河北2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)全集U=R,集合A={x[(x—l)(x—3)20},3=〉；，.則集合(gA)B等于()

A.(1,2)B.(2,3]C.(1,3)D.(2,3)

22

2.已知雙曲線C:二—2r=1(?！?]〉0),點(diǎn)「(小，%)是直線所一◎+4a=。上任意一點(diǎn)，若圓

ab

(尤―/)2+(y—%)2=i與雙曲線c的右支沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率取值范圍是().

A.(1,2]B.(1,4]C.[2,+8)D.[4,+co)

3.已知函數(shù)/(尤)=而即+6),其中0>0,ejo,J其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)滿足—)1=2

的再，%2,有卜-々11mli=]，將函數(shù)/(尤)的圖象向左平移6個(gè)單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的單

調(diào)遞減區(qū)間是()

兀

77U171/77

A.kn-----,K7lH----------(KGA)（左eZ）

_62」、)B.

j兀1］兀（［ry\

C.kji+—,k7v+—(kGZ)k7T-\---，左刀■H----（KGZ

L36Jv7D._1212」,7

4.函數(shù)/(x)=ln(；+l)的大致圖象是

5.已知二：是球。的球面上兩點(diǎn)商@&=漫嚴(yán)><為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐C一二C體積的最大值為36,則球。

的表面積為()

A.36兀B.64KC.144TID.256TI

6.（V—2）（尤+2）5的展開式中含一的項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.-20B.60C.70D.80

7.已知函數(shù)/(X)=X2—3X+5,g{x}=ax-\nx,若對(duì)Vxe(0,e),羽,々e(0,e)且占w/，使得

/（x）=g（xj（，=l,2）,則實(shí)數(shù)"的取值范圍是（）

B.

8.甲乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組A,B,C可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組，則兩人參

加同一個(gè)小組的概率為（）

1111

A.—B.—C.—D.—

3456

9.已知直四棱柱A3CD-A4GA的所有棱長相等，NA3c=60°，則直線BC】與平面ACQA所成角的正切值等

于（）

.V6RV10「有nV15

A.------15?--------L?-----?--------

4455

10.已知命題P：若a<1,則/<1,則下列說法正確的是（）

A.命題。是真命題

B.命題P的逆命題是真命題

C.命題0的否命題是“若a<1,則a?21”

D.命題0的逆否命題是“若621,則。<1"

—,x>01

11.已知函數(shù)/(x)=e'若函數(shù)g(x)=/(x)-左(x+萬)在R上零點(diǎn)最多，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是()

~x2-2x,%<0?

A.(0,：)B.(一：,0)C.(---p,0)D.(0,-^y=)

3e3e27e2\e

12.已知函數(shù)〃x)=x+±g(x)=2x+a,若；,3,3x2e[2,3],使得/(xj2g(9)，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是()

A.a<\B.a>l

C.a<QD.^>0

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，某市一學(xué)校"位于該市火車站。北偏東45。方向，且OH=4&m，已知。欣，0V是經(jīng)過火車站。的兩

條互相垂直的筆直公路，CE,。尸及圓弧都是學(xué)校道路，其中CE//OM,DF//ON,以學(xué)校H為圓心，半徑為

2版的四分之一圓弧分別與CE,。尸相切于點(diǎn)CD.當(dāng)?shù)卣顿Y開發(fā)AC■區(qū)域發(fā)展經(jīng)濟(jì)，其中A,3分別在公

路OM,ON上，且A6與圓弧CD相切，設(shè)NQ鉆=氏498的面積為S胸？.

(1)求S關(guān)于。的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)。為何值時(shí)，AOfi面積S為最小，政府投資最低？

14.(1—x)(l+x)4展開式中，含/項(xiàng)的系數(shù)為.

15.(a+x)(l+x)4的展開式中，若x的奇數(shù)次募的項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則。=.

16.已知函數(shù)/:；,若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)王,々,退，均存在以〃不),〃動(dòng),“三)為三邊邊長的三角形,

則實(shí)數(shù)左的取值范圍是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在四面體ZMBC中，AB±BC,DA=DC=DB.

(1)求證:平面ABC，平面AC。；

(2)若NC4D=30。，二面角C—AB—。為60，求異面直線與所成角的余弦值.

