2023年新高考全國Ⅰ卷模擬測數(shù)學(xué)試卷04（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12023年新高考全國Ⅰ卷模擬測試卷04數(shù)學(xué)一、單選題1．已知全集，集合，則（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗集合，而全集，所以.故選：A.2．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因?yàn)槎x域上單調(diào)遞減，故由得，而定義域上單調(diào)遞增，故，滿足充分性；又，滿足必要性，故選：C.3．為了解學(xué)生每天的體育活動(dòng)時(shí)間，某市教育部門對全市高中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取1000名學(xué)生每天進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，按照時(shí)長（單位：分鐘）分成6組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，第六組.對統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則可以估計(jì)該市高中學(xué)生每天體育活動(dòng)時(shí)間的第25百分位數(shù)約為（

）A．43.5分鐘 B．45.5分鐘 C．47.5分鐘 D．49.5分鐘〖答案〗C〖解析〗由頻率之和為1得：，解得，由，，故第25百分位數(shù)位于內(nèi)，則第25百分位數(shù)為.可以估計(jì)該市高中學(xué)生每天體育活動(dòng)時(shí)間的第25百分位數(shù)約為47.5，故選：C.4．已知，則的值為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗.故選：B.5．已知直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C．0 D．2〖答案〗A〖解析〗設(shè)切點(diǎn)為，易知，則，解之得，故選：A.6．某地生產(chǎn)紅茶已有多年，選用本地兩個(gè)不同品種的茶青生產(chǎn)紅茶.根據(jù)其種植經(jīng)驗(yàn)，在正常環(huán)境下，甲?乙兩個(gè)品種的茶青每500克的紅茶產(chǎn)量（單位：克）分別為，且，其密度曲線如圖所示，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．的數(shù)據(jù)較更集中B．C．甲種茶青每500克的紅茶產(chǎn)量超過的概率大于D．〖答案〗D〖解析〗對于A，Y的密度曲線更尖銳，即數(shù)據(jù)更集中，正確；對于B，因?yàn)閏與之間的與密度曲線圍成的面積與密度曲線圍成的面積，，正確；對于C，，甲種茶青每500克超過的概率，正確；對于D，由B知：，錯(cuò)誤；故選：D.7．已知雙曲線，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗設(shè)，，由，代入不等式中，化簡，得恒成立，則有，解得，而，所以故選：A.8．中國古代數(shù)學(xué)家很早就對空間幾何體進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，中國傳世數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》卷五“商功”主要講述了以立體問題為主的各種形體體積的計(jì)算公式.例如在推導(dǎo)正四棱臺(tái)（古人稱方臺(tái)）體積公式時(shí)，將正四棱臺(tái)切割成九部分進(jìn)行求解.下圖（1）為俯視圖，圖（2）為立體切面圖.對應(yīng)的是正四棱臺(tái)中間位置的長方體；對應(yīng)四個(gè)三棱柱，對應(yīng)四個(gè)四棱錐.若這四個(gè)三棱柱的體積之和為12，四個(gè)四棱錐的體積之和為4，則該正四棱臺(tái)的體積為（

）A．24 B．28 C．32 D．36〖答案〗B〖解析〗如圖，令四棱錐的底面邊長為a，高為h，三棱柱的高為b，依題意，四棱錐的體積，即，三棱柱的體積，即有，因此，于是長方體的體積，所以該正四棱臺(tái)的體積為.故選：B.二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則的最小值為4C．命題使得，則D．從1，2，3，4，5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則以這3個(gè)數(shù)為邊長能構(gòu)成直角三角形的概率為〖答案〗AD〖解析〗若，左右兩邊乘以,可得,A選項(xiàng)正確;,當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào),顯然等號(hào)取不到，即的最小值不是4,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;命題使得，則,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;從1，2，3，4，5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有10種情況：,則以這3個(gè)數(shù)為邊長能構(gòu)成直角三角形有1種情況，則以這3個(gè)數(shù)為邊長能構(gòu)成直角三角形的概率為,D選項(xiàng)正確;故選:AD.10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B．在區(qū)間的最小值為C．為偶函數(shù)D．的圖象向右平個(gè)單位后得到的圖象〖答案〗BC〖解析〗，由圖象可知，即，又，所以，由五點(diǎn)作圖法可得，解得，所以，對于A：，所以的圖象關(guān)于對稱，故A錯(cuò)誤；對于B：當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上的最小值為，故B正確；對于C：，為偶函數(shù)，故C正確.對于D：的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象，故D錯(cuò)誤；故選:BC.11．如圖所示，從一個(gè)半徑為（單位：）的圓形紙板中切割出一塊中間是正方形，四周是四個(gè)正三角形的紙板，以此為表面（舍棄陰影部分）折疊成一個(gè)正四棱錐，則以下說法正確的是（

