2022年高考數(shù)學(xué)試題（新高考Ⅰ）（解析版）

絕密☆啟用前試卷類型：A

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)

號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上用2B鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應(yīng)位

置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角”條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的

答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答

在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答

案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若集合Af={x]?<4},N={x|3xNl},則以N=()

A.1x|0<x<2}B.<xx<2>C.1x|3<x<16}D.

1，二

3

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合后可求McN.

詳解】Af={%|0<%<16},?/={%|%>^},故MN=<x^<x<16>,

故選：D

2.若i(l—z)=l,貝Uz+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求z,從而可求z+N.

【詳解】由題設(shè)有1—z=；=/=—i,故Z=l+i，故z+N=(l+i)+(l—i)=2,

故選：D

3.在4ABe中，點(diǎn)。在邊AB上，BD=2DA.記CA=〃%CD=〃，則CB=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.

2m+3n

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊上，BD=2DA，所以5。=2加，即

CD-CB=2(CA-CD),

所以C5=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n.

故選:B.

4.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水

庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水

面的面積為180.0km2,將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從

海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為(S合2.65)()

A.1.0xl09m3B.1.2xlO9m3C.1.4xl09m3D.

1.6xl09m3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意只要求出棱臺(tái)的高，即可利用棱臺(tái)的體積公式求出.

【詳解】依題意可知棱臺(tái)的高為"N=157.5-148.5=9(m),所以增加的水量即為棱臺(tái)的

體積K.

棱臺(tái)上底面積S=140.0km2=140xl()6m2,下底面積S'=180.0km2=180xl06m2，

AV=1/Z(S+S,+A/SS7)=1X9X(140X106+180X106+V140X180X1012)

=3x(320+6077)x106?(96+18x2.65)x107=1.437xl09?1.4xl09(m3).

//

故選：c.

5.從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）

111

A.—B.—C.-D.

632

【答案】D

【解析】

【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.

【詳解】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有C；=21種不同的取法,

若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7種,

21-72

故所求概率P=-------=—.

故選：D.

6.記函數(shù)f（x）=sin[0x+?J+O（0＞O）的最小正周期為T.若符＜?。?,且

y=/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)[￡,2）中心對(duì)稱，則（）

35

A.1B.—C.—D.3

22

【答案】A

【解析】

【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.

27r27r27r

【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足一＜T＜71,得——＜——＜71,解得2＜。＜3,

33co

又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)弓,2對(duì)稱,37r7T

所以————=k7i,keZ,且〃=2,

24

1255n

所以啰=——+一左,左wZ,所以啰二一/(%)=sin+2,

63224

所以\^|=sin[：?+?]+2=L

故選：A

7.設(shè)a=O.le°」,b=g,c=—ln0.9,貝U(

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.

a<c<b

【答案】C

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(%)=ln(l+%)—%,導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定大小.

1V-

【詳解】設(shè)/(x)=ln(l+%)—%(%>—1),因?yàn)??'(1)=-------1=--------,

1+x1+x

當(dāng)xe(—l,O)時(shí)，f'(x)>0,當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)/'(x)<。，

所以函數(shù)f(x)=ln(l+x)-x在(0,+8)單調(diào)遞減，在(—1,0)上單調(diào)遞增，

所以/d)</(0)=0，所以InW—L<0,故!>ln竺=—山0.9，即b>c，

J99999

1Q1Q_±11_1

所以/(一一)</(0)=0,所以ln—+—<0,故Z<ei。，所以_Lei°<上,

10101010109

故a<b,

[(x2—l)e%+1

r

設(shè)g(x)=xe'+ln(l-x)(0<x<1),則g(x)=(x+l)e*+——=------'------，

X1X1

令■%)=ex(x2-l)+l,h'(x)=ex(x2+2x-l),

當(dāng)0<x(友一1時(shí)，〃(x)<。，函數(shù)力(x)=e%——i)+i單調(diào)遞減,

當(dāng)逝—1<X<1時(shí)，h\x)>0,函數(shù)用x)=e%x2-1)+1單調(diào)遞增,

又縱0)=0,

所以當(dāng)0＜工＜后—1時(shí)，/z(x)＜0,

所以當(dāng)0〈尤＜應(yīng)一1時(shí),g'(x)＞。,函數(shù)g(x)=xe*+ln(l—x)單調(diào)遞增，

所以g(01)＞g(0)=0,即0.1e°'＞-ln0.9,所以

故選：C.

8.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36乃，且

3W/W3石，則該正四棱錐體積的取值范圍是()

A/p>

B.D.

