9.4乘法公式（解析版）

9.4乘法公式完全平方公式拓展：（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）（a+b）2-（a-b）2=4ab平方差公式補(bǔ)充公式；；；.題型1：完全平方公式1．若x+y＝1，則x2+2xy+y2＝1．【分析】先運(yùn)用公式法因式分解得出x2+2xy+y2＝（x+y）2，再把x+y＝1代入即可【解答】解：∵x+y＝1，∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝1，故答案為：1．【變式1-1】已知x+y＝6，xy＝10，則x2+y2＝16．【分析】將x2+y2變形為（x+y）2﹣2xy，然后將x+y＝6，xy＝10代入求解即可．【解答】.解：∵x+y＝6，xy＝10，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝62﹣2×10＝16．故答案為：16．【變式1-2】已知x﹣y＝1，x2+y2＝25，則xy＝12，x+y＝±7．【分析】首先在x﹣y＝1，兩邊平方，把（x2+y2）作為整體代入平方后的式子，求出xy；設(shè)x+y＝a，兩邊平方，把（x2+y2）作為整體代入平方后的式子，求出a，也就求出x+y．【解答】解：∵x﹣y＝1，∴x2﹣2xy+y2＝1，∵x2+y2＝25，∴xy＝12，設(shè)x+y＝a，∴x2+2xy+y2＝a2，∴49＝a2，∴a＝±7∴x+y＝±7；故答案為：12；±7．【變式1-3】若n滿足（n﹣2020）2+（2023﹣n）2＝1，（n﹣2020）（2023﹣n）＝4．【分析】設(shè)（n﹣2020）＝a，（n﹣2023）＝b，則：（n﹣2020）2+（2023﹣n）2＝a2+b2＝1，利用完全平方公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：設(shè)（n﹣2020）＝a，（n﹣2023）＝b，則：（n﹣2020）2+（2023﹣n）2＝a2+b2＝1，∵a﹣b＝（n﹣2020）﹣（n﹣2023）＝3，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝9，∴1﹣2ab＝9，∴ab＝﹣4，∴（n﹣2020）（2023﹣n）＝﹣ab＝4．故答案為：4．題型2：完全平方公式的幾何背景2.1．如圖，用不同的代數(shù)式表示圖中陰影部分的面積，可得公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．【分析】陰影部分是邊長(zhǎng)為（a﹣b）的正方形，其面積可表示為（a﹣b）2，也可以看作是邊長(zhǎng)為a的大正方形的面積減去兩個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的長(zhǎng)方形面積，再加上邊長(zhǎng)為b的正方形面積，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：陰影部分是邊長(zhǎng)為（a﹣b）的正方形，因此其面積為（a﹣b）2，陰影部分也可以看作是邊長(zhǎng)為a的大正方形的面積減去兩個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的長(zhǎng)方形面積，再加上邊長(zhǎng)為b的正方形面積，即a2﹣2ab+b2，因此有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．故答案為：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．【變式2-1】如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為a和b，若a+b＝12，ab＝26，則陰影部分的面積為33．【分析】用含有a、b的代數(shù)式表示陰影部分的面積，再將所得到的代數(shù)式變形為12[（a+b）2﹣3ab]【解答】解：圖中陰影部分的面積為12a（a﹣b）+12b2，即12a2-1∵a+b＝12，ab＝26，∴原式=12（a2﹣ab+b=12（a2+2ab+b2﹣3=12[（a+b）2﹣3=12（144﹣3×＝33，故答案為：33．【變式2-2】如圖1，是一個(gè)長(zhǎng)為4a、寬為b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．（1）觀察圖2，可以得到（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（2）當(dāng)（x﹣8）（15﹣x）＝6時(shí)，求（2x﹣23）2的值．