）A．四棱錐的體積是B．四棱錐的外接球的表面積是C．異面直線與所成角的大小為D．二面角所成角的余弦值為〖答案〗BCD〖解析〗設(shè)正方形邊長為，則有，所以，解得，折疊而成正四棱錐如圖所示，其中為外接球的球心，四棱錐的高，所以四棱錐的體積，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；設(shè)四棱錐外接球的半徑為，球心到底面的距離為，則有，解得，所以四棱錐外接球表面積，因?yàn)?，所以異面直線與所成角為，取的中點(diǎn)，連接，，如圖，因?yàn)?，均為等邊三角形，所以，，所以為二面角所成角的平面角，在中，由余弦定理得，故正確〖答案〗為BCD.故選：BCD.12．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．為奇函數(shù)C．函數(shù)有8個(gè)不同的零點(diǎn) D．〖答案〗AB〖解析〗由，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，且，由，則函數(shù)關(guān)于對稱，且，所以，故，則，故函數(shù)的周期為8，當(dāng)時(shí)，則，，根據(jù)周期和對稱性知：值域?yàn)?，由函?shù)關(guān)于直線對稱且關(guān)于對稱，周期為8，為向左平移1個(gè)單位得到，是偶函數(shù)，故A正確：為向左平移3個(gè)單位得到，是奇函數(shù)，故B正確；由在上遞減，且，；在上遞增，且，，結(jié)合圖象：看出和的圖象有10個(gè)交點(diǎn)，即有10個(gè)不同的零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤：由，，，，，，，，則，所以，故D錯(cuò)誤，故選：AB.三、填空題13．已知向量滿足，則與的夾角為___________.〖答案〗〖解析〗由，，故〖答案〗為：.14．展開式中的系數(shù)為___________.〖答案〗〖解析〗的展開式的通項(xiàng)為：，，取和，計(jì)算得到系數(shù)為：.故〖答案〗為：.15．如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，過作的外角平分線的垂線，垂足為點(diǎn).過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，若線段的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為______.〖答案〗〖解析〗延長交的延長線于點(diǎn)，連接，作圖如下：容易知點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，故可得，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，故可得，不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，整理得.故〖答案〗為：.16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足：，且，為方程的兩根，且.若對于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.〖答案〗〖解析〗由可知數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，解方程得或，又，，，.由得，，設(shè)，則，由對于任意恒成立，所以只考慮的符號(hào)，設(shè)，，令解得，即在上單調(diào)遞增，令解得，即在上單調(diào)遞減，，，，當(dāng)，，當(dāng)，時(shí)，，即，，當(dāng)，，即，即從，開始單調(diào)遞減，即，，即，的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題17．在銳角中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A的值；（2）若，求的取值范圍．解：（1）由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理得：，∵，則.（2）由（1）可得：，且，銳角中，由正弦定理得：，可得，則，∵銳角三角形，且，則，即，解得，即，且，可得，則，故的范圍是.18．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其公比，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其公比，，求證：.（1）解：因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，公比為，則，所以，解得，由，可得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）證明：由（1）知，，，則等比數(shù)列的前項(xiàng)和為因?yàn)?，所以，所?19．安全教育越來越受到社會(huì)的關(guān)注和重視．為了普及安全教育，學(xué)校組織了一次學(xué)生安全知識(shí)競賽，學(xué)校設(shè)置項(xiàng)目A“地震逃生知識(shí)問答”和項(xiàng)目B“火災(zāi)逃生知識(shí)問答”．甲、乙兩班每班分成兩組，每組參加一個(gè)項(xiàng)目，進(jìn)行班級對抗賽．