2024年高考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題（新高考專用）圓錐曲線（4大易錯(cuò)點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）（含答案）

專題11圓錐曲線

一題型一：求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程皂、易錯(cuò)點(diǎn)：求軌跡方程時(shí)忽略變量的取值范圍

一一題型二：離心率的求算一、易錯(cuò)點(diǎn)：忽略了給定條件對e范圍的限定

圓錐曲線一

-.題型三:求最值問題一、易一點(diǎn)：易忽略判別式自身參數(shù)范圍

四：有關(guān)直線與圓錐舄.占.育“TB日,寸占a

WTg—qi—曰h-<易錯(cuò)點(diǎn)：意義/卜明導(dǎo)致XE點(diǎn)3」題錯(cuò)誤

曲線的與XE值可題-------------------------------------

易錯(cuò)點(diǎn)一：求軌跡方程時(shí)忽略變量的取值范圍（求動(dòng)點(diǎn)軌跡

方程）

求軌跡方程共有四大類，具體方法如下:

第一類：直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

利用直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的步驟如下：

第一步：建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系

第二步：設(shè)點(diǎn)：設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)尸（x,y）

第三步：列式：列出有限制關(guān)系的幾何等式

第四步：代換：將軌跡所滿足的條件用含x,y的代數(shù)式表示，如選用距離和斜率公

式等將其轉(zhuǎn)化為的方程式化簡

注：若求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，則不但要求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線.

第二類：定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問題，我們常常需要把動(dòng)點(diǎn)尸和滿足焦點(diǎn)標(biāo)志

的定點(diǎn)連起來判斷.熟記焦點(diǎn)的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為尸的點(diǎn);

（3）圓心；（4）題目提到的定點(diǎn)等等.當(dāng)看到以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線的定義，

把曲線和滿足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來結(jié)合曲線定義求解軌跡方程.

第三類：相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

如果動(dòng)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該

點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出尸（尤,y）,用（羽y）表示出相關(guān)點(diǎn)尸，的坐標(biāo),

然后把尸，的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程.

第四類：交軌法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，存在一種求解兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這類問題常?？?/p>

以先解方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)

常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通常選變角、變斜率等為參數(shù).

易錯(cuò)提醒：求軌跡方程時(shí)，要注意準(zhǔn)確確定范圍，應(yīng)充分挖掘題目中的隱含條件、限制

條件，求出方程后要考慮相應(yīng)的限制條件，避免因考慮不全面致錯(cuò).

例.已知R是圓M：1+6『+丁=8上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N（班,0）,直線NR與圓M的另一

個(gè)交點(diǎn)為S,點(diǎn)乙在直線MR上，MS//NL,動(dòng)點(diǎn)L的軌跡為曲線C.

求曲線C的方程；

變式1.在平面直角坐標(biāo)系中無⑦中，動(dòng)點(diǎn)E到定點(diǎn)廠（1,0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大

1,E的軌跡為C.求曲線C的方程；

變式2.已知y軸右側(cè)一動(dòng)圓。與圓P：（x-1），丁=1相外切，與y軸相切.

求動(dòng)圓圓心。的軌跡M的方程；

變式3.已知點(diǎn)0（0,0）,點(diǎn)尸（0,1）,點(diǎn)”是*軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在＞軸上，直線肱V與

直線M尸垂直，N關(guān)于M的對稱點(diǎn)為P.

求P的軌跡「的方程；

1.已知圓G：（x+Kr+y2=l,圓C2：（x-石y+y2=25,動(dòng)圓C與圓G和圓C2均相

切，且一個(gè)內(nèi)切、一個(gè)外切.

求動(dòng)圓圓心C的軌跡E的方程.

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)”到點(diǎn)N（o,2）的距離等于點(diǎn)M到直線y=0的距離,

記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為「.

⑴求「的方程；

3.設(shè)拋物線「的方程為V=2px,其中常數(shù)p>0,尸是拋物線r的焦點(diǎn).

(1)若直線x=3被拋物線r所截得的弦長為6,求P的值；

IPAI

(2)設(shè)A是點(diǎn)F關(guān)于頂點(diǎn)。的對稱點(diǎn)，尸是拋物線「上的動(dòng)點(diǎn)，求焉的最大值；

(3)設(shè)p=2,4、4是兩條互相垂直，且均經(jīng)過點(diǎn)F的直線，乙與拋物線r交于點(diǎn)A3,4與

拋物線「交于點(diǎn)c,￡>,若點(diǎn)G滿足4尸G=E4+EB+尸C+尸。，求點(diǎn)G的軌跡方程.

4.已知平面上動(dòng)點(diǎn)E到點(diǎn)A(LO)與到圓8:V+/+2X-15=0的圓心B的距離之和等于

該圓的半徑.記E的軌跡為曲線「

說明r是什么曲線，并求r的方程；

5.已知尸為圓〃：(x+0y+y2=i6上任一點(diǎn)，N(0,o),MQ=AMP,Ae(0,l),

且滿足(QP+QN).PN=。.

