五大類立體幾何題型-2024年高考數(shù)學(xué)最后沖刺題型專項訓(xùn)練（新高考新題型專用）含答案

專題03五大類立體幾何題型-2024年高考數(shù)學(xué)大題

秒殺技巧及專項訓(xùn)練（解析版）

高考大題題型歸納為

[醒1線面平行問題（刻度尺平移大法）】

【醒2線面垂直問題（勾股定理妙解）】

[93點面距離（體積求算）問題】

【題型4線面夾角問題（兩大法）】

面面夾角問題（兩大法）】

秒殺秘籍

基礎(chǔ)工具：法向量的求算

待定系數(shù)法：步驟如下：

①設(shè)出平面的法向量為〃=（x,y,=）.

②找出（求出）平面內(nèi)的兩個不共線的向蚩a=（q，4，q）,b=（a2,b2,c2）.

fn-J=0

朗艮據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x，M二的方程組--八

④解方程組，取其中的一個解，即得法向量.

fn-J=0

注意：在利用上述步驟求解平面的法向量時，方程組,rC有無數(shù)多個解，只需給

工乂二中的一個變量賦于一個值，即可確定平面的一個法向量；賦的值不同，所求平面的法

向量就不同，但它們是共線向量.

秒殺大法：口訣：求誰不看誰，積差很崩潰（求外用外減，求內(nèi)用內(nèi)減）

向量4=（2,F1，二I）,1（孫必，二2）是平面a內(nèi)的兩個不共線向量，則向量

方=b'l二2一,2二卜電二I一七二2,再當(dāng)一巧"）是平面a的一個法向量.

特別注意：空間點不容易表示出來時直接設(shè)空間點的坐標(biāo)，然后利用距離歹正個方程求解.

幾何法:線面平行問題

線面平行：關(guān)鍵點=①嫩將刻度尺與所證線重合，然后平移落在所證平面且留下痕跡②

眼神法：現(xiàn)察采用哪一瞰巧（五種方法）（記住六大圖像）

:中位犧

如圖⑴，在底面為平行四邊形的四棱錐尸-且3CD中，點E是尸0的中點.求證：PB!!平

面JEC.

laimu)

分析:

校里二：敬鈕raw

如圖⑵，平行四邊形且BC。和梯形BEFC所在平面相交，BE//CF,求證：AE〃平面

DCF.

分析：過點E作EG//且D交產(chǎn)。于G,DG就是平面HEG。

與平面。。尸的交線，那么只要證明NE//OG即可。

如例⑵

>?

模型三:作輔助面使兩個平面是平行

如圖⑶，在四棱錐中，底面XBCQ為菱形，”為QW的中點，N為3C的中

點，證明：直線MN4平面。CD

分析：：取0B中點E,連接ME,NE,只需證平面MENII平面OCD。

模型四：利用平行線分線段成比例定理的逆談謔斷有。

已畛共邊為期的兩個全等的矩形而D和出時不在同一平面內(nèi),P,0分別是對角線AE,

劭上的點，且川=8（如圖）.求證：股M平面CBS.

如圖⑸，已知三棱錐P-HBC,H、B'、C'是APBC,APC4,AP48的重心.⑴求證:

如圖⑹

A'B'11^ABC}

向量法、（向量法）所證直線^已畔面的法向量垂直，關(guān)鍵：轂空間坐標(biāo)

系（或找空間一組基底）及平面的法向量0

如圖⑹，在四棱錐S-ABCD中，底面J5C。為正方形，側(cè)接SD1底面,"CD,E,F

分別為AB,SC的中點.證明EFII平面SAD；

分析：因為側(cè)棱SD1底面N58,底面H5C。是正方形，所以很容易建立空間直角

坐標(biāo)系及相應(yīng)的點的坐標(biāo)。

證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。-即，二.

設(shè)次a0,0),S(0,ft母，則B(a,a0>C(ft?0)

片嗎0),耳吟J)，EF=\,

因為y軸垂直與平面SAD,故可設(shè)平面的法向量為n=(0,1,0)

則：EFn=\1,0)=0因此而_1_)，所以EF“平面屋仞.

模型演煉

如圖，三棱柱.4BC-HBG中，。為底面△44C的重心，DeCC^CD.DC^l.l.

(1球證：8〃平面44。;

(2港小，底面44c,且三棱柱.use-d4c的各校長均為6,設(shè)直線以耳與平面44。所

成的角為6,求sine的值.

曲i模型演煉

如圖，平行六面體4B8-4MGA中,EF分別為HBCC的中點，N在上.

