湖北省襄樊市重點(diǎn)中學(xué)2024年高考數(shù)學(xué)押題試卷含解析

湖北省襄樊市重點(diǎn)中學(xué)2024年高考數(shù)學(xué)押題試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.記遞增數(shù)列（??）的前幾項(xiàng)和為S”.若q=1,%=9,且對(duì)｛4｝中的任意兩項(xiàng)%與%（1<，</<9）,其和q+4,

a；

或其積4%,或其商」仍是該數(shù)列中的項(xiàng)，則（）

%

A.a5>3,Sg<36B.a5>3,S9>36

C.a6>3,S9>36D.a6>3,S9<36

22

2.若A3為過(guò)橢圓一一+乙=1中心的弦，片為橢圓的焦點(diǎn)，則A々A3面積的最大值為（）

16925

A.20B.30C.50D.60

3.復(fù)數(shù)Z滿足2（1+。=2"為虛數(shù)單位），則Z的虛部為（）

A.iB.-iC.-1D.1

4.如圖是2017年第一季度五省GOP情況圖，則下列陳述中不正確的是（）

(

)X

舟

5平

」

史

府

叵

出

和

卬

!=□&?一?與去年同期相比中長(zhǎng)率

A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.

B.與去年同期相比，2017年第一季度的G。產(chǎn)總量實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng).

C.2017年第一季度GOP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個(gè)

D.去年同期河南省的GOP總量不超過(guò)4000億元.

5.已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且。1+&+%1=2萬(wàn)，則sin3+%）=的值為（）

A.BJ311

B.一二C.-D.——

2222

6.將函數(shù)7'（x）=sin（2x-g）的圖象向右平移;個(gè)周期后，所得圖象關(guān)于丁軸對(duì)稱，則9的最小正值是（）

713?！ā鲐?/p>

A.—B.—C.—D.一

8424

7.關(guān)于函數(shù)/（%）=4511113%+5]+4以《13%+5],有下述三個(gè)結(jié)論：

1T

①函數(shù)/'（X）的一個(gè)周期為一；

2

7737r

②函數(shù)/（X）在上單調(diào)遞增；

_24_

③函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇4,4夜].

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）

A.①②B.②C.②③D.③

,、111,、

8.已知等差數(shù)列｛4｝的公差不為零，且一，一，一構(gòu)成新的等差數(shù)列，S“為｛4｝的前“項(xiàng)和，若存在〃使得S“=0,

^^3^^4

則〃二（

A.10B.11C.12D.13

9.已知變量間存在線性相關(guān)關(guān)系，其數(shù)據(jù)如下表，回歸直線方程為$=2.1%+。.85,則表中數(shù)據(jù)機(jī)的值為（）

變量X0123

變量ym35.57

A.0.9B.0.85C.0.75D.0.5

10.函數(shù)/Xx）=5：：2：1;”（Xe[-私0）（0,兀]）的大致圖象為

3—3

y

D.

11.如圖，圓。是邊長(zhǎng)為的等邊三角形ABC的內(nèi)切圓，其與邊相切于點(diǎn)。，點(diǎn)M為圓上任意一點(diǎn),

BM=xBA+yBD(x,ywR),則2x+y的最大值為()

A.0B.73C.2D.2&

12.已知同=3,|=3,且（2a-。）_L（a+4Z?）,則2a—6在。方向上的投影為（）

720

A.—B.14C.—D.7

33

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，其前幾項(xiàng)和為S“，已知6+4+。7=99,出+為+?8=93,若對(duì)任意〃eN*都有

S“〈又成立，則上的值為.

14.如圖，A5是圓。的直徑，弦3。,C4的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)尸垂直84的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.求證：

AB2=BEBD-AEAC

15.執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若輸出的y的值為13,則輸入的x的值是.

Readx

If廬2Then

^-6JT

Else

EndIf

Printy

16.若向量a=(/,2)乃=(1,x)滿足。為<3,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

X221

17.(12分)已知橢圓C：餐+與v=1(a>b>。),與x軸負(fù)半軸交于A(—2,0),離心率e=—.

a2b22

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線/：，=區(qū)+7〃與橢圓。交于"(外,%),"(九2，%)兩點(diǎn)，連接40，4"并延長(zhǎng)交直線％=4于后(七,%)，

,、1111

/(七，％)兩點(diǎn)，已知一+—'=—+一，求證：直線A/N恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

%%%%

18.(12分)某學(xué)校為了解全校學(xué)生的體重情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人的體重?cái)?shù)據(jù)，得到如下頻率分布直

方圖，以樣本的頻率作為總體的概率.