求動(dòng)點(diǎn)。的軌跡r的方程；

6.已知點(diǎn)A為圓。:爐+y2-2加：一6=0上任意一點(diǎn)，點(diǎn)8的坐標(biāo)為卜，石,0),線段

AB的垂直平分線與直線AC交于點(diǎn)D.

求點(diǎn)。的軌跡E的方程；

11

7.已知圓C:(x-iy9+V=w，一動(dòng)圓與直線尤=-鼻相切且與圓C外切.

(1)求動(dòng)圓圓心P的軌跡T的方程；

⑵若經(jīng)過定點(diǎn)Q(6,0)的直線/與曲線T相交于兩點(diǎn)，M是線段A3的中點(diǎn)，過M作

x軸的平行線與曲線T相交于點(diǎn)N,試問是否存在直線/,使得N4LNB,若存在，求

出直線/的方程；若不存在，說明理由.

8.圓（x+"）2+y2=i6,圓心為A,點(diǎn)B（后0）,作圓上任意一點(diǎn)〃與8點(diǎn)連線的中

垂線，交AM于N.

求N的軌跡C的方程；

9.已知4卜0,0）,B（V2,0）,對于平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)尸（％月卜*±應(yīng)），IWx軸于點(diǎn)

M,>|PM|2=\AM\\BM\.

求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

10.在平面直角坐標(biāo)系xOv中，已知點(diǎn)耳（-6,0）、工（6,0）,△〃大工的內(nèi)切圓與直線￡鳥

相切于點(diǎn)。（4,0）,記點(diǎn)M的軌跡為C.

求C的方程；

易錯(cuò)點(diǎn)二：忽略了給定條件對e范圍的限定（離心率的求算）

求離心率范圍的方法

建立不等式法：

技巧1：建立關(guān)于〃和c的一次或二次方程與不等式.

技巧2：利用線段長度的大小建立不等關(guān)系.用,工為橢圓二+/=1（°>10）的

左、右焦點(diǎn)，p為橢圓上的任意一點(diǎn)，\PF,\&[a-c,a+c\;居，月為雙曲線

5_}=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，「為雙曲線上的任一點(diǎn)，|P￡|Nc-a.

crb2

技巧3：利用角度長度的大小建立不等關(guān)系.用工為橢圓鳥+4=1的左、右焦

aZ?2

點(diǎn)，p為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若/耳尸8=6,則橢圓離心率e的取值范圍為sin^Wevl.

技巧4：利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系.

技巧5：涉及77〉夕工的關(guān)系式利用基本不等式，建立不等關(guān)系.

易錯(cuò)提醒：圓錐曲線的率的范圍是有限定的，橢圓的離心率范圍是ee（O,l）,而雙曲線

的離心率范圍是ee（l,+8）,在求范圍的時(shí)候要時(shí)刻注意.

三9

22

例.已知雙曲線C：點(diǎn)-a=1（。>0,6>0）的右焦點(diǎn)為尸，關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)A、B

分別在雙曲線的左、右兩支上，AFFB^O,3BF=FC.且點(diǎn)C在雙曲線上，則雙曲

線的離心率為（）

Ay/10r?26

A.-------B?-------C.——-------

3223

22

變式1.已知耳、鳥分別是雙曲線C:=-2=m>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，尸為雙曲線右

ab

支上一點(diǎn)，若/耳至=60。，SF熙=6吟則雙曲線的離心率為（）

A.B.C.D.2

22

22

變式2.已知雙曲線E:馬-土=l（a>0）的上焦點(diǎn)為分，點(diǎn)尸在雙曲線的下支上，若

a8

A（4,0）,且戶周+1%|的最小值為7,則雙曲線E的離心率為（）

A.2或叵^B.3或C.2D.3

2525

22

變式3.過雙曲線C：3-a=1（。>0,"0）的右焦點(diǎn)入作雙曲線一條漸近線的垂線，垂

足為A,且與另一條漸近線交于點(diǎn)8,若則雙曲線C的離心率是（）

A.&B.豆或"C.亞D.3g

222

22

1.已知圓G：/+y2=62e>o）與雙曲線C2：q_r=i（a>0力>0）,若在雙曲線C?上

ab

TT

存在一點(diǎn)P,使得過點(diǎn)尸所作的圓G的兩條切線，切點(diǎn)為A、B,且=則雙

曲線C2的離心率的取值范圍是（）

A.1,—B.—,+oo

12」[2J

C.D.[6+8）

?f5

2.已知雙曲線C:^-*=l（。>0,6>0）的離心率為；，且雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最