每一個(gè)比賽項(xiàng)目均采取五局三勝制（即有一方先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束），假設(shè)在項(xiàng)目A中甲班每一局獲勝的概率為，在項(xiàng)目B中甲班每一局獲勝的概率為，且每一局之間沒有影響．（1）求乙班在項(xiàng)目A中獲勝的概率；（2）設(shè)乙班獲勝的項(xiàng)目個(gè)數(shù)為X．求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（1）記“乙班在項(xiàng)目A中獲勝”為事件A，由事件的對立性知，乙班在項(xiàng)目A中每局獲勝的概率為，負(fù)的概率為，則，所以乙班在項(xiàng)目A中獲勝的概率為；（2）記“乙班在項(xiàng)目B中獲勝”為事件B，則，X的可能取值為0，1，2，由事件對立性和獨(dú)立性知，則，，.所以X的分布列為X0l2P所以乙班獲勝的項(xiàng)目個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為20．如圖1，在五邊形中，四邊形為正方形，，，如圖2，將沿折起，使得至處，且．（1）證明：平面．（2）求二面角的余弦值．（1）證明：由題意可知，所以，，因?yàn)?，，平面，所以平面．?）解：取的中點(diǎn)，連接，，由等腰三角形的性質(zhì)可知，，由，，可知，，由且，可知，四邊形為平行四邊形，，平面；設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則

令，得，因?yàn)椋云矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以，由圖可知二面角為銳角．故二面角的余弦值為．21．設(shè)橢圓方程為，，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線過點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線與橢圓相切．（1）求橢圓的方程．（2）若直線與橢圓交于，（異于，）兩點(diǎn)．（i）求直線與的斜率之積；（ii）若直線與的斜率之和為，求直線的方程．解：（1）依題意可得，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，的方程為，代入，整理得，，解得，所以橢圓的方程為．（2）（i）依題意可得直線的斜率不為0，設(shè)，，．由得，則則；（ii）因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，則直線的方程為，與聯(lián)立得．所以的方程為，即．22．已知函數(shù)，其中a為常數(shù)，…是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，問有幾個(gè)零點(diǎn)，請說明理由．（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，，則，故當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線方程為.（2）解：令，可得，即，即，即，令，則上述方程轉(zhuǎn)化為（*）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程（*）的根的個(gè)數(shù).則，令可得，列表如下：增極大減所以，為函數(shù)的唯一極大值點(diǎn)，且，令，當(dāng)時(shí)，，，①當(dāng)時(shí)，，，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，為解方程，只需解方程，令，其中，即，令，其中，則，令，可得，列表如下：減極小增所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故，，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，存在唯一的，使得，即，所以，，故方程（*）在上有唯一解；②當(dāng)時(shí)，不成立，故不是方程（*）的解；③當(dāng)時(shí).（i）當(dāng)時(shí)，，，所以，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，根?jù)零點(diǎn)存在定理，函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，，，而在上單調(diào)遞增，為解方程，只需解方程，令，其中，因?yàn)?，所以，函?shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，故存在唯一的，使得，即，即，故方程在區(qū)間上也存在唯一解.綜上所述，當(dāng)時(shí)，方程存在三個(gè)解，即函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).2023年新高考全國Ⅰ卷模擬測試卷04數(shù)學(xué)一、單選題1．已知全集，集合，則（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗集合，而全集，所以.故選：A.2．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因?yàn)槎x域上單調(diào)遞減，故由得，而定義域上單調(diào)遞增，故，滿足充分性；又，滿足必要性，故選：C.3．為了解學(xué)生每天的體育活動(dòng)時(shí)間，某市教育部門對全市高中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取1000名學(xué)生每天進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，按照時(shí)長（單位：分鐘）分成6組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，第六組.對統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則可以估計(jì)該市高中學(xué)生每天體育活動(dòng)時(shí)間的第25百分位數(shù)約為（