OiC,

AEB

Q或證：即/平面3c3

(2惜DC=DD、=2.4D=4,/D、DC=y,JDJ?平面DCCR，率?=5初，求平面甌V與平面

OCCQ胡四喉弦值.

模型演煉

如圖，改四核臺-婚8-4及G9的上、下底面分另提邊長為2和4的正方形，平面

AA[D^D平面ABCD,AyA=D1D=^/r7>點、P是棱DD的中點，點。在棱5c上.

4J_____o,

M

BQC

Q港即=3。。，證明：PQH平面

(2港二面角P-QD-C的正弦值為婆，求3。的長.

ONEFINEDAY'、

。專工項滿分必用)

1.如圖，在直三棱柱乂因-44G中，一4513C,=3C=34=2,N,P分別為T及,

AC,BC的中點.

求證：A￡V〃平面SCC4；

2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA^^ABCD,.4BLAD,ADIiBC,BC=；5,

PA=.4B=2,E為棱功的中點.

求證：EC〃平面RIB;

3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，取，平面4B8,PA=.4D=CD=2,BC=3,PC=2^.

(1或證：CDd■平面BID;

(2消從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求平面P8C與平面所成銳二

面角的大小.

條件①：AB=5

條件②：BC〃平面R1D.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分別解

答，按第一個解答計分.

4.如圖，S為圓錐頂點，O是圓錐底面圓的圓心，.43,8是長度為2的底面圓的兩條直

徑，ABCCD=O,且SO=3,尸為母線SB上一點.

求證：當(dāng)尸為S3中點時，$4〃平面PCD;

5.如圖，在四棱錐P-4BCD中，PC，平面一-點E在棱尸3上，PE=2EB,

點尸,目是棱PA上的三等分點，點G是棱PD的中點.R?=CB=CD=全鋁=2,HC=6.

證明：加"平面CFG,且ZCV/尸G;

6.如圖,在四棱錐P-ABCD中，底面488為正方形，PD_L,平面PAD_L平面4BCD,

PD=AD=2,E是R7的中點，作回UPB交融于尸.

求證：E4//平面BDE;

7.在四棱錐P-JBCD中，底面.45CD為平行四邊形，PA=PC,PB±AC.

（1證明：四邊形.458為菱形;

（2犯為棱P5上一點（不與P,5重合），證明：.4E不可能與平面PCD平行.

8.如圖，在平行六面體且BCD-4及G9中，AB=AD=A4=1,ZD.4B=90°,

cos<AA^,AB>=>8s苴）>=5>點V為中點.

2-

證明：4M〃平面4CQ：

秒殺秘籍

線面垂直問題（勾股定理妙解）

幾何法

必諼論：①特殊的平行四邊形二邊長之比1:2,夾角為60°,則對角線與邊垂直

②特殊的直角梯形口邊長之比1：1：2,對角線與腰垂直

③等腰三角形三線合一，三線與底垂直

@直徑所對的圓周角為直角⑤菱形和正方形：對角線互相垂直

⑥特殊的矩形：邊長之比1：2或1：及有明顯的直角關(guān)系

向量法

要證線面垂直，只需讓線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線即可

如：要證.4CJ?平面BDE;

第一步：表示XC,表示(BDDEBE)中的兩個

第二步:怪尬汨\AC±BD?

4cBDr\DE=D:.AC±2F?BDE

模型演煉

如圖，在四棱錐尸一,"CD中，產(chǎn)a?L平面底面J5CD是菱形，，"=2,

ZR4D=60°.

求證:3DJ■平面E4C.

!模型演煉

如圖，在三棱柱JBC-431G中，331_1平面，四。，，必_13。也4=且3BC=2.

34_1平面乂4。；

模型演煉

三棱柱J5C-44G中，制棱與底面垂直，乙你7=90。，AB=BC=BB\2,M,N

朋提那，4。的中點.

AW_L平面H4c.

02ONEFINEDAY

專項滿分必刷

1.在長方體-"8-gca中，E是上的點,，且GKM,的長成等比數(shù)列，又M

是34所在的直線/上的動點.

求證：■平面5CE

2.如圖，在三棱柱NBC-d4c中，5C/平面必。￡,D是必的中點，△月CD是邊長為

2的等邊三角形.

證明：C、DLBD.

3.如圖，在三棱臺.4BC-H4c中，平面.433TJ?平面

AB、C,BB±AB},AB=4,AAt=典=2,ZBAC=g.

證明：平面

4.如圖，在四棱錐P-4BCD中，穴?_1_平面-45。。，.43//(?。，點￡1在棱用上，PE=2EB,

點尸，H是棱以上的三等分點，點G是棱功的中點.R?=CB=CO=亨痛=2,月C=舊.