近距離為2,則雙曲線C的方程為（）

22

3.已知雙曲線C：1-馬=1（々>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳,F],P為雙曲線C

ab

的右支上一點(diǎn)，且尸耳，尸2<1-4<4,則雙曲線C的離心率的取值范圍為（

\PF2\

4.已知直線/：y=x-c過雙曲線cjf=l（a>0力>0）的右焦點(diǎn)尸（c,0）,且與雙曲

線右支交于M,N兩點(diǎn).若下N=9MF,則雙曲線C的離心率為（）

A."B.還C.72D.V3

35

5.雙曲線C:「4=l（a>0,"0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,點(diǎn)尸是其右支上一點(diǎn).若

歸￡|=3,|。尸|=巫，NRPF]三,則雙曲線C的離心率為（）

23

A.6

BD?號(hào)

2-T

22

6.已知直線>=區(qū)與雙曲線，r-與v=1（°>0/>0）交于4,8兩點(diǎn)，點(diǎn)尸是雙曲線上與43

ab

-4〃1

不同的一點(diǎn)，直線2，網(wǎng)的斜率分別為左,&,則當(dāng)6-T+可取得最小值時(shí)，該雙曲

線的離心率為（）

A.-B.顯C.6D.-

2224

22

7.如圖所示，線,工是雙曲線C*-右=1（°>0/>0）的左、右焦點(diǎn)，C的右支上存在一

點(diǎn)8滿足8耳，引"8耳與雙曲線C左支的交點(diǎn)A滿足吧=盥，則雙曲線C

sinZAF2BI4鳥I

的離心率為（）

A.J3B.2C.2.s/3D.5

22

8.已知雙曲r線=-v2=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為打，6，以打工為直徑的圓與雙

ab

2

曲線在第二象限的部分交于點(diǎn)尸，若雙曲線上的點(diǎn)。滿足片「=§與。，則雙曲線的離

心率為（）

AV37R后□岳

A?----JD.--------C.---U.---

5543

22

9.已知產(chǎn)為雙曲線C：=-七=1（。>0,。>0）的右焦點(diǎn)，平行于無軸的直線/分別交C

ab

的漸近線和右支于點(diǎn)A,B,且NQ4F=90。，NOBF=NOFB,則C的離心率為（）

A.當(dāng)B.&C.|D.V3

22

10-已知雙曲線氏十方=1（“>04。）的右焦點(diǎn)為人過點(diǎn)廠的直線'與雙曲線"的

右支交于B,C兩點(diǎn)，且|CF|=3|FB|,點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)。的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A,若4尸8尸=0,

則雙曲線E的離心率為（）

A.6B.空C.巫D.叵

332

易錯(cuò)點(diǎn)三：易忽略判別式自身參數(shù)范圍（求最值問題）

知識(shí)點(diǎn)一、直線和圓錐曲線聯(lián)立（設(shè)點(diǎn)設(shè)線聯(lián)立化解韋達(dá)判別）

22

（1）橢圓。+斗=1（4＞。＞0）與直線/:》=區(qū)+機(jī)相交于AB兩點(diǎn)，設(shè)A（%,%）,

ab

B?,%)

K￡

=a2+b1=1，(b2+k2a2)x2+2a2knvc+^m2-c^b1=0

y=kx+m

22

橢圓二+1=1（。＞0,6＞0）與過定點(diǎn)（加，0）的直線/相交于9兩點(diǎn)，設(shè)為

ab

_+2_=i

x=ty-^m,如此消去x,保留y,構(gòu)造的方程如下：<a2b1，

x=ty+m

(片+t2b2)y2+2b2tmy+Z;2m2-a2b2=0

(2)拋物線丁=2px(p>0)與直線%=)+相相交于A、5兩點(diǎn)，設(shè)A(M，乂)，

BQ2，,2)

聯(lián)立可得V=2p(Zy+加)，△>()時(shí)，2Pt

[%%=-2pm

特殊地，當(dāng)直線抽過焦點(diǎn)的時(shí)候，即mJ

2

-.2,21

2V]V/j17

y^2=-2pm=-p,無述25.右=1P-

拋物線尤2=2py(.p>0)與直線y=Ax+相相3于C、D兩點(diǎn)，設(shè)Cq,必），

D（%,%）

聯(lián)立可得爐=2以履+租），A＞0時(shí)，［%+々二224

［菁%-—2pm

知識(shí)點(diǎn)二、根的判別式和韋達(dá)定理

22

A+A=l（〃〉0〉0）與y=kx+m聯(lián)立，兩邊同時(shí)乘上a2b2即可得到

ab

(a2k2+b2)x2+2kma2x+a2(m2-b2)=0,為了方便敘述，將上式簡記為

AX2+BX+C=0.該式可以看成一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，判別式為

A=4a2b2(a2k2+〃一用?)可簡單記4a2/(A—m2).

22

同理J+與=l(a>b>0)^0x=ty+m聯(lián)立(a2+t2h2~)y2+2h2tmy+h2m2—a2h2=0,

ab

為了方便敘述，將上式簡記為A/+3y+c=o,A=4a2b2(a2+t2b2-nr)

/與C相離oA<0；/與C相切oA=0；/與C相交0A>0.

