2024年2月“鴿子杯”高三數(shù)學(xué)試題含答案

2024年2月“鴿子杯”線(xiàn)上測(cè)試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題

卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.幕函數(shù)y=的圖像經(jīng)過(guò)(；,；)，則&=

A.--B.-C.-2D.2

22

2.若由最小二乘法得到的回歸直線(xiàn)y=x+l,則其均值點(diǎn)可能是

A.(0,1)B.(1,0)C.(2,4)D.(3,7)

3.已知集合/={1,2,切},B={3,m2},若NClBw。，則滿(mǎn)足條件的根有

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

4.已知函數(shù)/(x)=2sin(函是奇函數(shù)，則/⑺=

A.0B.1C.2D.-2

5.設(shè)4,B,。是三個(gè)事件，則對(duì)事件“4,5不同時(shí)發(fā)生且5,。有且只有一個(gè)發(fā)

生”的表示中，正確的是

A.~ABCB.ABC+ABC

C.ABC+ABC+ABCD.ABC+ABC+ABC+ABC

6.設(shè)無(wú)窮整數(shù)數(shù)列他}的前〃項(xiàng)和為且有S；=2-%,則〃2024=

A.-2B.-1C.1D.2

7.函數(shù)/(x)=色竺的兩個(gè)極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)點(diǎn)均在直線(xiàn)/上，則/的方程為

x-2

A.y=xB.y=-xC.y=—xD.y=--x

數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)(共4頁(yè))

8.已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸在圓/+j?=i上，定點(diǎn)。的坐標(biāo)為。,1）,動(dòng)點(diǎn)T滿(mǎn)足0T=XOP+nOQ,

其中2,jLi＞0,不+2〃2=4,則|0刀的最大值為

A.2-V2B.V2C.2D.2+72

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.設(shè)復(fù)數(shù)Z1=3+4i與4=-4+3i在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為尸，Q,平面坐標(biāo)原點(diǎn)為O,

則

____]_

2

A.B+ZzkpqB.歸12|=囤c.|Z]-z2|=|（9e|D.=|og|

10.已知橢圓C「雙曲線(xiàn)。2有相同的焦點(diǎn)4，F(xiàn)-焦距為2,且G，C?離心率互為倒

數(shù)記4,4分別為C],的兩個(gè)頂點(diǎn),G，C2有公共點(diǎn)尸,且有闿＞|48|，

|4：＞|4工|，陷|＞陷|，則

A./4|=|尸6|B.|4闋=|尸居|C.F[PA.F2PD.FXF21F2P

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在平面直角坐標(biāo)系中，角a的頂點(diǎn)為。，始邊與x軸正半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)（2,-方），

貝！Jsin（a+.

13.已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足：當(dāng)〃為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)，a?,all+l,%+2分別成等比數(shù)列和

等差數(shù)列.設(shè)%=1,%=15,則｛%｝的通項(xiàng)公式為;設(shè)數(shù)列｛a.｝的前

〃項(xiàng)和為Sn,貝ljSl0=.

14.已知等腰三角形的腰為1,則該等腰三角形內(nèi)切圓面積的最大值為.

數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)（共4頁(yè)）

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.（13分）

某老師在課堂測(cè)驗(yàn)上設(shè)置了一種新的大題題型，這種大題題型由一個(gè)題干和五個(gè)與

題干有關(guān)的判斷題組成，得分規(guī)則是：五道題中，全部正確判斷則該大題得5分，有一

道錯(cuò)誤判斷則該大題得3分，有兩道錯(cuò)誤判斷則該大題得1分，有三道及以上錯(cuò)誤判斷

則該大題不得分.假定隨機(jī)判斷時(shí)，每道題正確判斷和錯(cuò)誤判斷的概率相等.

（1）若考生所有題目都隨機(jī)判斷，求此時(shí)得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）若考生能夠正確判斷其中兩道題目，其余題目隨機(jī)判斷，求此時(shí)得分的數(shù)學(xué)

期望.

16.（15分）

請(qǐng)從以下三個(gè)條件中選擇一個(gè)條件加入題干并完成求解，不同條件對(duì)應(yīng)的本題滿(mǎn)分

不同，若選擇多個(gè)條件進(jìn)行求解，將以分值較大的解答作為評(píng)分依據(jù)：

甲（滿(mǎn)分10分）：^BAC=60°,PB上PC；

乙（滿(mǎn)分12分）：PA=2PB,△NBC的面積為10方；

丙（滿(mǎn)分15分）：點(diǎn)尸到平面4BC的距離為叵，PA=275.

3

如圖，在三棱錐P-N3c中，PALPB,PA1.PC,AB=5,AC=S.

（1）求三棱錐P-43C的表面積與體積;

（2）求二面角/-3C-尸的余弦值.

