2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試名師押題信息數學試卷（2）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE12023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試名師押題信息卷（2）數學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知均為實數集的子集，，則（）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗，，.故選：B.2．已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗設，所以，解得，所以，又，所以，故A，C，D錯誤.故選：B.3．數學來源于生活，約3000年以前，我國人民就創(chuàng)造出了屬于自己的計數方法.十進制的算籌計數法就是中國數學史上一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍.下圖是利用算籌表示數1~9的一種方法.例如：3可表示為“”，26可表示為“”，現有5根算籌，據此表示方法，若算籌不能剩余，則用1~9這9個數字表示的所有兩位數中，能被4整除的概率是（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗1根算籌只能表示1，2根根算籌可以表示2和6，3根算籌可以表示3和7，4根算籌可以表示4和8，5根算籌可以表示5和9，因此5根算籌表示的兩位數有14，18，41，81，23，27，63，67，32，72，36，76共12個，其中32，72，36，76，共4個可以被4整除，所以所求概率為．故選：A．4．已知復數z的實部和虛部均為整數，則滿足的復數z的個數為（

）A．2 B．3 C．4 D．5〖答案〗C〖解析〗設，則因為，所以因為，所以，即.當時，，即，有兩組滿足條件，當時，或，所以，，但時，不符合題意，故個數為4，故選：C.5．米勒問題，是指德國數學家米勒1471年向諾德爾教授提出的有趣問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現最長（即可見角最大？）米勒問題的數學模型如下：如圖，設是銳角的一邊上的兩定點，點是邊邊上的一動點，則當且僅當的外接圓與邊相切時，最大．若，點在軸上，則當最大時，點的坐標為A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗由于點是邊邊上的一動點，且點在軸上，故設點的坐標為；由于，則直線的方程為：，點為直線與軸的交點，故點的坐標為；由于為銳角，點是邊邊上的一動點，故；所以線段的中垂線方程為：；線段的中垂線方程為：；故的外接圓的圓心為直線與直線的交點，聯立，解得：；即的外接圓圓心的橫坐標為的外接圓與邊相切于點，邊在軸上，則的外接圓圓心的橫坐標與點的橫坐標相等，即，解得：或（舍）所以點的坐標為；故〖答案〗選A6．已知三棱錐的頂點都在以PC為直徑的球M的球面上，.若球M的表面積為，，則三棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．32〖答案〗B〖解析〗因為三棱錐的頂點都在以PC為直徑的球M的球面上，所以，又，，面，故面，又，面，故面，又面，故.球M的表面積為，設球的半徑為，則，解得，即，所以，，三棱錐的體積為，要使體積最大，即最大，又，當且僅當時取等，故體積的最大值為.故選：B.7．已知中心在坐標原點的橢圓的左?右焦點分別為，過點的直線與交于兩點，且，點為線段上靠近的四等分點.若對于線段上的任意一點，都有成立，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗取的中點，連接.則有.同理，因此.所以，取的中點，連接，則，由三線合一得，設，故，解得，則，在和中，由余弦定理得，，解得，故選：.8．已知函數的定義域為，為的導函數，且，，若為偶函數，則下列結論不一定成立的是（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗對A：∵為偶函數，則兩邊求導可得∴為奇函數，則令，則可得，則，A成立；對B：令，則可得，則，B成立；∵，則可得，則可得兩式相加可得：，∴關于點成中心對稱則，D成立又∵，則可得，則可得∴以4為周期的周期函數根據以上性質只能推出，不能推出，C不一定成立故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列命題中，正確的命題是（

）A．數據1，3，4，5，6，8，10的第60百分位數為5B．若隨機變量，，則C．若隨機變量，則取最大值時或4D．某小組調查5名男生和5名女生的成績，其中男生成績的平均數為9，方差為11；女生成績的平均數為7，方差為8，則該10人成績的方差為10.5〖答案〗BCD〖解析〗對于A：數據1，3，4，5，6，8，10一共有7個.因為，所以其第60百分位數為第5個，為6.故A錯誤；對于B：因為隨機變量，由正態(tài)曲線的對稱性可得：，所以，所以.故B正確；對于C：因為隨機變量，所以.所以要使最大，只需最大.由二項式系數的性質可得：當或4時，最大.故C正確；對于D：由題意可得男生成績的平均數為9，方差為11，記為.女生成績的平均數為7，方差為8，記為.所以全部10名學生的成績的平均數為.由分層隨機抽樣中方差的計算公式可得：.故D正確.故選：BCD10．重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年間，明末已成為貢品人朝，產品以其精湛的工業(yè)制作而聞名于海內外．經歷代藝人刻苦鉆研、精工創(chuàng)制，榮昌折扇逐步發(fā)展成為具有獨特風格的中國傳統(tǒng)工藝品，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛．古人曾有詩贊曰：“開合清風紙半張，隨機舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細，玉柵齊編鳳翅長，偏稱游人攜袖里，不勞侍女執(zhí)花傍；宮羅舊賜休相妒，還汝團圓共夜涼”圖1為榮昌折扇，其平面圖為圖2的扇形COD，其中，動點P在上（含端點），連接OP交扇形OAB的弧于點Q，且，則下列說法正確的是（