注意：

1.如果是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，只需要把/互換位置即可.

2.直線和雙曲線聯(lián)立結(jié)果類似，焦點(diǎn)在無軸的雙曲線，只要把換成即可；焦點(diǎn)在

y軸的雙曲線，把/換成-/即可，/換成/即可.

易錯(cuò)提醒：求最值問題時(shí)一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，自變量范圍一般容易忽略判別式的

前提(判別式也存在隱含自變量的范圍)

三

22

例.已知寫，工是橢圓E：3+q=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸是橢圓E上任一點(diǎn)，則耳Pg尸的

取值范圍是.

22

變式1.已知橢圓C:亍+a=1(0<6<2)的左焦點(diǎn)為F,M是C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N(o,5,

若|八0|+|3|的最大值為6,則C的離心率為.

22

變式2.已知橢圓石:三+三=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，尸2,尸為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q

為圓加:/+,2-10*-81+40=0上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則戶制十歸。的最大值為

22

變式3.設(shè)耳，尸2分別為橢圓c：=+T—=1(。>1)的左，右焦點(diǎn)，*1,1)為C內(nèi)

cia—1

一點(diǎn)，。為C上任意一點(diǎn)，若|PQ|+|Q周的最小值為3,則C的方程為.

1.已知直線/過圓（x-iy+y2=i的圓心，且與圓相交于A,8兩點(diǎn)，尸為橢圓5+三=1

上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則尸4尸5的最大值與最小值之和為

2.已知.A3C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若6+2cos8+/?cosA=6,a=2,

則面積的最大值為.

221

3.已知橢圓C:，+方=1（。>。>0）離心率為e=],尸為橢圓C的右焦點(diǎn)，A,B是

橢圓C上的兩點(diǎn)，且I網(wǎng)冏.若用J_FB,則實(shí)數(shù)％的取值范圍是.

4.已知橢圓目+：=1,4,8是橢圓上兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于尸（如0）,

則與的取值范圍是.

22

5.已知橢圓C:0+斗=l（a>b>0）的面積為口6,點(diǎn)4（加,根）（機(jī)>。）在橢圓

ab

E:「+y2=1（“>1）上，點(diǎn)A關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為B,C,D,記四邊

形ABOC的面積為S,則上~的取值范圍為

Tia

22

6.已知橢圓0：土+匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為片，工，點(diǎn)尸是。上異于左、右頂點(diǎn)的

95

一點(diǎn)，△尸6鳥外接圓的圓心為0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為.

227

7.橢圓C:*+4=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸,尸，離心率為不A為橢圓C的左

ab3

一14

頂點(diǎn)，且后.啟，=5,過原點(diǎn)的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，則函加+函0的取值范

圍為?

8.已知P為函數(shù)f（x）=J9-9尤2圖象上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),M（1,0）,N（0,2）,0為

坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形OMPN的面積最大值為.

9.過橢圓C：1+y2=l左焦點(diǎn)F的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),若線段48的垂直平

分線與X軸及y軸各有唯一公共點(diǎn)M,N「則|"F|的取值范圍是.

10.如圖，在直角坐標(biāo)系xQy中，已知橢圓C：Z+y2=l的左、右焦點(diǎn)分別為耳、區(qū),

4

點(diǎn)M、N為橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且F、M叫N,則因兇+內(nèi)閭的取值范圍

為.

易錯(cuò)點(diǎn)四：意義不明導(dǎo)致定點(diǎn)問題錯(cuò)誤(有關(guān)直線與圓錐曲

線的定點(diǎn)與定值問題)

1、求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān).

(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

常用消參方法：

①等式帶用消參：找到兩個(gè)參數(shù)之間的等式關(guān)系尸(匕加)=0,用一個(gè)參數(shù)表示另外一個(gè)

參數(shù)人=/(加)，即可帶用其他式子，消去參數(shù)入

②分式相除消參：兩個(gè)含參數(shù)的式子相除，消掉分子和分母所含參數(shù)，從而得到定值.

③因式相減消參：兩個(gè)含參數(shù)的因式相減，把兩個(gè)因式所含參數(shù)消掉.

④參數(shù)無關(guān)消參：當(dāng)與參數(shù)相關(guān)的因式為0時(shí)，此時(shí)與參數(shù)的取值沒什么關(guān)系，比如：

y-2+kg(x)=0,只要因式g(x)=0,就和參數(shù)人沒什么關(guān)系了，或者說參數(shù)后不起作

用.

2、求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：

(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目

的的一般性證明；

(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)

直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方

程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；

(3)求證直線過定點(diǎn)(%,%),常利用直線的點(diǎn)斜式方程丫-%=人(%-不)或截距式

>=履+/>來證明.

一般解題步驟：

①斜截式設(shè)直線方程：y=kx+m,此時(shí)引入了兩個(gè)參數(shù)，需要消掉一個(gè).

