2023屆四川省成都市名校高三下期4月定時訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題（文）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市名校2023屆高三下期4月定時訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共計60分.在每小題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的.1.滿足等式的集合X共有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個〖答案〗D〖解析〗方程的實數(shù)根有，解集構(gòu)成的集合為，即，則符合該等式的集合為，，，，故這樣的集合共有4個.故選：D.2.法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)的公式推動了復(fù)數(shù)領(lǐng)域的研究.根據(jù)該公式，可得（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意可知，故，故選：B.3.已知建筑地基沉降預(yù)測對于保證施工安全，實現(xiàn)信息化監(jiān)控有著重要意義．某工程師建立了四個函數(shù)模型來模擬建筑地基沉降隨時間的變化趨勢，并用相關(guān)指數(shù)、誤差平方和、均方根值三個指標(biāo)來衡量擬合效果．相關(guān)指數(shù)越接近1表明模型的擬合效果越好，誤差平方和越小表明誤差越小，均方根值越小越好．依此判斷下面指標(biāo)對應(yīng)的模型擬合效果最好的是（）A.相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值0.9498.4910.499B.相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值0.9334.1790.436C.相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值0.9971.7010.141D.相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值0.9972.8990.326〖答案〗C〖解析〗相關(guān)指數(shù)越接近于1，擬合效果越好，比較相關(guān)指數(shù)知，可選C，D，誤差平方和及均方根值都越小，擬合效果越好，觀察誤差平方和和均方根值，知C的擬合效果最好．故選：C.4.截至2023年2月，“中國天眼”發(fā)現(xiàn)的脈沖星總數(shù)已經(jīng)達(dá)到740顆以上．被稱為“中國天眼”的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（FAST），是目前世界上口徑最大，靈敏度最高的單口徑射電望遠(yuǎn)鏡（圖1）．觀測時它可以通過4450塊三角形面板及2225個觸控器完成向拋物面的轉(zhuǎn)化，此時軸截面可以看作拋物線的一部分．某學(xué)?？萍夹〗M制作了一個FAST模型，觀測時呈口徑為4米，高為1米的拋物面，則其軸截面所在的拋物線（圖2）的頂點到焦點的距離為（）A.1 B.2 C.4 D.8〖答案〗A〖解析〗如圖，以拋物線的頂點為原點，對稱軸為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)拋物線的方程為，由題可得拋物線上一點，代入拋物線方程可得，所以，即拋物線方程為，則拋物線的焦點坐標(biāo)為，故頂點到焦點的距離為.故選：A.5.已知x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）．A. B. C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗畫出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．目標(biāo)函數(shù)，即，平移直線，當(dāng)其過點A時縱截距最小，即z最?。桑傻眉袋c，所以．故選：B6.“”是“圓：與圓：有公切線”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，若兩圓有公切線，則，即，解得或，所以“”是“圓：與圓：有公切線”的充分而不必要條件.故選：A.7.設(shè)向量滿足，，若，，則向量與的夾角不等于（）A.30° B.60° C.120° D.150°〖答案〗C〖解析〗設(shè)向量與的夾角為，，由向量數(shù)量積的運(yùn)算律可將原問題轉(zhuǎn)化為，，即，根據(jù)題意整理得有解，所以，解得，故選：C8.在區(qū)間與內(nèi)各隨機(jī)取1個整數(shù)，設(shè)兩數(shù)之和為M，則成立的概率為（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)從區(qū)間，中隨機(jī)取出的整數(shù)分別為x，y，則樣本空間為，共8種情況，設(shè)事件A表示即，則，共5種情況，所以．故選：B9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中.