44T'T

[18,27]

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)正四棱錐的高為力，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)

系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.

【詳解】：球的體積為36乃，所以球的半徑H=3,

設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a,高為4,

則『=2儲(chǔ)+〃2,32=2a2+(3-h)2,

所以6h—I2，2a2=I2—h2

(6A

112/4/21I4--7

所以正四棱錐的體積V——Sh=—x4a2x/z=—x(Z2——)x—=

3333669136)

c

11,,6、1(24—廣)

所以V，=—4/3一一=-/8

916)9I6J

當(dāng)3〈/<2?時(shí)，V'>0,當(dāng)2指</<36時(shí)，V'<0,

所以當(dāng)/=2萌時(shí)，正四棱錐的體積丫取最大值，最大值為日,

27Q1

又/=3時(shí)，丫=彳，/=3月時(shí)’V=y

27

所以正四棱錐的體積丫的最小值為1,

2764

所以該正四棱錐體積的取值范圍是---

43

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0

分.

9.已知正方體,貝！|()

A.直線Bq與。A所成的角為90。B.直線與C&所成的角為90。

C.直線BG與平面叫所成的角為45。D.直線與平面A8CD所成的角為

45°

【答案】ABD

【解析】

【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】如圖，連接用。、BG，因?yàn)镈A/ABC，所以直線BG與耳。所成的角即為直

線BG與。4所成的角，

因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則用CLBG，故直線BG與。4所成的角為90。，A正

確；

連接AC，因?yàn)锳4，平面BBJGC,5C]u平面53JGC,則4耳，，

因?yàn)榘貱LBG，4與耳。=耳，所以BG，平面A^C,

又ACu平面ABC，所以故B正確；

連接AG，設(shè)AGI44=0,連接30,

因?yàn)锽B,1平面，C0U平面，則G。1B[B,

因?yàn)椤?，用2，BiRcBiB=Bi，所以G。，平面842。，

所以ZQBO為直線BQ與平面BBRD所成的角，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則。1。=正，6￡=夜，sinNG30=5g=；,

所以，直線8G與平面8月，。所成的角為30,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)镚C,平面A3CD,所以NG3C為直線8G與平面A3C。所成的角，易得

ZQBC=45,故D正確.

故選：ABD

10.已知函數(shù)/（刈=犬—X+1,則（）

A.f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)B.“X）有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)（0,1）是曲線y=7（x）的對(duì)稱中心D.直線y=2x是曲線＞=/（元）的切

線

【答案】AC

【解析】

【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A,結(jié)合Ax）的單調(diào)性、極值可判斷B,利用平移可判

斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.

【詳解】由題，/'(x)=3f—1,令/，(￡)〉。得X〉豐或x<—/,

令r(x)<o得一無(wú)<x<走，

33

所以“X)在(-上單調(diào)遞減，在(-00,-,+oo)上單調(diào)遞增,

所以x=±@是極值點(diǎn)，故A正確;

3

因"-#)=1+孚＞0,/(孚=1-孚＞0,/(-2)=-5＜0,

所以，函數(shù)/(九)在—00,—上有一個(gè)零點(diǎn),

當(dāng)x2日時(shí)，〃司之/[?|〉。，即函數(shù)八％)在與

+co上無(wú)零點(diǎn),

)

綜上所述，函數(shù)"X)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤;

令丸(x)=13-x,該函數(shù)的定義域?yàn)镽,//(-%)=(-%)3-(-%)=-x3+x=-h^x),

則”(x)是奇函數(shù)，(0,0)是人(x)的對(duì)稱中心,

將/x)的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到/(x)的圖象，

所以點(diǎn)(0,1)是曲線>=于3的對(duì)稱中心，故C正確；

令尸(力=3/_1=2,可得尤=±1,又/(1)=〃—1)=1,

當(dāng)切點(diǎn)為(U)時(shí)，切線方程為y=2x—1,當(dāng)切點(diǎn)為(—1,1)時(shí)，切線方程為，=2x+3,

故D錯(cuò)誤.

故選：AC

11.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(l,l)在拋物線。：爐=2加5〉0)上，過(guò)點(diǎn)§(0,-1)的直線

交C于P,。兩點(diǎn)，貝|()

A.C的準(zhǔn)線為y=-1B.直線AB與C相切

C.|。叩0。|〉1時(shí)D.\BP\-\BQ\>\BA\1

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出拋物線方程可判斷A,聯(lián)立A2與拋物線的方程求交點(diǎn)可判斷B,利用距離

公式及弦長(zhǎng)公式可判斷C、D.