②找關(guān)系：找到左和機(jī)的關(guān)系：m=f(k),等式帶入消參，消掉機(jī).

③參數(shù)無關(guān)找定點(diǎn)：找到和人沒有關(guān)系的點(diǎn).

易錯(cuò)提醒：直線恒過定點(diǎn)是指無論直線如何變動(dòng)，必有一個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)適合這條直線的

方程，問題就歸結(jié)為用參數(shù)把直線的方程表示出來，無論參數(shù)如何變化這個(gè)方程必有一

組常數(shù)解.解決定點(diǎn)與定值問題，不能僅靠研究特殊情況來說明.

三

例.橢圓C:/+￡=l(a>0>0)的離心率e=；,過點(diǎn)他

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過點(diǎn)且斜率不為0的直線/與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓的左頂點(diǎn)為A,求直

線AM與直線AN的斜率之積.

變式1.已知圓E：(x+l)2+y2=16,點(diǎn)/(1,0),G是圓E上任意一點(diǎn)，線段GF的垂

直平分線和半徑GE相交于a

(1)求動(dòng)點(diǎn)//的軌跡「的方程；

⑵經(jīng)過點(diǎn)尸和7(7,0)的圓與直線/：x=4交于P,Q,已知點(diǎn)4(2,0),且”、AQ分

別與「交于加、N.試探究直線是否經(jīng)過定點(diǎn).如果有，請求出定點(diǎn)；如果沒有，請

說明理由.

變式2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點(diǎn)尸(1,0),定直線/:x=4,動(dòng)點(diǎn)尸在/上的

射影為。，且滿足1尸。1=2|尸尸I.

⑴記點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為E,求E的方程；

⑵過點(diǎn)尸作斜率不為0的直線與E交于M,N兩點(diǎn)，/與x軸的交點(diǎn)為H,記直線

和直線AW的斜率分別為4,占，求證：匕+修=。.

變式3.已知點(diǎn)A(2,0),在橢圓M:=+}=l(a>6>0)上.

⑴求橢圓〃的方程；

⑵直線/與橢圓M交于C,。兩個(gè)不同的點(diǎn)(異于AI),過C作x軸的垂線分別交直線

AB,AD于點(diǎn)P,Q,當(dāng)尸是CQ中點(diǎn)時(shí)，證明.直線/過定點(diǎn).

1.已知橢圓C：5+3=1(“>6>。)的離心率為孝，點(diǎn)(倉1)在橢圓C上.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)(4,0)的直線/與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),橢圓C上是否存在

點(diǎn)。，使得直線MQ,NQ與直線x=4分別交于點(diǎn)A,B,且點(diǎn)A,B關(guān)于x軸對稱？若存

在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2.已知橢圓C：1+/=l(a>6>0)的離心率為乎，且過點(diǎn)

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)已知過右焦點(diǎn)F的直線/與C交于AB兩點(diǎn)，在無軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)P,使

NOPA=NOPB?若存在，求出定點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

3.已知橢圓C:￡+g=l(a>b>0),其離心率為正，直線被橢圓截得的弦長為

ab22

2A/3.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑵圓f+y2=g的切線交橢圓C于A,8兩點(diǎn)，切點(diǎn)為N,求證：4V.NB是定值.

4.已知平面上動(dòng)點(diǎn)E到點(diǎn)4(1,0)與到圓8:尤2+丁+2x-15=0的圓心B的距離之和等于

該圓的半徑.記E的軌跡為曲線「

(1)說明r是什么曲線，并求r的方程；

⑵設(shè)c,r>是「上關(guān)于x軸對稱的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)”在「上，且M異于c,。兩點(diǎn)，。為原

點(diǎn)，直線CM交x軸于點(diǎn)p,直線。M交x軸于點(diǎn)Q,試問1。月川。01是否為定值?若為

定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請說明理由.

5.已知月(-c,0),鳥(G0)為橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓E上異于左、右頂點(diǎn)的任意一

點(diǎn)，AA耳工的周長為6,面積的最大值為6：

⑴求橢圓E的方程；

⑵直線時(shí)與橢圓￡的另一交點(diǎn)為8,與>軸的交點(diǎn)為若=耳，=

試問：4+4是否為定值？并說明理由.

6.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為短軸長的2倍，若橢圓C經(jīng)過

點(diǎn)尸(2,2),

(1)求橢圓C的方程；

⑵若AB是橢圓上不同于點(diǎn)尸的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線尸4尸8與x軸圍成底邊在x軸上的等腰

三角形，證明：直線A3的斜率為定值.

7.已知橢圓￡:=+口=1(°>6>0)的離心率為變，且直線y=x+匕是拋物線

ab2

C2：y=4x的一條切線.

⑴求橢圓G的方程；

(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線L交橢圓G于A2兩點(diǎn)，試問：在直角坐標(biāo)平面上是否存在

一個(gè)定點(diǎn)T,使得以43為直徑的圓恒過定點(diǎn)T?若存在，求出T的坐標(biāo)；若不存在，

請說明理由.

