上海市金山區(qū)上海交大南洋中學2021-2022學年高考數(shù)學四模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設(l+i)a=l+沅，其中a,8是實數(shù)，貝!!卜+2例=()

A.1B.2C.6D.75

2.已知集合A={M-l<x<2},B={x|x>l},則AU3=

A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+oo)D.(1,+oo)

3.某中學有高中生1500人，初中生1000人為了解該校學生自主鍛煉的時間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生中

抽取一個容量為”的樣本.若樣本中高中生恰有30人，則〃的值為()

A.20B.50C.40D.60

4.某校為提高新入聘教師的教學水平，實行“老帶新”的師徒結對指導形式，要求每位老教師都有徒弟，每位新教師都

有一位老教師指導，現(xiàn)選出3位老教師負責指導5位新入聘教師，則不同的師徒結對方式共有()種.

A.360B.240C.150D.120

5.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積()

A.6+273B.6+2收C.4+4血D.4+473

6.函數(shù)y=/(x)滿足對任意xeR都有/a+2)=/(r)成立，且函數(shù)丁=/(九一1)的圖象關于點(1,0)對稱,

"1)=4,貝|)/(2016)+〃2017)+〃2018)的值為()

7.已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且當xe[0,a)時，函數(shù)/(%)是單調遞減函數(shù)，則"Iog25),

/■(logs?)的大小關系是()

A.flog31)</(log53)</(log25)B.flog311</(log25)</(log53)

c.f(log53)</j^log3</(log25)D./(log25)</j^log31</(10g53)

8.如圖，平面A5CZ),ABC。為正方形，S.PA=AD,E,尸分別是線段C￡>的中點，則異面直線E尸與

BD所成角的余弦值為()

C.上D.豐

6

9.已知函數(shù)f(x)滿足/(4)=17,設/(x0)=%，貝11"%=17”是“%=4”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.已知直三棱柱中A3C—4與￡,ZABC=120°,AB=2,BC=Cq=l,則異面直線入用與BQ所成的角的

正弦值為().

A73RA/10rV15nV6

2553

jr

11.如圖，四面體ABC。中，面狽和面5CD都是等腰直角三角形，AB=亞,NBAD=NCBD=5,且二面

27r

角A-。的大小為彳，若四面體ABC。的頂點都在球。上，則球。的表面積為()

284712%

A.—B.-----C.一D.—

3323

12.已知條件p：a=—l,條件4：直線％—ay+l=O與直線x+/y_i=o平行，則。是4的（)

A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知集合U={1,3,5,9},A={1,3,9},B={1,9},則Cu（AUB）=,

14.在（l+x『（l+y）4的展開式中，的系數(shù)為.

15.已知函數(shù)/（x）=alnx—6爐圖象上一點（2,/（2）處的切線方程為y=—3x+21n2+2,則。+6=.

16.某外商計劃在4個候選城市中投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，則該外商不同的投資

方案有一種.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

221

17.（12分）已知橢圓。：.+方=1（。＞萬＞0）的焦距為26,斜率為的直線與橢圓交于A,3兩點，若線段A6

的中點為。，且直線8的斜率為-

2

（1）求橢圓C的方程；

11

（2）若過左焦點歹斜率為左的直線/與橢圓交于點M,N,P為橢圓上一點，且滿足OPLMN,問：麻是

否為定值？若是，求出此定值，若不是，說明理由.

18.（12分）如圖，四棱錐尸-A3CD中，底面ABC。是矩形，面底面ABC。，且AR4D是邊長為2的等

邊三角形，PC=在PC上，且面

（1）求證:"是PC的中點；

AF

（2）在叢上是否存在點尸，使二面角歹-5D-M為直角？若存在，求出一的值；若不存在，說明理由.

AP

19.（12分）如圖，三棱柱ABC—451cl中，側面為菱形，AC1AB1,AB=BC.

(1)求證：5￡，平面4片。；

(2)若A3，4cNCBBi=60°,求二面角B.-AA.-Q的余弦值.

20.(12分)已知函數(shù)/(%)=/-5x+21nx.

(1)求Ax)的極值;

(2)若/(玉)=/(%2)=/(%3)，且西＜%＜七,證明：+%2＞1.

21.(12分)如圖，四棱錐尸-ABCD中，四邊形ABC。是矩形，AB^—AD,ARM>為正三角形，且平面上4￡)，

2

P5的中點.

(1)證明：平面ADM,平面「5C；

(2)求二面角3—OE—C的余弦值.