）圖1

圖2A．若，則 B．若，則C． D．〖答案〗ABD〖解析〗如圖，作,分別以為x,y軸建立平面直角坐標系，則,設，則,由可得，且，若，則，解得，（負值舍去），故，A正確；若，則，，故B正確；，由于，故，故，故C錯誤；由于，故，而，故，故D正確，故選：ABD.11．如圖所示，有一個棱長為4的正四面體容器，D是PB的中點，E是CD上的動點，則下列說法正確的是（

）A．若E是CD的中點，則直線AE與PB所成角為B．的周長最小值為C．如果在這個容器中放入1個小球（全部進入），則小球半徑的最大值為D．如果在這個容器中放入10個完全相同的小球（全部進入），則小球半徑的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗A選項：連接AD.在正四面體中，D是PB的中點，所以.因為平面，平面，,所以直線平面.因為平面.所以，所以直線AE與PB所成角為.故A選項正確；B選項，把沿著CD展開與面BDC同一個平面內，由，，所以，所以，所以的周長最小值為不正確.故B選項錯誤；C選項，要使小球半徑最大，則小球與四個面相切，是正四面體的內切球，設半徑為r.由等體積法可得：，所以半徑.故C選項正確；D選項，10個小球分三層（1個，3個，6個）放進去，要使小球半徑要最大，則外層小球與四個面相切，設小球半徑為，四個角小球球心連線是棱長為的正四面體，其高為，由正四面體內切球的半徑是高的得，如圖正四面體，則，正四面體高為，得.故D選項正確.故選：ACD12．過平面內一點P作曲線兩條互相垂直的切線、，切點為、、不重合，設直線、分別與y軸交于點A、B，則（