22

8.已知橢圓C：3+2=I(a>b>0)的焦距為2,圓/+丁=4與橢圓C恰有兩個(gè)公共

ab

點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

22

(2)已知結(jié)論：若點(diǎn)(%,%)為橢圓夕+%=1上一點(diǎn)，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為

誓+1哈=1.若橢圓C的短軸長小于4,過點(diǎn)7(8,。作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別

ab

為A,B,求證：直線A3過定點(diǎn).

9.已知橢圓C:「+a=l(a>6>0)過點(diǎn)4(-。,0),鞏0,詢兩點(diǎn)，橢圓的離心率為乎，

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，S.SOAB=1.

(1)求橢圓C的方程；

⑵設(shè)尸為橢圓C上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，直線以與y軸交于點(diǎn)直線PB與X軸交于

點(diǎn)N,求證：四邊形ABMW的面積為定值.

222

10.已知橢圓G：1r+y2=i(a>i)與橢圓C?七+左=1(0<6<2⑹的離心率相同，且

橢圓C2的焦距是橢圓G的焦距的后倍.

⑴求實(shí)數(shù)”和6的值；

(2)若梯形ABCD的頂點(diǎn)都在橢圓G上，AB//CD,CD=2AB,直線BC與直線AD相交

于點(diǎn)尸.且點(diǎn)尸在橢圓C?上，證明直線C。恒過定點(diǎn).

專題11圓錐曲線

一題型一：求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程皂、易錯(cuò)點(diǎn)：求軌跡方程時(shí)忽略變量的取值范圍

一一題型二：離心率的求算一、易錯(cuò)點(diǎn)：忽略了給定條件對e范圍的限定

圓錐曲線一

-.題型三:求最值問題一、易一點(diǎn)：易忽略判別式自身參數(shù)范圍

四：有關(guān)直線與圓錐舄.占.育“TB日,寸占a

WTg—qi—曰h-<易錯(cuò)點(diǎn)：意義/卜明導(dǎo)致XE點(diǎn)3」題錯(cuò)誤

曲線的與XE值可題-------------------------------------

易錯(cuò)點(diǎn)一：求軌跡方程時(shí)忽略變量的取值范圍（求動(dòng)點(diǎn)軌跡

方程）

求軌跡方程共有四大類，具體方法如下:

第一類：直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

利用直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的步驟如下：

第一步：建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系

第二步：設(shè)點(diǎn)：設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)尸（x,y）

第三步：列式：列出有限制關(guān)系的幾何等式

第四步：代換：將軌跡所滿足的條件用含x,y的代數(shù)式表示，如選用距離和斜率公

式等將其轉(zhuǎn)化為的方程式化簡

注：若求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，則不但要求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線.

第二類：定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問題，我們常常需要把動(dòng)點(diǎn)尸和滿足焦點(diǎn)標(biāo)志

的定點(diǎn)連起來判斷.熟記焦點(diǎn)的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為尸的點(diǎn);

（3）圓心；（4）題目提到的定點(diǎn)等等.當(dāng)看到以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線的定義，

把曲線和滿足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來結(jié)合曲線定義求解軌跡方程.

第三類：相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

如果動(dòng)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該

點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出尸（尤,y）,用（羽y）表示出相關(guān)點(diǎn)尸，的坐標(biāo),

然后把尸，的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程.

第四類：交軌法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，存在一種求解兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這類問題常常可

以先解方程組得出交點(diǎn)(含參數(shù))的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)

常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通常選變角、變斜率等為參數(shù).

易錯(cuò)提醒：求軌跡方程時(shí)，要注意準(zhǔn)確確定范圍，應(yīng)充分挖掘題目中的隱含條件、限制

條件，求出方程后要考慮相應(yīng)的限制條件，避免因考慮不全面致錯(cuò).

例.已知R是圓M：1+6『+丁=8上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N(班,0),直線NR與圓M的另一

個(gè)交點(diǎn)為S,點(diǎn)乙在直線MR上，MS//NL,動(dòng)點(diǎn)L的軌跡為曲線C.

求曲線C的方程；

【詳解】圓M的圓心為〃卜6,。)，半徑r=2a，

因?yàn)镸S〃NL,所以AMSRSALNR,又因?yàn)閨八闔=所以

所以=|區(qū)M|-|乙叫==r=2y/2<2百=|AfiV|

所以點(diǎn)L在以Af,N為焦點(diǎn)，2在為實(shí)軸長的雙曲線上

設(shè)雙曲線的方程為三-/=1(。>0,6>0,。=7^最齊)，則2a=2在，2c=2石

所以a=0,c=G，6=1，又L不可能在x軸上，所以曲線C的方程為尸0)

變式1.在平面直角坐標(biāo)系中xQy中，動(dòng)點(diǎn)E到定點(diǎn)尸。,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大

1,E的軌跡為C.求曲線C的方程；

【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,y),由已知得，J(x_l『+y2=k|+i

9f4x,x>09(4x,x>0

化簡得：/二八n，故曲線。的方程為丁='

[0,x<0[0,x<0

變式2.已知y軸右側(cè)一動(dòng)圓。與圓P：(x-1)。丁=1相外切，與少軸相切.