(1)證明：即“平面CFG,且C,E,尸，G四點共面：

(2)證明：平面平面P3C;

5.如圖，在四棱錐P--458中，底面AB8是正方形，側(cè)面R4D，側(cè)面R13,尸為BD中

點，E是R4上的點，PA=PD=2,PA±PD.

求證：平面RLDJ?平面AB8；

_1F

6.如圖，四棱錐A-BCDE,AB=BC=AC=CD=2BE=2,BEllCD,￡BCD=-,平面ABC1

2

平面5CD瓦尸為BC中點.

D

證明：平面4ECJ?平面.W；

7.如圖幾何體中，底面A5C是邊長為2的正三角形，NE_L平面W3C,若AEH3BF,

4E=5,CD=4>BF=3.

B

求證：平面皿平面4ERB;

8.如圖，在直四棱柱4B8-481G9中,底面為矩形，4B=/JD="a,高為3。，E

分別為底面的中心和8的中點.

Dy

B

求證：平面4。￡*1?平面CDRG;

秒殺秘籍J

點面距離問題

結(jié)論1：《能康離》d==《異面量球距離的》

空?結(jié)論3：《線面距離》d=

結(jié)論2：《點面距離》d=

同

結(jié)論4:《面面距離》d=f犁

結(jié)論5：《點點d=｛（巧-巧『+（比一以＞+（二1一二2、

模型演煉

在棱長為1的正方體J5C。一W4G4中,E為的中點，則點G到直線CE的距離

為

模型演煉

在棱長為1的正方體-加CD-a/iGA中，則平面J5。與平面HC。之間的距離為（）

模型演煉

已知正方形的邊長為1,W_L平面JBCD,且尸。=1,E,產(chǎn)分別為45,BC

的中點.（1）求點。到平面阻的距離；（2）求直線XC到平面誨的距離.

03ONeFINlDA^

專項滿分必刷

1.如圖，在平行六面體.45CDTBC,D中，E在線段4D,上，且AEDA=AE.4D,F,G

分別為線段5C,4D的中點，目底面.458為正方形.

（1速證:平面BCC,B」平面EFG

（2港所與底面WB8不垂直，直線ED與平面RC所成角為45。,且￡8=J5=2,求點

A到平面XBCQ,的距離一

2.如圖,四邊形AB8是圓柱OE的軸截面,點尸在底面圓O上，圓。的半徑為1,N尸=用,

點G是線段跖的中點.

(1?正明：EG#平面DJF;

(2港直線。尸與圓柱底面所成角為45。，求點G到平面DEF的距離.

3.如圖，在直三棱柱形木料-45C-A4c中，D為上底面WBC上一點.

(1羥過點。在上底面."C上畫一條直線/與4。垂直，應(yīng)該如何畫線，請說明理由；

(2期床=理=1,.43=2,44C=[,E為乂及的中點，求點3到平面.4CE的距離.

4.如圖，在直四棱柱438-4^69中，底面-45CD為菱形，ABAD=60,AB=2,

，4=40,E是DR的中點.

(1)證明：即//平面.4C,E；

(2球點5到平面的距離.

5.圖，在四棱錐P-.的D中，R4_L平面AB8,底面-"8是正方形，點E在棱PD上,

AD=AP=2,.4E±CE.

(戊正明：AE1PD)

(2冰點C到平面B4E的距離.

6.設(shè)四邊形AB8為矩形，點尸為平面4BCD外一點，且R(_L平面WB8,若

PA=AB=\,BC=2.

p

(1或PC與平面PAD所成角的正切值；

Q庭BC邊上是否存在一點G,使得點。到平面PAG的距離為V2，若存在，求出BG的值,

若不存在，請說明理由；

7.如圖，在四棱錐P-ABCD中，.4Q//3C,AD±PD,平面RLD，平面PCD.

(1通明：5c1平面PCD；

(2)已知4D=PD=DC=：BC=2,且ZDPC=30。，求點。到平面RIB的距離.

8.如圖，在三棱柱4BC-44c中，ZCzU,=60°,,4B=BC,AC=CCxf&E,尸分別為

BC,4c的中點.

（1球證：所//平面.4544：

（2港底面ABC是邊長為2的正三角形，目平面.4CCY_L平面4BC,求點C到平面^^耳4

的距離.