【詳解】將點(diǎn)A的代入拋物線方程得1=2",所以拋物線方程為好=>,故準(zhǔn)線方程為

y=一:,A錯(cuò)誤；

1-(-1)

=所以直線的方程為y=2x-l,

1-0

y=2x-l

聯(lián)立〈2，可得必一2%+1=0,解得x=l,故B正確；

x=y

設(shè)過(guò)3的直線為7,若直線/與y軸重合，則直線/與拋物線。只有一個(gè)交點(diǎn)，

所以，直線/的斜率存在，設(shè)其方程為y=Ax-1,尸(和％),。(々,%),

V-ICY—1

聯(lián)立{2，得％2-6+1=0，

[x=y

△=/—4〉0

所以<x}+x2=k,所以左>2或左<-2,%%=(苞々)2=1，

xrx2=1

又IOP|=&+y；=?\OQ\=+￡=J%+￡'

所以I。尸|?|CQ|=小%%(1+%)(1+%)=J儂x5=1左l>2=|(M]2,故C正確；

2

因?yàn)?3Pl=J1+42|七|，\BQ\=sjl+k|x2b

所以15Pl43。|=(1+左2)1%]%1=1+左2>5,而|A4『=5,故D正確.

故選：BCD

12.已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(X)的定義域均為R,記g(x)=/'(x),若2x；

g(2+x)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.g]—￡|=0C./(-1)=/(4)D.

g(-l)=g(2)

【答案】BC

【解析】

【分析】轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性

質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.

【詳解】因?yàn)椤?x；g(2+x)均為偶函數(shù)，

g(2+x)=g(2—x),

所以"3—x)=〃x),g(4—x)=g(x),則/(—l)=/(4),故C正確;

3

函數(shù)/⑺，g(x)的圖象分別關(guān)于直線x=—,x=2對(duì)稱，

2

又g(X)=7'(X)，且函數(shù)Ax)可導(dǎo)，

所以g1|]=0，g(3—x)=-g(x),

所以g(4-x)=g(x)=—g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以g[—；]=g1||=0，g(—l)=g(l)=—g(2),故B正確，D錯(cuò)誤；

若函數(shù)AM滿足題設(shè)條件，則函數(shù)f(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定

Ax)的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化題干條件為抽象函數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確把握原函

數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系，準(zhǔn)確把握函數(shù)的性質(zhì)(必要時(shí)結(jié)合圖象)即可得解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.1l-;[x+y)8的展開式中好:/的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

【答案】-28

【解析】

【分析】11-可化為(x+y7—：(x+y)8,結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求

【詳解】因?yàn)?1--(x+y)8=(x+y)8--(x+y)8,

\,XJXX

8

所以X+V)的展開式中含的項(xiàng)為C52y6—江3y5=—28/y6,

X

1-^(x+y)8的展開式中x2/的系數(shù)為-28

故答案為：-28

14.寫出與圓d+y2=1和(X—3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程

35725

【答案】y=——x+—或y=—x-一^或x=—1

44-2424

【解析】

【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.

【詳解】圓好+寸=i的圓心為o（o,o）,半徑為1，圓（%—3）2+（丁—4）2=16的圓心。

為（3,4）,半徑為4，

兩圓圓心距為,3?+4?=5,等于兩圓半徑之和，故兩圓外切,

如圖,

433

當(dāng)切線為,時(shí)，因?yàn)槟?所以“設(shè)方程為尸-片+9。）

535

o到/的距離'解得”“所以/的方程為安一片+“

當(dāng)切線為加時(shí)，設(shè)直線方程為乙+丁+。=0,其中p>0,k<Q,

-I-—]k」

&+k2"24_725

由題意<,解得＜__,y——x-----

\3k+4+p\25-2424

=4p=-

24

當(dāng)切線為〃時(shí)，易知切線方程為x=-1,

357生或x=-1.

故答案為：y=—xH—或'=二7冗一

442424

15.若曲線y=(x+a)e，有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則。的取值范圍是

【答案】(-8,-4)。(0,+8)

【解析】

【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)尤0,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)得到

關(guān)于與的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得。的取值范圍.