18.(12分)近幾年一種新奇水果深受廣大消費(fèi)者的喜愛，一位農(nóng)戶發(fā)揮聰明才智，把這種露天種植的新奇水果搬到

了大棚里，收到了很好的經(jīng)濟(jì)效益.根據(jù)資料顯示，產(chǎn)出的新奇水果的箱數(shù)*(單位：十箱)與成本y(單位：千元)

的關(guān)系如下：

X13412

51.522.58

y與x可用回歸方程y=Glgx+a(其中。，8為常數(shù))進(jìn)行模擬.

(I)若該農(nóng)戶產(chǎn)出的該新奇水果的價(jià)格為150元/箱，試預(yù)測該新奇水果100箱的利潤是多少元.I.

(II)據(jù)統(tǒng)計(jì)，10月份的連續(xù)11天中該農(nóng)戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示.

(i)若從箱數(shù)在［40,120)內(nèi)的天數(shù)中隨機(jī)抽取2天，估計(jì)恰有1天的水果箱數(shù)在［80,120)內(nèi)的概率；

(ii)求這U天該農(nóng)戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數(shù)的平均值.(每組用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

參考數(shù)據(jù)與公式：設(shè)f=lgx,則

55

?之(—)(%7)EU-?)2

i=li=l

0.541.81.530.45

線性回歸直線y=Blgx+a中，b--―-,a=y—bt-

-―Z(一)2

Z=1

19.(12分)交通部門調(diào)查在高速公路上的平均車速情況，隨機(jī)抽查了60名家庭轎車駕駛員，統(tǒng)計(jì)其中有40名男性

駕駛員，其中平均車速超過的有30人，不超過90萬篦//?的有10人；在其余20名女性駕駛員中，平均車速

超過90k”/〃的有5人，不超過的有15人.

(1)完成下面的2x2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為，家庭轎車平均車速超過90初?//?與駕駛員的性

別有關(guān)；

平均車速超過90km/h平均車速不超過

合計(jì)

的人數(shù)90km//z的人數(shù)

男性駕駛員

女性駕駛員

合計(jì)

(2)根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)總體，隨機(jī)調(diào)查3輛家庭轎車,記這3輛車中，駕駛員為女性且平均車速不超過/丸

的人數(shù)為自，假定抽取的結(jié)果相互獨(dú)立，求占的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式：K2=------出?也--------其中〃=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

臨界值表:

p(f0.0500.0250.0100.0050.001

k03.8415.0246.6357.87910.828

20.(12分)已知函數(shù)：/(x)=(aeR,a/0),g(x)=x+lnx+l.

(I)討論/Xx)的單調(diào)性;

(II)若對(duì)任意的x>0,/(x)2g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

21.(12分)在AABC中，ZB=pb=S，.求8C邊上的高.

①sinA=《紅，②sinA=3sinC,③a—c=2,這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答.

7

22.(10分)某企業(yè)為了了解該企業(yè)工人組裝某產(chǎn)品所用時(shí)間，對(duì)每個(gè)工人組裝一個(gè)該產(chǎn)品的用時(shí)作了記錄，得到大

量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).從這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取了9個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖(單位：分鐘).若用時(shí)不超過

40(分鐘)，則稱這個(gè)工人為優(yōu)秀員工.

(1)求這個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)；

(2)以這9個(gè)樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀員工的頻率作為概率，任意調(diào)查4名工人，求被調(diào)查的4名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量工分

布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

先算出集合gA,再與集合8求交集即可.

【詳解】

因?yàn)锳={x|x?3或x<l}.所以eA={x[l<x<3},又因?yàn)?={x[2*<4^~{x\x<2}.

所以&4)門5={》|1<%<2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合間的基本運(yùn)算，涉及到解一元二次不等式、指數(shù)不等式，是一道容易題.

2.B

【解析】

先求出雙曲線的漸近線方程，可得則直線bx—ay+2a=。與直線bx—ay=O的距離d,根據(jù)圓

(x—x0)2+(y—y0)2=l與雙曲線C的右支沒有公共點(diǎn)，可得d21,解得即可.

