8,0),B(5.6,0),點(diǎn)M是。尸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是

MB的中點(diǎn)，則AC的最小值是1.5.

訓(xùn)練1-2.正△ABC的邊長為4,的半徑為2,。是。A上動(dòng)點(diǎn)，石為CO中點(diǎn)，則BE的最大值為_26+1

訓(xùn)練1-3.(2020?福田區(qū)校級月考)如圖，正方形ABC。中，AB=2%。是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)

一動(dòng)點(diǎn)，OE=2,連接OE,將線段QE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得。R連接AE、CF.則線段OF長的最小值

為_5后-2_.

挑戰(zhàn)過關(guān)

一.選擇題（共2小題）

1.（2021春?羅湖區(qū)校級期末）如圖，在Rt/VIOB中，ZABO=90°,ZAOB=30°,AB=\,扇形AOC的

圓心角為60°,點(diǎn)。為同上一動(dòng)點(diǎn),P為BD的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)。從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C,則點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)路徑長為（C）

2.如圖，正方形ABCO的邊長為5,E為BC上一點(diǎn)，且BE=2,尸為4B邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF,以EF

為邊向右側(cè)作等邊△斯G,連接CG,則CG的最小值為（D）

BE

B.2.5D.3.5

二.填空題（共3小題）

3.（2021?羅湖區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0,2）,點(diǎn)尸是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以線段

AP為一邊,在其一側(cè)作等邊三角形AP。，當(dāng)點(diǎn)尸從點(diǎn)（-2,0）運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（2,0）時(shí)，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的路徑長為

(0,2)

(20)

4.已知邊長為6的等邊△ABC中，E是高AD所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接ZE,將線段BE繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)60。得到連接DR則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)線段。廠長度的最小值時(shí)，的長度為—.

~2~

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(-3,0),點(diǎn)B是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊在AB的下方作等邊

3

△ABP,點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接OP,0P的最小值為_萬_.

三.解答題(共1小題)

6.若AC=4,以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)P為該圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP.

(1)如圖1,取點(diǎn)B,使△ABC為等腰直角三角形，/BAC=90°,將點(diǎn)尸繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AP.

①點(diǎn)P'的軌跡是—(填“線段”或者“圓”)；

②CP'的最小值是一；

(2)如圖2,以A尸為邊作等邊△APQ(點(diǎn)A、P、。按照順時(shí)針方向排列)，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，求CQ的

最大值.

(3)如圖3,將點(diǎn)A繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到點(diǎn)連接則CM的最小值為.

圖1圖2圖3

【解答】解：(1)①連接CP、BP',如圖1所示：

「△ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,J.AC^AB,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AP^AP,NB4P=90°,

‘AP'=AP

：.ZFAC=ZP'AB,在△A3P'和△ACP中，,/P,AB=ZPAC-AAABP'^AACP(SAS),

AB=AC

：.BP'=CP=2,即點(diǎn)P到點(diǎn)8的距離等于定長，，點(diǎn)P，的軌跡是以B為圓心，2為半徑的圓；

故答案為：圓；

②?.?△ABC是等腰直角三角形，AC=4,.-.BC=V2AC=4V2>

當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，CP最小=BC-BP=4冊-2；故答案為：4々歷-2；

(2)以AC為邊長作等邊△ACD,連接。0、CP,如圖2所示：

,.?△APQ和△ACD是等邊三角形，：.AP=AQ,AC=AD=C