【分析】（1）根據(jù)圖形中各個(gè)部分面積之間的關(guān)系即可得出答案；（2）利用（1）中的結(jié)論，可設(shè)a＝x﹣8，b＝15﹣x，得到ab＝6，a+b＝7，a﹣b＝2x﹣23，利用（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）大正方形的面積為（a+b）2，小正方形的面積為（a﹣b）2，兩個(gè)正方形的面積差為（a+b）2﹣（a﹣b）2，就等于4個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的長(zhǎng)方形的面積，即為4ab，故答案為：4ab；（2）設(shè)a＝x﹣8，b＝15﹣x，則ab＝（x﹣8）（15﹣x）＝6，a+b＝x﹣8+15﹣x＝7，a﹣b＝2x﹣23，∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝72﹣4×6＝25，即（2x﹣23）2＝25．【變式2-3】（1）用邊長(zhǎng)分別為a，b的兩個(gè)正方形和長(zhǎng)寬分別為a，b的兩個(gè)長(zhǎng)方形按如圖擺放可拼成一個(gè)大正方形，用兩種不同的方法可以表示圖中陰影部分的面積和．請(qǐng)你用一個(gè)等式表示（a+b）2，a2+b2，ab之間的數(shù)量關(guān)系a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．（2）根據(jù)（1）中的數(shù)量關(guān)系，解決如下問題：①已知m+n＝6，m2+n2＝26，求m﹣n的值；②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝74，求（x﹣2022）2的值．【分析】（1）陰影部分是兩個(gè)正方形的面積和，陰影部分也可以看出大正方形的面積減去兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積即可得出答案；（2）①先根據(jù)完全平方公式求出mn＝5，再根據(jù)（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2作答即可；②設(shè)a＝x﹣2021，b＝x﹣2023，先根據(jù)題意求出ab的值，再用完全平方公式計(jì)算即可．【解答】解：（1）方法一：陰影部分是兩個(gè)正方形的面積和，即a2+b2；方法二：陰影部分也可以看作邊長(zhǎng)為（a+b）的面積，減去兩個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的長(zhǎng)方形面積，即（a+b）2﹣2ab，由兩種方法看出a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，故答案為：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（2）①∵m+n＝6，∴（m+n）2＝36＝m2+2mn+n2，∵m2+n2＝26，∴2mn＝10，即mn＝5；∴（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2＝26﹣10＝16，∴m﹣n＝±4；②設(shè)a＝x﹣2021，b＝x﹣2023，則a﹣b＝2，a2+b2＝（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝74，∴ab=a即（x﹣2021）（x﹣2023）＝35，∴[（x﹣2022）+1][（x﹣2022）﹣1]＝（x﹣2022）2﹣1＝35，∴（x﹣2022）2＝36．【變式2-4】問題背景如圖，圖1，圖2分別是邊長(zhǎng)為（a+b），a的正方形，由圖1易得（a+b）2＝a2+2ab+b2．類比探究類比由圖1易得公式（a+b）2＝a2+2ab+b2的方法，依據(jù)圖2中的已知條件推導(dǎo)出完全平方的另一個(gè)公式．解決問題（1）計(jì)算：（2m﹣n）2＝4m2﹣4mn+n2；（2）運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：1052；（3）已知（x+y）2＝12，xy＝2，求（x﹣y）2的值．【分析】類比探究：由圖2可得公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；解決問題：（1）由另一個(gè)完全平方公式計(jì)算即可；（2）運(yùn)用完全平方公式計(jì)算即可；（3）運(yùn)用完全平方公式變形后計(jì)算即可．【解答】解：類比探究：由圖2中的已知條件可以得出完全平方的另一個(gè)公式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；解決問題：（1）（2m﹣n）2＝（2m）2﹣2×2m×n+n2＝4m2﹣4mn+n2；故答案為：4m2﹣4mn+n2；（2）1052＝（100+5）2＝1002+2×100×5+52＝10000+1000+25＝11025；（3）因?yàn)椋▁+y）2＝12，xy＝2，所以（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝122﹣4×2＝144﹣8＝136．【變式2-5】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，適當(dāng)?shù)淖冃危梢越鉀Q很多的數(shù)學(xué)問題．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因?yàn)閍+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因?yàn)閍b＝1，所以a2+b2＝7．