專題11 矩形的存在性問題（原卷版）

專題11矩形的存在性問題一、知識(shí)導(dǎo)航矩形的判定：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形；（2）對(duì)角線相等的平行四邊形；（3）有三個(gè)角為直角的四邊形．【題型分析】矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對(duì)角線相等”或“內(nèi)角為直角”，因此相比起平行四邊形，坐標(biāo)系中的矩形滿足以下3個(gè)等式：（AC為對(duì)角線時(shí)）因此在矩形存在性問題最多可以有3個(gè)未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解．確定了有3個(gè)未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則可以有3個(gè)．題型如下：（1）2個(gè)定點(diǎn)+1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)；（2）1個(gè)定點(diǎn)+3個(gè)半動(dòng)點(diǎn)．【解析思路】思路1：先直角，再矩形在構(gòu)成矩形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點(diǎn)，可先確定其中3個(gè)點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，再確定第4個(gè)點(diǎn)．對(duì)“2定+1半動(dòng)+1全動(dòng)”尤其適用．二、典例精析引例：已知A（1，1）、B（4，2），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在平面中，且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求D點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】點(diǎn)C滿足以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，構(gòu)造“兩線一圓”可得滿足條件的點(diǎn)C有、、、在點(diǎn)C的基礎(chǔ)上，借助點(diǎn)的平移思路，可迅速得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．【小結(jié)】這種解決矩形存在性問題的方法相當(dāng)于在直角三角形存在性問題上再加一步求D點(diǎn)坐標(biāo)，也是因?yàn)檫@兩個(gè)圖形之間的密切關(guān)系方能如此．思路2：先平行，再矩形當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，A、B、C、D滿足以下3個(gè)等式，則為矩形：其中第1、2個(gè)式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形．表示出點(diǎn)坐標(biāo)后，代入點(diǎn)坐標(biāo)解方程即可．無論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對(duì)于我們列方程來解都沒什么區(qū)別，能得到的都是三元一次方程組．已知A（1，1）、B（4，2），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在坐標(biāo)系中，且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求D點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（b，c），又A（1，1）、B（4，2）．先考慮平行四邊形存在性：（1）AB為對(duì)角線時(shí)，，滿足此條件的C、D使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，另外AB=CD，得：，綜合以上可解：或．故C（3，0）、D（2，3）或C（2，0）、D（3，3）．（2）AC為對(duì)角線時(shí)，，另外AC=BD，得，綜合以上可解得：．故C、D．（3）AD為對(duì)角線時(shí)，，另外AD=BC，得，綜合以上可解得：．故C、D．【小結(jié)】這個(gè)方法是在平行四邊形基礎(chǔ)上多加一個(gè)等式而已，剩下的都是計(jì)算的故事．三、中考真題演練1．（2023·遼寧丹東·中考真題）拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(3)若點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與頂點(diǎn)重合），點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是矩形鄰邊之比為時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．2．（2023·海南·中考真題）如圖1，拋物線交x軸于A，兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)．點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在直線上方時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系是否存在點(diǎn)Q，使得以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；3．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)分別為和（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(3)如圖2，設(shè)點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)，使四邊形為矩形，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．4．（2022·遼寧丹東·中考真題）如圖1，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為D，PD交直線BC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．(1)求拋物線的表達(dá)式；(4)如圖3，連接CP，當(dāng)四邊形OCPD是矩形時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q，使原點(diǎn)O關(guān)于直線CQ的對(duì)稱點(diǎn)O′恰好落在該矩形對(duì)角線所在的直線上，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．5．（2022·貴州黔西·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)的直線AB與y軸交于點(diǎn)．經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線交直線AB于點(diǎn)A，C，拋物線的頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的表達(dá)式；(3)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．6．（2022·黑龍江綏化·中考真題）如圖，拋物線交y軸于點(diǎn)，并經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸交拋物線于點(diǎn)B，拋物線的對(duì)稱軸為直線，D點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，，.點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著射線運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為m秒，過點(diǎn)E作于F，以為對(duì)角線作正方形．(1)求拋物線的解析式；(3)在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在以B，G，C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，如果存在，直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．7．（2022·貴州黔東南·中考真題）如圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線，與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，連接．(1)求此拋物線的解析式；(3