在已知的條件下，則下列選項中可以確定其值的量為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)圖象可知，函數(shù)的圖象是由向右平移個單位得到的；由圖可知，利用整體代換可得，所以，若為已知，則可求得.故選：B10.已知是拋物線的焦點，拋物線上動點，滿足，若，的準(zhǔn)線上的射影分別為，且的面積為,則A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗過點A作軸的垂線垂足于C，交NB的延長線于點D．設(shè)，則.①，即②③聯(lián)立①②③解得，，故選D11.正方體的棱長為2，正方形的心分別是，，且分別是棱上的動點（含端點），其中關(guān)于點對稱，關(guān)于點對稱，，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.若四點都在球上，則球表面積最大值為B.若四點都在球上，則球體積的最小值為C.四面體的所有棱長都相等D.直線與所成角的余弦值的取值范圍是〖答案〗C〖解析〗因為分別是棱上的動點（含端點），其中關(guān)于點對稱，關(guān)于點對稱，，若四點都在球上，則球心在線段上，且是線段的中點，故以線段的中點為坐標(biāo)原點，如圖建立直角坐標(biāo)系，其中軸，軸分別與平面，平面垂直，不妨設(shè)，，，球的半徑，球表面積當(dāng)時，取最大值，選項A正確；當(dāng)時，球的半徑，最小，最小值為，球體積的最小值為，選項B正確；，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，選項C錯誤；設(shè)直線與所成角，選項D正確.故選：C12.對于恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題得恒成立，因為函數(shù)互為反函數(shù)，所以原命題等價于恒成立，即恒成立，令，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以.所以.故選：D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.13.已知某中學(xué)老年教師的“亞健康”率為50％，中年教師的“亞健康”率為30％，青年教師的“亞健康”率為15％．若該中學(xué)共有60名老年教師，100名中年教師，200名青年教師，則該校教師的“亞健康"率為______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，該校教師的“亞健康”率為：％．故〖答案〗為：.14.用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊與平行于軸.已知四邊形的面積為，則原平面圖形的面積為__________.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意得，原四邊形為一個直角梯形，且，，，，則，所以.故〖答案〗為：.15.已知等腰的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，成等差數(shù)列，點D為外接圓劣弧上一點（不含端點），若，則______．〖答案〗5〖解析〗因為，，成等差數(shù)列，所以，即，即，因為，所以，因為是等腰三角形，所以是正三角形，設(shè)的邊長為x，，易得，根據(jù)圓周角定理，有，所以，，中，根據(jù)正弦定理有，同理在中，，，所以．故〖答案〗為：516.已知是圓上的兩點，，記，，向量，若實數(shù)滿足，則的最大值為______．〖答案〗〖解析〗，，由圓的方程知：圓的半徑，．設(shè)，則，為線段的中垂線，，，即，；，，解得：，.故〖答案〗為：.三、解答題：本大題共6小題，共計70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.本次考試不設(shè)選考題，第17～22題均為必考題，每個試題考生都必須作答.17.在數(shù)列中，，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)前項和為，證明：.（1）解：，，即.又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而，則.（2）證明：，，設(shè)，則，兩式相減得：，即.從而，故.18.年月日，由工業(yè)和信息化部、安徽省人民政府共同主辦的第十七屆“中國芯”集成電路產(chǎn)業(yè)大會在合肥成功舉辦．此次大會以“強(qiáng)芯固基以質(zhì)為本”為主題，旨在培育壯大我國集成電路產(chǎn)業(yè)，夯實產(chǎn)業(yè)基礎(chǔ)、營造良好產(chǎn)業(yè)生態(tài).年，全國芯片研發(fā)單位相比年增加家，提交芯片數(shù)量增加個，均增長超過倍.某芯片研發(fā)單位用在“芯片”上研發(fā)費用占本單位總研發(fā)費用的百分比（）如表所示.年份年份代碼（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，作出相應(yīng)的折線圖；并結(jié)合相關(guān)數(shù)據(jù)，計算相關(guān)系數(shù)，并推斷與線性相關(guān)程度；（已知：，則認(rèn)為與線性相關(guān)很強(qiáng)；，則認(rèn)為與線性相關(guān)一般；，則認(rèn)為與線性相關(guān)較弱）（2）求出與的回歸直線方程（保留一位小數(shù)）；（3）請判斷，若年用在“芯片”上研發(fā)費用不低于萬元，則該單位年芯片研發(fā)的總費用預(yù)算為萬元是否符合研發(fā)要求?