2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-學(xué)科交匯

【二輪復(fù)習(xí)一學(xué)科交匯】

專(zhuān)題17學(xué)科交匯

數(shù)學(xué)與地理數(shù)學(xué)與化學(xué)數(shù)學(xué)與物理

P1-5P5-8P8-13

考向一數(shù)學(xué)與地理

【方法儲(chǔ)備】

學(xué)科之間的融合已成為一種趨勢(shì)，并且逐步成為現(xiàn)代教學(xué)研究的熱點(diǎn).地理學(xué)作為自然科學(xué)和人文科學(xué)的交叉

學(xué)科有很強(qiáng)的綜合性.數(shù)學(xué)與地理起源相同隨著兩個(gè)學(xué)科的發(fā)展日益壯大，學(xué)科之間可以相互借鑒、相互促進(jìn).

【典例精講】

例1.（2023?湖北省?聯(lián)考題）圭表（如圖甲）是我國(guó)古代一種通過(guò)測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來(lái)推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一

根直立的標(biāo)竿（稱(chēng)為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長(zhǎng)尺（稱(chēng)為“圭”），當(dāng)太陽(yáng)在正午時(shí)

刻照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上，圭面上日影長(zhǎng)度最長(zhǎng)的那一天定為冬至，日影長(zhǎng)度最短的那一天定為

夏至.圖乙是一個(gè)根據(jù)某地的地理位置設(shè)計(jì)的主表的示意圖，已知某地冬至正午時(shí)太陽(yáng)高度角（即NABC）大約為15°,

夏至正午時(shí)太陽(yáng)高度角（即NADC）大約為60。，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長(zhǎng)）為a,則表高（即AC

的長(zhǎng))為(注：sinl5°=-~—)()

A--3)aB.n2aC._^aD=

解：設(shè)表高為h,則BC=h,CD=h磊；，

而sinl5°=6-2得cosl5。=62,tanl5°=sin^|'=23

?4cosl5-

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【二輪復(fù)習(xí)一學(xué)科交匯】

故DB=(2+3)h-一h="h=a,

故選：D.

【拓展提升】

練1-1（2023?北京市?期中考試）地震里氏震級(jí)是地震強(qiáng)度大小的一種度量.地震釋放的能量E（單位：焦耳）與地震

里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為IgE=4.8+1.5M,已知兩次地震的里氏震級(jí)分別為8.0級(jí)和7.5級(jí)，若它們釋放的能量

分別為E]和E2,則"的值所在的區(qū)間為（）

A.（1,2）B.（5,6）C.（7,8）D.（15,16）

解：IgE=4.8+1.5M,

???lgEx=4.8+1.5x8=16.8,lgE2=4.8+1.5X7.5=16.05,

E]=1016.8,E2=1016.05,

L=10Q75,則=（io075）4=103=1000<1296=64,￡i<6,

...io0-75>90-75=31-5=3x3>5，

的值所在的區(qū)間為（5,6）,

故選：B.

練1-2（2023?貴州省?月考試卷）“一三五七八十臘，三十一天永不差；四六九冬三十整，唯有二月會(huì)變化.”月是

歷法中的一種時(shí)間單位，傳統(tǒng)上都是以月相變化的周期作為一個(gè)月的長(zhǎng)度.在舊石器時(shí)代的早期，人類(lèi)就已經(jīng)會(huì)

依據(jù)月相來(lái)計(jì)算日子.而星期的概念起源于巴比倫，羅馬皇帝君士坦丁大帝在公元321年宣布7天為一周，這個(gè)

制度一直沿用至今，若某年某月星期一比星期三多一天，星期二和星期天一樣多，則該月3日可能是星期（）

A,一或三B.二或三C.二或五D.四或六

解：一個(gè)月有28天、29天、30天、31天.

28天剛好分為4周，不存在星期一比星期三多的一天；

29天分為四周多一天，假如那一天為星期一，則剛好符合題干.

（星期一比星期三多一天，星期二與星期天一樣多，為4天），該情況3號(hào)為星期三.