）A．、兩點的縱坐標之積為定值 B．直線的斜率為定值C．線段AB的長度為定值 D．面積的取值范圍為〖答案〗BCD〖解析〗由函數，則，設，，當，時，由題意可得，，化簡可得，符合題意；當時，由題意可得，，化簡可得，顯然不成立；當時，由題意可得，，化簡可得，顯然不成立；對于A，，故A錯誤；對于B，直線的斜率，故B正確；對于C，易知直線，直線，令，則，即，同理可得，，故C正確；對于D，聯立，整理可得，解得，令，其中，則，所以，函數在上單調遞增，則當時，，所以，，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若函數的最大值為，則常數的值為_______．〖答案〗〖解析〗因為，所以，解得，因為，所以.故〖答案〗為：.14．的展開式中的系數為______.（用數字作答）〖答案〗〖解析〗因為，其中展開式的通項為，，令，；令，.所以展開式中的系數為.故〖答案〗為：.15．已知，為實數，不等式恒成立，則的最小值為______．〖答案〗-1〖解析〗設，則不等式恒成立等價于成立，顯然當時不符合題意．當時，，∴當時，，當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，∴．由得，∴．令，則，當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，∴，∴，則，此時，．故〖答案〗為：.16．弓琴，是弓琴彈撥弦鳴樂器（如下左圖）.歷史悠久，形制原始，它脫胎于古代的獵弓，也可以稱作“樂弓”，是我國彈弦樂器的始祖.古代有“后羿射十日”的神話，說明上古生民對善射者的尊崇，樂弓自然是弓箭發(fā)明的延伸.古代傳說將“琴”的創(chuàng)始歸于伏羲，也正由于他是以漁獵為生的部落氏族首領.在我國古籍《吳越春秋》中，曾記載著：“斷竹、續(xù)竹，飛土逐肉”.常用于民歌或舞蹈伴奏.流行于臺灣原住民中的布農、鄒等民族聚居地區(qū).弓琴的琴身下部分可近似的看作是半橢球的琴腔，其正視圖即為一橢圓面，它有多條弦，撥動琴弦，發(fā)音柔弱，音色比較動聽，現有某專業(yè)樂器研究人員對它做出改進，安裝了七根弦，發(fā)現聲音強勁悅耳.如下右圖，是一弓琴琴腔下部分的正視圖.若按對稱建立如圖所示坐標系，恰為左焦點，均勻對稱分布在上半個橢圓弧上(在上的投影把線段八等分)，為琴弦，記，數列前n項和為，橢圓方程為，且，則的最小值為_____〖答案〗〖解析〗設，得，為等差數列，=，由題意知的投影把線段八等分,所以,，又，所以，故，當且僅當時取等號.故〖答案〗為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知公差不為0的等差數列中，，，成等比數列，．（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，，求數列的前n項和．解：（1）設等差數列的公差為，∵，，成等比數列，∴，又．聯立可得，解得，∴．（2），∴數列的前n項和．18．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求A；（2）若D為邊BC上一點，且，試判斷的形狀.解：（1）由得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即，因為，所以.（2）設，，則，，，在中，由正弦定理知，即，即，化簡得，所以，，所以是直角三角形.19．如圖，在三棱錐中，平面平面為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為2的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.（1）證明：為中點，面，面面且面面，面，又平面，（2）解：以為坐標原點，為軸，為軸，垂直且過的直線為軸，取的中點，連接，因為為正三角形，所以，由邊長為2，即，，設，則，又因為設為面法向量，，令，，平面的法向量，解得，所以，，則20．已知橢圓E：的焦距為，且經過點．（1）求橢圓E的標準方程：（2）過橢圓E的左焦點作直線l與橢圓E相交于A，B兩點（點A在x軸上方），過點A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點M，求的最大值．解：（1）由題意得，所以，即橢圓方程為；（2）當直線l斜率為0時，A，B分別為橢圓的左右頂點，此時切線平行無交點．故設直線l：，由，得．，，.不妨設在x軸上方，則在x軸下方．橢圓在x軸上方對應方程為，，則A處切線斜率為，得切線方程為，整理得.同理可得B處的切線方程為．由得，代入①得，所以．因為，所以設，則，則，當且僅當，即時，的最大值是2．另解：當直線l的斜率存在時，設l：，由得，所以，，，橢圓在x軸上方的部分方程為，，則過的切線方程為，即，同理可得過的切線方程為.由得設，則，所以直線l的方程為，所以.，令，則，所以，當時，即時，取得最大值，為2．21．某企業(yè)對生產設備進行優(yōu)化升級，升級后的設備控制系統(tǒng)由個相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為，各元件之間相互獨立.當控制系統(tǒng)有不少于k個元件正常工作時，設備正常運行，否則設備停止運行，記設備正常運行的概率為（例如：表示控制系統(tǒng)由3個元件組成時設備正常運行的概率；表示控制系統(tǒng)由5個元件組成時設備正常運行的概率）.（1）若，當時，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數X的分布列和數學期望，并求；（2）已知設備升級前，單位時間的產量為a件，每件產品的利潤為1元，設備升級后，在正常運行狀態(tài)下，單位時間的產量是原來的4倍，且出現了高端產品，每件產品成為高端產品的概率為，每件高端產品的利潤是2元.記設備升級后單位時間內的利潤為Y（單位：元）.（i）請用表示；（ii）設備升級后，在確?？刂葡到y(tǒng)中元件總數為奇數的前提下，分析該設備能否通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數來提高利潤.解：（1）因為，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數的可能取值為0，1，2，3；因為每個元件的工作相互獨立，且正常工作的概率均為，所以，所以，，，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數的分布列為0123控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數的數學期望為，；（2）（i）升級改造后單位時間內產量的分布列為產量0設備運行概率所以升級改造后單位時間內產量的期望為；所以產品類型高端產品一般產品產量（單位：件）利潤（單位：元）21設備升級后單位時間內的利潤為，即；（ii）因為控制系統(tǒng)中元件總數為奇數，若增加2個元件，則第一類：原系統(tǒng)中至少有個元件正常工作，其概率為；第二類：原系統(tǒng)中恰好有個元件正常工作，新增2個元件中至少有1個正常工作，其概率為；第三類：原系統(tǒng)中有個元件正常工作，新增2個元件全部正常工作，其概率為；所以，則，所以當時，，單調遞增，即增加元件個數設備正常工作的概率變大，當時，，即增加元件個數設備正常工作的概率沒有變大，又因為，所以當時，設備可以通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數來提高利潤；當時，設備不可以通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數來提高利潤．22．已知函數，圓．（1）若，寫出曲線與圓C的一條公切線的方程(無需證明)；（2）若曲線與圓C恰有三條公切線．(i)求b的取值范圍；(ii)證明：曲線上存在點，對任意，．（1）解：設f(x)的切線的切點為，∵，∴切線斜率為，∴切線方程為，即，當b＝1時，圓的圓心為，半徑為，當f(x)的切線也是圓的切線時，，即，易知是該方程的一個根，此時切線方程為．（2）(i)解：設曲線與圓公切線的方程為(顯然，l斜率存在)，∵與曲線相切，故，∴切點為，，即，即，∵與圓相切，∴，即，∴，令，則，設，則，易證明：．①當時，∵在上單調遞增，在上單調遞減；∴，∵，，；∴存在，，使得．∴，，∴在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減；∵，且，又∵，且，∴存在，使得，∴當時，曲線與圓恰有三條公切線；②當時，∵；∴存在，使得，∴在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減；∴，且，∴不可能存在三個零點；③當時，；∴在上單調遞減，最多一個零點；∴最多一個極值點，不可能有三個零點；綜上，若曲線與圓恰有三條公切線，則的取值范圍為．(ii)證明：函數的零點，即方程的解，即曲線和曲線交點的橫坐標，結合圖象，顯然存在，使得成立，∴對任意恒成立．2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試名師押題信息卷（2）數學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知均為實數集的子集，，則（）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗，，.故選：B.2．已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗設，所以，解得，所以，又，所以，故A，C，D錯誤.故選：B.3．數學來源于生活，約3000年以前，我國人民就創(chuàng)造出了屬于自己的計數方法.十進制的算籌計數法就是中國數學史上一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍.下圖是利用算籌表示數1~9的一種方法.例如：3可表示為“”，26可表示為“”，現有5根算籌，據此表示方法，若算籌不能剩余，則用1~9這9個數字表示的所有兩位數中，能被4整除的概率是（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗1根算籌只能表示1，2根根算籌可以表示2和6，3根算籌可以表示3和7，4根算籌可以表示4和8，5根算籌可以表示5和9，因此5根算籌表示的兩位數有14，18，41，81，23，27，63，67，32，72，36，76共12個，其中32，72，36，76，共4個可以被4整除，所以所求概率為．故選：A．4．已知復數z的實部和虛部均為整數，則滿足的復數z的個數為（