22.(10分)如圖，在四棱錐S-MCD中，平面平面A5C￡>,SD=1,cosZASD^—,底面A5CD是邊

5

長為2的菱形，點E,F分別為棱OC,8C的中點，點G是棱SC靠近點C的四等分點.

(2)直線AC_L平面SDB.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

根據(jù)復數(shù)相等，可得。力，然后根據(jù)復數(shù)模的計算，可得結果.

【詳解】

由題可知：(l+i)a=l+bi,

即。+扇=1+初，所以a=l力=1

則+2bi\=|1+2z|=Vl2+22=下

故選：D

【點睛】

本題考查復數(shù)模的計算，考驗計算，屬基礎題.

2.C

【解析】

根據(jù)并集的求法直接求出結果.

【詳解】

VA={x|-l<x<2},B={x|>l},

AB=(―1,+oo),

故選C.

【點睛】

考查并集的求法，屬于基礎題.

3.B

【解析】

利用某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比計算即可.

【詳解】

由題意，30=1500x-----------,解得〃=50.

1500+1000

故選：B.

【點睛】

本題考查簡單隨機抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比，本題是一道基礎題.

4.C

【解析】

可分成兩類，一類是3個新教師與一個老教師結對，其他一新一老結對，第二類兩個老教師各帶兩個新教師，一個老

教師帶一個新教師，分別計算后相加即可.

【詳解】

分成兩類，一類是3個新教師與同一個老教師結對，有團=60種結對結對方式，第二類兩個老教師各帶兩個新教

師，有=90.

2!

,共有結對方式60+90=150種.

故選：C.

【點睛】

本題考查排列組合的綜合應用.解題關鍵確定怎樣完成新老教師結對這個事情，是先分類還是先分步，確定方法后再

計數(shù).本題中有一個平均分組問題.計數(shù)時容易出錯.兩組中每組中人數(shù)都是2,因此方法數(shù)為

2!

5.C

【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可.

【詳解】

解：幾何體的直觀圖如圖，是正方體的一部分，P-ABC,

正方體的棱長為2,

該幾何體的表面積：

1111-1I-r~

—x2x2H—x2x2H—x2x2,2H—x2x2yl2=4+4。2.

2222

故選c.

【點睛】

本題考查三視圖求解幾何體的直觀圖的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關鍵.

6.C

【解析】

根據(jù)函數(shù)y=/(x—1)的圖象關于點(1,0)對稱可得“X)為奇函數(shù)，結合〃x+2)=/(r)可得/(%)是周期為4

的周期函數(shù)，利用/(0)=0及/。)=4可得所求的值.

【詳解】

因為函數(shù)y=/(x—1)的圖象關于點(1,0)對稱，所以y=/(%)的圖象關于原點對稱，

所以/(%)為火上的奇函數(shù).

由/(x+2)=/(r)可得/(x+2)=—/(x),故/(x+4)=—/(x+2)=/(x),

故/(X)是周期為4的周期函數(shù).

因為2016=4x504,2017=4x504+1,2018=4x504+2,

所以〃2016)+〃2017)+〃2018)=〃0)+〃1)+〃2)=4+〃2%

因為/(x+2)=/(一%),故/(0+2)=/(-0)=_/(0)=0,

所以〃2016)+〃2017)+/(2018)=4.

故選：C.

【點睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，一般地，如果R上的函數(shù)“X)滿足/(x+a)=—/(x)(awo),那么/(九)是周期

為2a的周期函數(shù)，本題屬于中檔題.

7.D

【解析】

利用對數(shù)函數(shù)的單調性可得log25>log35>log53,再根據(jù)/(x)的單調性和奇偶性可得正確的選項.

【詳解】

因為logs5>log33=1,0=log51<log53<log55=1,

^log35>log53>0.

Xlog25>log,4=2=log39>log35>0,故log25>log35>log53.

因為當xw[0,a)時，函數(shù)/(九)是單調遞減函數(shù)，

所以/(log25)</(log35)</(log53).

因為/(%)為偶函數(shù)，故/卜g3，=/(-log35)=/(log35),

所以“l(fā)og25)</log3-</(log53).

\3J

故選：D.

【點睛】

本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調性以及對數(shù)函數(shù)的單調性在大小比較中的應用，比較大小時注意選擇合適的中間數(shù)

來傳遞不等關系，本題屬于中檔題.

8.C

【解析】

分別以A3,AD,AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A-盯z,再利用向量法求異面直

線E尸與3。所成角的余弦值.