【詳解】

22u

由題意，雙曲線C:「—1=1口〉0外〉0)的一條漸近線方程為丫=—*,即bx—ay=O,

aba

??,P(x0,y0)是直線bx-ay+4a=0上任意一點(diǎn)，

i4a4a

則直線bx—ay+4a=0與直線bx—ay=O的距離d=/=一，

?.?圓(X—X。y+(y—y°y=1與雙曲線C的右支沒有公共點(diǎn)，則d21,

4/7c

A—>1,即6=—W4,又e>l

ca

故e的取值范圍為(1,4],

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線和雙曲線的位置關(guān)系，以及兩平行線間的距離公式，其中解答中根據(jù)圓與雙曲線C的右支沒有公

共點(diǎn)得出d21是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.B

【解析】

根據(jù)已知得到函數(shù)/(九)兩個(gè)對(duì)稱軸的距離也即是半周期，由此求得。的值，結(jié)合其對(duì)稱軸，求得。的值，進(jìn)而求得

/(九)解析式.根據(jù)圖像變換的知識(shí)求得g(x)的解析式，再利用三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法，求得g(x)的單調(diào)遞減區(qū)

間.

【詳解】

解：已知函數(shù)/(x)=sin(Ox+0,其中切>0,Oefo,|L其圖像關(guān)于直線x=看對(duì)稱，

對(duì)滿足=2的玉，l2，有kl_工21min二萬二3兀"，???口=:2.

TTTTTC

再根據(jù)其圖像關(guān)于直線x=—對(duì)稱，可得2x—+。=左"+—,左WZ.

662

：.0=^,/./(x)=sin[2x+.

將函數(shù)/Xx)的圖像向左平移F個(gè)單位長度得到函數(shù)g(x)=sin卜x+g+J

=cos2x的圖像.

6136J

JI

令2k兀<2x<2k7i+TC，求得k7i<x<k7i-\—,

2

兀

則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是k7T,k7T+-,左wZ,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求函數(shù)解析式，考查三角函數(shù)圖像變換,考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于中

檔題.

4.A

【解析】

利用函數(shù)的對(duì)稱性及函數(shù)值的符號(hào)即可作出判斷.

【詳解】

由題意可知函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，可排除B選項(xiàng)；

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)<0,可排除D選項(xiàng)；

當(dāng)X=1時(shí)，/。)=血2,當(dāng)x=3時(shí)，/(3)=曙/n2>*,

即以)，可排除C選項(xiàng)，

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)圖象的判斷，函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題.

5.C

【解析】

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面A08的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O-ABC的體積最大，設(shè)球。的半徑為R,此時(shí)

11,1?

Vo-ABC=V-AOB=-X-RxR=7R=36-故尺=6,則球。的表面積為S=4乃&=144萬，故選c-

C326

考點(diǎn)：外接球表面積和椎體的體積.

6.B

【解析】

展開式中含%4的項(xiàng)是由(x+2)5的展開式中含x4和%2的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)-2和%2項(xiàng)相乘得到，由二項(xiàng)式的通

項(xiàng)，可得解

【詳解】

由題意，展開式中含X4的項(xiàng)是由(x+2)5的展開式中含X4和X2的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)-2和X2項(xiàng)相乘得到，

所以(V—2)(%+2)5的展開式中含x4的項(xiàng)的系數(shù)為-2C*X2+C1X23=60.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的求解，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.D

【解析】

先求出/(力的值域，再利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)g(x)在區(qū)間(O,e)上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值域，由方程有兩個(gè)根求參數(shù)范

圍即可.

【詳解】

因?yàn)榍?"=依一加，故g<x)=ax1,

當(dāng)aWO時(shí)，g'(x)<0,故g(x)在區(qū)間(O,e)上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，g'(x)>0,故g(x)在區(qū)間(O,e)上單調(diào)遞增；

當(dāng)ajo，]時(shí)，令/(X)=0,解得％=

故g(x)在區(qū)間1o,￡|單調(diào)遞減，在區(qū)間U上單調(diào)遞增.

又=l+=—且當(dāng)x趨近于零時(shí)，g(x)趨近于正無窮；

對(duì)函數(shù)/(%),當(dāng)xe(O,e)時(shí)，/(x)e

根據(jù)題意，對(duì)Vxe(0,e),1rle(0,e)且石彳々，使得/(x)=g(xja=1,2)成立，

只需gt](T'g⑻"，

即可得1+①a<U,@—125，

4e

一6

解得。e—,e”.