根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，求（4﹣x）2+（x﹣5）2的值；（3）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝6，兩正方形的面積和S1+S2＝18，求圖中陰影部分面積．【分析】（1）根據(jù)（x+y）2＝x2+2xy+y2，代入計(jì)算即可；（2）設(shè)m＝4﹣x，n＝x﹣5，可得m+n＝﹣1，mn＝（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，利用（4﹣x）2+（x﹣5）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn代入計(jì)算即可；（3）設(shè)AE＝a，F(xiàn)G＝b，則AB＝6＝a+b，由題意可知S1+S2＝a2+b2＝18，根據(jù)（a+b）2＝a2+2ab+b2，求出12ab【解答】解：（1）∵x+y＝8，∴（x+y）2＝64，即x2+2xy+y2＝64，又∵x2+y2＝40，∴2xy＝64﹣40，∴xy＝12，答：xy的值為12；（2）設(shè)m＝4﹣x，n＝x﹣5，則m+n＝﹣1，mn＝（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，∴（4﹣x）2+（x﹣5）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝（﹣1）2﹣2×（﹣8）＝1+16＝17；（3）設(shè)AE＝a，F(xiàn)G＝b，則AB＝6＝a+b，由題意可知S1+S2＝a2+b2＝18，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴36＝18+2ab，∴ab＝9，∴陰影部分的面積為12ab=答：陰影部分的面積為92題型3：平方差公式3.已知a+b＝5，a﹣b＝2，則a2﹣b2＝10．【分析】根據(jù)（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2求解即可．【解答】解：∵（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，又∵a+b＝5，a﹣b＝2，∴a2﹣b2＝2×5＝10，故答案為：10．【變式3-1】已知（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，則（a+b）2＝10．【分析】利用平方差公式，完全平方公式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算．【解答】解：∵（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，即（a2+b2）2﹣32＝7，∴（a2+b2）2＝7+9＝16，∴a2+b2＝4，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝4+2×3＝4+6＝10．故答案為：10．【變式3-2】計(jì)算：(1-122【分析】直接利用平方差公式因式分解，再進(jìn)一步找出規(guī)律計(jì)算即可．【解答】解：原式＝（1-12=1=1=2023故答案為：20234044【變式3-3】①（x﹣1）?（x+1）＝x2﹣1②（x﹣1）?（x2+x+1）＝x3﹣1③（x﹣1）?（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……A題：猜想（x﹣1）?（x49+x48+…+x+1）＝x50﹣1．B題：當(dāng)（x﹣1）?（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0，代數(shù)式x2023﹣1＝﹣2或0．【分析】（1）由規(guī)律可得（x﹣1）?（xn﹣1+…+x5+x4+x3+x2+x+1）＝xn﹣1，再根據(jù)數(shù)值，可得其答案；（2）可由（x﹣1）?（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0，求出x的值，再代入x2023﹣1得其值．【解答】解：（1）（x﹣1）?（x49+x48+…+x+1）＝x50﹣1，故答案為x50﹣1；（2）∵（x﹣1）?（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0，∴x＝1或﹣1，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，x2023﹣1＝（﹣1）2023﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2；當(dāng)x＝1時(shí)，x2023﹣1＝12023﹣1＝1﹣1＝0，∴x2023﹣1＝﹣2或0，故答案為﹣2或0．【變式3-4】計(jì)算：（x﹣3+2y）（x﹣3﹣2y）．【分析】先運(yùn)用平方差公式計(jì)算，再運(yùn)用完全平方公式計(jì)算即可．