【詳解】丁y=(x+i)e",y'=(%+l+o)e”，

設(shè)切點(diǎn)為(X0，%)，則為=(%+a)e為,切線斜率左=(%+1+a)e",

%b

切線方程為：y-(x0+a)e-=(x0+l+a)e-'(x-x0),

:切線過(guò)原點(diǎn)，.一(％+a)e"=(x(,+l+a)e'"(-%(；),

整理得：XQ+ax0—a=0,

:切線有兩條，，?="+4a>0,解得a<—4或a>0,

。的取值范圍是(—8,T)u(0,+e),

故答案為：(一8,-4)。(0,+8)

22

16.已知橢圓。：=+4=1(?！怠！?),C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為打，工，離心率

ab

為義.過(guò)耳且垂直于AK的直線與C交于。，￡兩點(diǎn)，IDE1=6,則AD石的周長(zhǎng)是

【答案】13

【解析】

22

【分析】利用離心率得到橢圓的方程為三+六=1，BP3X2+4V2-12C2=0,根據(jù)離

心率得到直線AK的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線OE的斜率，寫出直線OE

的方程：x=y/3y-c,代入橢圓方程3必+4/一12,2=0,整理化簡(jiǎn)得到：

1a1a

13y2一6瓜丫一9c2=0,利用弦長(zhǎng)公式求得c=」，得a=2c=,，根據(jù)對(duì)稱性將

--84

ADE的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AF°DE的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為4a=13.

c1

【詳解】,?,橢圓的離心率為e=—二7，.??a=2c,???〃="—/=3c2,???橢圓的方程

a2

22

為：3+$5=1,BP3x2+4y2-12c2=0,不妨設(shè)左焦點(diǎn)為月，右焦點(diǎn)為工，如圖所

JT

示，OF?=c,a=2c,/A《0=§,△4片區(qū)為正三角形，：過(guò)￡且

垂直于A8的直線與C交于。，￡兩點(diǎn)，OE為線段Ag的垂直平分線，.?.直線DE的斜

率為且，斜率倒數(shù)為直線。E的方程：x=y/3y-c,代入橢圓方程

3

3x2+4y2-12c2=0,整理化簡(jiǎn)得到：13y?—6代0—9c?=0,

判另U式?=(6石C『+4X13X9C2=62X16X，2,

\CD\=^1+(^3)1%-%|=2x^=2x6x4x^|=6，

c=U，得a=2c=U

84

為線段A"的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，AD=DF2,AE^EF2,/.ADE的周

長(zhǎng)等于△鳥DE的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到△鳥DE周長(zhǎng)為

\DF2\+\EF,\+\DE\=|DF?\+\EF,|+|DF{\+\環(huán)HDFI|+|DF]|+|E4|+|Eq=2a+2a=4a=13

故答案為：13.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟.

fS]1

17.記S.為數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，已知q=11。卜是公差為彳的等差數(shù)列.

(1)求｛?！保耐?xiàng)公式;

111c

(2)證明：一+—++一<2.

fT

.n(n+\\

【答案】(1)4=△——-

2

(2)見解析

【解析】

【分析】(1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得」L=l+w(〃-1)=二一，得到

433

=5+2”〃,利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)〃》2時(shí)，

3

a"=S"—S"=("+2”〃_(九+1)%1,進(jìn)而得:—=^,利用累乘法求得

an="I；”,檢驗(yàn)對(duì)于〃=1也成立，得到｛??｝的通項(xiàng)公式an="?1)；

111/1)

(2)由(1)的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到一+—++—=21—-,進(jìn)而證得.

axa2an\n+lj

【小問(wèn)1詳解】

:q=1,「?1=%=1,=1,

S11

又??,1是公差為一的等差數(shù)列，

l^J3

a“33"3

...當(dāng)〃之2時(shí)，Si=(〃+1)4T,

3

._v<_("+2)。,+

,?4〃_3"一3〃—1―，

整理得：(〃_1)4=(〃+1)，

=a1x-x-x...x〃x——

Q]。2a-2an-\

n

134nn+ln(n+l)

=lx—x—x...x---x----

23n—2n—l2

顯然對(duì)于〃=1也成立,

{%}的通項(xiàng)公式4=

2

【小問(wèn)2詳解】

121

=2R-

H+1

11111

???一+——++—=2I1-—|+<2

ciyCL)an2nn+1

cosAsin23

18.記ABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,c,已知

1+sinA1+cos2B

27r

（1）若。=—，求5；

3

2,12

（2）求“的最小值.

c

IT

【答案】（1）

6

(2)472-5.