求動(dòng)圓圓心。的軌跡M的方程；

【詳解】圓P(x-l)2+y2=l,所以圓尸的圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑為1

設(shè)Q（x,y）（x>0）,依題意有J（x-iy+y2=/+i

化簡整理得：y2=4x,故所求動(dòng)圓圓心。的軌跡M的方程為V=4x（x>0）

變式3.已知點(diǎn)。（0,0）,點(diǎn)/（0』），點(diǎn)M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在>軸上，直線肱V與

直線被垂直，N關(guān)于”的對稱點(diǎn)為尸.

求「的軌跡r的方程；

【詳解】方法1：設(shè)M（a,0）,N（0,6）,尸（x,y）

因?yàn)樗訫F.MN=G，BPa2+b=0

又x=2a，Y=-b,所以（捺）_y=0,所以V=4y

方法2：如圖，設(shè)F關(guān)于M的對稱點(diǎn)為。，由已知得，/2NP互相垂直平分

所以四邊形"N。為菱形，所以|尸耳=|PQ|

因?yàn)椤楫a(chǎn)。中點(diǎn)，所以為=-丹=-1,即。點(diǎn)在定直線丁=-1上，0為iPQ//FN,所

以尸。與直線y=-i垂直，即點(diǎn)尸到定點(diǎn)/（。,1）的距離等于點(diǎn)尸到定直線y=-i的距離

所以點(diǎn)尸的軌跡是以尸（0,1）為焦點(diǎn)，y=T為準(zhǔn)線的拋物線，所以點(diǎn)尸的軌跡「的方程

為了2=4y

1.已知圓G：（x+逐y+y2=l,圓G：（x-百r+y2=25,動(dòng)圓C與圓C1和圓G均相

切，且一個(gè)內(nèi)切、一個(gè)外切.

求動(dòng)圓圓心C的軌跡E的方程.

【詳解】設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x,y）,圓C的半徑為R.

由已知條件，得|CC|=26.

①當(dāng)動(dòng)圓C與圓G外切，與圓C?內(nèi)切時(shí)，|CC,|=l+2?,|CC2|=5-7?,

從而|CG|+|CG|=6>|GC21.

②當(dāng)動(dòng)圓c與圓G內(nèi)切，與圓C2外切時(shí)，|CG|=1-H,|CG|=5+R,

從而|CG|+|CG|=6>|CC|.

綜上可知，圓心C的軌跡E是以G，Cz為焦點(diǎn)，6為長軸長的橢圓.

6#)66

易得圓G與圓G交于點(diǎn)

所以動(dòng)圓圓心C的軌跡E的方程%6指

5

2.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)”到點(diǎn)N(0,2)的距離等于點(diǎn)M到直線y=0的距離,

記動(dòng)點(diǎn)加的軌跡為

⑴求r的方程；

【詳解】設(shè)依題意，得“信+(—)2,

化簡得y=Jd+i,故r的方程為＞=呆2+1.

44

3.設(shè)拋物線『的方程為y=2px,其中常數(shù)。＞。，/是拋物線「的焦點(diǎn).

(1)若直線x=3被拋物線「所截得的弦長為6,求。的值；

⑵設(shè)A是點(diǎn)尸關(guān)于頂點(diǎn)。的對稱點(diǎn)，尸是拋物線『上的動(dòng)點(diǎn)，求號(hào)的最大值；

(3)設(shè)P=2,卜4是兩條互相垂直，且均經(jīng)過點(diǎn)尸的直線，乙與拋物線r交于點(diǎn)A2,4與

拋物線「交于點(diǎn)C,r＞,若點(diǎn)G滿足4尸6=E4+尸3+八7+網(wǎng)),求點(diǎn)G的軌跡方程.

3

【答案】⑴萬；

⑵0;

(3)/=%-3

【分析】(1)可令x=3,代入拋物線方程，計(jì)算可得弦長繼而得P；

(2)根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)化線段比值，結(jié)合直線與拋物線的位置關(guān)系計(jì)算即可；

(3)設(shè)4B、C、D、G坐標(biāo)及《方程，與拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理以及兩直線

垂直的條件，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示，以及消元轉(zhuǎn)化，可得所求軌跡方程.