LeJ

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究由方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的問題，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問題，屬綜

合困難題.

8.A

31

【解析】依題意，基本事件的總數(shù)有3x3=9種，兩個(gè)人參加同一個(gè)小組，方法數(shù)有3種，故概率為三=土.

93

9.D

【解析】

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE所在直線為x軸，所在直線為V軸，A4所在直線為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系.求解平面ACGA的法向量，利用線面角的向量公式即得解.

【詳解】

如圖所示的直四棱柱ABCD—AgGA，NA5C=60°，取BC中點(diǎn)E,

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE所在直線為x軸，AD所在直線為V軸，A4所在直線為z軸,

設(shè)=2,則A(0,0,0)，4(0,0,2),5(73,-1,0),C(A/3,1,0),￡3,1,2),

BCi=(0,2,2),AC=(V3,l,0),AA^=(0,0,2).

設(shè)平面ACQA的法向量為〃=（尤,y,z）,

n-AC=gx+y=0,

則一取x=l,

n-A\=2z=0,

得”=(L—G,o).

設(shè)直線BC［與平面ACQA,所成角為0,

_I_273I_A/6

則sin0=|BCi|-|n||我4

nw叵

cos0=\S廠4'

直線BQ與平面ACC】A所成角的正切值等于"

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量法求解線面角，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

10.B

【解析】

解不等式，可判斷A選項(xiàng)的正誤；寫出原命題的逆命題并判斷其真假，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用原命題與否命題、

逆否命題的關(guān)系可判斷C、D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.

【詳解】

解不等式/<1,解得-則命題。為假命題，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

命題。的逆命題是“若/<1,則。<1"，該命題為真命題，B選項(xiàng)正確；

命題P的否命題是“若a21,則/21”，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

命題。的逆否命題是“若/21,則a21"，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查四種命題的關(guān)系，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(x)與直線y=^(x+；)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，畫出函數(shù)y=/(x)的圖象，易知

直線>=k(x+1)過定點(diǎn),0),故與/(x)在x<0時(shí)的圖象必有兩個(gè)交點(diǎn),故只需與/(%)在％>0時(shí)的圖象有兩個(gè)

交點(diǎn)，再與切線問題相結(jié)合，即可求解.

【詳解】

由圖知y=f(x)與y=小+J有4個(gè)公共點(diǎn)即可，

即左e(0,左切)，當(dāng)設(shè)切點(diǎn)(%,%),

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，曲線的切線問題，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于較難的壓軸題.

12.C

【解析】

AA4

試題分析：由題意知，當(dāng)Xie1,3時(shí)，由=x+k;=4,當(dāng)且僅當(dāng)》=—時(shí)，即％=2等號(hào)是成立,

xV%x

所以函數(shù)“X)的最小值為4,當(dāng)/目2,3]時(shí)，g(x)=2'+a為單調(diào)遞增函數(shù)，所以=g(2)=a+4,又因

為\/王€g,3,3X2€[2,3],使得/(xj2g(w),即〃x)在xeg,3的最小值不小于g(x)在尤e[2,3]上的最小

值，即O+4W4,解得a40,故選C.

考點(diǎn)：函數(shù)的綜合問題.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了函數(shù)的綜合問題，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用、全稱

命題與存在命題的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，試題思維量大，屬于中檔試題，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的

能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，其中解答中轉(zhuǎn)化為〃龍)在xe1,3的最小值不小于g(x)在尤?2,3]上的最小

值是解答的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

⑶⑴S=2叱然?吟可嗚｝⑵畤.

【解析】

(1)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則”(4,4),在Rf中，設(shè)AB=/,又NQ4B=。,

故Q4=/cos。，OB=lsinO,進(jìn)而表示直線AB的方程，由直線與圓X相切構(gòu)建關(guān)系化簡整理得

4(sm'+c°s’)-2,即可表示04,03,最后由三角形面積公式表示AQB面積即可;

sincos6,

⑵令/=2(sine+cos6)-l,則singcos￡=丁〃一由輔助角公式和三角函數(shù)值域可求得/的取值范圍，進(jìn)

8

而對(duì)原面積的函數(shù)用含，的表達(dá)式換元，再令加=；進(jìn)行換元，并構(gòu)建新的函數(shù)g(冽)=-3加2+2根+1,由二次函數(shù)

性質(zhì)即可求得最小值.