(1)估計(jì)這100人體重?cái)?shù)據(jù)的平均值〃和樣本方差a?;(結(jié)果取整數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，記X為體重在［55,65)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該校學(xué)生的體重y近似服從正態(tài)分布N(〃,b2).若

P^-2a<Y<p+2a)>0.9544,則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.試判斷該校學(xué)生的體重是否正常?并說(shuō)明理由.

19.(12分)已知不等式|x+l|+|x|+|x—1|引徵+1|對(duì)于任意的xeR恒成立.

(1)求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)若加的最大值為M,且正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+26+3c=Af.求證—--1------>2+y/3.

2a+bb+2c

22

20.(12分)如圖，橢圓「+「=a>6〉0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,點(diǎn)4、B、C為橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，A為橢圓的右端點(diǎn),

a2b2

過(guò)中心O,且忸q=2|⑷3|,5AAsc=3.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)P、。是橢圓上位于直線AC同側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(異于A、C),且滿足NP3C=NQ54,試討論直線6P與

直線BQ斜率之間的關(guān)系，并求證直線PQ的斜率為定值.

21.(12分)某企業(yè)為了了解該企業(yè)工人組裝某產(chǎn)品所用時(shí)間，對(duì)每個(gè)工人組裝一個(gè)該產(chǎn)品的用時(shí)作了記錄，得到大

量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).從這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取了9個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖(單位：分鐘).若用時(shí)不超過(guò)

40(分鐘)，則稱這個(gè)工人為優(yōu)秀員工.

(1)求這個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)；

(2)以這9個(gè)樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀員工的頻率作為概率，任意調(diào)查4名工人，求被調(diào)查的4名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量x分

布列和數(shù)學(xué)期望.

22.(10分)選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)f(x)=log2(|x+l|+|x-2|-m).

(1)當(dāng)m=7時(shí)，求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)若關(guān)于x的不等式f(x)》的解集是R,求m的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

由題意可得生=血，從而得到%=3,再由%=3就可以得出其它各項(xiàng)的值，進(jìn)而判斷出S9的范圍.

a5

【詳解】

a.

解：?,■+?；,或其積七%,或其商」仍是該數(shù)列中的項(xiàng)，

%

二。2+%或者出。9或者￡■是該數(shù)列中的項(xiàng)，

又?jǐn)?shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，

??va?<CI3,

a9、

??G/zI^3^9>,G/?,只有:是該數(shù)列中的項(xiàng)，

同理可以得到出，—,",駒也是該數(shù)列中的項(xiàng)，且有《<%<青<...<&<%,

a

a3。4%〃8i“2

a

。5=丁9，/.%=3或%=-3（舍），〃6>3,

根據(jù)。］=1,%=3,Cig=9,

同理易得出=3八%=3萬(wàn)，％=3*。6=3八%=3萬(wàn)，〃8=3”，

9

1一3疝

：.Sg=%+%+--+%=-------j~<36，

1-3，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的新定義的理解和運(yùn)用，以及運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題.

2、D

【解析】

先設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（％y）,根據(jù)對(duì)稱性可得5（-羽-y）,在表示出面積，由圖象遏制，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的頂點(diǎn)時(shí),

此時(shí)面積最大，再結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解.

【詳解】

由題意，設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)對(duì)稱性可得5(-%-y),

則的面積為S=^x\OF\x\2y\=c\y\,

當(dāng)回最大時(shí)，△耳的面積最大，

由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)的面積最大,

22

又由――+2L=I,可得橢圓的上下頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-5),(0,5),

16925

所以^FlAB的面積的最大值為S=cb=V169-25x5=60.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，以及三角形面積公式的應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及化

歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

3、C

【解析】

2

Z=1=，分子分母同乘以分母的共朝復(fù)數(shù)即可.

1+1

【詳解】

2_2(1-i)

由已知,=l-i,故z的虛部為—1.