17.(15分)

已知函數(shù)/(x)=-bsinx),a>0,b>0.

（1）若b=l,討論/（x）在（0,2萬(wàn)）的單調(diào)性;

（2）設(shè)t="6>0,t為定值，若/（x）在R上單調(diào),求？的取值范圍.

數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)（共4頁(yè)）

18.(17分)

循環(huán)排列(也稱(chēng)圓排列)是指從〃個(gè)不同元素中取出m個(gè)不同的元素排成一個(gè)環(huán)形,

既無(wú)頭也無(wú)尾.循環(huán)排列視所有循環(huán)的情形為同一種排列，例如123、231、312在循環(huán)

排列中便視為一種排列；同時(shí)將順時(shí)針和逆時(shí)針視為兩種循環(huán)排列，例如123和132便

是兩種不同的循環(huán)排列.(本題中，m,〃均為正整數(shù)，且加(〃)

(1)若從〃個(gè)人中選擇〃，個(gè)人圍坐成一個(gè)圓桌，直接寫(xiě)出這樣的排列個(gè)數(shù)；

(2)定義：將〃個(gè)不同元素劃分成加個(gè)非空循環(huán)排列(即每個(gè)排列中都有至少一

個(gè)元素)，所有這樣的排列的個(gè)數(shù)用符號(hào)s(〃，M表示.并規(guī)定s(0,0)=1,s(%0)=0.

①求s(4,2)；

②證明：s(ji,m)+n-s(ji,m+1)=5(M+1,zn+1),其中

(3)已知某飯店有〃張圓桌，每張圓桌最多可以容納”個(gè)人，最少可以不坐人.現(xiàn)

在有〃個(gè)人來(lái)到飯店就餐，若將每張桌上圍坐多人時(shí)不同的循環(huán)排列視為不同方案，將

相同循環(huán)排列坐在不同桌視為同種方案，求總的方案數(shù).

19.(17分)

在平面直角坐標(biāo)系中有定點(diǎn)4(-&,0),F2(V2,0),動(dòng)點(diǎn)尸滿(mǎn)足：點(diǎn)尸到y(tǒng)軸

的距離與點(diǎn)尸到片，尸2距離之和的比值為?.

(1)求點(diǎn)尸軌跡廠(chǎng)的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)0為「上一點(diǎn)，忸。=4,求△P。片面積的最大值.

數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)(共4頁(yè))

18.(17分)

在平面直角坐標(biāo)系xqy中有定點(diǎn)片(-行,0),與(后,0),動(dòng)點(diǎn)尸滿(mǎn)足：點(diǎn)尸到了軸

的距離與點(diǎn)尸到4，F(xiàn)2距離之和的比值為?.

(1)求點(diǎn)尸軌跡廠(chǎng)的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)0為廠(chǎng)上一點(diǎn)，\PQ\=4,求△P。耳面積的最大值.

19.(17分)

循環(huán)排列(也稱(chēng)圓排列)是指從〃個(gè)不同元素中取出m個(gè)不同的元素排成一個(gè)環(huán)形,

既無(wú)頭也無(wú)尾.循環(huán)排列視所有循環(huán)的情形為同一種排列，例如123、231、312在循環(huán)

排列中便視為一種排列；同時(shí)將順時(shí)針和逆時(shí)針視為兩種循環(huán)排列，例如123和132便

是兩種不同的循環(huán)排列.(本題中，m,〃均為正整數(shù)，且加W”)

(1)若從〃個(gè)人中選擇用個(gè)人圍坐成一個(gè)圓桌，直接寫(xiě)出這樣的排列個(gè)數(shù)；

(2)定義：將"個(gè)不同元素劃分成機(jī)個(gè)非空循環(huán)排列(即每個(gè)排列中都有至少一

個(gè)元素)，所有這樣的排列的個(gè)數(shù)用符號(hào)S(〃M)表示.并規(guī)定s(0,0)=l,s(〃,0)=0.

①求s(4,2)；

②證明：(〃+1)S(〃,山)+S(〃,加+1)=S("+1,加+1),其中

(3)已知某飯店有〃張圓桌，每張圓桌最多可以容納"個(gè)人，最少可以不坐人.現(xiàn)

在有"個(gè)人來(lái)到飯店就餐，若將每張桌上坐多人時(shí)不同的循環(huán)排列視為不同方案，求總

的方案數(shù).

19.(17分)

從1,2,3,……，〃這〃個(gè)連續(xù)的正整數(shù)中取加個(gè)數(shù)(加，〃為正整數(shù)且機(jī)W”)，

將每種取法中的加個(gè)數(shù)求積，并將所有不同取法得出的積求和，其結(jié)果記為s(〃,加).

例如:5(3,2)=1x24-1x3+2x3=11.