【詳解】

由題可知，分別以AB,AD,AP所在直線為x軸，y軸，二軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A-孫z.

設=2.則8。=(-2,2,0),EF=(1,2,-1),cos(BD,EF)=l.+g=—

A/8XV66

故異面直線EF與BD所成角的余弦值為巨.

6

故選：C

【點睛】

本題主要考查空間向量和異面直線所成的角的向量求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

9.B

【解析】

結合函數(shù)的對應性，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【詳解】

解：若％=4,貝!]/(無。)="4)=17,即％=17成立，

若/(x)=d+l,則由/(%)=%=17,得/=±4,

則“%=17”是“%=4”的必要不充分條件，

故選：B.

【點睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合函數(shù)的對應性是解決本題的關鍵，屬于基礎題.

10.C

【解析】

設M,N,P分別為AB,8用和用q的中點，得出的夾角為“V和NP夾角或其補角，根據(jù)中位線定理,

結合余弦定理求出和NMVP的余弦值再求其正弦值即可.

【詳解】

根據(jù)題意畫出圖形:

設M,N,尸分別為和的中點,

則則的夾角為MN和NP夾角或其補角

可知MN=^AA=且，NP^-BC.=—.

2222

作BC中點。，則一為直角三角形;

PQ=1,MQ=^AC

ABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2ABBCcosZABC=4+1-2x2xlx7

AC=V7,加。=弓

在△MQP中，MP=[MQ2+PQ?vn

2

在PMN中，由余弦定理得

MN?Npi-PMa

cos/MNP=

2MHNP5

所以sinZMNP=V1-COS2ZACVP=

故選：C

【點睛】

此題考查異面直線夾角，關鍵點通過平移將異面直線夾角轉化為同一平面內(nèi)的夾角，屬于較易題目.

11.B

【解析】

分別取3D、CD的中點〃、N,連接40、MN、AN,利用二面角的定義轉化二面角A—5D—C的平面角為

27r

ZAMN=—,然后分別過點"作平面ABD的垂線與過點N作平面5CZ）的垂線交于點。，在WAOAW中計算出

OM,再利用勾股定理計算出Q4,即可得出球。的半徑，最后利用球體的表面積公式可得出答案.

【詳解】

如下圖所示,

分別取6。、CD的中點M、N,連接AM、MN、AN,

由于AABD是以N&4。為直角等腰直角三角形，"為5。的中點，.?.AMLBD,

JT

NCBD=一,且M、N分別為BD、CD的中點，所以，MN//BC,所以，MN1BD,所以二面角A—5D—C

2

977"

的平面角為NAMN=§,

AB=AD=叵，則BD=飛AB?+AD?=?,且BC=2，所以，AM=^BD=1,MN=^BC=1,

A4BD是以NS4D為直角的等腰直角三角形，所以，AABD的外心為點M,同理可知，ABCD的外心為點N,

分別過點〃作平面曲的垂線與過點N作平面5C。的垂線交于點。，則點。在平面4WN內(nèi)，如下圖所示，

27r7171

由圖形可知，ZOMN=AAMN-ZAMO=------=-,

326

廣八“MN2g

在RtAOMN中,吧=cosNOMN=皂,二°/=丁，

0M2—

2

所以，=+=叵，

3

Irs1(yo—

所以，球。的半徑為7?=衛(wèi)_,因此，球。的表面積為47rH2=4x"=——

37rI3J3

故選：B.

【點睛】

本題考查球體的表面積，考查二面角的定義，解決本題的關鍵在于找出球心的位置，同時考查了計算能力，屬于中等

題.

12.C

【解析】

先根據(jù)直線x-分+1=0與直線x+/>-1=0平行確定a的值，進而即可確定結果.

【詳解】

因為直線％-ay+l=。與直線x+/y_l=O平行，

所以〃+4=0，解得。=0或。=一1；即04=0或。=一1；

所以由。能推出q；q不能推出?；

即。是q的充分不必要條件.

故選c

【點睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判定，熟記概念即可，屬于基礎題型.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.{5}

【解析】

易得AUB=A={1,3,9},則CU(AUB)={5}.

14.60

【解析】

根據(jù)二項展開式定理，求出(1+X)6含/的系數(shù)和(l+y)4含y3的系數(shù)，相乘即可.

【詳解】

(l+x)6(l+yY的展開式中，

所求項為：C^x2Cly3=^x4x2/=60x2y3,

必/的系數(shù)為60.