1+i-(l+i)(l-i)

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

4、C

【解析】

利用圖表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析即可求解.

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是：江蘇、遼寧、山東、河南、浙江，故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)：與去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增長(zhǎng)，所以其總量也實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng)，故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)：2017年第一季度GDP總量由高到低排位分別是：江蘇、山東、浙江、河南、遼寧，2017年第一季度5

省的GDP增速由高到低排位分別是：江蘇、遼寧、山東、河南、浙江，均居同一位的省有2個(gè)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)：去年同期河南省的GDP總量4067.4義一-—?3815.57<4000,故D正確.

1+6.6%

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圖表分析，學(xué)生的分析能力，推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、B

【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得4=丁，即可得到%+%=等，代入由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.

【詳解】

27r

解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得4+&+%1=34=2"，解得。6=?，

,4萬(wàn)

..。臺(tái)+^9=2a6=~~9

./、.4萬(wàn).(乃、.7iv3

/.sin(%+%)=sin—=sinI7F+yI=-sin—=一一—

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的下標(biāo)和公式的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題.

6、D

【解析】

由函數(shù)y=Asin(a)x+9)的圖象平移變換公式求出變換后的函數(shù)解析式，再利用誘導(dǎo)公式得到關(guān)于。的方程，對(duì)左賦

值即可求解.

【詳解】

由題意知，函數(shù)/(尤)=sin(2尤一哈的最小正周期為7=尋=%,即［=5，

288

由函數(shù)y=Asin(a*+9)的圖象平移變換公式可得,

將函數(shù)7'(x)=sin(2x-e)的圖象向右平移:個(gè)周期后的解析式為

g(x)=sin2(x——0=sin(2x—?一夕)，

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象關(guān)于V軸對(duì)稱，

-ITCTC7737^77

所以----(p=——&k兀，kGz,即o0=-----&k兀，kez,

424

IT

所以當(dāng)左=1時(shí)，。有最小正值為一.

4

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)y=Asin(5+9)的圖象平移變換公式和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及正余弦函數(shù)的性質(zhì)；熟練掌握誘導(dǎo)公式和

正余弦函數(shù)的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.

7、C

【解析】

jr37r1;+—e屋,f(x)=4A/2sinf—x+—,再利用單調(diào)性

①用周期函數(shù)的定義驗(yàn)證.②當(dāng)xe時(shí)，

判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù)/(x)=4sin[gx+W+4cos[gx+g]的值域等價(jià)于函數(shù)

g(x)=4sin?x+4cosgx的值域，而g(x+〃)==g(x),當(dāng)xe[O,i]時(shí)，g(x)=4忘sin[1x+f]再求值域.

225)

【詳解】

m文/乃1/./17*|/(\7兀\A(\nj+4sin[gx+A],故①錯(cuò)誤;

因?yàn)閒\n?一=4sin—xd---+4cos—xd-----=4cos—x+—

IU12JU12)(21：

「萬(wàn)37r-l.1%「7萬(wàn)17%]叱一,/、..fl萬(wàn)、—4cos[gx+9=4&sin[；x+^|J,

當(dāng)次￡一,—時(shí)，一1~1—￡—,---9所以/(%)=4sin—xH—

|_24」23L1224J(23

\jr7T\ITT7E3萬(wàn)

二e所以Ax)在上單調(diào)遞增，故②正確；

212L324J\_24_

函數(shù)/(x)=4sin[gx+?]+4COSQX+^的值域等價(jià)于函數(shù)g(x);=4singx+4cosgx的值域，易知

g(x+i)=g(x),故當(dāng)xe[O,捫時(shí)，g(x)=4A/2sinfx+yje[4,4A/2],故③正確.

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.

8、D

【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得%=-6d,再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.

【詳解】

111

由一，一，一構(gòu)成等差數(shù)列可得

d/3^^4

__L

^^4^^3

a—aa—a—2d_—d

即--x----3----3----4n-----——=>/―

又g=q+3d=>a1=2（。］+3d）

解得：q=-6d

HnTI

又S〃=a[2%+{n-V)d]=-(-12d+(n-l)J)=-J(n-13)

所以S“=0時(shí)，n=l3.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

9、A

【解析】

計(jì)算京亍，代入回歸方程可得.