【詳解】（1）由x=3可得y=±標(biāo)，由題意可知2廊=6np=|；

拋物線準(zhǔn)線為了=-5,

如圖所示，過尸作準(zhǔn)線，垂足為8,

PAPA

由拋物線定義可知|尸產(chǎn)|=|依|,故正=

PB

設(shè)直線AP為廣“x+g

ZPAF=a,

PA1

則

~PBcosa

欲求需的最大值，即求儂夕的最小值,

顯然當(dāng)直線AP與拋物線相切時(shí)，。取得最大，此時(shí)其余弦最小,

+

聯(lián)立拋物線方程7=Vf可得左212+（夕上2—22卜+k；=0,

y2=2Px

由直線和拋物線相切可得△=（〃左2—2夕）2—4右.7=on左=±1,

PA

結(jié)合拋物線對稱性，不妨取左=1,此時(shí)a=45，即=垃?

PF

max

由已知可知V=4x,貝iJP（l,O）,

設(shè)8（孫必卜。（毛,%）、。（%4，%）、G（x,y）,ll:y=k（x-\）,

則/2：y=_\（無_1），

K

4與拋物線聯(lián)立可得:『/一（2/+4卜+/=0,

4

即有石+々=2+正

t=-4左

x+x=2+4嚴(yán),為+%

同理則有34

k

因?yàn)辄c(diǎn)G滿足4尸G=E4+BB+尸C+尸。,

即4（x-l,y）=（X]+尤2+電+%—4,%+為+%+%），

故X/+W+X3+X4,2+4+?+%+%+'="3

4k4k

可得丁=x-3,

則G的軌跡方程為y2=x-3.

4.已知平面上動(dòng)點(diǎn)E到點(diǎn)A（LO）與到圓8:V+/+2X-15=0的圓心B的距離之和等于

該圓的半徑.記E的軌跡為曲線「

說明r是什么曲線，并求r的方程；

【答案】土+匕=1

43

【詳解】根據(jù)題意可知圓比尤2+>2+2無-15=0可化為8:（x+l）2+V=16,

所以可知圓心B（T,。），半徑r=4,

易知A（l,0）和8（-1,0）兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，且|冽+|即=4>|4?|=2,

所以由橢圓定義可知E的軌跡是以AB為焦點(diǎn),長軸長為2a=4的橢圓，

即。=2,c=l,可得從=3；

22

因此曲線r的方程為土+匕=1.

43

5.已知尸為圓M：1+④丁+丁句6上任一點(diǎn)，N（0,O）,MQ=AMP,Xe（0,l）,

且滿足（QP+QN）JN=0.

求動(dòng)點(diǎn)。的軌跡「的方程；

V-2V2

【答案】—+^=1

42

【詳解】

如圖，由（QP+QN）"M=O,可得|QN|=|QP|,

因?yàn)閨MQ|+|QH=|MP|=4,所以|NQ|+|0M=4,

所以動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，

22

所以動(dòng)點(diǎn)。的軌跡「的方程為L+二=1.

42

6.已知點(diǎn)A為圓C:x2+y2-2?-6=0上任意一點(diǎn)，點(diǎn)8的坐標(biāo)為卜M,0）,線段

AB的垂直平分線與直線AC交于點(diǎn)D.

求點(diǎn)。的軌跡E的方程；

22

【答案】--^=1

46

【詳解】由C:尤2+>2-2/向-6=0得C:（x-Ji6）2+y2=i6,其半徑為4,

因?yàn)榫€段AB的垂直平分線與直線AC交于點(diǎn)O,

故|四=|加,則||OC|-|O2||=||DC|-|ZM||=|AC|=4,

而|BC|=8>4,故點(diǎn)。的軌跡E為以反C為焦點(diǎn)的雙曲線，

則2a=4,a=2,2c=2~JlO,c=>710,b1=c1—a1=6,

故點(diǎn)。的軌跡E的方程為—-^=1.

46

ii

7.已知圓C:（尤-1）9一+9="一動(dòng)圓與直線尤=-：相切且與圓C外切.

（1）求動(dòng)圓圓心P的軌跡T的方程；

⑵若經(jīng)過定點(diǎn)。（6,0）的直線/與曲線T相交于A3兩點(diǎn)，M是線段A3的中點(diǎn)，過M作

x軸的平行線與曲線T相交于點(diǎn)N,試問是否存在直線/,使得NALNB,若存在，求

出直線/的方程；若不存在，說明理由.

【答案】⑴丁=4》

（2）存在，方程為x=y+6

3

【分析】（1）利用直接法，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)相切關(guān)系找到等量關(guān)系即可求動(dòng)圓圓心尸

的軌跡T的方程；

（2）由題意設(shè)直線/的方程為了=切+6,聯(lián)立拋物線方程，利用MbN2=0，從而由

向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算于韋達(dá)定理可得（加+6）（3病-2）=0,即可求出直線方程.

【詳解】（1）由題意知圓。:"-1）2+丁=；的圓心C0,0）,半徑r=；；

設(shè)尸（x,y）,易知點(diǎn)尸在直線工=-；右側(cè)，

所以P到直線彳=-；的距離為x+g,又陽='（1）2+\,

由相切可得|PC|-r=x+g,即辰牙萬-;=尤+；

化簡可得動(dòng)圓圓心P的軌