漢中市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

漢中市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)一模試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.總體由編號(hào)01,,02,…，19,20的20個(gè)個(gè)體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是隨機(jī)數(shù)表第1

行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07C.02D.01

2.若復(fù)數(shù)z=￡(i為虛數(shù)單位),

則口()

2-z

A.2+zB.2-zC.l+2zD.l-2z

2X-x,x..0,

3.已知函數(shù)/(%)=,則—))=()

x2+1,x<0,

A.2B.3C.4D.5

4.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足/(x)+g(x)=ax-ax+2(a>0且awl),若g(2)=a,則

函數(shù)了(必+2%)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(-1,1)B.(-<?,1)C.D.(-1,+<?)

22

5.已知橢圓=+「=l(a>b>0)與直線交于A,B兩點(diǎn),焦點(diǎn)歹(0,-c),其中c為半焦距，若△A3尸是直角

a2b2ab

三角形，則該橢圓的離心率為()

A^5-1口A/3-1?A/3+1NA/5+1

2244

6.甲、乙、丙三人參加某公司的面試，最終只有一人能夠被該公司錄用，得到面試結(jié)果以后甲說：丙被錄用了；乙說:

甲被錄用了；丙說：我沒被錄用.若這三人中僅有一人說法錯(cuò)誤，則下列結(jié)論正確的是()

A.丙被錄用了B.乙被錄用了C.甲被錄用了D.無法確定誰被錄用了

7.（3/+/）（2—4）8展開式中x2的系數(shù)為（）

X

A.-1280B.4864C.-4864D.1280

x+y<2

8.設(shè)變量羽y滿足約束條件2x-3yV9,則目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值是（）

x>0

A.7B.5C.3D.2

9.直三棱柱ABC—A旦G中，CA=CC、=2CB,AC±BC,則直線5C1與A片所成的角的余弦值為（）

A.且B.正C.拽D.-

5355

10.已知不同直線/、相與不同平面￡、/，且/ua,mu/3，則下列說法中正確的是（）

A.若?！??,則"nB.若a10,貝（

C.若11/3,則D.若,則冽，a

11.已知點(diǎn)A是拋物線f=4〉的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)E為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上且滿足|卓|=7司尸同，

若山取得最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好在以AF為焦點(diǎn)的橢圓上，則橢圓的離心率為（）

A.V3-1B.V2-1C.且D.包二1

22

12.已知R為實(shí)數(shù)集，A={%|x2-l<0},B=則A&可=（）

A.{x|-l<x<0}B.{x|O<x<l}C.{x|-l<x<0}D.{x|-l<x<O^x=l}

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知雙曲線C：二？一%=1（^>。>0）的左、右焦點(diǎn)為月，B，尸（2,0）為雙曲線C上一點(diǎn)，且冒=3,

若線段PFX與雙曲線C交于另一點(diǎn)A,則NPA*的面積為.

14.動(dòng)點(diǎn)尸到直線x=-l的距離和他到點(diǎn)尸（1,0）距離相等，直線A5過（4,0）且交點(diǎn)P的軌跡于A,B兩點(diǎn)，則以

為直徑的圓必過.

15.已知向量。=（2,7%）,6=（1,—2）,且4，人則實(shí)數(shù)，"的值是.

16.函數(shù)y=G'sinxcosx+cos?尤在區(qū)間（0,—j上的值域?yàn)?

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）2018年9月，臺(tái)風(fēng)“山竹”在我國多個(gè)省市登陸，造成直接經(jīng)濟(jì)損失達(dá)52億元.某青年志愿者組織調(diào)查了

某地區(qū)的50個(gè)農(nóng)戶在該次臺(tái)風(fēng)中造成的直接經(jīng)濟(jì)損失，將收集的數(shù)據(jù)分成五組：[0,2000],（2000,4000],

（4000,6000],（6000,8000],（8000,10000]（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該地區(qū)每個(gè)農(nóng)戶的平均損失（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）臺(tái)風(fēng)后該青年志愿者與當(dāng)?shù)卣蛏鐣?huì)發(fā)出倡議，為該地區(qū)的農(nóng)戶捐款幫扶，現(xiàn)從這50戶并且損失超過4000

元的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取2戶進(jìn)行重點(diǎn)幫扶，設(shè)抽出損失超過8000元的農(nóng)戶數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

x=l+cosa

18.（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（a為參數(shù).0Wa<2?）.以坐標(biāo)原點(diǎn)

y=sma

jr

。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為9=]（夕eR）,曲線。與直線/其中的一個(gè)交點(diǎn)

JF

為A,且點(diǎn)4極徑R?極角

（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程與點(diǎn)A的極坐標(biāo)；

（2）已知直線根的直角坐標(biāo)方程為x-百>=0,直線機(jī)與曲線C相交于點(diǎn)3（異于原點(diǎn)。），求AAO3的面積.