【解析】

cosAsin23,,4

【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將--------化成

1+sinA1+cos25

cos（A+B）=sinB,再結(jié)合即可求出;

7TJra2+b2

(2)由(1)知,C=-+B,A=——IB,再利用正弦定理以及二倍角公式將

22c2

2

化成4cos2B+—5,然后利用基本不等式即可解出.

cos2B

【小問(wèn)1詳解】

cosAsin2B2sinBcosBsinB

因?yàn)?即

1+sinA1+cos2B2cos2Bcos5

sinB-cosAcosB-sinAsinB-cos(A+B)=-cosC=g

而0<B〈烏，所以B==；

26

【小問(wèn)2詳解】

兀兀

由(1)知，sinB=—cosC>0,所以5<。<兀,0<3<,,

而sinB=-cosC=sin一'J,

7TTT

所以c=—+B,即有A=——2B.

22

2222

“2〃+/sinA+sinBcos2B+l-cosB

所以一Z-=-----5------=---------Z-------

c2sin2Ccos2B

(2cos2B-1)+1-cos?B

=4COS2B+-^--522&-5=40-5?

cos2BCOS2B

當(dāng)且僅當(dāng)cos2B=^~時(shí)取等號(hào)，所以I[一的最小值為472-5.

19.如圖，直三棱柱A3C—的體積為4，43。的面積為2亞.

（1）求A到平面ABC的距離;

（2）設(shè)。為A。的中點(diǎn)，AA=AB,平面ABC，平面ABB14,求二面角

A—5D—C的正弦值.

【答案】（1）夜

⑵此

2

【解析】

【分析】（1）由等體積法運(yùn)算即可得解；

（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得平面43用4,建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間

向量法即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

在直三棱柱ABC-4與G中，設(shè)點(diǎn)A到平面ABC的距離為/7,

12、歷114

則VAABC=3S&BC,人V_A]A=-V_=-

-,=~^~h=AABC=~sABC-4BCAB1C1

解得h=V2，

所以點(diǎn)A到平面AXBC的距離為行；

【小問(wèn)2詳解】

取48的中點(diǎn)及連接AE,如圖，因?yàn)樗?/p>

又平面\BC±平面ABB.A,,平面\BC\｝平面ABB.A,=A.B,

且AEu平面所以平面ABC,

在直三棱柱ABC—A4G中，BBx1平面ABC,

由BCu平面ABC,6。匚平面48?？傻帽?，3。，BB11BC,

又AE,BB]u平面AB4A且相交，所以3C,平面A34A,

所以3c,癡,351兩兩垂直，以8為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由（1）得AE3,所以朋=43=2,"=2也,所以BC=2,

則A（0,2,0）,A（0,2,2）,B（0,0,0）,C（2,0,0），所以4。的中點(diǎn)￡＞（1,1,1）,

則84=（0,2,0）取=（2,0,0）,

m-BD=x+y+z=O

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量機(jī)=（尤,y,z）,貝卜

m-BA=2y=0

可取加=(1,0,—1),

,、m-BD=a+b+c=0

設(shè)平面3DC的一個(gè)法向量〃=(a,b,c),則v

m-BC-2a=0

可取i=

/--\m-n11

；產(chǎn)=—

人Ijlilco's{'m,n)'=|?—mj|.-|p?-|i=—V=2——xV22'

所以二面角A—BD—C的正弦值為j—[g]=?.

20.一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好

和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)

在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù):

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選

P(B|A)^P(B\A)

到的人患有該疾病”.=與---3=~的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程

P(B|A)P(5|A)

度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R

P(A|3)P(A|B)

(i)證明:

P(A|5)P(A|B)

（ii）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P（A13）,尸（A|萬(wàn)）的估計(jì)值，并利用（i）的結(jié)果給出R的

估計(jì)值.

附K?=W-bcY

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）答案見解析

(2)(i)證明見解析；(ii)H=6；

【解析】

【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出R2的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有

99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未黃該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；(2)(i)根據(jù)定義結(jié)合

條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)(i)結(jié)合已知數(shù)據(jù)求R.

【小問(wèn)1詳解】

由已知K2=n(ad—bc)2=200(40x90-60x10)2=，

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)50x150x100x100'

又”226.635)=0.01,24>6,635,

所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

【小問(wèn)2詳解】

⑴因?yàn)榻欣?迪包=小也3?港?叼

P(B|A)P(B|A)P(A)P(AB)P(A)P(AB)

P(AB)P(B)P(通)尸(耳)

所以R=

P(B)P(AB)P(B)P(AB)

P(A|3)P(A\B)

所以R=

P(A\B)P(A\B)

(ii)

由己知「(A|3)=&,P(A|B)=—,

100100

又P(A-|3)=之60，P(A——|B)=—90,

100100

PG4|B)P(Zq)一6

所以R=P(A\B)P(A\B)~

21.已知點(diǎn)42,1)在雙曲線。：5——J=1(a〉i)上，直線/交C于P,。兩點(diǎn)，直線

a"礦_1

AP,AQ的斜率之和為0.