【解答】解：（x﹣3+2y）（x﹣3﹣2y）＝（x﹣3+2y）（x﹣3﹣2y）＝（x﹣3）2﹣（2y）2＝x2﹣6x﹣4y2+9．題型4：平方差公式的幾何背景4.在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b）（如圖），把余下的部分拼成一個(gè)矩形（如圖），根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證的乘法公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【分析】第一個(gè)圖形中陰影部分的面積計(jì)算方法是邊長(zhǎng)是a的正方形的面積減去邊長(zhǎng)是b的小正方形的面積，等于a2﹣b2；第二個(gè)圖形陰影部分是一個(gè)長(zhǎng)是（a+b），寬是（a﹣b）的長(zhǎng)方形，面積是（a+b）（a﹣b）；這兩個(gè)圖形的陰影部分的面積相等．【解答】解：陰影部分的面積＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；因而可以驗(yàn)證的乘法公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【變式4-1】如圖①，從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，將陰影部分沿線剪開，如圖所示，拼成圖②的長(zhǎng)方形．（1）【探究】①請(qǐng)你分別表示出這兩個(gè)圖形中陰影部分的面積a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；②比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（用字母表示）；（2）【應(yīng)用】請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)公式完成計(jì)算：2001×1999．【分析】（1）①圖①陰影部分的面積為兩個(gè)正方形面積的差，圖②陰影部分的面積是長(zhǎng)為（a+b），寬為（a﹣b）的長(zhǎng)方形面積；②圖①陰影部分的面積和圖②陰影部分的面積相等，即可列出式子；（2）將2001×1999轉(zhuǎn)化為（2000+1）（2000﹣1），根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）①在圖①中：∵大正方形的面積為a2，小正方形的面積為b2，∴陰影部分的面積為：a2﹣b2；在圖②中：∵陰影部分為長(zhǎng)方形，且長(zhǎng)為（a+b），寬為（a﹣b），∴陰影部分的面積為：（a+b）（a﹣b）；②∵圖①陰影部分的面積和圖②陰影部分的面積相等，∴可得到乘法公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故答案為：①a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；②（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）原式＝（2000+1）（2000﹣1）＝20002﹣1＝3999999．【變式4-2】如圖1，邊長(zhǎng)為a的大正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，然后將圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2所示）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（用a，b表示）；（2）請(qǐng)利用你從（1）得出的等式，完成下列各題：①已知9a2﹣b2＝27，3a+b＝9，則3a﹣b＝3；②計(jì)算：(1-【分析】（1）通過整體運(yùn)算和部分求和的分式對(duì)圖中陰影部分的面積求解即可；（2）①由（1）得出的等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）進(jìn)行求解即可；②運(yùn)用（1）得出的等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）將算式進(jìn)行變形、求解．【解答】解：（1）∵圖1中陰影部分的面積為a2﹣b2，圖1中陰影部分的面積為（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①由（1）得出的等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）可得，9a2﹣b2＝（3a+b）（3a﹣b），∴3a﹣b＝（9a2﹣b2）÷（3a+b）＝27÷9＝3，故答案為：3；②由（1）得出的等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）可得，(1-＝（1-12）?（1+12）?（1-13）?