2023北京工大附中高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案

2023北京工大附中高一（下）期末數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1．復(fù)數(shù)z＝﹣2i的虛部為（A．1B．i2．12，，4，5，5這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（A．3B．3.5C．4）C．﹣2D．﹣2i）D．53．在△ABC中，已知BC＝6，AC＝，sinA＝，則角B＝（）A．B．C．D．4．某班分成了A、B、、D四個(gè)學(xué)習(xí)小組學(xué)習(xí)二十大報(bào)告，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取兩個(gè)小組在班會(huì)課上進(jìn)行學(xué)習(xí)成果展示，則A組和B組恰有一個(gè)組被抽到的概率為（）A．5．已知向量＝（2，＝（﹣1，kλ，使得＝λ，則k和λ的值分別為（A．﹣，﹣2B．，﹣2C．﹣2D．，2B．C．D．）6．如圖所示，該幾何體是從一個(gè)水平放置的正方體中挖去一個(gè)內(nèi)切球（正方體各個(gè)面均與球面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）以后得到的，現(xiàn)用一豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形不可能是（）A．C．B．D．7．已知直線a，b與平面，β，γ，能使∥β成立的條件是（）A．⊥γ，β⊥γC．∥γ，β∥γB．a(chǎn)∥，∥βD．a(chǎn)?α，b，a∥β，b∥β8．已知直線是函數(shù)f（）＝的圖象的一條對稱軸，為了得到函數(shù)y＝f（x）的圖象，可把函數(shù)＝sin2x的圖象（A．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度）B．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度C．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度D．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度9．如圖，在直角梯形ABCD中，ABDC，∠BAD＝，AD＝2，若E為BC的中點(diǎn)，則＝（）A．1B．C．2D．410．如圖，摩天輪的半徑為40米．摩天輪的中心O點(diǎn)距離地面的高度為45米，摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．每30分鐘轉(zhuǎn)一圈．若摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處．下面有關(guān)結(jié)論正確的是（）A．經(jīng)過10分鐘，點(diǎn)P距離地面的高度為45米B．第25分鐘和第70P距離地面的高度相同C．從第10分鐘至第20分鐘，點(diǎn)P距離地面的高度一直在上升D．摩天輪旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)P距離地面的高度不低于米的時(shí)間為10分鐘二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.5分）若一個(gè)球的體積和表面積的數(shù)值相等，則該球的半徑為．125分）已知△ABC的三條邊長分別為5，，8，則此三角形的最大角與最小角之和為．135分）某學(xué)校為了調(diào)查高一年級600名學(xué)生年平均閱讀名著的情況，通過抽樣，獲得了100名學(xué)生年[0，5[5，10[10，15[15，20[20，25]分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，則圖中a的值為量不少于10本的人數(shù)為．；估計(jì)高一年級年平均閱讀名著的數(shù)145分）木工小張?jiān)谔幚砣鐖D所示的一塊四棱臺(tái)形狀的木塊ABCD﹣ABCD時(shí)，為了經(jīng)過木料表面1111CDDC內(nèi)一點(diǎn)P和棱AA將木料平整鋸開，需要在木料表面CDDC過點(diǎn)P畫直線l，則l滿11111足①l∥AA②l∥BB③l與直線相交；④l與直線BB相交．