19.（12分）某商場(chǎng)為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)抽取了200名進(jìn)場(chǎng)購物的顧客進(jìn)行問卷調(diào)查.調(diào)查后，就顧客“購物體驗(yàn)”

的滿意度統(tǒng)計(jì)如下：

□滿意不滿意

H□□

0EJM

（1）是否有97.5%的把握認(rèn)為顧客購物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)？

（2）為答謝顧客，該商場(chǎng)對(duì)某款價(jià)格為100元/件的商品開展促銷活動(dòng).據(jù)統(tǒng)計(jì)，在此期間顧客購買該商品的支付情

況如下：

購物卡支

支付方式現(xiàn)金支付APP支付

付

頻率10%30%60%

按9折支其中有1/3的顧客按4折支付，1/2的顧客按6折支付，1/6的顧

優(yōu)惠方式按8折支付

付客按8折支付

將上述頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，記某顧客購買一件該促銷商品所支付的金額為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bc)2

附表及公式:K2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

網(wǎng)片.人）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k°2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.（12分）設(shè)函數(shù)/（x）=2sinx+|。一3|+|a—1|.

（1）若求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（2）證明：MxeH,/（x）2|a—3|一工+1恒成立.

a

21.（12分）已知橢圓C：q+==l（a〉6〉0）與拋物線y2=4x有共同的焦點(diǎn)，且離心率為巫，設(shè)耳，工分別是

a~b2-2

A,8為橢圓的上下頂點(diǎn)

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點(diǎn)（0,2）與x軸不垂直的直線/與橢圓。交于不同的兩點(diǎn)當(dāng)弦MN的中點(diǎn)尸落在四邊形耳內(nèi)（含

邊界）時(shí)，求直線/的斜率的取值范圍.

1,

22.（10分）已知函數(shù)/（x）=］以~一（a+l）x+lnx,aeR.

（1）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線/（x）在點(diǎn)（2,/（2））的切線方程；

（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

從第一行的第5列和第6列起由左向右讀數(shù)劃去大于20的數(shù)分別為：08,02,14,07,01,所以第5個(gè)個(gè)體是01,選D.

考點(diǎn)：此題主要考查抽樣方法的概念、抽樣方法中隨機(jī)數(shù)表法，考查學(xué)習(xí)能力和運(yùn)用能力.

2^B

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算z,由共朝復(fù)數(shù)的概念寫出三,

【詳解】

55(2+/)10+5z..

■z=--=-------=----=2+i,

2-i(2-z)(2+z)5

■-z=2-i,

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法計(jì)算，共物復(fù)數(shù)的概念，屬于容易題.

3、A

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)直接計(jì)算得到答案.

【詳解】

2X—xx0

因?yàn)?'(%)=,1,二所以/(/(—1))=/(2)=22-2=2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分段函數(shù)計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

4、D

【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性用方程法求出/(x),g(x)的解析式，進(jìn)而求出。，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)論.

【詳解】

依題意有/(x)+g(x)=a、—+2,①

f(~x)+g(-x)=a~x-ax+2=-/(x)+g(x),②

①—②得/(%)=ax-a-\g(x)=2,又因?yàn)間(2)=a,

所以a=2"(x)=2'-2r,/(x)在R上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(無2+2%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-!,+<?).

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質(zhì)，要熟記復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法，屬于中檔題.

5、A

【解析】

聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點(diǎn)A,8兩點(diǎn)，利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于“力,。的關(guān)系式，解方程求解即可.

【詳解】

[22

匕+土=1

/b2~x=0[x=-b

聯(lián)立方程,解方程可得或八

2-^=1y-a[y=0

、ab

不妨設(shè)由題意可知，

A(0,a),B(-bf0),BA'BF=0,

因?yàn)镽4=(反a),BF=(b,-c),

由平面向量垂直的坐標(biāo)表示可得，b-b-ac=0,

因?yàn)樨?6—°2,所以〃/=加,

兩邊同時(shí)除以/可得，e2+e-i=0,

解得右半或八三城(舍去),

所以該橢圓的離心率為國.

2

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓方程及其性質(zhì)、離心率的求解、平面向量垂直的坐標(biāo)表示；考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)遷移能力；利用平

面向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于a,dc的關(guān)系式是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.

