廣東省省際名校（茂名市）高三下學(xué)期聯(lián)考（二）數(shù)學(xué)（理）試題

廣東省省際名校（茂名市）2018屆高三下學(xué)期聯(lián)考（二）數(shù)學(xué)（理）試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意可得：，又，，∴,∴故選：D2.若，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵，∴故選：D3.設(shè)函數(shù)在上為增函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.在上為減函數(shù)B.在上為增函數(shù)C.在上為減函數(shù)D.在上為增函數(shù)【答案】C【解析】A錯(cuò)，比如在上為增函數(shù)，但在上不具有單調(diào)性；B錯(cuò)，比如在上為增函數(shù)，但在上增函數(shù)，在上為減函數(shù)；D錯(cuò)，比如在上為增函數(shù)，但在上為減函數(shù)；故選：C4.投擲兩枚質(zhì)地均勻的正方體散子，將兩枚散子向上點(diǎn)數(shù)之和記作.在一次投擲中，已知是奇數(shù)，則的概率是（）A.B.C.D.【答案】B.....................故選：B5.如圖，正六邊形的邊長為2，則（）A.2B.3C.6D.12【答案】C.故選：C6.以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的漸近線相離，則的離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由條件可得，，∴，即，∴故選：B點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.7.是數(shù)列的前項(xiàng)和，且對(duì)都有，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由，可知，兩式相減，得，整理得由可得，則故選：A8.某幾何體的三視圖如圖所示，若圖中小正方形的邊長為1，則該幾何體的體積是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】該幾何體是如圖所示的四面體ABCD，其體積為故答案為：A點(diǎn)睛：空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，與輸出的值最接近的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】隨機(jī)數(shù)x，y的取值范圍分別是共產(chǎn)生n個(gè)這樣的隨機(jī)數(shù)對(duì).數(shù)值i表示這些隨機(jī)數(shù)對(duì)中滿足關(guān)系的個(gè)數(shù)..故選：C10.《九章算術(shù)》中記載了我國古代數(shù)學(xué)家祖暅在計(jì)算球的體積中使用的一個(gè)原理:“冪勢(shì)既同，則積不異”，此即祖暅原理，其含義為:兩個(gè)同高的幾何體，如在等高處的截面的面積恒相等，則它們的體積相等.如圖，設(shè)滿足不等式組的點(diǎn)組成的圖形（圖（1）中的陰影部分)繞軸旋轉(zhuǎn)，所得幾何體的體積為；滿足不等式組的點(diǎn)組成的圖形（圖（2）中的陰影部分)繞軸旋轉(zhuǎn)，所得幾何體的體積為.利用祖暅原理，可得（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由條件可得，用任意一個(gè)與y軸垂直的平面截這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體，設(shè)截面與原點(diǎn)的距離為h，則所得截面,所以，由祖庚原理可得又，所以故選：C11.不透明袋子中裝有大小、材質(zhì)完全相同的2個(gè)紅球和5個(gè)黑球，現(xiàn)從中逐個(gè)不放回地摸出小球，直到取出所有紅球?yàn)橹?，則摸取次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，第次取出額必然是紅球，而前k1次中，有且只有1次取出的是紅球，其余次數(shù)取出的皆為黑球，故，于是得到X的分布列為故故選：D12.記函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，則數(shù)列的前20項(xiàng)的和是（）A.430B.840C.1250D.1660【答案】A【解析】令，得①或②由①得，令，得，故①共有n個(gè)解，由②得，令，得③，令，得④當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，③有個(gè)解，④有個(gè)解，故②有n個(gè)解，故當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，③有個(gè)解，④有個(gè)解，故②有n+1個(gè)解，故令故故選：A點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷(1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則__________．【答案】5【解析】由題意可得：∴∴故答案為：5點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)的乘法．復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位的看作一類同類項(xiàng)，不含的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可；復(fù)數(shù)的除法．除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把的冪寫成最簡(jiǎn)形式．14.若實(shí)數(shù)滿足約束條件則的所有取值的集合是__________．【答案】【解析】由約束條件可知，滿足條件的點(diǎn)為，所以z可以取得值為故答案為：15.以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓與拋物線及其準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)和，若，則圓的方程是__________．【答案】【解析】設(shè)，圓O半徑為r，則∵，∴A或B的坐標(biāo)為，∴∴，解得，∴圓O的方程為：故答案為：16.若對(duì)任意的，不等式恒成立，則__________．【答案】0或【解析】設(shè)，則，由已知可得：對(duì)恒成立，令，，則可知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，則，令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，∴∴，即t=1，所以則故答案為：0或三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，.（1）；（2）若的平分線交于點(diǎn)，且的面積為，求的長.【答案】(1)(2)【解析】試題分析：（1）由，又，利用余弦定理得到；（2）由可得.