【詳解】

0+1+2+3—m+3+5.5+7m+15.5

由題意戈==1.5,V=------------------

444-

m+15.5否4「八”

-----------=2.1x1.5+0.85,解得根=0.9.

4

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查線性回歸直線方程，解題關(guān)鍵是掌握性質(zhì)：線性回歸直線一定過(guò)中心點(diǎn)G3）.

10、A

【解析】

因?yàn)?（T）=5（弋：2s*x）=5：：=/⑺,所以函數(shù)是偶函數(shù)，排除B、D,

3-33-3

又/（兀）=j受STT7>°，排除C，故選A.

3—3

11、C

【解析】

建立坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，得到2x+y的表達(dá)式，進(jìn)而得到最大值.

【詳解】

以D點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標(biāo)系，

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為1,以（0,1）為圓心，1為半徑的圓；

根據(jù)三角形面積公式得到工x/周長(zhǎng)x廠=S=!義A3義AC義sin60°,

22

可得到內(nèi)切圓的半徑為1；

可得到點(diǎn)的坐標(biāo)為：B（-Ao）,C（Ao）M（O3）,D（O,O）,M（cos0,l+sin0）

BM=（cos0+V3,l+sin^）,BA二限3）,50=（6,0）

故得到BM=（cos0+6,1+sin6）=（百九+3x）

故得至（Jcos0=A/3X+6y~A/3,sin6=3%—1

1+sin8

x=----------

3ccos6,sin。42./八、4

2x+y=-廣-\-----!"一=—sin(。+0)+—V2.

cos0sin62J33333

'FF+g

故最大值為：2.

故答案為C.

【點(diǎn)睛】

這個(gè)題目考查了向量標(biāo)化的應(yīng)用，以及參數(shù)方程的應(yīng)用，以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等

式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過(guò)向量的運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一

般方法.

12>C

【解析】

由向量垂直的向量表示求出。小，再由投影的定義計(jì)算.

【詳解】

由(2a-b)±(<7+4&)

可得(2〃—6)?(〃+46)=2〃2+7〃力—4//=0,因?yàn)閨〃|二3|b|=3,所以〃為=—2.故2〃—b在〃方向上的投影

(2^z—Z?),u2。2—a.b18+220

———?

|a|\a\33

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的數(shù)量積與投影.掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、20

【解析】

由已知條件得出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，解出這兩個(gè)量，計(jì)算出s〃，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出S”的最大值及

其對(duì)應(yīng)的“值，即可得解.

【詳解】

q+%+%=3q+9d=99q=39

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,由＜解得

%+%+。8=3。］+12d=93d=—2

n(n-l)d/、)/、2

Sn=n%H——--丁^—=39"一"(〃-1)=-n~+40"=-(n-20)+400.

所以，當(dāng)〃=20時(shí)，S“取得最大值，

對(duì)任意〃eN*都有S“<S1成立，則S?為數(shù)列｛S.｝的最大值，因此，k=20.

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列前〃項(xiàng)和最值的計(jì)算，一般利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

14、證明見解析.

【解析】

47?Ar

試題分析：ARE,歹四點(diǎn)共圓，所以BDBE=BABF,又4ABCs^AEF,所以——=—,即

AEAF

ABAF=AEAC,得證.

試題解析：

A.連接AD,因?yàn)锳B為圓的直徑，所以

又EFLAB,則四點(diǎn)共圓，

所以BDBE=BA.BF.

又4ABCs^AEF,

ARAC

所以一=——,即AB?AF=AE?AC,

AEAF

：.BEBD-AEAC^BABF-ABAF^AB(BF-AF)^AB\

15、8

【解析】

根據(jù)偽代碼逆向運(yùn)算求得結(jié)果.

【詳解】

13

輸入y=13,若y=6x,則工=^〉2,不合題意

若y=x+5,則x=13—5=8,滿足題意

本題正確結(jié)果：8

【點(diǎn)睛】

本題考查算法中的〃'語(yǔ)言，屬于基礎(chǔ)題.

16、(-3,1)

【解析】

根據(jù)題意計(jì)算a2=Y+2xv3,解得答案.

【詳解】

4=(爐,2"=(1,X),故ab=x2+2x<3，解得—3<X<1.

故答案為：(—3,1).