秒殺秘籍

線面夾角問題（兩大法）

向量法

結(jié)論1：異面直線所成角cos6=

①能建空間直角坐標(biāo)系時，寫出相關(guān)各點的坐標(biāo)，然后利用結(jié)論求解

②不能建空間直角坐標(biāo)系時，取基底的思想，在由公式cost萬＞=求出

關(guān)鍵是求出作3及同與w

結(jié)論2：線面角3。=血8=膽」6晟0,竽］

,13.那I2〃

幾何法

結(jié)論：sina=彳｛/=點面距離（d往往用等體積法計算），/=線自身長度｝

模型演煉

如圖，在四棱錐尸，婚。中，四邊形.四。。是菱形，HCcBZ）=。，AR4c為正三角

形，AC=2.

求直線PA與平面PBD所成角的大小;

模型演演

四棱錐尸-4BCD中，24，平面,折8,四邊形“傷CD為菱形，ZADC=60°,

PA=.4D=2,E為HD的中點.

模型演煉

如圖，在直三棱柱，西C-44G中，HC=且8=AAX,NCLB=90°,河是&G的中點,

N是MC的中點.

求直線與平面BCC^所成的角的大小.

模型演練

在長方體.四CD-431GA中，.e=2,3c=441=1,則4G與平面43G所成角的

正弦值為-

04ONIFINlDAY

專項滿分必刷

???

1.如圖，在幾何體.43CDE尸中，皿尸為等腰梯形，488為矩形，ADHEF,.45=1,

一”>=3,0E=0,EF=1,平面盤百_L平面

(1加明：BF±CF}

(2或直線與平面CEF所成角的余弦值

2.如圖,三棱柱KBC-耳3￡中，四邊形ACC^BCC.B,均為正方形，QE分別是棱AB,用、

的中點，N為CE上一點.

(1)證明：RV/"平面4。。；

(2港AB=AC,QE=3空，求直線DV與平面4DC所成角的正弦值.

3.如圖，在四棱錐Q-ABCD中，四邊形AB8為直角梯形,CDiiAB,5C_LJ5,平面QAD1

平面488,。.4=05,點"是題的中點.

(1應(yīng)［明：QMLBD.

(2)點N是C。的中點，4D=JB=2CD=2,當(dāng)直線MV與平面納所成角的正弦值為當(dāng)

時，求四棱錐。-加⑵的體積.

4.如圖，四邊形488是圓柱OE的軸截面,點尸在底面圓。上,圓O的半徑為1,1尸=用,

點G是線段船的中點.

A殳亍…

F

(l)i正明：EG"平面DJF;

(2港直線。尸與圓柱底面所成角為45。，求點G到平面DEF的距離一

5.如圖，在三棱柱K5C-H4G中，d在底面.45C上的射影為線段5c的中點，”為線段

4c的中點，且=2.1ff=2.4C=4,ZZUC=90.

(1或三棱錐"-4仄？的體積;

(2球MC與平面,兇3所成角的正弦值.

6.如圖，已知三棱錐P-JBC,P3_L平面RlCRl_LPC,Rt=P3=PC,點O是點尸在平面

WBC內(nèi)的射影，點。在棱Rt上，且滿足卜0=3|坦

e

(1球證：BC1OO}

Q就00與平面5C。所成角的正弦值.

7.如圖，在三棱臺月5C-44G中，叫"L平面ABC,乙1BC=9O。，必=d4=4C="

.45=2.

(1球證：平面.4期4J?平面BCQB、；

(2或HC與平面BCC、B、所成角正弦值.

8.如圖，在多面體.4BCDE尸中，四邊形A38為平行四邊形，旦

BD=*D=1,BD工CDDE，平面ABCD，且DE=：BF=?DE"BF.點H,G分別為線段

OCE尸上的動點，滿足DH=EG=〃O</1<2)

（1加明：直線S//平面BC尸;

（2堤否存"使得直線GH與平面的所成角的正弦值為普？請說明理由.

秒殺秘籍

面面夾^問題（兩大法）

向量法

結(jié)論：二面角的平面角《?8=得皆（6e（0,兀））

hlhl

提示：a是二面角的夾角，具體cos8取正取負(fù)完全用眼神法!見察，若為銳角則取

正，若為鈍角則取負(fù).

幾何法

結(jié)論：任意二面角的平面角a滿足cosa=9理如（M-aB—Nncosa：》^）

注意：N為原圖上的點，而分子是N點在面雙婚的投影點

模型演煉

在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，.""C。，皿鋁=60°,RC，平

面ABCD.AE±BD,CB=CD=CF.

求二面角尸的余弦值.

模型演練

如圖，在三棱柱.四c-W4G-中，^BAC=90°,.4B=AC=2,\A=4,4在底面ABC

的射影為3c的中點，。為31G的中點.