1111155分）根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長作正方形，從斜邊上作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊作出的正方形面積之和．現(xiàn)在對直角三角形CDE按上述操作作圖后，得如下圖所示的圖形若＝x+y，則﹣y＝．165分）如圖，正方體ABCD﹣ABCD的棱長為2，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，點(diǎn)P在側(cè)面BBCC111111的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且D1O⊥OP．給出下列結(jié)論：①AC⊥D1O；②三棱錐P﹣AA1D的體積為定值；③點(diǎn)P在線段CE上（E為BB1④△DCP面積的最大值為2．11其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.1713分）在△ABC中，（1）求A；．（2）若，求b．1814分）高考英語考試分為兩部分，一部分為聽說考試，滿分分，一部分為英語筆試，滿分100分．英語聽說考試共進(jìn)行兩次，若兩次都參加，則取兩次考試的最高成績作為聽說考試的最終得分，如果第一次考試取得滿分，就不再參加第二次考試．為備考英語聽說考試，李明每周都進(jìn)行英語聽說模擬考試訓(xùn)練，如表是他在第一次聽說考試前的20次英語聽說模擬考試成績．假設(shè)：①模擬考試和高考難度相當(dāng)；②高考的兩次聽說考試難度相當(dāng)；③若李明在第一次考試未取得滿分后能持續(xù)保持聽說訓(xùn)練，到第二次考試時(shí)，聽說考試取得滿分的概率可以達(dá)到．4648504947504849495050505048475048494750（Ⅰ）設(shè)事件AA的概率；（Ⅱ）基于題干中假設(shè)，估計(jì)李明英語高考聽說成績?yōu)闈M分的概率的最大值．19分）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f（x）＝Asin（xφA0＞0，|φ|＜）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表：x+φ0π2πxy＝Asin0200（x+φ）（Ⅰ）函數(shù)（x）的解析式為f（x（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣，0]上的最小值．20分）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2，并將直角梯形ABCD繞AB邊旋轉(zhuǎn)至ABEF．（Ⅰ）求證：直線AB⊥平面ADF；（Ⅱ）求證：直線CEADF；（Ⅲ）當(dāng)平面ABCD⊥平面ABEF時(shí)，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使平面ADE與平面BCE垂直．并證明你的結(jié)論．條件①：AE＝；條件②：AD＝1；條件③：BE⊥DE．注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅲ）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．21分）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對任意兩個(gè)向量＝（x，y＝（x，y1122＝，＝．當(dāng)，不共線時(shí)，記以O(shè)M，ON為鄰邊的平行四邊形的面積為S（，）＝|x1y﹣x2y1|；當(dāng)，共線時(shí)，規(guī)定S（，）＝0．（Ⅰ）分別根據(jù)下列已知條件求S（，①＝（2，1，＝（﹣12②＝（，2＝（，422（Ⅱ）若向量＝λ+μ（λ，μ∈R，λ+μ≠求證：S（，）+S（，）＝（|λ|+|μ|）S（，（Ⅲ）若A，B，C是以O(shè)為圓心的單位圓上不同的點(diǎn)，記＝，＝，＝．（ⅰ）當(dāng)⊥時(shí)，求S（，）+S（，）的最大值；（ⅱ）寫出（，）+S（，）+S（，參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1【解答】解：z＝1﹣2i的虛部為﹣．