30天分為四周多兩天，無(wú)法符合題意.

31天分為四周多三天，假如那三天分別為星期一、星期二、星期天（讓本月1日為星期天），

那么31剛好為星期二，星期一與星期二一樣多，比星期三多一天，

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【二輪復(fù)習(xí)一學(xué)科交匯】

星期二與星期天一樣多.該情況3號(hào)為星期二。

故3號(hào)可能為星期二或三，

故選B.

練1-3（2023?陜西省?月考試卷）海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類(lèi)保留宇宙秘密的最后

遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A,B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島

上取兩點(diǎn)C,D,測(cè)得CD=80,ZADB=135°,zBDC=zDCA=15°,zACB=120°,求A,B兩點(diǎn)間的距離.

解：如圖，在^BCD中，CD=80,ZBDC=ZDCA=15°,

貝此BCD=ZDCA+ZACB=15°+120°=135°,

所以NCBD=30°,

由正弦定理得

則BD=7^rsinNBCD=>x二=802,

在4ACD中，CD=80,ZBDC=ZDCA=15°,ZADB=135°,

則NADC=ZADB+ZBDC=150°,

所以NCAD=15°,

所以AD=CD=80,

SAABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosZADB

=802+,802)2x80x802x(___=802x5,

所以AB=805(負(fù)值舍去)，

則A,B兩點(diǎn)間的距離為805.

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練1-4(2023?廣東省?期中考試)在地球公轉(zhuǎn)過(guò)程中，太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度隨時(shí)間周而

復(fù)始不斷變化.如圖，設(shè)地球表面某地正午太陽(yáng)高度角為6為此時(shí)太陽(yáng)直射點(diǎn)

的緯度(太陽(yáng)直射北半球時(shí)取正值，太陽(yáng)直射南半球時(shí)取負(fù)值)，⑴為當(dāng)?shù)氐木暥戎?

(1)若(p=45。，8=20°,求。的值，并直接寫(xiě)出用cp,6表示。的關(guān)系式；

(2)某科技小組以某年春分(太陽(yáng)直射赤道且隨后太陽(yáng)直射點(diǎn)逐漸北移的時(shí)間)為初

始時(shí)間，統(tǒng)計(jì)了連續(xù)400天太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度平均值.下面是該科技小組的三處觀測(cè)站成員在春分后第45天測(cè)

得的當(dāng)?shù)靥?yáng)高度角數(shù)據(jù):

觀測(cè)站ABC

觀測(cè)站所在緯度0/度40,000023,43930.0000

觀測(cè)站正午太陽(yáng)高度角。/度66.387082.946473.6141

太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度6/度16,385716.3859

太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度平均值y/度

請(qǐng)根據(jù)數(shù)據(jù)補(bǔ)充完成上面的表格(計(jì)算結(jié)果精確到0.0001)；

(3)設(shè)第x天時(shí)太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度平均值為y.該科技小組通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的整理和分析，推斷y與x近似滿足函數(shù)y=

23,392911sin0.01720279x,經(jīng)計(jì)算T=~~365.2422,已知2023年春分是3月21日，問(wèn)2023年夏至大概是

幾月幾日？

(4)定義從某年春分到次年春分所經(jīng)歷的時(shí)間為一個(gè)回歸年，估計(jì)每400年中，應(yīng)設(shè)定多少個(gè)閏年，可使這400

年與400個(gè)回歸年所含的天數(shù)最為接近(精確到1).

解：(1)(p=45°,5=20°,由圖形可知0=90°-(45°-20°)=65°,

用9,8表示0的關(guān)系式為：0=90°-|(p-8|;

(2)

觀測(cè)站ABC

觀測(cè)站所在緯度(p/度40.000023.43930.0000

觀測(cè)站正午太陽(yáng)高度角。/度66.387082.946473,6141

太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度6/度16.387016.385716.3859

太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度平均值y/度16.3862

(3)夏至與春分相距！?91.31天,

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【二輪復(fù)習(xí)T科交匯】

因?yàn)榇悍质?月21日，3月、5月有31天，4月、6月有30天，10+30+31+21=92天,

所以夏至大概是6月21日；

（4）???400（T-365）?96.88，故應(yīng)在400年中設(shè)定97個(gè)閏年.