）A．2 B．3 C．4 D．5〖答案〗C〖解析〗設，則因為，所以因為，所以，即.當時，，即，有兩組滿足條件，當時，或，所以，，但時，不符合題意，故個數為4，故選：C.5．米勒問題，是指德國數學家米勒1471年向諾德爾教授提出的有趣問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現最長（即可見角最大？）米勒問題的數學模型如下：如圖，設是銳角的一邊上的兩定點，點是邊邊上的一動點，則當且僅當的外接圓與邊相切時，最大．若，點在軸上，則當最大時，點的坐標為A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗由于點是邊邊上的一動點，且點在軸上，故設點的坐標為；由于，則直線的方程為：，點為直線與軸的交點，故點的坐標為；由于為銳角，點是邊邊上的一動點，故；所以線段的中垂線方程為：；線段的中垂線方程為：；故的外接圓的圓心為直線與直線的交點，聯立，解得：；即的外接圓圓心的橫坐標為的外接圓與邊相切于點，邊在軸上，則的外接圓圓心的橫坐標與點的橫坐標相等，即，解得：或（舍）所以點的坐標為；故〖答案〗選A6．已知三棱錐的頂點都在以PC為直徑的球M的球面上，.若球M的表面積為，，則三棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．32〖答案〗B〖解析〗因為三棱錐的頂點都在以PC為直徑的球M的球面上，所以，又，，面，故面，又，面，故面，又面，故.球M的表面積為，設球的半徑為，則，解得，即，所以，，三棱錐的體積為，要使體積最大，即最大，又，當且僅當時取等，故體積的最大值為.故選：B.7．已知中心在坐標原點的橢圓的左?右焦點分別為，過點的直線與交于兩點，且，點為線段上靠近的四等分點.若對于線段上的任意一點，都有成立，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗取的中點，連接.則有.同理，因此.所以，取的中點，連接，則，由三線合一得，設，故，解得，則，在和中，由余弦定理得，，解得，故選：.8．已知函數的定義域為，為的導函數，且，，若為偶函數，則下列結論不一定成立的是（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗對A：∵為偶函數，則兩邊求導可得∴為奇函數，則令，則可得，則，A成立；對B：令，則可得，則，B成立；∵，則可得，則可得兩式相加可得：，∴關于點成中心對稱則，D成立又∵，則可得，則可得∴以4為周期的周期函數根據以上性質只能推出，不能推出，C不一定成立故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列命題中，正確的命題是（