求二面角d-BdB的平面角的余弦值.

模型演煉/

四棱錐P-且BCD中，R41平面且BCD,四邊形-43CD為菱形，Z.4DC=60°,P^AD=2,E

為一4D的中點.

求二面角.4-PDC的正弦值.

D

B

05ONEFINEDAV

專項滿分必刷j

1.如圖，三棱臺.4BC-44c中，75c是邊長為2的等邊三角形，四邊形.4CCA是等腰

梯形，且4c=幺=LD為4c的中點.

(1應(yīng)［明：AC±BDi

(2港直線必與平面BB￡C所成角的正弦值為等，求二面角A-AC-B的大小.

2.如圖，在三棱錐D-NBC中，.48=^=_BD=30*C=7,BC=CD=5.

(1)1正明：平面月CDJ?平面ABC;

(2港E是線段CD上的點，目而=幾死，求二面角七-且5-。的正切值.

3.如圖，在四棱錐尸-4BCD中，底面J5c。為直角梯形，45c=/5CD=90,P.4_L平

面ABCD,PA=AB=BC=4,CD=3,A/為側(cè)棱PC的中點.

(1球點D到平面P5C的距離；

(2球二面角M-AD-B的正切值.

4.如圖，在正四面體尸-4紇中，反尸是棱比的兩個三等分點.

(戊正明：-1B_LPC；

(2就出二面角「--45-瓦￡-13-尸,尸-13-(？的平面角中最大角的余弦值.

5.如圖，已知PD，平面ABCD,CD=2AB=2AD=ZABiiCD,.4D±CD,PC與底面4B8所

成角為，，目tan，

2

(1球證：(28_1平面尸3。；

(2冰二面角P-5C—。的大小.

6.如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形為梯形，其中金「CD,

3CD=600.1B=25C=2CD=4,平面PSD_L平面一458.

(戊正明：AD±PD}

(,2^AB±PD,且R?與平面X58所成角的正切值為2,求平面所C與平面R1D所成二

面角的正弦值.

7.如圖，在三棱柱.45C-HBC中，必，平面,仍&4。4。1仍=/。=244=4刀是線

段34上的一個動點，EJ分別是線段BC,AC的中點，記平面詆與平面45.C,的交線為1.

(1冰證：EFIIh

Qa二面角。-即-C的大小為120時，求50.

27T

8.如圖，在梯形HBCD中，A3//CD,AB=BC=-CD=2,乙15。=歲將小處沿對角

線AC折到&4PC的位置，點P在平面且BC內(nèi)的射影H恰好落在直線.45上一

（1球二面角P-NC-B的正切值；

Q）點尸為棱壓'上一點，滿足尸F(xiàn)=2FC,在棱BC上是否存在一點。，使得直線股與平面

.43月所成的角為g帶存在，求出薨的值；若不存在，請說明理由.

專題03五大類立體幾何題型-2024年高考數(shù)學(xué)大題

秒殺技巧及專項訓(xùn)練（解析版）

高考大題題型歸納為

[醒1線面平行問題（刻度尺平移大法）】

【醒2線面垂直問題（勾股定理妙解）】

[93點面距離（體積求算）問題】

【題型4線面夾角問題（兩大法）】

面面夾角問題（兩大法）】

秒殺秘籍

基礎(chǔ)工具：法向量的求算

待定系數(shù)法：步驟如下：

①設(shè)出平面的法向量為〃=（x,y,=）.

②找出（求出）平面內(nèi)的兩個不共線的向蚩a=（q，4，q）,b=（a2,b2,c2）.

fn-J=0

朗艮據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x，M二的方程組--八

④解方程組，取其中的一個解，即得法向量.

fn-J=0

注意：在利用上述步驟求解平面的法向量時，方程組,rC有無數(shù)多個解，只需給

工乂二中的一個變量賦于一個值，即可確定平面的一個法向量；賦的值不同，所求平面的法

向量就不同，但它們是共線向量.

秒殺大法：口訣：求誰不看誰，積差很崩潰（求外用外減，求內(nèi)用內(nèi)減）

向量4=（2,F1，二I）,1（孫必，二2）是平面a內(nèi)的兩個不共線向量，則向量

方=b'l二2一,2二卜電二I一七二2,再當(dāng)一巧"）是平面a的一個法向量.

特別注意：空間點不容易表示出來時直接設(shè)空間點的坐標(biāo)，然后利用距離歹正個方程求解.