考向二數(shù)學(xué)與化學(xué)

【方法儲(chǔ)備】

化學(xué)是自然科學(xué)的一種，主要在分子、原子層面，研究物質(zhì)的組成、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)與變化規(guī)律，創(chuàng)造新物質(zhì)（實(shí)質(zhì)

是自然界中原來(lái)不存在的分子），當(dāng)然研究的工具離不開(kāi)數(shù)學(xué)，如模型構(gòu)建、數(shù)據(jù)的計(jì)算與處理等.

【典例精講】

例2.（2023?安徽省?單元測(cè)試）十二水硫酸鋁鉀是一種無(wú)機(jī)物，又稱(chēng)明肌，是一種含有結(jié)晶水的硫酸鉀和硫酸鋁的復(fù)

鹽。我們連接一個(gè)正方體各個(gè)面的中心，可以得到明磯晶體的結(jié)構(gòu)，即為一個(gè)正八面體E-ABCD-F（如圖）。假

設(shè)該正八面體的所有棱長(zhǎng)均為2,則二面角E-AB-F的余弦為（）

A.--B.-C.--D.--

2，32

解：如圖，連接AC,BD交于點(diǎn)。，連接EF,易知EG過(guò)點(diǎn)0,取AB的中點(diǎn)G,

連接EG,FG,根據(jù)正八面體的幾何特征，

可知EG1AB,FG1AB,又EGu平面ABE,FGu平面ABF,

平面ABEn平面ABF=AB,

ZEGF為二面角E-AB-F的平面角.

易知EFl平面ABCD,貝?。軪FlAC,AOE是直角三角形，

又AO=2,AE=2,OE=2,EF=22

3

在等邊三角形AEB中，EG=yAE=3,同理FG=3.

_EG2+FG2-EF2

在aEGF中，cosZEGF=廿二七=-"

2XEGXFG-*~~

故選c.

【拓展提升】

練2-1（2023?福建省?模擬題）萃取是有機(jī)化學(xué)實(shí)驗(yàn)室中用來(lái)提純和純化化合物的手段之一.研究發(fā)現(xiàn)，用總體積相

同的有機(jī)萃取液對(duì)某化合物進(jìn)行萃取，采用少量多次的方法比全量一次的萃取率高.已知萃取率E與萃取次數(shù)n

滿足1一Ej水溶R）,D為分配比.現(xiàn)欲用有機(jī)萃取液CH&對(duì)含四氧化餓（Oso。的60mL水溶液進(jìn)

I"V有機(jī)萃取液.V水溶液

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【二輪復(fù)習(xí)一學(xué)科交匯1

行萃取，每次所用有機(jī)萃取液CHCb的體積為10mL,分配比為14.要使萃取率達(dá)到99.7%以上，則至少需要經(jīng)過(guò)

的萃取次數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：1g3左0.48）

A.4B.5C.6D.7

解：依題意，V水溶液=60mL,V有機(jī)溶液=10mL,D=14,E=99.7%,

代入公式可得1-0.997=（14x1+60尸，即代03=（力，

對(duì)等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得lg0.003=lg(')n,

化簡(jiǎn)得lg3-IglO3=n(lg3-1),即n=鼠;,

將參考數(shù)據(jù)代入，得n=瞿三=■九：。4.85,

即至少需要經(jīng)過(guò)5次萃取，故選B.

練2-212023?浙江省?同步練習(xí):，1是某晶體的陰陽(yáng)離子單層排列的平面示意見(jiàn)其陰衣f拉列如圖2所示,圖

2中圓門(mén)半徑均為1,且相鄰的網(wǎng)范相切，AB,C,D是其中四個(gè)圓的圓心則而Ml-，

A.32B.28C.26D.24

解：如圖所示，建立以項(xiàng)另為一組基底的基向量，其中門(mén)=p|=1且4ah石的夾角為60°,

AI?-=2j+4b>(.L)=441+2b，

AB-C6=(23+4E)-(4,ki+2F)

=弘+8：+204；,?■—

=8+8+20x1x1x1=26.