故答案為：60.

【點睛】

本題考查二項展開式定理的應用，屬于基礎題.

15.1

【解析】

求出導函數(shù)，由切線方程得切線斜率和切點坐標，從而可求得。力.

【詳解】

由題意r(x)=0—2",

X

???函數(shù)圖象在點(2,/(2)處的切線方程為y=-3x+21n2+2,

--4b=-3[a=2

aln2-4b=-6+21n2+21

??a+/?=3.

故答案為：L

【點睛】

本題考查導數(shù)的幾何意義，求出導函數(shù)是解題基礎，

16.60

【解析】

試題分析：每個城市投資1個項目有種，有一個城市投資2個有種，投資方案共

+C4C2C3=24+36=60種.

考點：排列組合.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

比2

17.(1)—+/=1.

4-

115

(2)\MN\+\OP^為定值“過程見解析.

【解析】

分析：(1)焦距說明。=石，用點差法可得38/8=-2=一：-這樣可解得。力，得橢圓方程；

a4

11「

(2)若左=0,這種特殊情形可直接求得麗在左W0時，直線跖V方程為y=k(x+g),設

M(XJ,%),N(X2，%),把直線方程代入橢圓方程，后可得否+%2，%1%2,然后由紡長公式計算出弦長

|肱v|=Ji+產(chǎn)歸_耳，同時直線。尸方程為y=-：x，代入橢圓方程可得P點坐標，從而計算出],最后計算

K

11

+所即可?

\MN\

詳解:(1)由題意可知c=代，設人(外,%),6(%2，%)，代入橢圓可得:

,2,2.2,2

4+4=1,4+4=1＞兩式相減并整理可得，

a2b"2a2b2

G=-9即2。

又因為左k。D=-g代入上式可得，a2=4b2.

又〃之=/+/,。2=3,所以/=%//=[,

故橢圓的方程為L+y2=l.

4-

(2)由題意可知，F(xiàn)(-A0),當MN為長軸時,OP為短半軸，此時

」一+」一」+一

\MN\IOPI244;

%221

——+）7=1

否則，可設直線/的方程為y=k(x+G),聯(lián)立＜4-,消y可得,

y=M%+石）

（1+4左2）X2+8辰X+12左2—4=0,

4+4左2

1+4左2

2、

不妨得后

+4；

l4+4k2

所以|0P|=

111+4/11+4左242+45

--------1---------=---------+——----=---------+---------=—

^.\MN\|0P|24+4左2%+402,4+4^24+4^24,

115

綜上所述，府+所為定值“

點睛：設直線與橢圓［+1=1相交于兩點A（%1，%）,3（%,%）,A6的中點為c（%,%）,則有左AB?48=--T，

aba

證明方法是點差法：即把點A,3坐標代入橢圓方程得工+空=i,4+4=1,兩式相減，結合斜率公式可得.

21

a-b-ab

AF3

18.⑴見解析;（2）—=-.

AP8

【解析】

試題分析：（1）連AC交6D于E可得E是AC中點，再根據(jù)外面VBD可得尸AME,進而根據(jù)中位線定理可得結

果；（2）取AO中點。，由（D知。4,0E,0P兩兩垂直.以。為原點，。4,。￡,。。所在直線分別為'軸,y軸，z軸

建立空間直角坐標系，求出面AffiD的一個法向量〃，用彳表示面的一個法向量加，由4機=0可得結果.

試題解析：（1）證明：連AC交3。于E,連ME.ABCD是矩形，,七是AC中點.又以面"BD,且ME是面PAC

與面"03的交線，是PC的中點.

⑵取AD中點。，由（1）知。4,0瓦OP兩兩垂直.以。為原點，0AoEOP所在直線分別為％軸,

V軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖），則各點坐標為

A（l,0,0）,B（l,3,0）,D（-l,0,0）,C（-l,3,0）,P（0,0,73）,wf-1,|,^,

設存在b滿足要求，且竺=2,則由河=2”得：尸(1—40,岳)，面VBD的一個法向量為〃=11,二,￡1，

APv'(33J

面的一個法向量為m=1,--,^,由〃?加=0,M1+-+—^=0,解得;l=g,故存在口，使二面角

(36彳J9328

AP3

F—BD—M為直角,此時一=—.