6、C

【解析】

假設(shè)若甲被錄用了，若乙被錄用了，若丙被錄用了，再逐一判斷即可.

【詳解】

解：若甲被錄用了，則甲的說法錯(cuò)誤，乙，丙的說法正確，滿足題意,

若乙被錄用了，則甲、乙的說法錯(cuò)誤，丙的說法正確，不符合題意，

若丙被錄用了，則乙、丙的說法錯(cuò)誤，甲的說法正確，不符合題意，

綜上可得甲被錄用了，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了邏輯推理能力，屬基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開式的公式得到具體為:

【詳解】

根據(jù)二項(xiàng)式的展開式得到可以第一個(gè)括號(hào)里出3d項(xiàng)，第二個(gè)括號(hào)里出項(xiàng)，或者第一個(gè)括號(hào)里出第二個(gè)括號(hào)里

X

出3，具體為：（3X3）Cg27+/?Cg26

化簡(jiǎn)得到-1280x2

故得到答案為：A.

【點(diǎn)睛】

求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：

⑴求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第廠+1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出廠值即可.

⑵已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r+1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出廠值，最后求出

其參數(shù).

8、B

【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，把

最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得結(jié)論.

【詳解】

x+V<2

畫出約束條件2x-3yW9,表示的可行域，如圖,

x>0

x+y-2=0尤=3

由<可得

2x-3y-9=0y=—1'

將z=2x+y變形為y=-2x+z,

平移直線y=-2x+z，

由圖可知當(dāng)直y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)（3,—1）時(shí)，

直線在y軸上的截距最大，

z最大值為z=2x3—1=5,故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、

三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變

形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.

9、A

【解析】

設(shè)CA=CG=2C3=2,延長(zhǎng)4耳至。，使得4用=用。，連BD,Cp,可證A與/AB。，得到/。刀。（或補(bǔ)角）

為所求的角，分別求出BG，A5i，G。，解GBD即可.

【詳解】

設(shè)G4=CG=2C3=2,延長(zhǎng)A耳至。，使得4用=用。，

連BD,C[D,在直三棱柱ABC—中，43//4片,45=4用，

AB//B}D,AB=BtD,四邊形ABDB}為平行四邊形,

.-.ABJ/BD,..ZQBD（或補(bǔ)角）為直線BG與A與所成的角,

在放△BCG中，BC[=《CC；+BC2=小,

2

在用△A4G中,4瓦=7ACI2+5IG2=品cosNBiAG=

在AC。中,

￡￡)2=4。2+4。2-2AJAOCOS/8]4G=4+20-16=8,

在RtAAA^B,中，AB|=+=3,/.BD=AB]=3,

BC：+BD?-CP?5+9-86

在Bq。中，cosZQBD=

2BC〔BD6A/5-5

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查異面直線所成的角，要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可，屬于中檔題.

10、C

【解析】

根據(jù)空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)得到結(jié)果.

【詳解】

對(duì)于A,若。〃分，則/,根可能為平行或異面直線，4錯(cuò)誤；

對(duì)于3,若則。加可能為平行、相交或異面直線，B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,若1工。,且/ua,由面面垂直的判定定理可知。上分，C正確；

對(duì)于。，若。，尸，只有當(dāng)機(jī)垂直于名，的交線時(shí)才有機(jī)，。，。錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系相關(guān)命題的辨析，關(guān)鍵是熟練掌握空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相關(guān)命題.

11、B

【解析】

設(shè)P（x,y）,利用兩點(diǎn)間的距離公式求出機(jī)的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出M的最大值時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橢

圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.

【詳解】

設(shè)P（x,y）,因?yàn)锳是拋物線d=4》的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)歹為拋物線的焦點(diǎn)，

所以4(0,—1)，/(0,1),

當(dāng)y=0時(shí)，m=l9

當(dāng)且僅當(dāng)y=l時(shí)取等號(hào)，，此時(shí)

\PA\=2y/2,\PF\=2,

點(diǎn)P在以A,P為焦點(diǎn)的橢圓上，2c=\AF\=2,

???由橢圓的定義得2a=|PA|+|PF|=2A/2+2,

c2c2/—.

所以橢圓的離心率=五二5=應(yīng)-1,故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查橢圓的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率

有以下幾種情況：①直接求出J從而求出e；②構(gòu)造a,c的齊次式，求出e；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定

義來求解.

12、C

【解析】

求出集合A,B,黑B,由此能求出A（5RB）.