附：相關(guān)數(shù)據(jù)：，，，.相關(guān)計算公式：①相關(guān)系數(shù)；在回歸直線方程中，，.解：（1）折線圖如下：由題意得：，，，，，與線性相關(guān)很強(qiáng).（2）由題意得：，，關(guān)于的回歸直線方程為.【小問3詳析】年對應(yīng)的年份代碼，則當(dāng)時，，預(yù)測年用在“芯片”上的研發(fā)費用約為（萬元），，符合研發(fā)要求.19.如圖，在直角梯形ABCD中，，，四邊形CDEF為平行四邊形，平面平面ABCD，．（1）證明：平面ABE；（2）若，，，求三棱錐的體積．（1）證明：連接交于點，取的中點，連接，因為四邊形為平行四邊形，所以為的中點，所以，因為，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，即，因為平面，平面，所以平面ABE，（2）解：取的中點為，連接，因為，，所以為等邊三角形，所以，，因為平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面，所以平面，所以點到平面的距離為，因為，平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離為，因為是直角梯形，，，，，所以，所以.20.已知函數(shù)，，.（1）若，求證：；（2）若函數(shù)與函數(shù)存在兩條公切線，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，記，則，記，因為，所以在上單調(diào)遞增又所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增所以當(dāng)時，取得最小值，即所以當(dāng)時（2）設(shè)函數(shù)與函數(shù)的公切線分別相切于點和點因為，，所以l的方程可表示為或則有...①，...②由①可得，代入②可得：即記，，則記，因為，所以單調(diào)遞減又，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，由上可知，要使函數(shù)與函數(shù)存在兩條公切線，只需直線與函數(shù)圖象有兩個交點，因為，由圖可知a的取值范圍為21.已知圓：，動圓過點且與圓相切，記動圓圓心的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點的直線m交橢圓C于點M?N，且滿足（E為圓E的圓心），求直線m的方程.解：（1）因為點在圓內(nèi)，所以，圓內(nèi)切于圓，設(shè)圓的半徑為，則，，所以點的軌跡是以?為焦點長軸長為的橢圓，設(shè)橢圓方程為：，則，，從而，故點的軌跡的方程為.（2）①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，?代入整理得，則，.所以，.點到直線的距離.因為，所以，.而，，即，解得，此時；②當(dāng)直線的斜率不存在時，，直線交橢圓于點?.也有經(jīng)檢驗，上述直線均滿足.綜上：直線的方程為、或.【選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線E的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線E上A，B兩點所在直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線E的普通方程和直線AB的傾斜角；（2）若曲線E上兩點C，D所在直線的傾斜角為，直線AB與CD相交于點P，且P不在曲線E上，求的取值范圍．解：（1）由（為參數(shù)），平方得到，兩式相減得，曲線的普通方程為．令可得直線的直角坐標(biāo)方程為，故直線的傾斜角為.（2）設(shè)，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．將直線的參數(shù)方程代入曲線的方程可得．設(shè)，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，根據(jù)參數(shù)的幾何意義，可得．同理可得．所以．因為，所以，所以，故的取值范圍為四川省成都市名校2023屆高三下期4月定時訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共計60分.在每小題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的.1.滿足等式的集合X共有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個〖答案〗D〖解析〗方程的實數(shù)根有，解集構(gòu)成的集合為，即，則符合該等式的集合為，，，，故這樣的集合共有4個.故選：D.2.法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)的公式推動了復(fù)數(shù)領(lǐng)域的研究.根據(jù)該公式，可得（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意可知，故，故選：B.3.