幾何法:線面平行問題

線面平行：關(guān)鍵點=①嫩將刻度尺與所證線重合，然后平移落在所證平面且留下痕跡②

眼神法：現(xiàn)察采用哪一瞰巧（五種方法）（記住六大圖像）

:中位犧

如圖⑴，在底面為平行四邊形的四棱錐尸-且3CD中，點E是尸0的中點.求證：PB!!平

面JEC.

laimu)

分析:

校里二：敬鈕raw

如圖⑵，平行四邊形且BC。和梯形BEFC所在平面相交，BE//CF,求證：AE〃平面

DCF.

分析：過點E作EG//且D交產(chǎn)。于G,DG就是平面HEG。

與平面。。尸的交線，那么只要證明NE//OG即可。

如例⑵

>?

模型三:作輔助面使兩個平面是平行

如圖⑶，在四棱錐中，底面XBCQ為菱形，”為QW的中點，N為3C的中

點，證明：直線MN4平面。CD

分析：：取0B中點E,連接ME,NE,只需證平面MENII平面OCD。

模型四：利用平行線分線段成比例定理的逆談謔斷有。

已畛共邊為期的兩個全等的矩形而D和出時不在同一平面內(nèi),P,0分別是對角線AE,

劭上的點，且川=8（如圖）.求證：股M平面CBS.

如圖⑸，已知三棱錐P-HBC,H、B'、C'是APBC,APC4,AP48的重心.⑴求證:

如圖⑹

A'B'11^ABC}

向量法、（向量法）所證直線^已畔面的法向量垂直，關(guān)鍵：轂空間坐標(biāo)

系（或找空間一組基底）及平面的法向量0

如圖⑹，在四棱錐S-ABCD中，底面J5C。為正方形，側(cè)接SD1底面,"CD,E,F

分別為AB,SC的中點.證明EFII平面SAD；

分析：因為側(cè)棱SD1底面N58,底面H5C。是正方形，所以很容易建立空間直角

坐標(biāo)系及相應(yīng)的點的坐標(biāo)。

證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。-即，二.

設(shè)次a0,0),S(0,ft母，則B(a,a0>C(ft?0)

片嗎0),耳吟J)，EF=\,

因為y軸垂直與平面SAD,故可設(shè)平面的法向量為n=(0,1,0)

則：EFn=\1,0)=0因此而_1_)，所以EF“平面屋仞.

模型演煉

如圖，三棱柱.4BC-HBG中，。為底面△44C的重心，DeCC^CD.DC^l.l.

(1球證：8#平面4>C；

(2港小，底面44c,且三棱柱.use-d4c的各校長均為6,設(shè)直線以耳與平面44。所

成的角為6,求sine的值.

破解：(1)連接C。交H用于E點，連接CE.

因為。為底面4c的重心，則EO:OC]=1:2,

又因為DeCC，CD:Dq=l:2,則即：?！?CD:Z>C,可知OD"EC,

因為OD<Z平面乂目C,ECu平面44C,

所以O(shè)D4平面44c.

（2）取43的中點尸，連接時.

因為小，底面H3C，且三棱柱乂因-AB?的各棱長均為6,

可知射線3.EC、，即兩兩垂直，

以EB},EC,，所所在直線分別為xj二軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(3,0,0)空(-3,0,6)1(0,366)第0,0,0),

所以函=(6,0,-6卜函=(3,0,0),筋=e,3a6),

H-ER=3x=0

設(shè)平面44c的法向量為n=（“，,；）,貝」—廠,

萬衣=3揚+6:=0

令1=一2,可得》=0,二=/，可得萬=（0,-2,招）,

所以即叫8s無網(wǎng)=瑞=堵%=普.

Ei模型演煉

如圖，平行六面體，88-4及GA中，￡尸分別為.45、CC的中點，N在43上.

(1球證：K尸〃平面.仞G；

(2錯DC=DD,=2AD=4,QDC=y,ADl平面DCC,D},B^=5NB,求平面EFN與平面

DCCQ的夾角喉弦值.

破解：(1)證明：如圖，設(shè)CD的中點為O,連接。尸3。.

?.?尸為CG的中點，

.".OFH8且。尸=；CD.

又???￡為.43的中點，目四邊形-458是平行四邊形，

：.AEHOF且=

...四邊形4。也為平行四邊形..JO〃EF.

又.?。匚平面.icqE尸(z平面.i￡>c,:.EFH平面JZ)C.

(2)解：在平面DCCQ中，作交CA于乩

40_L平面DCCR,DHu平面DCC、D,,DCu平面DCC,D,,

：.AD1DH,AD1DC.