【詳解】

H為實(shí)數(shù)集，4=息|/_啜0}={幻_1y?i},B={x\-^}={x\G<x1},

\B={x|0或x>1},

.'.A-03）={x|-掇Jc0}.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查交集、補(bǔ)集的求法，考查交集、補(bǔ)集的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

由已知得歸娟=3|。閶即歸耳「=9|PK『，歸與「=（2一4+2,可解得j由網(wǎng)2,0）在雙曲線C上,代入即可求得

雙曲線方程,然后求得直線尸耳的方程與雙曲線方程聯(lián)立求得點(diǎn)A坐標(biāo)，借助5“肥=S\PF\F2~9即可解得所求.

【詳解】

由已知得歸耳1=3歸閭，又|PK「=（2+c『+2,|P^|2=（2-C）2+2,所以（2+cy+2=9[（2—c『+2],解得

4242

2

所以19一聲或1a2b，所以《（舍去），因

a2+b2-9a2+b2=4

此雙曲線。的方程為蚤-9=1.又打（―3.0）,所以線段尸耳的方程為歹=?（%+3）,與雙曲線。的方程聯(lián)立消去

X整理得8y2—10匹y+4=0,所以％=乎，％=及，所以點(diǎn)A坐標(biāo)為一（，￥，所以

<6x6工6義昱=也

44

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線方程的求解，考查求三角形面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度較難.

14、（0,0）

【解析】

利用動(dòng)點(diǎn)P到直線％=-1的距離和他到點(diǎn)b(L0)距離相等，，可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以b(1,0)為焦點(diǎn)的拋物線,從而可

求曲線的方程，將y=4),代入y2=4x,利用韋達(dá)定理，可得=0，從而可知以A5為直徑的圓經(jīng)過

原點(diǎn)O.

【詳解】

設(shè)點(diǎn)P(x,y),由題意可得x+]=J(無一1)2+y2,(x+l)2=(x—l)2+y2,X2+2x+l=x2-2x+l+y2,可得

y2=4x,設(shè)直線AB的方程為y=4),代入拋物線可得

左2%2—4(2/+1b+16左2=0，%馬=16,X,+x2=(/——-，

.?.%%=〃(％-4)(士-4),

石光2+K%=(公+1)石龍2—4左2(X]+9)+16左2

=16(左2+1)—4左28：：4+]612=o,

OAOB=0＞以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)。.

故答案為：(0,0)

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的定義，考查了直線和拋物線的交匯問題，同時(shí)考查了方程的思想和韋達(dá)定理，考查了運(yùn)算能力，

屬于中檔題.

15、1

【解析】

根據(jù)即可得出「0=2—2根=0，從而求出機(jī)的值.

【詳解】

解：＜;

；?〃?b=2-2m=0；

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題考查向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.

16、[0，|_

【解析】

由二倍角公式降幕，再由兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可求得值域.

【詳解】

y=73sinxcosx+cos2x=—sin2x+^-^^=—sin2x+-cos2x+-=sin[2x+-^+-

22222{62I2；

?■-2X+fef貝！)sin+7e41

,sin2”71+\。，|.

62

故答案為：（o,|].

【點(diǎn)睛】

本題考查三角恒等變換（二倍角公式、兩角和的正弦公式），考查正弦函數(shù)的的單調(diào)性和最值.求解三角函數(shù)的性質(zhì)的

性質(zhì)一般都需要用三角恒等變換化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）3360元；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算每個(gè)農(nóng)戶的平均損失；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算隨機(jī)變量X的可能取值，再求X的分布列和數(shù)學(xué)期望值.

【詳解】

（1）記每個(gè)農(nóng)戶的平均損失為彳元，則

元=1000X0.3+3000X0.4+5000x0.18+7000x0.06+9000x0.06=3360；

（2）由頻率分布直方圖，可得損失超過1000元的農(nóng)戶共有（0.00009+0.00003+0.00003）x2000x50=15（戶），損失超

過8000元的農(nóng)戶共有0.00003x2000x50=3（戶），

隨機(jī)抽取2戶，則X的可能取值為0,1,2；

計(jì)算P(x=0)=乎=器,

比535

C11

匕12匕312

P(X=l)

C235

^15

所以X的分布列為;

X012

P22121

353535

數(shù)學(xué)期望為E(X)=0xg1+lx景+2x±=V.

3535355

【點(diǎn)睛】

本題考查了頻率分布直方圖與離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望計(jì)算問題，屬于中檔題.