2

故選：C.

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【二輪復(fù)習(xí)一學(xué)科交匯】

練2-3(2023?四川省?月考試卷)化學(xué)平衡是指在一定條件下，可逆反應(yīng)的正反應(yīng)速率和逆反應(yīng)速率相等時(shí)，體系所

處的狀態(tài).根據(jù)計(jì)算系統(tǒng)的吉布斯自由能變化(△G)的熱力學(xué)公式Gibbs-Helmholtz方程和Van,tHoff方程，可以

得到溫度(T)與可逆反應(yīng)的平衡常數(shù)(K)的關(guān)系式：△H—TAS=AG=-RTInK式中△H為焙變(在一定溫度變化

范圍內(nèi)視為定值)，AS為焙變，R為氣體常數(shù).利用上述公式，我們可以處理不同溫度下，有關(guān)多重可逆反應(yīng)的平

衡常數(shù)之間關(guān)系的計(jì)算.已知當(dāng)溫度為「時(shí)，可逆反應(yīng)的平衡常數(shù)為&；當(dāng)溫度為T(mén)2時(shí)，可逆反應(yīng)的平衡常數(shù)為G.

則In0=()

A3八11BJ，1v■j△S(T1—T2)口AS(T2—T1)

C

RT1T2,RT1T2RR

解：溫度(T)與可逆反應(yīng)的平衡常數(shù)(K)的關(guān)系式:AH—TAS=AG二一RTInK,

由題意可得￡H-^^S：

—RT2lnK2^

T1AS—AH

InK-]=

RT1

則有，「△S—AH'

1昧=

_TIAS-AHT2AS-AHT2)

則有In卜=In^-lnK2

一RT1RT2山1T2

故選：A.

練2-4(2023?江蘇省?模擬題)(多選)金剛石是天然存在的最硬的物質(zhì)，如圖1所示是組成金剛石的碳原子在空間

中排列的結(jié)構(gòu)示意圖，組成金剛石的每個(gè)碳原子，都與其相鄰的4個(gè)碳原子以完全相同的方式連接.從立體幾何

的角度來(lái)看，可以認(rèn)為4個(gè)碳原子分布在一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)處，而中間的那個(gè)碳原子處于與這4個(gè)碳原子

距離都相等的位置，如圖2所示.這就是說(shuō)，圖2中有AE=BE=CE=DE,若正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a,貝ij()

26a

A.lAEl=gB.E賽+E傅+E媼+Ei?=血

2

cAS.cfi=0DA舟.A舟=a

,2

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【二輪復(fù)習(xí)一學(xué)科交匯】

解：如圖，0是頂點(diǎn)A在下底面的射影，AM是斜高，A0是四面體的高,

0B是下底面的外接圓半徑，0M是下底面內(nèi)切圓的半徑，則點(diǎn)E在A0上,

則BM=a,('a)26

0M=x——a=OB=-a,1—a'

32633

對(duì)于A,故A錯(cuò)誤;

AEAB

對(duì)于B，???AE=BE=CE=DE，，聯(lián)+由=_（彳+而）

?-K+B+EC+EB=o^故B正確;

對(duì)于C,??,AE1底面BCD,CDu底面BCD,AE1CD,AE-CD=0，故C正確;

對(duì)于D一?一_I_I-I_Iv---------故D正確

'AEAC-?AidI\（dcos<Al.Aiaa.^-.a，?

故選:BCD.

探究3：數(shù)學(xué)與物理

【方法儲(chǔ)備】

應(yīng)用數(shù)學(xué)處理問(wèn)題問(wèn)題的能力主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.從物理現(xiàn)象出發(fā)，經(jīng)過(guò)概括、抽象，把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.

2.綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、正確、簡(jiǎn)潔地進(jìn)行有關(guān)問(wèn)題的求解.