故選：C．2【解答】解：1，234，5，5這組數(shù)據(jù)共計(jì)6個(gè)，所以650%3，故第50百分位數(shù)是故選：B．＝3.5，3sinB，然后結(jié)合大邊對大角確定B的值．【解答】解：由已知得，即，解得sinB＝，又因?yàn)锳C＜BC，故B＝．故選：A．4【解答】解：從A、BC、D四個(gè)學(xué)習(xí)小組中隨機(jī)抽取兩個(gè)小組有ABAC，AD，BC，BD，CD共6種結(jié)果，其中A組和B組恰有一個(gè)組被抽到的結(jié)果有ACAD，BC，BD共4種結(jié)果，所以A組和B組恰有一個(gè)組被抽到的概率為＝．故選：C．5進(jìn)行向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算可得出（2，1）＝（﹣λ，kλk和λ的值．【解答】解：∵，∴（2，1）＝（﹣λ，kλ∴，解得．故選：A．6【解答】解：對于A，用豎直的平面截正方體，該平面過球心，且過正方體四個(gè)面的中心，即可得到截面圖形A，如圖：對于B，用豎直的平面截正方體，該平面為正方體的對角面過球心，及正方體兩個(gè)側(cè)面的對角線的中心，即可得到截面圖形B；對于D，用豎直的平面截正方體，該平面過正方體一個(gè)側(cè)面的中心，如圖，切點(diǎn)在截面ABCD的邊CD的中點(diǎn)處，且CD為長方形ABCD中較短的線段，即可得到D．對于C，用豎直的平面截正方體，該平面過正方體一個(gè)側(cè)面的中心，如圖，得到的圖形圓應(yīng)位于中間，而C選項(xiàng)圖中的圓整體偏上，故C錯(cuò)誤．故選：C．7A；由平行于同一直線的兩平面的位置關(guān)系判定B；由平面與平面平行的性質(zhì)及判定判斷C；由平面與平面平行的判定定理判斷D．【解答】解：若⊥γ，β⊥γ，可得∥β或α與β相交，故A錯(cuò)誤；若a∥，aβ，則∥β或α與β相交，故B錯(cuò)誤；若∥γ，β∥γ，由平面與平面平行的性質(zhì)及判定，可得∥β，故C正確；若a?α，b，a∥β，bβ，且a與b相交，則∥β，若a與b不相交，則不一定有∥β，故D錯(cuò)誤．故選：C．8y＝fx）＝sin2+）＝sin[2x+）]，由三角函數(shù)圖象的平移可得：為了得到函數(shù)y＝f（x）的圖象，可把函數(shù)y＝sin2x的圖象向左平移個(gè)單位長度，得解．【解答】解：令2xφk，由x＝是此方程的一個(gè)解，則φ＝kπ+，又|φ|＜，所以φ＝，即y＝f（xsin（x+）＝sin[2（+）]，所以為了得到函數(shù)y＝（x）的圖象，可把函數(shù)＝sin2x的圖象向左平移個(gè)單位長度，故選：C．9＝＝，然后結(jié)合求解即可．【解答】解：在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝，AD＝2，由E為BC的中點(diǎn)，則＝＝＝，故選：C．10P點(diǎn)距離地面的函數(shù)f（）的解析式，分別求出A，B，C，D中的數(shù)值，并判斷它們的真假．【解答】解：由摩天輪的半徑為40米．摩天輪的中心O點(diǎn)距離地面的高度為45米，可得摩天輪的最低處離地面5米，因?yàn)槊?0分鐘轉(zhuǎn)一圈，可得最小正周期T＝30設(shè)P點(diǎn)距離地面的高度為：函數(shù)fx）＝4540cosx，＝30＝，A中，10分鐘時(shí)，f（10）＝4540cos＝45+40×＝65，所以A不正確；B中，因?yàn)閒（2545﹣40cosπ＝45﹣40×＝25，f（70（10）＝65，顯然不相等，所以B不正確；C中，半個(gè)周期為15，所以從第10分鐘至第20分鐘，P點(diǎn)的高度先增后減，所以C不正確；D中，令f（x）＝4540cosx≥65cosx≤﹣，所以旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，可得≤x≤π，即10x≤，故時(shí)間長度為10分鐘，所以D正確．故選：D．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.【解答】解：設(shè)球的半徑為r，則球的體積為：，球的表面積為：4πr2，因?yàn)榍虻捏w積與其表面積的數(shù)值相等，所以，解得r＝3，故答案為：．12B，然后結(jié)合內(nèi)角和定理求解．