：..4D.DC.DH兩兩互相垂直.

分別以射線以。C、DA為K軸、J軸、二軸的非負(fù)半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

D一平，

在平行六面體■空8-4及GR中，由皿，平面DCCR得平行四邊形是矩形.

???DC=DD、=2AD=4,/D、DC=y,

二D,H=DRsin(ZD,DC-NHDC)=4sin^=2,

DH=DD,cos(ZD,DC-ZHDC)=48s.=4xg=2后

C、H=C\D、-D、H=2

根據(jù)已知可得00。0)，42,0,0),3(240)￡(0,4,0)6(0224)，

。(0-2,2^)J￡(2,Z0),F(0J3J>/3).

.-.j5=(-2,0,0),^=(-2,l,s/3)IjB=(0J4J0)I55；=(0J-2,2>/3).

?.?斯=5麗二麗=麗+前=：茄+；麗=：石+,叩

由M_L平面DCC.D得用是平面DCCQ的法向矍

正手=京+生=。

設(shè)n=（x,j二）是平面西V的法向量,則V

nEF=-2x+y+6；=0

取『=-75,得二=5,x=2/一

/.H=（23-35）是平面EFW的法向量

cos(*.40)=",竺=2^3x(-2)+(-^~)x0+5x0回

'71訓(xùn)⑷I25/10x2To"

設(shè)平面4N與平面DCC}D的夾角為，，則8s3=|ss（瓦石）卜甯

二平面E與平面DCCA的夾角的余弦值為喀.

模型演煉

如圖，四四棱臺”8-4瓦GA的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，平面

平面4BCD,WD=此點P是棱DD的中點，點。在棱5c上.

（1港%=3。。，M：理。平面4網(wǎng)同；

（2港二面角尸-QD-C的正弦值為粵，求5。的長.

20

破解：（1）證明：取皿的中點M,連接MP,MB.

在四棱臺-如8-451GA中，四邊形4曲；是梯形，44=2,.切=4,

又點跖P分別是棱44。。的中點，所以MP〃功，且必=隼2絲=3.

在正方形工5。中，BCII.4D,5c=4,又3。=3。（7,所以50=3.

從而30〃3。且20=3。，所以四邊形5MPQ是平行四邊形，所以W〃MB.

又因為MBu平面.4BB、A，卬＜Z平面.43與耳，所以PQH平面ABB^:

(2)在平面中，作d。*1?■必于。.

因為平面必DQ_L平面ABCD,平面.4.4。。c平面438=40,AplAD,40u平面

.4AD,D,所以4。_L平面.4B8.

在正方形ABCD中，過。作一43的平行線交BC于點N,則ON±OD.

以｛而，歷，而｝為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系。-不二.

因為四邊形，4。。是等腰梯形，44=2,3=4,所以.40=1,又4A=D、D=而，所

以4。=4.

易得用4T0),0(030),C(430),川024),P?2),所以比=(4.0,0),

麗=；0,-；2；,C3=(01-4.0).

：設(shè)&=/1而=（0,-4右0）（04/141）,所以雙=灰+&=（4,-4幾0）.

r*1

設(shè)平面P。。的法向量為歷=(xj,二)，由I"竺=°,得|一t’-2二=0,取而=(444」),

[mDO=04x-4Ay=Q

另取平面DCQ的一個法向量為?=(0,0,1).

設(shè)二面角P-QD-C的平面角為8,由題意得k>sq="-sin：e=

IKII加訓(xùn)111

x|cos.|=|coSffl,H|=-=^_=,所以幣許二花,

解得3（舍負(fù)），因此C°=3]x4=3,BO=1.

44

所以當(dāng)二面角P-QD-C的正弦值為婆時，5。的長為1.

敘：設(shè)。（4/0）（-1W3）,所以雙=（4/一3小）.

mDP=0

設(shè)平面P。。的法向量為而=（尤丁二），由—，得;2",取而=(3-

mDQ=04x+(Z-3)y=0

另取平面DC。的一個法向量為萬=（0。1）.

設(shè)二面角P-QD-C的平面角為8,由題意得|coseb，l-sin*=

[小III加司111

又|8刈=|8s機(jī)/麗:不不行，所以產(chǎn)匚丁布,

解得f=0或6（舍），因此3Q=1.

所以當(dāng)二面角P-QD-C的正弦值為這？時，3。的長為1.

26

-2

B、4

在平面T4DA中，作PHL4D,垂足為H.

因為平面&ADD、，平面ABCD,平面H4DRD平面WBCD=4D,PHLAD,PHu平面

4皿、,

所以PH_L平面ABCD,又DOu平面438,所以PH±DQ.