3.對(duì)于圖象的要求和題目中涉及幾何關(guān)系問(wèn)題等.如力學(xué)多用三角函數(shù)和方程思想.磁場(chǎng)問(wèn)題和光學(xué)問(wèn)題多涉及到

幾何知識(shí)，而熱學(xué)及原子物理則多用復(fù)雜的數(shù)字運(yùn)算，特別是指數(shù)運(yùn)算.

西壯族自治區(qū)?月考試卷）航天之父、俄羅斯科學(xué)家齊奧科夫斯基（K-E?Tsiolkovsky）于1903年給出

火箭最大速度的計(jì)算公式v=Voln（l+「）.其中，V。是燃料相對(duì)于火箭的噴射速度，M是燃料的質(zhì)量，m0是火箭

ni<j

（除去燃料）的質(zhì)量，V是火箭將燃料噴射完之后達(dá)到的速度.已知Vo=2km/s,則當(dāng)火箭的最大速度v可達(dá)到

10km/s時(shí)，火箭的總質(zhì)量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的質(zhì)量的倍（）

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【二輪復(fù)習(xí)一學(xué)科交匯】

A.e5B.e5-1C.e6D.e6-1

解：由題意可知，Vo=2km/s,v=lOkm/s,

代入v=VglnflH----），可得10=21n（lH-----■）,

nio

所以ln（l+—）=5,解得1+'=e5,

nio

5

所以M=m0（e-1）,

則M+m0=e5mo，

所以M+m。=5,

moe

則火箭的總質(zhì)量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的質(zhì)量的e5倍.

故選A.

【拓展提升】

練3-1（2023?湖南省?期末考試）開(kāi)普勒第一定律也稱(chēng)橢圓定律、軌道定律，其內(nèi)容如下：每一行星沿各自的橢圓軌道

環(huán)繞太陽(yáng)，而太陽(yáng)則處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.將某行星H看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，H繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)軌跡近似成曲線｝+'：=

mn

l（m>n>0）,行星H在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中距離太陽(yáng)最近的距離稱(chēng)為近日點(diǎn)距離，距離太陽(yáng)最遠(yuǎn)的距離稱(chēng)為遠(yuǎn)日點(diǎn)距離.

若行星H的近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之和是18（距離單位：億千米），近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之積是16,則m+

n=（）

A.39B.52C.86D.97

解：根據(jù)橢圓方程三+±=1,得長(zhǎng)半軸2=m,半焦距c=m-n,

近日點(diǎn)距離為a-c=m-m-n,遠(yuǎn)日點(diǎn)距離為a+c=m+m-n,

近日點(diǎn)距昌和遠(yuǎn)日點(diǎn)距禺之和是m—m—n+m+m—n=18）

近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之積是（m-m-ni（m+m-n）=16,

解得m=81,n=16,則m+n=97.

故選：D.

練3-2（2023?陜西省?期末考試）英國(guó)化學(xué)家、物理學(xué)家享利?卡文迪許被稱(chēng)為第一個(gè)能測(cè)出地球質(zhì)量的人，卡文迪許

是從小孩玩的游戲（用一面鏡子將太陽(yáng)光反射到墻面上，我們只要輕輕晃動(dòng)一下手中的鏡子，墻上的光斑就會(huì)出現(xiàn)

大幅度的移動(dòng)，如圖”得到靈感，設(shè)計(jì)了卡文迪許扭秤實(shí)驗(yàn)來(lái)測(cè)量萬(wàn)有引力，由此計(jì)算出地球質(zhì)量，他在扭秤兩

端分別固定一個(gè)質(zhì)量相同的鉛球，中間用一根韌性很好的鋼絲系在支架上，鋼絲上有個(gè)小鏡子，用激光照射鏡子，

激光反射到一個(gè)很遠(yuǎn)的地方，標(biāo)記下此時(shí)激光所在的點(diǎn)，然后用兩個(gè)質(zhì)量一樣的鉛球同時(shí)分別吸引扭秤上的兩個(gè)