【詳解】

解：(1)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則8(4,4),在RtAfiO中，設(shè)AB=/,又NQ4B=6?,

故Q4=/cos。，OB=lsin0.

所以直線AB的方程為一-—十—--=1,即％sin8+ycos8—/sin。cos。=。.

Icos0Ism6

因?yàn)橹本€45與圓”相切，

|4sin^+4cos^-Zsin^cos^|

所以

Vsin20+cos20

因?yàn)辄c(diǎn)”在直線AB的上方,

所以4sin8+4cos，一/sinOcos8>0,

所以(*)式可化為4sin。+4cos6?—/sinOcos8=2,解得/=4(sin，+cos，)-2

sincos6^

b…八44(sin0+cos0)-2八八4(sin0+cos0)-2

所以=-----.-—，OB=---------------------.

sin0cosf)

所以救面積為底泊―吆嘿播包尾

(2)令。=2(sin6+cos。)—1,則sin6cos6)=

8

且f=2(sin，+cos，)-1=20sin，+￡—le(l,2拒—1],

q=2干16

所以—r+2t-3~3,2,1,fe(l,20—1].

8tt

人1「20+1

,1,g(m)=-3m2+2m+l=-3|m-^V42A/2+1]

令"Z二一￡+-,所以g(M在J上單調(diào)遞減.

7J3L7J

7

所以，當(dāng)m=邁里，即。=工時(shí)，g(m)取得最大值，S取最小值.

74

TT

答：當(dāng)。=二時(shí)，面積S為最小，政府投資最低.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，應(yīng)優(yōu)先結(jié)合實(shí)際建立合適的數(shù)學(xué)模型，再按模型求最值，屬于難題.

14.2

【解析】

444r

變換得到(1—x)(l+x)4=(1+x)-x(l+x),展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C；x-,計(jì)算得到答案.

【詳解】

(1—X)(l+X)4=(l+X)4—x(l+x)4,(l+x)4的展開式的通項(xiàng)為：4T.

含必項(xiàng)的系數(shù)為：Cl-Cl=2.

故答案為：2?

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

15.3

【解析】

試題分析：由已知得(1+才=1+4x+6x2+4X3+X4,故(a+x)(l+x)4的展開式中x的奇數(shù)次幕項(xiàng)分別為4ax,

4ax3>x>6x3>x5)其系數(shù)之和為4a+4a+1+6+1=32,解得。=3.

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.

16.-^,4

L2J

【解析】

根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知/(%)+/(%)>/(演)對(duì)任意的看,馬,七恒成立，將/(無)的解析式用分離常數(shù)法變形，由均

值不等式可得分母的取值范圍，則整個(gè)式子的取值范圍由k-1的符號(hào)決定，故分為三類討論,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)

值域,再討論3轉(zhuǎn)化為/(3)+/(%)的最小值與/(七)的最大值的不等式，進(jìn)而求出左的取值范圍.

【詳解】

因?yàn)閷?duì)任意正實(shí)數(shù)%々，了3，都存在以/（%），/（%），/（七）為三邊長的三角形,

故/（%）+/（%2）>/（演）對(duì)任意的西，々,七恒成立，

/⑴V+x+11+/+X+11,令"X+L123,

X+1HX

X

k-l

則y=l+7（93）,

（k+2-

當(dāng)％—1>0,即左>1時(shí)，該函數(shù)在［3,內(nèi)）上單調(diào)遞減，則yeL二一；

當(dāng)左=1,即左=1時(shí),ye{l},

「k+2、

當(dāng)％—1<0,即左<1時(shí)，該函數(shù)在［3,+<?）上單調(diào)遞增，則ye二一,1,

2"+4”+2

所以，當(dāng)左>1時(shí)，因?yàn)?</（網(wǎng)）+/（%）<\—,1</（演）<亍，

G+2

所以丁V2,解得Iv左44；

當(dāng)左=1時(shí),/（玉）=/（%）=/（演）=1,滿足條件；

當(dāng)左<1時(shí)，^―</（石）+/（々）<2,且亍W/（%）<1,

2“+41

所以一^21,解得—74左<1，

32

綜上,—<k<4,

2

故答案為：-；,4

【點(diǎn)睛】

本題考查參數(shù)范圍，考查三角形的構(gòu)成條件，考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域，考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）證明見解析