（1+1=1=1=2023【變式4-2】計(jì)算：（1）長(zhǎng)方形和正方形按如圖的樣式擺放，求圖中陰影部分的面積；（2）先化簡(jiǎn)，再求值（x+3y）2﹣（x+3y）（x﹣3y），其中x＝3，y＝﹣2；（3）已知：（x+y）2＝6，（x﹣y）2＝3，求2xy﹣3的值．【分析】（1）根據(jù)陰影部分的面積＝長(zhǎng)方形的面積+正方形的面積﹣三角形的面積進(jìn)行求解；（2）根據(jù)完全平方公式和平方差公式對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入求值即可；（3）根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可．【解答】解：（1）陰影部分的面積＝2a?3a+a2-12×2a×（3a＝7a2﹣4a2＝3a2；（2）（x+3y）2﹣（x+3y）（x﹣3y）＝x2+6xy+9y2﹣（x2﹣9y2）＝x2+6xy+9y2﹣x2+9y2＝6xy+18y2，當(dāng)x＝3，y＝﹣2時(shí)，原式＝6×3×（﹣2）+18×（﹣2）2＝﹣36+72＝36；（3）∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝6①，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝3②，∴①﹣②得：4xy＝3，解得xy=3∴2xy﹣3=32-題型5：整式的除法5.計(jì)算：2x6÷x2＝2x4．【分析】利用整式的除法的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：2x6÷x2＝2x4．故答案為：2x4．【變式5-1】計(jì)算：（28a3﹣14a2+7a）÷7a＝4a2﹣2a+1．【分析】多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加．【解答】解：原式＝4a2﹣2a+1．故答案為：4a2﹣2a+1．【變式5-2】已知10b2÷（﹣5b）m＝A，若m＝1，則A＝﹣2b；若m＝3，則A＝-225b【分析】將m的值代入，利用冪的運(yùn)算性質(zhì)解得即可．【解答】解：當(dāng)m＝1時(shí)，A＝10b2÷（﹣5b）＝﹣2b；當(dāng)m＝3時(shí)，A＝10b2÷（﹣125b3）=-故答案為：﹣2b；-2【變式5-3】觀察下列式：（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1；（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1．①（x7﹣1）÷（x﹣1）＝x6+x5+x4+x3+x2+x+1；②根據(jù)①的結(jié)果，則1+2+22+23+24+25+26+27＝28﹣1．【分析】①根據(jù)上面的規(guī)律直接得出（x7﹣1）÷（x﹣1）＝x6+x5+x4+x3+x2+x+1即可；②根據(jù)（28﹣1）÷（2﹣1）＝27+26+25+24+23+22+2+1，直接得出答案即可．【解答】解：（1）由已知得（x7﹣1）÷（x﹣1）＝x6+x5+x4+x3+x2+x+1，故答案為x6+x5+x4+x3+x2+1；（2）∵（28﹣1）÷（2﹣1）＝27+26+25+24+23+22+2+1，∴28﹣1＝27+26+25+24+23+22+2+1，故答案為28﹣1．題型6：整式的混合運(yùn)算6.若m2﹣m＝2，那么（m﹣1）2+（m+2）（m﹣2）+3的值為4．【分析】先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，然后把m2﹣m＝2代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（m﹣1）2+（m+2）（m﹣2）+3＝m2﹣2m+1+m2﹣4+3＝2m2﹣2m，當(dāng)m2﹣m＝2時(shí)，原式＝2（m2﹣m）＝2×2＝4．故答案為：4．【變式6-1】先化簡(jiǎn)，再求值：[（x﹣3y）（x﹣y）﹣3（x﹣2y）2+（3y）2]÷（﹣2x），其中x＝﹣3，y=-【分析】首先進(jìn)行整式的混合運(yùn)算，化為最簡(jiǎn)整式，再把x＝﹣3，y=-【解答】解：[（x﹣3y）（x﹣y）﹣3（x﹣2y）2+（3y）2]÷（﹣2x）＝[x2﹣xy﹣3xy+3y2﹣3（x2﹣4xy+4y2）+9y2]÷（﹣2x）＝（x2﹣xy﹣3xy+3y2﹣3x2+12xy﹣12y2+9y2）÷（﹣2x）＝（﹣2x2+8xy）÷（﹣2x）＝x﹣4y，當(dāng)x＝﹣3，y=-原式=-3【變式6-2】先化簡(jiǎn)，再求值：（a+b）（a﹣b）+（b﹣1）2﹣a（a﹣2），其中實(shí)數(shù)a，b滿足|a﹣2|+b2+2b+1＝0．【分析】先根據(jù)完全平方公式，平方差公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，根據(jù)絕對(duì)值和偶次方的非負(fù)性得出a＝2，b＝﹣1，最后代入求出答案即可．【解答】解：（a+b）（a﹣b）+（b﹣1）2﹣a（a﹣2）＝a2﹣b2+b2﹣2b+1﹣a2+2a＝2（a﹣b）+1；∵|a﹣2|+b2+2b+1＝0，∴|a﹣2|+（b+1）2＝0，∴a＝2，b＝﹣1，原式＝2×[2﹣（﹣1）]+1＝7．