鉛球（如圖刀，由于萬(wàn)有引力作用，扭秤微微偏轉(zhuǎn)，但激光所反射的點(diǎn)卻移動(dòng)了較大的距離，他用此計(jì)算出了萬(wàn)有

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【二輪復(fù)習(xí)一學(xué)科交匯】

引力公式中的常數(shù)G,從而計(jì)算出了地球的質(zhì)量.在該實(shí)驗(yàn)中，光源位于刻度尺上點(diǎn)P處，從P出發(fā)的光線經(jīng)過(guò)

鏡面（點(diǎn)M處）反射后，反射光線照射在刻度尺的點(diǎn)Q處，鏡面繞M點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角后，反射光線照射在刻度尺

的點(diǎn)Q'處，若aPMQ是正三角形.PQ=a,QQ'=b（如圖3）,則下列等式中成立的是

由光線反射的性質(zhì)，NBMP=NAMQ'=：_a,從而NQ'MP='+2a,

又由于MPQ為正三角形，所以NQMP=:故/Q，MQ=2a,

而NMQQ,=IT-ZMQP=從而NMQQ=_2a,

33'

在三角形MQ，Q中，利用正弦定理得到"，=w-,

而由于MQ=QP=a,從而sim([2a)

化簡(jiǎn)得到_;bcos2a—(a+h)sin2a=0,即tan2a=_二.

~22j*h'

故選C.

練3-3（2023?重慶市?模擬題）（多選）麥克斯韋妖（Maxwell'sdemon）,是在物理學(xué)中假想的妖，能探測(cè)并控制單

個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)，于1871年由英國(guó)物理學(xué)家詹姆斯?麥克斯韋為了說(shuō)明違反熱力學(xué)第二定律的可能性而設(shè)想的.當(dāng)

時(shí)麥克斯韋意識(shí)到自然界存在著與牖增加相拮抗的能量控制機(jī)制，但他無(wú)法清晰地說(shuō)明這種機(jī)制，他只能詼諧地

假定一種“妖”，能夠按照某種秩序和規(guī)則把作隨機(jī)熱運(yùn)動(dòng)的微粒分配到一定的相格里.麥克斯韋妖是耗散結(jié)構(gòu)

的一個(gè)雛形.可以簡(jiǎn)單地這樣描述，一個(gè)絕熱容器被分成相等的兩格，中間是由“妖”控制的一扇小“門(mén)”，容

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【二輪復(fù)習(xí)交匯】

器中的空氣分子作無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)向門(mén)上撞擊，“門(mén)”可以選擇性地將速度較快的分子放入一格，而較慢的分

子放入另一格，這樣，其中的一格就會(huì)比另外一格溫度高，可以利用此溫差，驅(qū)動(dòng)熱機(jī)做功.這是第二類(lèi)永動(dòng)機(jī)

的一個(gè)范例.而直到信息燧的發(fā)現(xiàn)后才推翻了麥克斯韋妖理論.設(shè)隨機(jī)變量X所有取值為1,2,%n,且P(X=i)=

Pi>0(i=L2…n),匚*=L<&X的伯息炳H(X)=-葭力1啕3用卜列說(shuō)法止修的有

()

A.n=1時(shí)H(X)=0

B.n=2時(shí),若Pie(0,二)，則H(X)與Pi正相關(guān)

2=2“"，Pk+i

Q若Pi=「=2Pk(k>2keN,,H(X)=2一

D.若n=2m,隨機(jī)變量Y的所有可能取值為1,2,旅,m,且P(Y=))=Pj+P2m+i-j(j=1,2，…,m)則H(X)>H(Y)

