第02講 二次函數(shù)y=ax²的圖像和性質(zhì)（知識(shí)解讀+真題演練+課后鞏固）（原卷版）

第2講二次函數(shù)的相圖像合性質(zhì)會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù)（a≠0）的圖像，并結(jié)合圖像理解拋物線、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向等概念。；掌握二次函數(shù)（a≠0）的圖像和性質(zhì)，并解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用；知識(shí)點(diǎn)1y=ax2的圖像畫(huà)法：應(yīng)先列表，（2）再描點(diǎn)，（3）最后連線。列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心，選取便于計(jì)算、描點(diǎn)的整數(shù)值，描點(diǎn)連線時(shí)一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢(shì)?！締?wèn)題1】在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y＝x2的圖象并簡(jiǎn)單描述其性質(zhì)?！窘獯稹拷猓海?）列表：x…﹣2﹣1012…y…41014…（2）描點(diǎn)、連線：．二次函數(shù)y＝x2的性質(zhì)：（1）y＝-x2圖像是一條拋物線（2）關(guān)于y軸對(duì)稱（3）開(kāi)口向上（4）頂點(diǎn)（0，0）（5）當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減少，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；（6）有最低點(diǎn).【問(wèn)題2】在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y＝﹣x2函數(shù)的圖象．【解答】解：列表得：﹣2﹣1012y＝﹣x2﹣4﹣10﹣1﹣4描點(diǎn)、連線可得圖象為：．二次函數(shù)y＝-x2的性質(zhì)：（1）y＝-x2圖像是一條拋物線（2）關(guān)于y軸對(duì)稱（3）開(kāi)口向下（4）頂點(diǎn)（0，0）（5）當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減少；（6）有最高點(diǎn).總結(jié)：y=ax2的圖像的性質(zhì)小結(jié)：從二次函數(shù)的圖象可以看出，對(duì)于拋物線y=ax2來(lái)說(shuō)，越大，拋物線的開(kāi)口越小知識(shí)點(diǎn)2：二次函數(shù)y=ax2的圖像及性質(zhì)的應(yīng)用二次函數(shù)y=ax2的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，因此圖像左右兩部分折疊可以重合，在比較二次函數(shù)大小時(shí)，我們可以根據(jù)圖中點(diǎn)具有的對(duì)稱性轉(zhuǎn)變到同一變化區(qū)域；根據(jù)圖像中函數(shù)值高低去比較；對(duì)于不規(guī)則的圖形面積，采用等面積割補(bǔ)法，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形以方便求解。【題型1二次函數(shù)y=ax2頂點(diǎn)與對(duì)稱軸問(wèn)題】【典例1】拋物線y=3x2A．直線x=3B．直線x=-3C．直線x=0D．直線y=0【變式1】拋物線y＝﹣2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是；對(duì)稱軸是【題型2二次函數(shù)y=ax2頂開(kāi)口方向和開(kāi)口大小問(wèn)題】【典例2】拋物線y＝2x2與y＝－2x2相同的性質(zhì)是（）A．開(kāi)口向下B．對(duì)稱軸是y軸C．有最低點(diǎn) D．對(duì)稱軸是x軸【變式2-1】拋物線y=-1A．向上 B．向下 C．向右 D．向左【典例3】（2021秋?武岡市期末）已知四個(gè)二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么a1，a2，a3，a4的大小關(guān)系是．（請(qǐng)用“＞”連接排序）【變式3-1】（2021秋?霍林郭勒市期末）如圖所示，在同一坐標(biāo)系中，作出①y＝3x2；②y＝x2；③y＝x2的圖象，則圖象從里到外的三條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)依次是（填序號(hào)）．【變式3-2】（秋?建鄴區(qū)期末）已知兩個(gè)二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么a1a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．【變式3-3】如圖所示四個(gè)二次函數(shù)的圖象中，分別對(duì)應(yīng)的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．則a、b、c、d的大小關(guān)系為．【題型3二次函數(shù)y=ax2圖像性質(zhì)】【典例4】（2021秋?肥東縣期末）二次函數(shù)y＝x2的圖象經(jīng)過(guò)的象限是（）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【變式4-1】（2022秋?濱江區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝（m﹣2）x2（m為實(shí)數(shù)，且m≠2），當(dāng)x≤0時(shí)，y隨x增大而減小，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．m＜0 B．m＞2 C．m＞0 D．m＜2【變式4-2】關(guān)于拋物線y＝3x2，下列說(shuō)法正確的是（）A．開(kāi)口向下B．頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）C．對(duì)稱軸為y軸D．當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)y隨x的增大而增大【題型4二次函數(shù)y=ax2平移規(guī)律】【典例5】（2022秋?承德縣期末）將二次函數(shù)y＝﹣3x2的圖象平移后，得到二次函數(shù)y＝﹣3（x﹣1）2的圖象，平移的方法可以是（）A．向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度【變式5-1】（2022秋?津南區(qū)期末）拋物線y＝（x﹣2）2是由拋物線y＝x2平移得到的，下列平移正確的是（）A．