）A．數據1，3，4，5，6，8，10的第60百分位數為5B．若隨機變量，，則C．若隨機變量，則取最大值時或4D．某小組調查5名男生和5名女生的成績，其中男生成績的平均數為9，方差為11；女生成績的平均數為7，方差為8，則該10人成績的方差為10.5〖答案〗BCD〖解析〗對于A：數據1，3，4，5，6，8，10一共有7個.因為，所以其第60百分位數為第5個，為6.故A錯誤；對于B：因為隨機變量，由正態(tài)曲線的對稱性可得：，所以，所以.故B正確；對于C：因為隨機變量，所以.所以要使最大，只需最大.由二項式系數的性質可得：當或4時，最大.故C正確；對于D：由題意可得男生成績的平均數為9，方差為11，記為.女生成績的平均數為7，方差為8，記為.所以全部10名學生的成績的平均數為.由分層隨機抽樣中方差的計算公式可得：.故D正確.故選：BCD10．重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年間，明末已成為貢品人朝，產品以其精湛的工業(yè)制作而聞名于海內外．經歷代藝人刻苦鉆研、精工創(chuàng)制，榮昌折扇逐步發(fā)展成為具有獨特風格的中國傳統(tǒng)工藝品，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛．古人曾有詩贊曰：“開合清風紙半張，隨機舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細，玉柵齊編鳳翅長，偏稱游人攜袖里，不勞侍女執(zhí)花傍；宮羅舊賜休相妒，還汝團圓共夜涼”圖1為榮昌折扇，其平面圖為圖2的扇形COD，其中，動點P在上（含端點），連接OP交扇形OAB的弧于點Q，且，則下列說法正確的是（

）圖1

圖2A．若，則 B．若，則C． D．〖答案〗ABD〖解析〗如圖，作,分別以為x,y軸建立平面直角坐標系，則,設，則,由可得，且，若，則，解得，（負值舍去），故，A正確；若，則，，故B正確；，由于，故，故，故C錯誤；由于，故，而，故，故D正確，故選：ABD.11．如圖所示，有一個棱長為4的正四面體容器，D是PB的中點，E是CD上的動點，則下列說法正確的是（

）A．若E是CD的中點，則直線AE與PB所成角為B．的周長最小值為C．如果在這個容器中放入1個小球（全部進入），則小球半徑的最大值為D．如果在這個容器中放入10個完全相同的小球（全部進入），則小球半徑的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗A選項：連接AD.在正四面體中，D是PB的中點，所以.因為平面，平面，,所以直線平面.因為平面.所以，所以直線AE與PB所成角為.故A選項正確；B選項，把沿著CD展開與面BDC同一個平面內，由，，所以，所以，所以的周長最小值為不正確.故B選項錯誤；C選項，要使小球半徑最大，則小球與四個面相切，是正四面體的內切球，設半徑為r.由等體積法可得：，所以半徑.故C選項正確；D選項，10個小球分三層（1個，3個，6個）放進去，要使小球半徑要最大，則外層小球與四個面相切，設小球半徑為，四個角小球球心連線是棱長為的正四面體，其高為，由正四面體內切球的半徑是高的得，如圖正四面體，則，正四面體高為，得.故D選項正確.故選：ACD12．過平面內一點P作曲線兩條互相垂直的切線、，切點為、、不重合，設直線、分別與y軸交于點A、B，則（