）A．43.5分鐘 B．45.5分鐘 C．47.5分鐘 D．49.5分鐘〖答案〗C〖解析〗由頻率之和為1得：，解得，由，，故第25百分位數(shù)位于內(nèi)，則第25百分位數(shù)為.可以估計(jì)該市高中學(xué)生每天體育活動(dòng)時(shí)間的第25百分位數(shù)約為47.5，故選：C.4．已知，則的值為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗.故選：B.5．已知直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C．0 D．2〖答案〗A〖解析〗設(shè)切點(diǎn)為，易知，則，解之得，故選：A.6．某地生產(chǎn)紅茶已有多年，選用本地兩個(gè)不同品種的茶青生產(chǎn)紅茶.根據(jù)其種植經(jīng)驗(yàn)，在正常環(huán)境下，甲?乙兩個(gè)品種的茶青每500克的紅茶產(chǎn)量（單位：克）分別為，且，其密度曲線如圖所示，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．的數(shù)據(jù)較更集中B．C．甲種茶青每500克的紅茶產(chǎn)量超過的概率大于D．〖答案〗D〖解析〗對于A，Y的密度曲線更尖銳，即數(shù)據(jù)更集中，正確；對于B，因?yàn)閏與之間的與密度曲線圍成的面積與密度曲線圍成的面積，，正確；對于C，，甲種茶青每500克超過的概率，正確；對于D，由B知：，錯(cuò)誤；故選：D.7．已知雙曲線，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗設(shè)，，由，代入不等式中，化簡，得恒成立，則有，解得，而，所以故選：A.8．中國古代數(shù)學(xué)家很早就對空間幾何體進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，中國傳世數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》卷五“商功”主要講述了以立體問題為主的各種形體體積的計(jì)算公式.例如在推導(dǎo)正四棱臺(tái)（古人稱方臺(tái)）體積公式時(shí)，將正四棱臺(tái)切割成九部分進(jìn)行求解.下圖（1）為俯視圖，圖（2）為立體切面圖.對應(yīng)的是正四棱臺(tái)中間位置的長方體；對應(yīng)四個(gè)三棱柱，對應(yīng)四個(gè)四棱錐.若這四個(gè)三棱柱的體積之和為12，四個(gè)四棱錐的體積之和為4，則該正四棱臺(tái)的體積為（

）A．24 B．28 C．32 D．36〖答案〗B〖解析〗如圖，令四棱錐的底面邊長為a，高為h，三棱柱的高為b，依題意，四棱錐的體積，即，三棱柱的體積，即有，因此，于是長方體的體積，所以該正四棱臺(tái)的體積為.故選：B.二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則的最小值為4C．命題使得，則D．從1，2，3，4，5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則以這3個(gè)數(shù)為邊長能構(gòu)成直角三角形的概率為〖答案〗AD〖解析〗若，左右兩邊乘以,可得,A選項(xiàng)正確;,當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào),顯然等號(hào)取不到，即的最小值不是4,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;命題使得，則,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;從1，2，3，4，5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有10種情況：,則以這3個(gè)數(shù)為邊長能構(gòu)成直角三角形有1種情況，則以這3個(gè)數(shù)為邊長能構(gòu)成直角三角形的概率為,D選項(xiàng)正確;故選:AD.10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B．在區(qū)間的最小值為C．為偶函數(shù)D．的圖象向右平個(gè)單位后得到的圖象〖答案〗BC〖解析〗，由圖象可知，即，又，所以，由五點(diǎn)作圖法可得，解得，所以，對于A：，所以的圖象關(guān)于對稱，故A錯(cuò)誤；對于B：當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上的最小值為，故B正確；對于C：，為偶函數(shù)，故C正確.對于D：的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象，故D錯(cuò)誤；故選:BC.11．如圖所示，從一個(gè)半徑為（單位：）的圓形紙板中切割出一塊中間是正方形，四周是四個(gè)正三角形的紙板，以此為表面（舍棄陰影部分）折疊成一個(gè)正四棱錐，則以下說法正確的是（