解：對(duì)于A,若n=1,則i=l,Pi=1，因此H(X)=-(1xlog2l)=0,A正確；

"-

對(duì)于B,當(dāng)n=2時(shí)，P]e(0二)，H(X)=P1log2P1(l-pjlog^l-pO,

令f(t)=tlog2t(1t)log2(1t)te(ol),則f(t)=log2t+log2(1t)=log2(l_1)>0,

7t

即函數(shù)f(t)在(0,，上單調(diào)遞增，所以H(X)與Pl正相關(guān)，B正確；

Pi=P2=Pi=Pk=2=j：；=

對(duì)于C，k+2Pklk>2,keN),則P2X2『2n：+i.,kN2,

PklogzPk=2」+11唯2」+1=一比￡，而Pllog2PL2M唯=一匯;,

于是H(X)=n-1+■2Pklog2Pk=/+之：+./+…+專(zhuān)+：

廠；-++；-；+；-；+…+?+L

Aw--2n-An-

令s=1+-+'+---+n-J+-1

nJ2?P+2-1十五

則:n=++一+…+口」+

?2J2?*I

兩式相減得ISn=1+：+I+…+?「

5n孑k7T了一百rr

Ki—)1:l

==1,因此S"=2"?2.H(X)=+S="-1+2'~=2C錯(cuò)誤;

1_1-pTT'11'"S'2?_1-^5n2^1-亍2,^'

對(duì)于D,若n=2m,隨機(jī)變量Y的所有可能的取值為1,2,-,m,且P(Y=j)=P)+P2m+i-j(j=1-2,-,m),

PP

+2m-110g2-p?_+2ml0g2J_,

H(X)=~o2Pilog2Pi=a'PilogzJ.=Pilog2_L+P210g2_l+

』

-,—?P.PtP,P2m1P

共13頁(yè)/第11頁(yè)

_______________________________________________【二輪復(fù)習(xí)一學(xué)科交匯】

H(Y)=(P1+P2m)log2_J_+(P2++-+(Pm+Pm+1)log2r_l-=Mog2_>ZT

P210g2-1+1

52+P2mrbg2P2+p2m+P2ml0g2

P2+P2m-iFi4-IS-

x1

由于P>0,i=12…2m即有上>則log2>log2n」,

1(

(，，，)，Pi+P2m+i-i-K，，,Pi+P2m+rV

因此PJog2工>Pilog2一所以H(X)>H(Y),即H(X)》H(Y)成立，D正確.

Pri-rr2m+li-

故選：ABD.

3-4(2023?北京市?模擬題)正弦信號(hào)是頻率成分最為單一的信號(hào)，復(fù)雜的信號(hào)，

例如電信號(hào)，都可以分解為許多頻率不同、幅度不等的正弦型信號(hào)的疊加.正

弦信號(hào)的波形可以用數(shù)學(xué)上的正弦型函數(shù)來(lái)描述：V(t)=Asin(2nft+(p),其中

V(t)表示正弦信號(hào)的瞬時(shí)大小電壓V(單位：V)是關(guān)于時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)，

而A>0表示正弦信號(hào)的幅度，f是正弦信號(hào)的頻率，相應(yīng)的T=；為正弦信號(hào)

的周期，(p為正弦信號(hào)的初相.由于正弦信號(hào)是一種最簡(jiǎn)單的信號(hào)，所以在電路系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，科學(xué)家和工程師們

經(jīng)常以正弦信號(hào)作為信號(hào)源(輸入信號(hào))去研究整個(gè)電路的工作機(jī)理.如圖是一種典型的加法器電路圖，圖中的三

角形圖標(biāo)是一個(gè)運(yùn)算放大器，電路中有四個(gè)電阻，電阻值分別為R-R2,R3-RJ單位：。>1@)和丫2仕)是兩個(gè)輸

入信號(hào)，V0(t)表示的是輸出信號(hào)，根據(jù)加法器的工作原理，V0(t)與V](t)和V2(t)的關(guān)系為：Vjt)=(1+!<1)'

R?

R2?V1仕)+RLV2仕)

R1+R2

例如當(dāng)Ri=R2=R3=R4=1Q,輸入信號(hào)VMt)=sint,V2(t)=cost時(shí)，輸出信號(hào)：Vo(t)=(1+1)=

I-4^-

sint+cost.

(I)若R1=R2=R3=R4=1ft,輸入信號(hào)Vi(t)=sint,V2(t)=cost,則Vo(t)的最大值為；

(II)已知R2=in,R3=2Q