已知建筑地基沉降預(yù)測對于保證施工安全，實現(xiàn)信息化監(jiān)控有著重要意義．某工程師建立了四個函數(shù)模型來模擬建筑地基沉降隨時間的變化趨勢，并用相關(guān)指數(shù)、誤差平方和、均方根值三個指標(biāo)來衡量擬合效果．相關(guān)指數(shù)越接近1表明模型的擬合效果越好，誤差平方和越小表明誤差越小，均方根值越小越好．依此判斷下面指標(biāo)對應(yīng)的模型擬合效果最好的是（）A.相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值0.9498.4910.499B.相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值0.9334.1790.436C.相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值0.9971.7010.141D.相關(guān)指數(shù)誤差平方和均方根值0.9972.8990.326〖答案〗C〖解析〗相關(guān)指數(shù)越接近于1，擬合效果越好，比較相關(guān)指數(shù)知，可選C，D，誤差平方和及均方根值都越小，擬合效果越好，觀察誤差平方和和均方根值，知C的擬合效果最好．故選：C.4.截至2023年2月，“中國天眼”發(fā)現(xiàn)的脈沖星總數(shù)已經(jīng)達(dá)到740顆以上．被稱為“中國天眼”的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（FAST），是目前世界上口徑最大，靈敏度最高的單口徑射電望遠(yuǎn)鏡（圖1）．觀測時它可以通過4450塊三角形面板及2225個觸控器完成向拋物面的轉(zhuǎn)化，此時軸截面可以看作拋物線的一部分．某學(xué)校科技小組制作了一個FAST模型，觀測時呈口徑為4米，高為1米的拋物面，則其軸截面所在的拋物線（圖2）的頂點到焦點的距離為（）A.1 B.2 C.4 D.8〖答案〗A〖解析〗如圖，以拋物線的頂點為原點，對稱軸為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)拋物線的方程為，由題可得拋物線上一點，代入拋物線方程可得，所以，即拋物線方程為，則拋物線的焦點坐標(biāo)為，故頂點到焦點的距離為.故選：A.5.已知x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）．A. B. C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗畫出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．目標(biāo)函數(shù)，即，平移直線，當(dāng)其過點A時縱截距最小，即z最?。桑傻眉袋c，所以．故選：B6.“”是“圓：與圓：有公切線”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，若兩圓有公切線，則，即，解得或，所以“”是“圓：與圓：有公切線”的充分而不必要條件.故選：A.7.設(shè)向量滿足，，若，，則向量與的夾角不等于（）A.30° B.60° C.120° D.150°〖答案〗C〖解析〗設(shè)向量與的夾角為，，由向量數(shù)量積的運(yùn)算律可將原問題轉(zhuǎn)化為，，即，根據(jù)題意整理得有解，所以，解得，故選：C8.在區(qū)間與內(nèi)各隨機(jī)取1個整數(shù)，設(shè)兩數(shù)之和為M，則成立的概率為（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)從區(qū)間，中隨機(jī)取出的整數(shù)分別為x，y，則樣本空間為，共8種情況，設(shè)事件A表示即，則，共5種情況，所以．故選：B9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中.在已知的條件下，則下列選項中可以確定其值的量為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)圖象可知，函數(shù)的圖象是由向右平移個單位得到的；由圖可知，利用整體代換可得，所以，若為已知，則可求得.故選：B10.已知是拋物線的焦點，拋物線上動點，滿足，若，的準(zhǔn)線上的射影分別為，且的面積為,則A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗過點A作軸的垂線垂足于C，交NB的延長線于點D．設(shè)，則.①，即②③聯(lián)立①②③解得，，故選D11.正方體的棱長為2，正方形的心分別是，，且分別是棱上的動點（含端點），其中關(guān)于點對稱，關(guān)于點對稱，，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.若四點都在球上，則球表面積最大值為B.若四點都在球上，則球體積的最小值為C.四面體的所有棱長都相等D.