(1)求s(4,2)；

(2)證明：(”+l)s(",??)+s(〃,/n+1)=s(〃+1,加+1)，其中％<〃；

(3)規(guī)定s(0,0)=0,0)=0,證明：對(duì)任意正整數(shù)〃，有￡s(〃,i)=(〃+l)!；

/=0

(4)試探索s(〃，⑼所表示的含義或應(yīng)用情境.

數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)(共4頁(yè))

2024年2月“鴿子杯”線(xiàn)上測(cè)試

數(shù)學(xué)試題參考答案

（參考答案僅提供部分解法）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

題號(hào)12345678

答案BACACDCD

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

題號(hào)91011

答案ABCBDABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

題號(hào)121314

為奇數(shù)575-11

n=<

答案un380----------------71

一五1,〃為偶數(shù)2

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.（13分）

（1）設(shè)考生得分為X,X為離散型隨機(jī)變量，則X的可能取值為0、1、3、5.

則尸（x=5）=",尸（X=3）=C；（；）.（；）4$,尸（X=l）=（,

p（X=0）=；,故X的分布列為：

X0135

￡551

P

2163232

因此考生得分的數(shù)學(xué)期望E(X)=9xl+Wx3+°x5=".……7分

16323216

數(shù)學(xué)試題參考答案第1頁(yè)共6頁(yè)

（2）設(shè)考生得分為y,丫為離散型隨機(jī)變量，則丫的可能取值為0、1、3、5.

1111331

貝I）尸（丫=5）=（_）3=_,p（y=3）=C；（—）?（—）2=—,尸（y=l）=_,p（y=o）=—.

28八22888

因此考生得分的數(shù)學(xué)期望E（y）=±4xl+4±x3+1L5=1U7.……13分

8888

16.（15分）

（1）

甲：由余弦定理，BC2^AB2+AC2-2AB-AC-cosABAC,BC=1.

PA2+PB2=AB2

由于E4,PB,PC兩兩垂直，因此根據(jù)勾股定理得〈尸52+PC2=3c2,解

PC2+PA2CA2

得R4=2布,必=VJ,PC=2VTT.

故表面積S=-PAPB+-PBPC+-PCPA+-AB-AC-sinZBAC^5+

2222

3庫(kù)+106;體積%=；?（；?必?尸C）?以……4分

乙：因?yàn)镋4_LP3,^LPA2+PB2=AB2,而R4=2PB,因止匕E4=2j?,PB=B

因?yàn)镋4_LPC,所以尸C=J/C2一a2=2而.

而$一備*由，故，

二用形=-2-AB-AC-sinABAC=10sinABAC2=—,0ABAC<90°

故/R4c=60。，所以3c2=/爐+4。2一2/3-/C.COS/3/C,BC=1.

注意至1」%2+尸。2=及支，因止匕必，尸C.

故表面積S=-PAPB+-PBPC+-PC-PA+-AB-AC-smABAC=5+

2222

3V55+10V3；體積%=?尸C>H=?而.……6分

丙：設(shè)尸在平面/3C中的投影為P,連接P/,P'B,P'C,貝I]PPJ_平面45c.

故PP與尸/,P'B,PC均垂直.而24=2JL故PB=M,PC=2VH,

又因?yàn)槭?叵，因此4尸'=二百，BP'=-y[i,CP'=—4i.

3333

由余弦定理，計(jì)算得cos//P3=-U,cos//PC=」，則

14714

sin/NPC=±百，因此COS/BPC=-L,由余弦定理8c=7.

72

數(shù)學(xué)試題參考答案第2頁(yè)共6頁(yè)

故PB?+PC?=BC?,PBVPC.

故表面積S=-PAPB+-PBPC+-PCPA+-AB-AC-sinZBAC^5+

2222

3V55+10V3；體積%??必?尸C>H……9分

(2)方法一：設(shè)二面角N-3C-P的大小為6；作垂足為

由于E4_LP3,PALPC,PB^PC=P,PB,尸Cu平面尸3C,因此刃_L

平面尸8c,而8Cu平面B8C,因此我IBC.^PHIBC,PHC^4=P，因此3c_L

平面hH,^LAHIBC.因此44Hp是二面角/-BC-尸的平面角.

p?-PHBCq/7T7

故cos0=cosNAHP=----=-y------------==角形?0=----.

AH-AH-BC,三角物BC30

2

.......10分/12分/15分

方法二：以P為原點(diǎn)，PB,PC,R4為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

因止匕P(0,0,0),5(75,0,0),C(0,2A/1T,0),^(0,0,275),AB=(75,0-275),

AC=(o,2Vn-2V5).