【變式6-3】整式化簡(jiǎn)求值：若單項(xiàng)式a3bx與單項(xiàng)式-13π【分析】先去括號(hào)合并同類項(xiàng)化簡(jiǎn)，再利用同類項(xiàng)定義求出x與y的值，代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：(4=4x＝2x2+xy﹣y2，∵單項(xiàng)式a3bx與單項(xiàng)式-1∴x＝1，y＝3，∴原式＝2×12+1×3﹣32＝﹣4．一．選擇題（共7小題）1．下列各運(yùn)算中，計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a2＝a4 B．（b2）3＝b6 C．2x?2x2＝2x3 D．（m﹣n）2＝m2﹣n2【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則，冪的乘方法則，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則及完全平方公式分別計(jì)算并判斷．【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故原計(jì)算不符合題意；B、（b2）3＝b6，故原計(jì)算符合題意；C、2x?2x2＝4x3，故原計(jì)算不符合題意；D、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故原計(jì)算不符合題意；故選：B．2．若x2﹣2（n﹣1）x+25是完全平方式，則n的值為（）A．6 B．﹣4或6 C．1 D．﹣9【分析】由完全平方式的特點(diǎn)可得﹣2（n﹣1）＝10或﹣2（n﹣1）＝﹣10，再解方程即可．【解答】解：∵x2﹣2（n﹣1）x+25是完全平方式，∴﹣2（n﹣1）＝10或﹣2（n﹣1）＝﹣10．解得：n＝﹣4或n＝6，故B正確．故選：B．3．已知a+b＝10，ab＝20，則a2+b2的值為（）A．80 B．﹣80 C．60 D．140【分析】本題利用完全平方公式，代入計(jì)算即可．【解答】解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣40＝60．故選：C．4．若（2x﹣m）（x+1）的運(yùn)算結(jié)果中不含x的一次項(xiàng)，則m的值等于（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【分析】利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行運(yùn)算，再結(jié)合條件進(jìn)行求解即可．【解答】解：（2x﹣m）（x+1）＝2x2+2x﹣mx﹣m＝2x2+（2﹣m）x﹣m，∵結(jié)果中不含x的一次項(xiàng)，∴2﹣m＝0，解得：m＝2．故選：A．5．若a2﹣b2＝4，則（a+b）2（a﹣b）2的值是（）A．24 B．16 C．8 D．4【分析】把（a+b）2（a﹣b）2利用平方差公式先運(yùn)算底數(shù)，然后再代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【解答】解：（a+b）2（a﹣b）2＝[（a+b）（a﹣b）]2＝（a2﹣b2）2，∵a2﹣b2＝4，∴原式＝42＝16．故選：B．6．已知a=-12022x+2021，b=-12022x+2022，c=-12022x+2023，那么，代數(shù)式a2+b2+A．﹣2022 B．2022 C．﹣3 D．3【分析】先把代數(shù)式進(jìn)行因式分解，再代入求值．【解答】解：∴a=-12022x+2021，b=-12022x+2022∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=12[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）=12×＝3，故選：D．7．若a+b＝3，x+y＝1，則代數(shù)式a2+2ab+b2﹣x﹣y+2015的值是（）A．2019 B．2017 C．2024 D．2023【分析】先把代數(shù)式局部分解因式，再整體代入求解．【解答】解：∵a+b＝3，x+y＝1，∴a2+2ab+b2﹣x﹣y+2015＝（a+b）2﹣（x+y）+2015＝9﹣1+2015＝2023，故選：D．二．填空題（共6小題）8．已知y2﹣8y+m是一個(gè)完全平方式，則m的值為16．【分析】根據(jù)完全平方式的特點(diǎn)解答即可．【解答】解：∵y2﹣8y+m是一個(gè)完全平方式，∴m＝16．故答案為：16．9．若m=25x+3，n=45x+5，k=65x-7，則代數(shù)式m2+n2+k2+2【分析】根據(jù)完全平方公式得到m2+n2+k2+2mn﹣2mk﹣2nk＝（m+n﹣k）2，再代入計(jì)算即可求解．【解答】解：∵m=2∴m2+n2+k2+2mn﹣2mk﹣2nk＝（m+n）2﹣2（m+n）k+k2＝（m+n﹣k）2＝（25x+3+45x+5-6＝152＝225．故答案為：225．10．