）A．四棱錐的體積是B．四棱錐的外接球的表面積是C．異面直線與所成角的大小為D．二面角所成角的余弦值為〖答案〗BCD〖解析〗設(shè)正方形邊長為，則有，所以，解得，折疊而成正四棱錐如圖所示，其中為外接球的球心，四棱錐的高，所以四棱錐的體積，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；設(shè)四棱錐外接球的半徑為，球心到底面的距離為，則有，解得，所以四棱錐外接球表面積，因?yàn)?，所以異面直線與所成角為，取的中點(diǎn)，連接，，如圖，因?yàn)?，均為等邊三角形，所以，，所以為二面角所成角的平面角，在中，由余弦定理得，故正確〖答案〗為BCD.故選：BCD.12．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足，，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．為奇函數(shù)C．函數(shù)有8個(gè)不同的零點(diǎn) D．〖答案〗AB〖解析〗由，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，且，由，則函數(shù)關(guān)于對稱，且，所以，故，則，故函數(shù)的周期為8，當(dāng)時(shí)，則，，根據(jù)周期和對稱性知：值域?yàn)椋珊瘮?shù)關(guān)于直線對稱且關(guān)于對稱，周期為8，為向左平移1個(gè)單位得到，是偶函數(shù)，故A正確：為向左平移3個(gè)單位得到，是奇函數(shù)，故B正確；由在上遞減，且，；在上遞增，且，，結(jié)合圖象：看出和的圖象有10個(gè)交點(diǎn)，即有10個(gè)不同的零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤：由，，，，，，，，則，所以，故D錯(cuò)誤，故選：AB.三、填空題13．已知向量滿足，則與的夾角為___________.〖答案〗〖解析〗由，，故〖答案〗為：.14．展開式中的系數(shù)為___________.〖答案〗〖解析〗的展開式的通項(xiàng)為：，，取和，計(jì)算得到系數(shù)為：.故〖答案〗為：.15．如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，過作的外角平分線的垂線，垂足為點(diǎn).過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，若線段的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為______.〖答案〗〖解析〗延長交的延長線于點(diǎn)，連接，作圖如下：容易知點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，故可得，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，故可得，不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，整理得.故〖答案〗為：.16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足：，且，為方程的兩根，且.若對于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.〖答案〗〖解析〗由可知數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，解方程得或，又，，，.由得，，設(shè)，則，由對于任意恒成立，所以只考慮的符號(hào)，設(shè)，，令解得，即在上單調(diào)遞增，令解得，即在上單調(diào)遞減，，，，當(dāng)，，當(dāng)，時(shí)，，即，，當(dāng)，，即，即從，開始單調(diào)遞減，即，，即，的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題17．在銳角中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A的值；（2）若，求的取值范圍．解：（1）由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理得：，∵，則.（2）由（1）可得：，且，銳角中，由正弦定理得：，可得，則，∵銳角三角形，且，則，即，解得，即，且，可得，則，故的范圍是.18．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其公比，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其公比，，求證：.（1）解：因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，公比為，則，所以，解得，由，可得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）證明：由（1）知，，，則等比數(shù)列的前項(xiàng)和為因?yàn)?，所以，所?19．安全教育越來越受到社會(huì)的關(guān)注和重視．為了普及安全教育，學(xué)校組織了一次學(xué)生安全知識(shí)競賽，學(xué)校設(shè)置項(xiàng)目A“地震逃生知識(shí)問答”和項(xiàng)目B“火災(zāi)逃生知識(shí)問答”．甲、乙兩班每班分成兩組，每組參加一個(gè)項(xiàng)目，進(jìn)行班級對抗賽．每一個(gè)比賽項(xiàng)目均采取五局三勝制（即有一方先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束），假設(shè)在項(xiàng)目A中甲班每一局獲勝的概率為，在項(xiàng)目B中甲班每一局獲勝的概率為，且每一局之間沒有影響．（1）求乙班在項(xiàng)目A中獲勝的概率；（2）設(shè)乙班獲勝的項(xiàng)目個(gè)數(shù)為X．求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（1）記“乙班在項(xiàng)目A中獲勝”為事件A，由事件的對立性知，乙班在項(xiàng)目A中每局獲勝的概率為，負(fù)的概率為，則，所以乙班在項(xiàng)目A中獲勝的概率為；（2）記“乙班在項(xiàng)目B中獲勝”為事件B，則，X的可能取值為0，1，2，由事件對立性和獨(dú)立性知，則，，.所以X的分布列為X0l2P所以乙班獲勝的項(xiàng)目個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為20．如圖1，在五邊形中，四邊形為正方形，，，如圖2，將沿折起，使得至處，且．（1