【解答】解：由題意設(shè)＝5，b7c＝8，易知，中間角為B，cosB＝＝＝，B∈（，πB＝，故A+＝．故答案為：．131求a，再利用樣本估計(jì)總體即可．【解答】解：由題意得，a＝﹣0.0060.0140.080﹣0.0700.030，估計(jì)高一年級年平均閱讀名著的數(shù)量不少于10本的人數(shù)為6000.014+0.006+0.030）×5＝150人；故答案為：0.030，150．14AA，BB交于點(diǎn)MCC，DD的延長線也過點(diǎn)M，則直線PM即為所求作的直線l，1111由此可得出結(jié)論．【解答】解：延長A，BB交于點(diǎn)M，則CC，DD的延長線也過點(diǎn)M，如下圖所示：1111因?yàn)镸∈A，則M∈平面A，則直線PM即為所求作的直線l．11所以，直線l與直線A、直線BB都相交．11故答案為：③④．15【解答】解：如圖，以A為原點(diǎn)，分別以為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，則正方形DEHI的邊長為，正方形EFGC邊長為a可知，則又，即，，∴，即，即，化簡得，故答案為：．16．【分析】根據(jù)立體幾何中線線，線面，面面的位置關(guān)系，結(jié)合正方體的特征，逐個(gè)分析，即可得出答案．【解答】解：對于①：由正方體的特征可得AC⊥DD1，AC⊥BD，又DD1∩BD＝D，所以ACDDBB，11又因?yàn)镈O?平面DDBB，111所以AC⊥DO，故①正確；對于②：三棱錐P﹣AA1D的體積為?S?h＝??AA×AD×AB＝××2×2＝，故②正確；對于③：當(dāng)P位于C點(diǎn)是，D1O⊥OC，當(dāng)P位于BB1的中點(diǎn)E時(shí)，由已知得，DD1＝2，DO＝BO＝，BE＝BE＝，BD＝2，111所以O(shè)D1＝＝，OE＝＝，D1E＝＝3，222所以O(shè)D+OE＝DE，11得OD1⊥OE，又OE∩OC＝O，所以D1O⊥平面OEC，得到P的軌跡在線段EC上，故③正確；對于④：由CE＝CP＝，CC1＝2＜所以點(diǎn)P到棱CD的最大值為，11，11所以△DCP面積的最大值為×2×＝，故④錯(cuò)誤．11故答案為：①②③．三、解答題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.171）由題意及余弦定理可得A角的余弦值，再由A角的范圍，可得A角的大??；（2）由（）及正弦定理可得b邊的大?。?）因?yàn)椋?22由余弦定理：a＝b+c﹣2bccosA，222所以bca＝bccos，可得可得，，因?yàn)锳∈（，π所以A＝；（2）由正弦定理：，而，A＝，所以，解得：b＝2．18（Ⅱ）計(jì)算出李明第二次英語聽說考試取得滿分的概率，然后根據(jù)題意，由獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算李明英語高考聽說成績?yōu)闈M分的概率的最大值．次英語聽說模擬考試中有8次取得滿分，取得滿分的頻率為＝，所以用頻率估計(jì)事件A的概率為P（A）＝；（Ⅱ）設(shè)事件BC依題意，P（B）＝，所以P（C）≤P（A）+P（B）＝P（A）+P（）P（）＝+×＝，那么他英語高考聽說考試最終成績?yōu)闈M分的概率的最大值可以達(dá)到．19φ（Ⅱ）結(jié)合＝sinx的單調(diào)性構(gòu)造出關(guān)于x的不等式求解；（Ⅲ）結(jié)合＝sinx的性質(zhì)，利用換元思想求解．所以，，，k∈Z，結(jié)合|φ|得＝，故f（）＝；（Ⅱ）由，解得，k∈Z，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[（Ⅲ）由x∈[﹣，0]，得，]，k∈Z；∈，故當(dāng)時(shí)，f（）min＝．20AB⊥AF，且ABAD，由此證明直線AB⊥平面ADF：（Ⅱ）推導(dǎo)出DC∥EF且DC＝EF，從而得到CE∥DF，由此證明直線CE∥平面ADF；（Ⅲ）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到AD⊥平面ABEF，從而得到AD⊥BE，再根據(jù)所選條件一一證明即可．ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，將直角梯形ABCD繞AB邊旋轉(zhuǎn)到ABEF，則ABAF，又AD∩AF＝A，AD，AF?平面ADF，∴直線AB⊥