18、(1)極坐標(biāo)方程為Q=2COS。，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，，⑵縣

4

【解析】

(1)利用極坐標(biāo)方程、普通方程、參數(shù)方程間的互化公式即可5

(2)只需算出A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，利用S=1■以夕Blsin(4-

-4)1計(jì)算即可.

【詳解】

x=1+cosa

(1)曲線C：\為參數(shù),0＜。＜2萬)

y=sma

o(x-l)2+y2=1O%2+＞2=2%=22=2pcos0op=2cos8,

TF

將6=§代入，解得夕o=l,

即曲線C的極坐標(biāo)方程為Q=2cos夕，

點(diǎn)A的極坐標(biāo)為

(2)由(1),得點(diǎn)A的極坐標(biāo)為

由直線機(jī)過原點(diǎn)且傾斜角為《，知點(diǎn)8的極坐標(biāo)為]點(diǎn)看.

SMBO=gxlx6xsin[g—W(字.

【點(diǎn)睛】

本題考查極坐標(biāo)方程、普通方程、參數(shù)方程間的互化以及利用極徑求三角形面積，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)

題.

19、(1)有97.5%的把握認(rèn)為顧客購物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)；(2)67元，見解析.

【解析】

(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)代入公式，結(jié)合臨界值即得解；

(2)X的可能取值為40,60,80,1,根據(jù)題意依次計(jì)算概率，列出分布列，求數(shù)學(xué)期望即可.

【詳解】

(1)由題得

天2_200(40x40-80x40)2

5.556>5.024,

-120x80x80x1209

所以，有97.5%的把握認(rèn)為顧客購物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān).

(2)由題意可知X的可能取值為40,60,80,1.

1113

p(X=40)=-x60%=-,P(X=60)=-x60%=—,

p(X=80)=30%+|x60%=|,P(X=90)=10%/.

則X的分布列為

X4060801

1321

P

510510

1321

所以，EX=40x-+60x—+80x-+90x—=67(元).

510510

【點(diǎn)睛】

本題考查了統(tǒng)計(jì)和概率綜合，考查了列聯(lián)表，隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等知識(shí)點(diǎn)，考查了學(xué)生數(shù)據(jù)處理，綜合分

析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

20、(1)(-W,0)L(4,4W)(2)證明見解析

【解析】

(1)將不等式化為|a-3|+|a-1|>4,利用零點(diǎn)分段法，求得不等式的解集.

(2)將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證VxwH,2sinx2-|a-1|-4+1恒成立，由2sinx的最小值為-2,得到只要證

a

即證122,利用絕對(duì)值不等式和基本不等式，證得上式成立.

aa

【詳解】

n

(1)?:于>6,.12+1a—31+1a—11>6,即|a—3|+|a—1|>4

a—3+a—1>4

當(dāng)。之3時(shí)，不等式化為9??a>4

a>3

(3—a)+(tz—1)>4

當(dāng)l<a<3時(shí)，不等式化為1<?<3'此時(shí).無解

(3—ci)+(1—ci)>4

當(dāng)aWl時(shí)，不等式化為9??av0

a<\

綜上，原不等式的解集為（Y,0）_（4,4W）

（2）要證也￡火，/（%）才?！?|一1+1恒成立

a

即證VxwH,2sinx>—\a—\\----Fl恒成立

a

:2sinx的最小值為-2,?,?只需證—22—|a—11-----\-1,即證|a—1|T----卜1N2

aa

XI(2-1|+—+1>(2-1+—+1

aa

???|a—1|+,+122成立，，原題得證

a

【點(diǎn)睛】

本題考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)、解法，基本不等式等知識(shí)；考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化，分

類與整合思想.

21、(1)—+y2=l(2)k>l+^-^k<-l~—

222

【解析】

（1）由已知條件得到方程組，解得即可；

（2）由題意得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為Y=區(qū)+2,屈（小乂）,可（七%）,聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理,

由/>0得到左2的范圍，設(shè)弦MN中點(diǎn)坐標(biāo)為P（x。,%）則x°=受產(chǎn),%=些7>0,所以尸在X軸上方，只需

—Vn+10

位于AA片層內(nèi)(含邊界)就可以，即滿足?八，得到不等式組，解得即可

一&+%T<0

【詳解】

a=V2

解：(1)由已知橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),離心率為

b=l

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y+

(2)由題意得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為、=區(qū)+2,河(玉,％),陽尤2，%)

%，+2V，=2%女6

聯(lián)立〈■,消元整理得（2左2+1）必+8&+6=0,x.+x^=------——,x.x2=--——

y=kx+2-2k2+12k2+1

3

由A=64/—4（2左2+1）義6