(1)求/的斜率；

(2)若tan/PAQ=2jI,求△R4Q的面積.

【答案】(1)-1；

⑵巫.

9

【解析】

【分析】（1）由點(diǎn)42,1）在雙曲線上可求出。，易知直線/的斜率存在，設(shè)/:y=Ax+m,

。（%,%）,。（9，%），再根據(jù)做尸+演戶=0，即可解出/的斜率；

（2）根據(jù)直線AP,AQ的斜率之和為0可知直線AP,AQ的傾斜角互補(bǔ)，再根據(jù)

tanZPA2=272即可求出直線”,AQ的斜率，再分別聯(lián)立直線AP,AQ與雙曲線方程

求出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)，即可得到直線尸。的方程以及尸。的長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線的距離公式求出

點(diǎn)A到直線P。的距離，即可得出△R4Q的面積.

【小問(wèn)1詳解】

Y2-V241

因?yàn)辄c(diǎn)A（2,l）在雙曲線c：j———=1（。〉1）上，所以。——--=1,解得片=2，

a2?2-la2a2-l

2

即雙曲線C：Lr—y2=1

2

易知直線/的斜率存在，設(shè)/:y=Ax+m,

y=kx+m

聯(lián)立《

A=16m2k?+4（2加2+2）（2左2—1）>0n—]+2左2>0

—

y91y—1

所以由左轉(zhuǎn)+演P=0可得，/一；+」^=0,

X?一LXj-L

即（％-2）（辰2+m_1）+（%2-2）（何+m-l）=O,

即2gx2+（加—1?2左）（石+x2）-4（m-l）=0,

4mk

2k2-

化簡(jiǎn)得，8人之+4左一4+4"i（左+1）=0,即（左+1）（2左一1+）=。,

所以左二一1或m=1一2左，

當(dāng)m=1—2左時(shí)，直線/:丁=辰+根=左（x—2）+1過(guò)點(diǎn)A（2,l）,與題意不符，舍去,

故上二—1.

【小問(wèn)2詳解】

不妨設(shè)直線？A,依的傾斜角為名分（。＜0，因?yàn)榍?即尸=0,所以。+/二兀，

因?yàn)閠anNPAQ=2A/^,所以tan（尸-,即tan2a=-2A/^，

即A/2tan2a—tana—夜=0,解得tana=41，

于是，直線上4:丁=應(yīng)(無(wú)一2)+1,直線P3:y=—0(x—2)+1,

^=V2（x-2）+l

2

聯(lián)立尤2,可得，-X+2（1-2V2）X+10-4^=0,

3-y=I

因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為2,所以修=1。-；&,力=405,

同理可得，4J0+產(chǎn),幾=一丫—5.

所以PQ:x+y-：=0,|PQ|=g,

2+1--

點(diǎn)A到直線PQ的距離132V2r,

a=7=—=--

413

故△PAQ的面積為L(zhǎng)x更乂速=更也.

2339

22.已知函數(shù)/0)=蜻-儀和g(x)=tzx-lnx有相同最小值.

(1)求a；

(2)證明：存在直線丁=匕，其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并

且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

【答案】(1)。=1

(2)見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求

。.注意分類討論.

(2)根據(jù)(1)可得當(dāng)b>l時(shí)，e'—x=b的解的個(gè)數(shù)、x—lnx=b的解的個(gè)數(shù)均為2,

構(gòu)建新函數(shù)丸(x)=e'+lnx-2x,利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且可得/(x),g(x)

的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線y=b與曲線y=/(x)、y=g(x)有三個(gè)不同的交點(diǎn)可得b

的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.

【小問(wèn)1詳解】

/(%)=ex-ax的定義域?yàn)镽,而f'(x)=el-a,

若a40,貝i]/'(x)>0,此時(shí)/(x)無(wú)最小值，故a>0.

g(x)=ox—ln尤的定義域?yàn)?0,+00),而g'(x)=a-!=—~.

XX

當(dāng)x<Ina時(shí)，f'(x)<0,故/⑴在(—8』na)上為減函數(shù)，

當(dāng)x>lna時(shí)，f\x)>0,故/")在