）A．、兩點的縱坐標之積為定值 B．直線的斜率為定值C．線段AB的長度為定值 D．面積的取值范圍為〖答案〗BCD〖解析〗由函數，則，設，，當，時，由題意可得，，化簡可得，符合題意；當時，由題意可得，，化簡可得，顯然不成立；當時，由題意可得，，化簡可得，顯然不成立；對于A，，故A錯誤；對于B，直線的斜率，故B正確；對于C，易知直線，直線，令，則，即，同理可得，，故C正確；對于D，聯立，整理可得，解得，令，其中，則，所以，函數在上單調遞增，則當時，，所以，，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若函數的最大值為，則常數的值為_______．〖答案〗〖解析〗因為，所以，解得，因為，所以.故〖答案〗為：.14．的展開式中的系數為______.（用數字作答）〖答案〗〖解析〗因為，其中展開式的通項為，，令，；令，.所以展開式中的系數為.故〖答案〗為：.15．已知，為實數，不等式恒成立，則的最小值為______．〖答案〗-1〖解析〗設，則不等式恒成立等價于成立，顯然當時不符合題意．當時，，∴當時，，當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，∴．由得，∴．令，則，當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，∴，∴，則，此時，．故〖答案〗為：.16．弓琴，是弓琴彈撥弦鳴樂器（如下左圖）.歷史悠久，形制原始，它脫胎于古代的獵弓，也可以稱作“樂弓”，是我國彈弦樂器的始祖.古代有“后羿射十日”的神話，說明上古生民對善射者的尊崇，樂弓自然是弓箭發(fā)明的延伸.古代傳說將“琴”的創(chuàng)始歸于伏羲，也正由于他是以漁獵為生的部落氏族首領.在我國古籍《吳越春秋》中，曾記載著：“斷竹、續(xù)竹，飛土逐肉”.常用于民歌或舞蹈伴奏.流行于臺灣原住民中的布農、鄒等民族聚居地區(qū).弓琴的琴身下部分可近似的看作是半橢球的琴腔，其正視圖即為一橢圓面，它有多條弦，撥動琴弦，發(fā)音柔弱，音色比較動聽，現有某專業(yè)樂器研究人員對它做出改進，安裝了七根弦，發(fā)現聲音強勁悅耳.如下右圖，是一弓琴琴腔下部分的正視圖.若按對稱建立如圖所示坐標系，恰為左焦點，均勻對稱分布在上半個橢圓弧上(在上的投影把線段八等分)，為琴弦，記，數列前n項和為，橢圓方程為，且，則的最小值為_____〖答案〗〖解析〗設，得，為等差數列，=，由題意知的投影把線段八等分,所以,，又，所以，故，當且僅當時取等號.故〖答案〗為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知公差不為0的等差數列中，，，成等比數列，．（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，，求數列的前n項和．解：（1）設等差數列的公差為，∵，，成等比數列，∴，又．聯立可得，解得，∴．（2），∴數列的前n項和．18．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求A；（2）若D為邊BC上一點，且，試判斷的形狀.解：（1）由得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即，因為，所以.（2）設，，則，，，在中，由正弦定理知，即，即，化簡得，所以，，所以是直角三角形.19．如圖，在三棱錐中，平面平面為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為2的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.（1）證明：為中點，面，面面且面面，面，又平面，（2）解：以為坐標原點，為軸，為軸，垂直且過的直線為軸，取的中點，連接，因為為正三角形，所以，由邊長為2，即，，設，則，又因為設為面法向量，，令，，平面的法向量，解得，所以，，則20．已知橢圓E：的焦距為，且經過點．（1）求橢圓E的標準方程：（2）過橢圓E的左焦點作直線l與橢圓E相交于A，B兩點（點A在x軸上方），過點A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點M，求的最大值．解：（1）由題意得，所以，即橢圓方程為；（2）當直線l斜率為0時，A，B分別為橢圓的左右頂點，此時切線平行無交點．故設直線l：，由，得．，，.不妨設在x軸上方，則在x軸下方．橢圓在x軸上方對應方程為，，則A處切線斜率為，得切線方程為，整理得.同理可得B處的切線方程為．由得，代入①得，所以．因為，所以設，則，則，當且僅當，即時，的最大值是2．另解：當直線l的斜率存在時，設l：，由得，所以，，，橢圓在x軸上方的部分方程為，，則過的切線方程為，即，同理可得過的切線方程為.由得設，則，所以直線l的方程為，所以.，令，則，所以，當時，即時，取得最大值，為2．21．某企業(yè)對生產設備進行優(yōu)化升級，升級后的設備控制系統(tǒng)由個相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為，各元件之間相互獨立.當控制系統(tǒng)有不少于k個元件正常工作時，設備正常運行，否則設備停止運行，記設備正常運行的概率為（例如