設(shè)平面N3C的法向量為1,平面尸3c的法向量為故*=(0,0,1).設(shè)

n2=(x,y,z),貝°,解得叼=(2"1,6.

n2,AC=0

々撲2V165

設(shè)二面角A-BC-P的大小為0,則cos。=?

30

10分/12分/15分

17.(15分)

(1)f(x^eax-bcosx(a-bsinx),求導(dǎo)函數(shù)得/'(x)=eax-bcosx(a2-b2sin2x-Z>cosx),

即f(尤)=eax-bmsx(b2cos2x-bcosx+a2-b2).

1-x-cosx311

令Q=5，b=l,則/，(x)=e2(cosx--)(cosx+—),當(dāng)/*(x)<0,cosx+—

>0；當(dāng)/，(x)〉0,cosx+—<0.

2

數(shù)學(xué)試題參考答案第3頁(yè)共6頁(yè)

.147r1yTT

在區(qū)間(0,2萬(wàn))中，cosx+—<0時(shí)——<x<——，cosx+—>0時(shí)0<x<——或

23323

4^

--<x<2%.

3

因此“X)在(0,g)單調(diào)遞減，在(g,手)單調(diào)遞增，在(事,2%)單調(diào)遞減.

...6分

(2)若/(%)單調(diào)性不變，貝！J必有b2cos2x-bcosx+〃2一〃不變號(hào).設(shè)》=cosx,則

-1<W<1,即討論g(〃)=Z?2〃2一加+〃2一〃不變號(hào)，由于b>0,因此g(〃)是二次函數(shù).

若g(“)40在恒成立，則[g(T"°,即由于a>0,b>0,

[g(l)<0[a2-b<0

因此此情形不成立;

g$)?o

g(i)>or

若g(〃)20在［-1J］恒成立，則<2b或<1>，即aNdb。+；s>；)或

0<—<12b~,

2b

4b-bfi<b<^

(0<Z?<^-),由于，=a一b>0,

a>4b因止匕<11分

0<6<!時(shí)"(b)=一,0<b<；時(shí)〃(b)>0,:時(shí)〃(b)<0.故

224b

j.

0<b<；時(shí)〃(b)max=；；6>；時(shí)h⑹=411

~/=-<一?

,21,2V2+24

.\b+-+b

V4

因此摩匕15分

4

18.(17分)

Aw

(1)C：-(m-l)!(或工)……3分

m

(2)①s(4,2)是指將4個(gè)元素分為2個(gè)圓排列.考慮到4個(gè)元素分為2個(gè)圓排列共

有兩種情況，一種是分為一個(gè)含有3個(gè)元素的圓排列和含有1個(gè)元素的圓排列，另一種

是分為兩個(gè)含有2個(gè)元素的圓排列.

對(duì)于第一種情況，計(jì)算方式為C：(3-1)!,結(jié)果為8；

數(shù)學(xué)試題參考答案第4頁(yè)共6頁(yè)

對(duì)于另一種情況，計(jì)算方式為屋，結(jié)果為3.

2

因止匕s(4,2)=8+3=ll.……7分

②我們只需討論在已有的〃個(gè)元素在加+1個(gè)圓排列中的情況下，新增第〃+1

個(gè)元素時(shí)的情況數(shù).若原有的〃個(gè)元素已經(jīng)分布在前加個(gè)圓排列，則第〃+1個(gè)元素一定

在第m+1的圓排列,共s(〃,加)種情況；若原有的n個(gè)元素分布在m+1個(gè)圓排列中，則

第〃+1個(gè)元素可以插入進(jìn)任意一個(gè)圓排列的任意兩個(gè)元素之間(若某個(gè)圓排列只有一個(gè)

元素則只考慮加入圓排列)，共(儲(chǔ)機(jī)+1).兩種情況求和即為s(〃+l,加+1).

因止匕5(%加)+〃”(%加+1)=5(〃+1,加+1)........12分

(3)所求即為設(shè)］=￡s(〃/)=

z=lz=l1=0

〃+ln?

貝UT〃+i=+1,0=，s(〃+l,z)+s(n+1,"+1)=Z(s(〃N—1)+〃,s(〃/))+

z=lz=lz=l

s(ji+1.?+1)=￡s(〃/)+n+s(n+1,?+1)-s(n,n).

i=\i=\

由于5(〃,〃)=5(〃+1,〃+1)=1,故&i=(〃+l)],^-=n+l.

Tn

而—1)=1,0=2,4=3,……,"依次相乘得北=〃！

TT]T”-i

綜上，總的方案數(shù)為〃!.……17分

19.(17分)

(1)設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(飛,汽).

由題意可知：|X0|=-yj(x0—y[2)"+yg+J+V^")-+y；,

J(x()―歷丫+y：一/x+行)?+就

兩邊同時(shí)乘0得

2A/2|X0|

-22

V2)+y1