⑵息

6

【解析】

(1)取AC中點(diǎn)/，連接ED,EB,得DFLAC,A6L6C,可得FA=FB=FC,

可證DFA^ADFB,可得DFLFB,進(jìn)而D尸，平面ABC,即可證明結(jié)論；

(2)設(shè)瓦G,“分別為邊AB,CD,的中點(diǎn)，連DE,EF,GF,FH,HG,可得GP/MZ),GH//BC,EF//BC,

可得NR汨(或補(bǔ)角)是異面直線AO與所成的角，BCLAB,可得即，A3,NDEF為二面角C—。

的平面角，即NDEb=60，設(shè)AD=a,求解AFGH,即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)證明:取AC中點(diǎn)/，連接ED,EB,

由DA=DC,則LAC,

ABLBC,則以=用=尸。，

JT

故DFA^DFB,NDFB=NDFA=一,

2

DF±AC,DF±FB,ACcFB=F

...OF，平面ABC,又u平面AC。，

故平面ABC_L平面ACD

(2)解法一:設(shè)G,H分別為邊8,的中點(diǎn)，

則/G//AD,G〃/ABC,

ZFGH(或補(bǔ)角)是異面直線AD與BC所成的角.

設(shè)E為邊A3的中點(diǎn)，則石尸/ABC,

由ABL3C,知石

又由(1)有D-，平面ABC,.?.￡>/

EFZ)F=fAB,平面Afi.,

所以NDEF為二面角C—AB—D的平面角，.?./￡>跳'=60，

設(shè)ZM=DC==a，則DF=AD.NCAD=@

2

在RfADEF中,EF^--—^—a

236

從而GH=^BC=EF=?a

26

在H/V9邛中，F(xiàn)H=-BD=-,

22

又PG=LAD=@,

22

從而在一FGH中，因iFG=FH,

LGH瓜

:.cosZFGH=2——=—

FG6

因此，異面直線AD與6C所成角的余弦值為立

6

解法二:過點(diǎn)/作9，AC交AB于點(diǎn)M,

由(1)易知尸CEO,尸”兩兩垂直，

以R為原點(diǎn)，射線k0,尸。,尸。分別為x軸，

y軸，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系尸-孫z.

不妨設(shè)A￡>=2,由Cr>=AT),NC4O=30°,

易知點(diǎn)A,C,。的坐標(biāo)分別為A(0,-V3,0),C(0,A/3,0),D(0,0,1)

則A￡>=(O,A1)

顯然向量上=(0,0,1)是平面ABC的法向量

已知二面角C—。為60°,

設(shè)B(7n,n,0),貝!］加2+n2=3,AB=(m,n+6,0)

設(shè)平面ABD的法向量為n=(%,y,z),

ADn=0S，+z=0

則L八二〈/r\

ABn-0mx+\n+yl3\y—0

令y=l,貝!!〃=_〃+G,i,一6

m

7

cos<k,n>\=

由

由上式整理得9rr+273/1-21=0,

解之得〃=-6（舍）或〃=9

9

《4#76八）.3、辿”]

:.B士----,----,u199J

99

2

,ADCB§=百

cos<AD,CB>\=--------pj------

102百一6

AD\\CB2x----

3

因此，異面直線AD與所成角的余弦值為

【點(diǎn)睛】

本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，證明平面與平面垂直，考查空間角，涉及到二面角、異面直線所成的角，做出空

間角對(duì)應(yīng)的平面角是解題的關(guān)鍵，或用空間向量法求角，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.