設(shè)的面積為，，解得，，再由內(nèi)角平分線定理得到，在中,由余弦定理可得結(jié)果.試題解析：（1）因?yàn)?，所?于是，.（2）由可得.設(shè)的面積為，∴，∴.則.∵為的平分線，∴，∴.又.∴.在中,由余弦定理可得，∴.點(diǎn)睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.18.某高三理科班共有60名同學(xué)參加某次考試，從中隨機(jī)挑選出5名同學(xué)，他們的數(shù)學(xué)成績與物理成績?nèi)缦卤恚簲?shù)據(jù)表明與之間有較強(qiáng)的線性關(guān)系.（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（2）該班一名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?10分，利用（1）中的回歸方程，估計(jì)該同學(xué)的物理成績；（3）本次考試中，規(guī)定數(shù)學(xué)成績達(dá)到125分為優(yōu)秀，物理成績達(dá)到100分為優(yōu)秀.若該班數(shù)學(xué)優(yōu)秀率與物理優(yōu)秀率分別為和，且除去抽走的5名同學(xué)外，剩下的同學(xué)中數(shù)學(xué)優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的同學(xué)共有5人.能否在犯錯(cuò)誤概率不超過0.01的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)優(yōu)秀與物理優(yōu)秀有關(guān)？參考數(shù)據(jù):回歸直線的系數(shù)，.，.【答案】（1）（2）82（3）可以認(rèn)為【解析】試題分析：(1)由表格得到，進(jìn)而得到，，從而得到關(guān)于的線性回歸方程；(2)將代入上述方程，得；（3）列出2×2列聯(lián)表，求出，從而作出判斷.試題解析：（1）由題意可知，故.，故回歸方程為.（2）將代入上述方程，得.（3）由題意可知，該班數(shù)學(xué)優(yōu)秀人數(shù)及物理優(yōu)秀人數(shù)分別為30,36.抽出的5人中，數(shù)學(xué)優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的共1人，故全班數(shù)學(xué)優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的人共6人.于是可以得到列聯(lián)表為：于是，因此在犯錯(cuò)誤概率不超過0.01的前提下，可以認(rèn)為數(shù)學(xué)優(yōu)秀與物理優(yōu)秀有關(guān).點(diǎn)睛：本題主要考查線性回歸方程，屬于難題.求回歸直線方程的步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系；②計(jì)算的值；③計(jì)算回歸系數(shù)；④寫出回歸直線方程為；回歸直線過樣本點(diǎn)中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計(jì)總體，幫助我們分析兩個(gè)變量的變化趨勢(shì).19.如圖，四棱柱的底面為菱形，且.（1）證明：四邊形為矩形；（2）若，與平面所成的角為，求二面角的余弦值.【答案】(1)見解析(2)【解析】試題分析：(1)由四棱柱性質(zhì)可知四邊形為平行四邊形，連接，設(shè)，連接.，易證∴平面，∴.∵，∴；(2)過點(diǎn)作平面，垂足為，由已知可得點(diǎn)在上，證明點(diǎn)與點(diǎn)重合，則平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系求出平面與平面的法向量，代入公式計(jì)算即可.試題解析：（1）證明:連接，設(shè)，連接.∵，∴.又為的中點(diǎn)，∴..∴平面，∴.∵，∴.又四邊形是平行四邊形，則四邊形為矩形.（2）解:過點(diǎn)作平面，垂足為，由已知可得點(diǎn)在上，∴.設(shè)，則.在菱形中，，∴.∴點(diǎn)與點(diǎn)重合，則平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則.∴.設(shè)平面的法向量為，則,∴即取，可得為平面的一個(gè)法向量.同理可得平面的一個(gè)法向量為?！?所以二面角的余弦值為.20.設(shè)橢圓的離心率為，以橢圓四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為.（1）求的方程；（2）過的左焦點(diǎn)作直線與交于兩點(diǎn)，過右焦點(diǎn)作直線與交于兩點(diǎn)，且，以為頂點(diǎn)的四邊形的面積，求與的方程.【答案】(1)(2)所求方程為或.【解析】試題分析：(1)由已知得，解得，從而得到的方程；（2）設(shè)，代入得，求得，設(shè)的方程為，則與之間的距離為.=，解得，從而得到與的方程.試題解析：（1）由已知得，解得，∴橢圓的方程為.（2）設(shè)，代入得，設(shè)，則..設(shè)的方程為，則與之間的距離為.由對(duì)稱性可知，四邊形為平行四邊形，∴.令，則，∴，即，解得或(舍），∴.故所求方程為或.21.已知.（1）討論的單調(diào)性；（2）若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)見解析(2)【解析】試題分析：（1），對(duì)a分類討論，從而得到的單調(diào)性；（2），則，對(duì)a分類討論，研究函數(shù)的圖象走勢(shì)，從而得到的取值范圍.試題解析：（1）由已知的定乂域?yàn)?，又，?dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，令得；令得.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).（2）由題意，則，當(dāng)時(shí)，∵，∴在上為增函數(shù)，不符合題意.當(dāng)時(shí)，，令，則.令的兩根分別為且，則∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，∴，∴在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，∴，∴在上為增函數(shù).∵，∴在上只有一個(gè)零點(diǎn)1，且。∴，，.∵，又當(dāng)時(shí)，.∴∴在上必有一個(gè)零點(diǎn).∴.∵，又當(dāng)時(shí)，，∴.∴在上必有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，故的取值范圍為.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為傾斜角).（1）若，求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）若與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，求.【答案】（1），（2）【解析】試題分析：（1）時(shí)，把直線l的參數(shù)方程和曲線的極坐標(biāo)方程華為普通方程；（2）把代入拋物線方程得，由，解得，