向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度【變式5-2】（2022秋?新豐縣期末）將拋物線的圖象向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后拋物線的解析式為（）A． B． C． D．【題型5二次函數(shù)y=ax2中y值大小比較問(wèn)題】【典例6】已知點(diǎn)A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函數(shù)y=-2x2圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（A．y1<y3<y2B．y1【變式6-1】若點(diǎn)A(-1,y1)，B(2,y2)在拋物線y=2x2上，則y1，y2的大小關(guān)系為：【變式6-2】函數(shù)y＝ax2（a＞0）中，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而.【題型6二次函數(shù)y=ax2與一次函數(shù)綜合問(wèn)題】【典例7】（2021秋?淮陰區(qū)期末）下列圖象中，當(dāng)ab＞0時(shí)，函數(shù)y＝ax2與y＝ax+b的圖象是（）A． B． C． D．【變式7-1】（榆社縣期末）在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝ax2與y＝ax+a（a＜0）的圖象的大致位置可能是（）A． B． C． D．【變式6-2】（2021秋?立山區(qū)期中）如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，k≠0，函數(shù)y＝kx2和y＝kx﹣2的圖象可能是（）A． B． C． D．【題型7二次函數(shù)y=ax2圖像及性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】【典例7】（2020?蘭州）如圖所示，有一座拋物線形拱橋，橋下面在正常水位AB時(shí)，寬20m，水位上升3m就達(dá)到警戒線CD，這時(shí)水面寬度為10m．（1）在如圖的坐標(biāo)系中求拋物線的解析式；（2）若洪水到來(lái)時(shí)，水位以每小時(shí)0.2m的速度上升，從警戒線開(kāi)始，再持續(xù)多少小時(shí)才能到達(dá)拱橋頂？【變式7-1】（2021?順河區(qū)校級(jí)月考）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，以正方形中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，作出函數(shù)y＝2x2與y＝﹣2x2的圖象，則陰影部分的面積是．【變式7-2】（2022秋?棲霞市期末）如圖，⊙O的半徑為2，C1是函數(shù)的圖象，C2是函數(shù)的圖象，則陰影部分的面積是（）A．4π B．2π C．π D．無(wú)法確定1．（2023?賓陽(yáng)縣一模）拋物線y＝x2向上平移2個(gè)單位，所得拋物線的解析式是（）A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）22．（2022?黑龍江）若二次函數(shù)y＝ax2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（﹣2，4），則該圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（）A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）3．（2023?延安一模）如圖是四個(gè)二次函數(shù)的圖象，則a、b、c、d的大小關(guān)系為（）A．d＜c＜a＜b B．d＜c＜b＜a C．c＜d＜a＜b D．c＜d＜b＜a4．（2023?增城區(qū)一模）已知A（0，y1），B（3，y2）為拋物線y＝（x﹣2）2上的兩點(diǎn)，則y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＜y2 D．無(wú)法確定1．若二次函數(shù)y＝ax2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，－2)，則它也經(jīng)過(guò)（）A．(－1，－2) B．(－1，2) C．(1，2) D．(2，1)2．下列關(guān)于二次函數(shù)y＝2x2的說(shuō)法正確的是（）A．它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－1，－2）B．它的圖象的對(duì)稱軸是直線x＝2C．當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大D．當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，y有最大值為8，最小值為03．二次函數(shù)y=x2，當(dāng)-1≤x≤3時(shí)，函數(shù)值yA．1≤y≤9 B．0≤y≤9 C．0≤y≤1 D．y≥04．已知二次函數(shù)y＝（a﹣1）x2，當(dāng)x≥0時(shí)，y隨x增大而增大，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)＞1 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)＜15．若拋物線y=ax2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．(4,-7)B．(7,4)6．二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)A． B．C． D．7.（秋?龍巖期末）將拋物線y＝x2通過(guò)一次平移可得到拋物線y＝（x+5）2，對(duì)這一平移過(guò)程描述正確的是（）A．向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度8．蘋(píng)果熟了，從樹(shù)上落下所經(jīng)過(guò)的路程s與下落時(shí)間t滿足S＝12gt2（g＝9.8），則s與t的函數(shù)圖象大致是（）A． B．C． D．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行于x軸的直線y=2，與二次函數(shù)y=x2，y=ax2分別交于A、B和C、D，若CD=2ABA．4 B．14 C．2 D．10.（2021秋?金安區(qū)校級(jí)月考）二次函數(shù)y＝2x2的圖象開(kāi)口方向是．11．如圖，正方形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)依次為(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若拋物線y＝ax2的圖象與正方形的邊有公共點(diǎn)，