如圖，我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”，如圖揭示了（a+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）展開式中各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，請(qǐng)你猜想（a+b）6的展開式中含a2b4項(xiàng)的系數(shù)是15．【分析】仿照閱讀材料中的方法將原式展開，即可得到含a2b4項(xiàng)的系數(shù)．【解答】解：根據(jù)題意得：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，所以（a+b）6的展開式中含a2b4項(xiàng)的系數(shù)是15．故答案為：15．11．如圖，正方形ABCD和AEFG的邊長(zhǎng)分別為x，y，點(diǎn)E，G分別在邊AB，AD上，若x2+y2＝29，BE＝3，則圖中陰影部分圖形的面積的和為10.5．【分析】利用圖形和x2+y2、2xy還有x﹣y之間的關(guān)系，求出x，y，用面積公式計(jì)算即可．【解答】解：∵正方形ABCD和AEFG的邊長(zhǎng)分別為x，y，∴BE＝x﹣y＝3，∴（x﹣y）2＝9，即x2+y2﹣2xy＝9∵x2+y2＝29，∴2xy＝20，∴x2+y2+2xy＝29+20＝49，∴x+y＝7，∴x+y=7x-y=3解方程組得x=5y=2∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，∴DQ＝BE＝3，S△BEF+S△DCF=12×2×3+12×5×故答案為：10.5．12．若x2﹣5x+2＝0，則2x3﹣7x2﹣11x+2020的值為2014．【分析】先把代數(shù)式進(jìn)行變形，再整體代入求解．【解答】解：∵x2﹣5x+2＝0，∴2x3﹣7x2﹣11x+2020＝2x（x2﹣5x+2）+3（x2﹣5x+2）+2014＝2014，故答案為：2014．13．（1）已知x+y＝7，xy＝5，則x2+y2的值為39．（2）已知（x+y）2＝49，x2+y2＝27，則（x﹣y）2的值為5．（3）已知x滿足（x﹣2022）2+（2024﹣x）2＝12，則（x﹣2023）2的值為5．【分析】（1）利用完全平方公式把代數(shù)式變形，整體代入求值；（2）把代數(shù)式變形，整體代入求值；（3）設(shè)x﹣2023＝a，把等式變成含a的方程，求解a的值，再代入求代數(shù)式的值．【解答】解：（1）∵x+y＝7，xy＝5，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝72﹣2×5＝49﹣10＝39；故答案為：39；（2）∵（x+y）2＝49，x2+y2＝27，∴x2+2xy+y2＝49，即27+2xy＝49，∴xy＝11，∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝27﹣2×11＝27﹣22＝5；故答案為：5；（3）設(shè)x﹣2023＝a，∵x滿足（x﹣2022）2+（2024﹣x）2＝12，∴（a+1）2+（a﹣1）2＝12，化簡(jiǎn)整理得：a2＝5，∴（x﹣2023）2的值為5．故答案為：5．三．解答題（共6小題）14．先化簡(jiǎn)，再求值：[（x﹣3y）（x﹣y）﹣3（x﹣2y）2+（3y）2]÷（﹣2x），其中x＝﹣3，y=-【分析】首先進(jìn)行整式的混合運(yùn)算，化為最簡(jiǎn)整式，再把x＝﹣3，y=-【解答】解：[（x﹣3y）（x﹣y）﹣3（x﹣2y）2+（3y）2]÷（﹣2x）＝[x2﹣xy﹣3xy+3y2﹣3（x2﹣4xy+4y2）+9y2]÷（﹣2x）＝（x2﹣xy﹣3xy+3y2﹣3x2+12xy﹣12y2+9y2）÷（﹣2x）＝（﹣2x2+8xy）÷（﹣2x）＝x﹣4y，當(dāng)x＝﹣3，y=-原式=-315．閱讀下列材料，解答問題：若一個(gè)自然數(shù)能被13整除，則稱這個(gè)自然數(shù)為“一生數(shù)”．若一個(gè)四位自然數(shù)，百位數(shù)字為1，個(gè)位數(shù)字為4，則稱這個(gè)四位數(shù)為“一世數(shù)”．若一個(gè)四位自然數(shù)既是“一生數(shù)”，又是“一世數(shù)”，則稱這個(gè)數(shù)為“一生一世數(shù)”．例如：因?yàn)?134÷13＝318，318為整數(shù)，所以4134是“一生數(shù)”；因?yàn)?134是四位數(shù)，且百位數(shù)字為1，個(gè)位數(shù)字為4，所以4134為“一世數(shù)”：因?yàn)?134既是“一生數(shù)”，又是“一世數(shù)”，所以4134為“一生一世數(shù)”．