直線與所成角的余弦值的取值范圍是〖答案〗C〖解析〗因為分別是棱上的動點（含端點），其中關(guān)于點對稱，關(guān)于點對稱，，若四點都在球上，則球心在線段上，且是線段的中點，故以線段的中點為坐標(biāo)原點，如圖建立直角坐標(biāo)系，其中軸，軸分別與平面，平面垂直，不妨設(shè)，，，球的半徑，球表面積當(dāng)時，取最大值，選項A正確；當(dāng)時，球的半徑，最小，最小值為，球體積的最小值為，選項B正確；，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，選項C錯誤；設(shè)直線與所成角，選項D正確.故選：C12.對于恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題得恒成立，因為函數(shù)互為反函數(shù)，所以原命題等價于恒成立，即恒成立，令，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以.所以.故選：D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.13.已知某中學(xué)老年教師的“亞健康”率為50％，中年教師的“亞健康”率為30％，青年教師的“亞健康”率為15％．若該中學(xué)共有60名老年教師，100名中年教師，200名青年教師，則該校教師的“亞健康"率為______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，該校教師的“亞健康”率為：％．故〖答案〗為：.14.用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊與平行于軸.已知四邊形的面積為，則原平面圖形的面積為__________.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意得，原四邊形為一個直角梯形，且，，，，則，所以.故〖答案〗為：.15.已知等腰的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，成等差數(shù)列，點D為外接圓劣弧上一點（不含端點），若，則______．〖答案〗5〖解析〗因為，，成等差數(shù)列，所以，即，即，因為，所以，因為是等腰三角形，所以是正三角形，設(shè)的邊長為x，，易得，根據(jù)圓周角定理，有，所以，，中，根據(jù)正弦定理有，同理在中，，，所以．故〖答案〗為：516.已知是圓上的兩點，，記，，向量，若實數(shù)滿足，則的最大值為______．〖答案〗〖解析〗，，由圓的方程知：圓的半徑，．設(shè)，則，為線段的中垂線，，，即，；，，解得：，.故〖答案〗為：.三、解答題：本大題共6小題，共計70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.本次考試不設(shè)選考題，第17～22題均為必考題，每個試題考生都必須作答.17.在數(shù)列中，，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)前項和為，證明：.（1）解：，，即.又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而，則.（2）證明：，，設(shè)，則，兩式相減得：，即.從而，故.18.年月日，由工業(yè)和信息化部、安徽省人民政府共同主辦的第十七屆“中國芯”集成電路產(chǎn)業(yè)大會在合肥成功舉辦．此次大會以“強(qiáng)芯固基以質(zhì)為本”為主題，旨在培育壯大我國集成電路產(chǎn)業(yè)，夯實產(chǎn)業(yè)基礎(chǔ)、營造良好產(chǎn)業(yè)生態(tài).年，全國芯片研發(fā)單位相比年增加家，提交芯片數(shù)量增加個，均增長超過倍.某芯片研發(fā)單位用在“芯片”上研發(fā)費用占本單位總研發(fā)費用的百分比（）如表所示.年份年份代碼（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，作出相應(yīng)的折線圖；并結(jié)合相關(guān)數(shù)據(jù)，計算相關(guān)系數(shù)，并推斷與線性相關(guān)程度；（已知：，則認(rèn)為與線性相關(guān)很強(qiáng)；，則認(rèn)為與線性相關(guān)一般；，則認(rèn)為與線性相關(guān)較弱）（2）求出與的回歸直線方程（保留一位小數(shù)）；（3）請判斷，若年用在“芯片”上研發(fā)費用不低于萬元，則該單位年芯片研發(fā)的總費用預(yù)算為萬元是否符合研發(fā)要求?附：相關(guān)數(shù)據(jù)：，，，.相關(guān)計算公式：①相關(guān)系數(shù)；在回歸直線方程中，，.解：（1）折線圖如下：由題意得：，，，，，與線性相關(guān)很強(qiáng).（2）由題意得：，，關(guān)于的回歸直線方程為.【小問3詳析】年對應(yīng)的年份代碼，則當(dāng)時，，預(yù)測年用在“芯片”上的研發(fā)費用約為（萬元），，符合研發(fā)要求.19.如圖，在直角梯形ABCD中，，，四邊形CDEF為平行四邊形，平面平面ABCD，．（1）證明：平面ABE；（2）若，，，求三棱錐的體積．（1）證明：連接交于點，取的中點，連接，因為四邊形為平行四邊形，所以為的中點，所以，因為，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，即，因為平面，平面，所以平面ABE，（2）解：取的中點為，連接，因為，，所以為等邊三角形，所以，，因為平面平面ABCD，平面平