Q

18.（I）1131；（II）（i）P=-；（ii）125箱

【解析】

（I）根據(jù)參考數(shù)據(jù)得到B和a,代入得到回歸直線方程y=3.4/+4.964,t=\gx,

再代入x=10求成本，最后代入利潤公式；

（II）（i）首先分別計(jì)算水果箱數(shù)在［40,80）和［80,120）內(nèi)的天數(shù)，再用編號(hào)列舉基本事件的方法求概率；（ii）根

據(jù)頻率分布直方圖直接計(jì)算結(jié)果.

【詳解】

￡5(-)(＞一)

1.53

(I)根據(jù)題意，,二j--------=3.4,

￡(-)2045

!=1

所以6=?一看亍=6.8—3.4x0.54=4.964,所以亍=34+4.964.又t=lgx,所以，=3.41gx+4.964.

所以x=10時(shí)，y=3.4+4.964=8.364(千元)，

即該新奇水果100箱的成本為8314元，故該新奇水果100箱的利潤15000-8364=6636.

(ID(i)根據(jù)頻率分布直方圖，可知水果箱數(shù)在［40,80)內(nèi)的天數(shù)為Lx40x16=2

320

設(shè)這兩天分別為a,b,水果箱數(shù)在［80,120)內(nèi)的天數(shù)為Lx40x16=4,設(shè)這四天分別為A,B,C,D,

160

所以隨機(jī)抽取2天的基本結(jié)果為(A3),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),

(C,a),(C,b),⑷,a),(D,b),(a,b),共15種.滿足恰有1天的水果箱數(shù)在［80,120)內(nèi)的結(jié)果為

(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),共8種,

所以估計(jì)恰有1天的水果箱數(shù)在［80,120)內(nèi)的概率為尸=］.

(ii)這U天該農(nóng)戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數(shù)的平均值為

60x—x40+100x—x40+140x—x40+180x-^-x40=125(箱).

32016080320

【點(diǎn)睛】

本題考查考查回歸直線方程，統(tǒng)計(jì)，概率，均值的綜合問題，意在考查分析數(shù)據(jù)，應(yīng)用數(shù)據(jù)，解決問題的能力，屬于

中檔題型.

19.(1)填表見解析；有99.9%的把握認(rèn)為，平均車速超過90%加/〃與性別有關(guān)(2)詳見解析

【解析】

(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫2x2列聯(lián)表，計(jì)算出K?的值，由此判斷出有99.9%的把握認(rèn)為，平均車速超過90%和/〃

與性別有關(guān).

(2)利用二項(xiàng)分布的知識(shí)計(jì)算出分布列和數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

(1)

平均車速超過90的z/〃平均車速不超過

合計(jì)

的人數(shù)90kmi方的人數(shù)

男性駕駛員301040

女性駕駛員51520

合計(jì)352560

田為啟60x(30x15—5x10)26x16

因?yàn)镵=-------------------=-----?13.71>

40x20x35x257

13.71>10.828,所以有99.9%的把握認(rèn)為，平均車速超過90加//z與性別有關(guān).

(2)J服從?吟;即

仁2)7川［4

所以4的分布列如下

0123

272791

P

64646464

2727913

J的期望E(J)=0x—+lx—+2x=+3x—=3

646464644

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查2x2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查二項(xiàng)分布分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.

20.(I)見解析(II)a＞l

【解析】

(I)求導(dǎo)得到尸(x)=a(x+l)e',討論。＞0和。＜0兩種情況，得到答案.

、x+In%+15、%+In%+14I,、-(x+l)(x+lnx)人/、〔上心，、

(II)變換得到a2---------，設(shè)/(x)=----------，求/(x)=---------------，令"(x)=x+lnx,故°(x)

xexexe

在(0,+8)單調(diào)遞增，存在使得0(%)=0,F(xU=F(x0),計(jì)算得到答案.

【詳解】

(I)/'(x)=a(x+l)ex

當(dāng)〃>0時(shí)，在（-8,-1）單調(diào)遞減，在（一1,叱）單調(diào)遞增;

當(dāng)QV0時(shí)，"X）在1）單調(diào)遞增，在（-1,用）單調(diào)遞減.

x+lnx+1八、

(II)/(x)>g(x)(x>0),即axe*2jr+ln%+l(%>0),a>------——(zx>0).

xex

x+lnx+1

令下(%)=(x>0),

xex

IT—jxcx—(x+l)e”(x+Inx+1)