（1）求證：任意一個(gè)“一世數(shù)”加上千位數(shù)字與十位數(shù)字3倍的和一定是“一生數(shù)”；（2）若一個(gè)四位自然數(shù)m是“一生一世數(shù)”，記F(m)=m13，求F（【分析】（1）設(shè)任意一個(gè)“一世數(shù)”為a1b4，根據(jù)任意一個(gè)“一世數(shù)”加上千位數(shù)字與十位數(shù)字3倍的和列出代數(shù)式得a1b4+a+3b＝13（77a+b+8【解答】（1）證明：設(shè)任意一個(gè)“一世數(shù)”為a1b4，∴a1b4+a+3＝1000a+100+10b+4+a+3b＝1001a+104+13b＝13（77a+b+8），∵a，b為整數(shù)，∴77a+b+8為整數(shù)，∴任意一個(gè)“一世數(shù)”加上千位數(shù)字與十位數(shù)字3倍的和一定是“一生數(shù)”；（2）解：設(shè)m=x1y4∴F（m）=x1y413=1000x+100+10y+413=1000x+10y+104∵m是“一生一世數(shù)”，∴x+3y能被13整除，∵1≤x≤9，0≤y≤9，x，y為整數(shù)，∴x+3y＝13或x+3y＝26，∴x=1y=4或x=4y=3或x=7y=2或x=2y=8或∴m＝1144，4134，7124，2184，5174，8164，∴F（m）的最大值為816413F（m）的最小值為114413=∴F（m）的最大值與最小值之差為628﹣88＝540．16．【閱讀學(xué)習(xí)】閱讀下列文字：我們知道，圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語言，我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”．例如，對(duì)于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積，就可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例1：如圖1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac．例2：由圖2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．借助幾何圖形，利用幾何直觀的方法在解決整式運(yùn)算問題時(shí)經(jīng)常采用．（1）如圖3，將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c的正方形．利用不同的形式可表示這個(gè)大正方形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請(qǐng)用等式表示出來為（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38．求a2+b2+c2的值；（3）利用此方法也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積．如圖4，將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形拼在一起，B、C、G三點(diǎn)在同一直線上，連接BD和BF，若這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)滿足a+b＝10，ab＝20，請(qǐng)求出陰影部分的面積．【分析】（1）先用正方形的面積公式表示出面積，再用幾個(gè)小正方形和小長(zhǎng)方形的面積的和表示大正方形的面積，由兩個(gè)結(jié)果相等即可得出結(jié)論；（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；（3）利用S陰影＝S兩正方形﹣S△ABD﹣S△BFG求解．【解答】（1）解：∵正方形面積為（a+b+c）2，小塊四邊形面積總和為a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，∴由面積相等可得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；故結(jié)論是：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）由（1）可知a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+abc+2ac），∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）＝121﹣2×38＝45，故a2+b2+c2的值為45；（3）∵a+b＝10，ab＝20，∴（a+b）2＝100，∴a2+b2+2ab＝100，∴a2+b2＝60，∴S陰影＝S兩正方形﹣S△ABD﹣S△BFG＝a2+b2-12a2-12b（=12（a2+b2﹣=12×（60＝20．故陰影部分的面積是20．17．布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)論認(rèn)為學(xué)習(xí)是一個(gè)積極主動(dòng)的過程，學(xué)習(xí)者不是被動(dòng)接受知識(shí)，而是主動(dòng)的獲取知識(shí)．某個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)課上，主持人給出了下列的探究任務(wù)．任務(wù)一：自主探究定義：若a+b＝n，則稱a與b是關(guān)于整數(shù)n的