在平面.4BCD中，作HG_LD。，垂足為G,連接PG.

因為用_LD。，HG1D0,PHCHG=H,PH,HGu平面PHG,

所以DQ_L平面PHG,又PGu平面用G,所以。Q_LPG.

因為HG_LD。，PGLDQ,所以ZPGH是二面角P-QD-月的平面角.

在四棱臺-451Go中，四邊形A的：是梯形，

4^=2,.10=4,44=。。=舊，點P是棱DQ的中點，

所以用=2,DH='.

設(shè)即=x(04x44),則CQ=4-x,Z)Q=+(4-x『=6-8。+32,

2

在△?加中，lxlx4=lxVx-8x+32x/fG,從而的=jr_￡_32.

因為二面角P-QD-C的平面角與二面角尸一。。一月的平面角互補(bǔ)，

目二面角P-QD-C的正弦值為士爭,所以sinNPGH=曙，從而tanZPGH=5.

2020

PH----------------

所以在RtA陽G中，—=VX2-8>+32=5,解得X=1或X=7(舍).

Z7Cr

所以當(dāng)二面角P-0D-C的正弦值為年時，3。的長為1.

20

02ONEFINEDAY

專項滿分必刷‘

---

1.如圖，在直三棱柱ABC-&B、C中，AB_LBC,AB=BC=BB、=2,M,N,P分別為AA,

AC,BC的中點.

求證：w〃平面3CC4；

【詳解】...直三棱柱AM-44c中，M為H及的中點,

所以B、M=；4旦=；而，旦B.MHAB,

???因為尸，N分別BC,.4C的中點、，

.,.PNiiAB,PN=^AB,

:一PNiiB、M,PN=B、M,

二?四邊形34WP為平行四邊形，二卬〃4P,

又；MVN平面B￡CB,31Pu平面B、C\CB,

故MV//平面4CCB.

2.如圖，在四棱錐P-W5CD中，PAL^-^ABCD,.4BLAD,ADUBC,BC=\.4D

PA=.4B=2,￡為棱功的中點.

p

求證：EC〃平面RIB：

【詳解】取PA中點為M,連接\史，卜出,如下所示：

在中，因為ME分別為以心的中點，故ME，依=:功；

又AD"BC,BC=：AD,板MEfiBC4史=BC,則四邊形MBCE為平行四邊形，ECilMB?

又A。u面PAB,EC<Z0P.4B,故EC「湎R4B.

3.如圖，在四棱錐尸-且88中，〃_L平面4B8,PA=.4D=CD=2,BC=3,PC="?

(1或證：CDJ?平面RLD;

(2病從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求平面所C與平面RLD所成銳二

面角的大小.

條件①：48=小；

條件②：BC〃平面AID.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分別解

答，按第一個解答計分.

【答案】(1)證明見解析(2)所選條件見解析，3

【詳解】(1)如圖，連接.4。因R1_L平面一月CCDu平面458,則以L4C,

PA±CD.

又PC=PA=2,貝i」AC=20.

注意到且D=DC=2,則小小?為等腰直角三角形，其中乙1CD=J,乙!DC=g.

42

所以CDL4D,又因為Rl_L8,4D,21u平面RID,ADcPA=A,

所以8,平面RLD；

(2)若選條件①，由余弦定理可得，

cosZACB=的==*,結(jié)合N/CB為三角形內(nèi)角，

2AC-BC2x2V2x32

得4cB=1,又ZJCD=1,貝i[ZBCD=g,gp5C±CD.

442

若選條件②，因BC〃平面PAD,BCu平面ABCD,平面ABCDc平面PAD=AD,則

BCII.4D,

又乙iDC=三,貝iJZBCD=；,gpBCXCD.

22

故建立以.4為坐標(biāo)原點，如下圖所示空間直角坐標(biāo)系(x軸所在直線與0c平行)

又PA=AD=CD=IfBC=3,AB=^/5,

則4(0,0,0),3(2-kO),C(ZZO)，D(0,2,0),P(0s0,2),

則反1=(0,3,0),CP=(^2-2,2),^=(2,0,0).

平面RED法向量為DC=(2,0,0),

設(shè)平面MC法向量為13)，則匕nB而C=0味f32j'”=02丁+2.0-

令X=l,貝心，=0,二=1,所以方=(L0,l),

設(shè)面P5C與平面RLD所成角為8,cos^=|cosn,DC|=iiDC2

|s||5c|41-2

根據(jù)平面角的范圍可知eg

4.如圖，S為圓錐頂點，O