AP8

19.(1)見解析(2)-

7

【解析】

(1)根據(jù)菱形性質可知3G1_與。，結合AC1A用可得。4=。。=。4，進而可證明ASQ4三ABOC,即

BCt1OA,即可由線面垂直的判定定理證明BC11平面ABC；

(2)結合(1)可證明。4,03,。與兩兩互相垂直.即以。為坐標原點，。8的方向為x軸正方向，|。獷為單位長度,

建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得平面qA4和平面G4&的法向量，即可求得二面角4-A4-C的

余弦值.

【詳解】

(1)證明：設=O,連接。L,如下圖所示：

?.?側面3501C為菱形，

/.BCXLB.C,且。為及BG的中點,

又AC1AB,,則AC4片為直角三角形，

：.OA=OC=OBl,

又AB=BC,

.-.ABOA=ABOC,(SSS)

.\OA±OB,即BCJOA,

而。4,4C為平面AB。內(nèi)的兩條相交直線,

BQ，平面ABC.

(2)AB±B￡,BCX±BGABcBC】=B

.?.3C，平面ABO,

QAOu平面ABO,

:.BXCVAO,即。4，。4，

從而OA,03,0月兩兩互相垂直.

以。為坐標原點，的方向為x軸正方向，|。8|為單位長度，建立如圖的空間直角坐標系O-孫z

NCBB[=60°,

AC54為等邊三角形,

-,AB=BC,

'''A(O,O,-^-),B(O,-^-,O),C(O,--^-,0)，

AB,=fo,—0TL

M=BBM^AAC1=AC=

13I3)

g(y—z)=0

n-AB-0

設平面瓦A4的法向量為n=(x,y,z),貝叫X,即

n-AAX=0r+*=0

**?可取n=(1,^/3,，

機?AG=o

設平面G44,的法向量為加，貝卜

m-AA1-0

同理可取m=(1,G,-G)

n-m1_1

cos<n,m>=

n|-|m

由圖示可知二面角與一朋-G為銳二面角，

二面角的余弦值為1.

【點睛】

本題考查了線面垂直的判定方法，利用空間向量方法求二面角夾角的余弦值，注意建系時先證明三條兩兩垂直的直線,

屬于中檔題.

9

20.(1)/(%)極大值為——2In2；極小值為—6+21n2；(2)見解析

4

【解析】

(1)對函數(shù)f(x)求導，進而可求出單調性，從而可求出函數(shù)的極值；

(2)構造函數(shù)F(x)=/(%)-/(l-x),xe,求導并判斷單調性可得F(x)<0，從而f(x)</(I-x)在上

恒成立，再結合石e[o,g],/(x2)=/(xj</(l—%),可得到馬〉1一%,即可證明結論成立.

【詳解】

⑴函數(shù)/(x)的定義域為(0,+。),f\x)=2x-5+-=(2XT)(X-2)5>0),

所以當xe[o,：(2,+8)時，/(x)>0；當xeg,2)時,尸⑴<0,

則/(X)的單調遞增區(qū)間為[OS]和(2,+8),單調遞減區(qū)間為[；,2)

故/(元)的極大值為/—[+21n；=—?—21n2；/(x)的極小值為了(2)=4-10+21n2=—6+21n2.

-

\乙JI乙乙I

(2)證明油(1)知0<玉<3<々<2<%,

設函數(shù)F(x)=f(x)-/(l-x),xe〔0,J,

貝(]尸(%)=%2_5x+21nx—(1—%)—5(1—x)+2In(1—x),

F,(x)=Qi-2)+(2—="I)?

x1-xx(l-x)

則戶(x)>0在上恒成立，即F(x)在上單調遞增,

故小)</

=7(g]—/|g]=O4!lF(x)=/(x)_/(l_x)<O,xe|o,；

即WD在上恒成立.

因為石所以/(菁)</(1—玉)，

又/(%)=/(%)，則〃%)</(1-再)，

因為々,1一％e,且/(%)在g，2］上單調遞減，

所以七〉1一%,故國+X2>1.

【點睛】

本題考查函數(shù)的單調性與極值，考查了利用導數(shù)證明不等式,構造函數(shù)是解決本題的關鍵，屬于難題.

21.(1)見解析；(2)叵

4

【解析】

(1)取AD中點。，BC中點,H,連接PO,OH,PH.設EF交PH于G,則G為P7Z的中點，連接。G.

通過證明OG，PH,OG，EZ"證得。G,平面尸3C,由此證得平面AO即，平面P5C.

(2)建立空間直角坐標系，利用平面DEC和平面6DE的法向量，計算出二面角3—OE—C的余弦值.

【詳解】

(1)取AD中點。，BC中點、H,連接