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的數(shù)量積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

22

17、(1)—+^=1(2)證明見解析；定點(diǎn)坐標(biāo)為(LO)

43

【解析】

(1)由條件直接算出即可

y=kx+m,2

9

(2)由<冗2,2得(3+4k2)d+Sk/wc+4加2—12=0,石+9=——4k2X/2=,由可

.T+T--++

6y}6y?1111

得%=----彳，同理丁4=------9然后由一+—=—+—推出m=一女即可

%+2X2+2y1y2%%

【詳解】

c1

(1)由題有〃=2,e=—=—c=l,b2=a2-c2=3-

a2

22

橢圓方程為L(zhǎng)+^-=l.

43

y=kx+m,

(2)由/y2_得(3+4公)x2+8kmx+4m2-12=0

[43

A=64k2m2—4(3+4女2)(4加2—12)>0^>m2<4k2+3

—8km4m2-12_

%+M=-------------Tzz

123+4左2=—3—+4—%2r.乂6=KAE

.M-0=%-06,

玉+24+2玉+2

6y2

同理％=

x2+2

1111

又一+—=—+—

%%%”

.%+%_x,+2x2+2_x1y2+x2y1+2(y1+y2)

,?一二I二一二

6%6%6%%

，4(%+%)=%%+々％

:.4(kx{+m+kx2+加)=x1(kx2+rri)+x2(kxx+m)

.二(4人-加)(再+x2)-2kx[%+8m=0

—Skm(4m2-12)24(^+m)

???(4左—m)-2k+8m=0=>9二U

3+4423+4k23+442

m=-k,此時(shí)滿足m2<4k2+3

y=kx+m=k(x-V)

二直線MN恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)

【點(diǎn)睛】

涉及橢圓的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.

18、(1)60；25(2)見解析，2.1(3)可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.見解析

【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖可求出平均值〃和樣本方差a?；

(2)由題意知X服從二項(xiàng)分布6(3,0.7),分別求出P(X=0),P(X=1),P(X=2),尸(X=3),進(jìn)而可求

出分布列以及數(shù)學(xué)期望；

(3)由第一問可知y服從正態(tài)分布N(60,25),繼而可求出尸(50KF<70)的值，從而可判斷.

【詳解】

解：(1)

u=(47.5+72.5)x0.004x5+(52.5+67.5)x0.026x5+(57.5+62.5)x0.07x5=60

/=[(60—47.5『+(72.5—60)[x0.02+[(60—52.5)2+(67.5-60)2]x0.13

+[(60-57.51+@_60)2]x0.35?25

(2)由已知可得從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，體重在[55,65)的概率為0.7.

隨機(jī)拍取3人，相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，隨機(jī)交量X服從二項(xiàng)分布8(3,0.7),

則尸(X=0)=燒x0.7。x0.33=0.027,=1)=C'x0.7x0.32=0.189,

尸(X=2)=C；x0.72x0.3=0.441,P(X=3)=Cfx0.73x0.3°=0.343,

所以X的分布列為：

X0123

P0.0270.1890.4410.343

數(shù)學(xué)期望EX=3x0.7=2.1

(3)由題意知丫服從正態(tài)分布N(60,25),

則P(〃-2crWF<〃+2cr)=P(50<K<70)=0.96>0.9544,

所以可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.

【點(diǎn)睛】

本題考查了由頻率分布直方圖求進(jìn)行數(shù)據(jù)估計(jì)，考查了二項(xiàng)分布，考查了正態(tài)分布.注意，統(tǒng)計(jì)類問題，如果題目中沒

有特殊說(shuō)明，則求出數(shù)據(jù)的精度和題目中數(shù)據(jù)的小數(shù)后位數(shù)相同.

19、(1)[-3,1](2)證明見解析

【解析】

(1)ft-：|.x+l|+|x-l|>|(^+l)-(x-l)|=2,|x|>0,得,+l|+W+|x—lp2,貝！]|加+1歸2,由此可得答案;

法二：由題意帆+1歸(|xT|+k|+|x+l)疝n，令/(x)=|尤+l|+|x|+|x—l|，易知/(九)是偶函數(shù)，且九e[。,”)時(shí)

為增函數(shù)，由此可得出答案；

(2)由(1)知，M=l,即a+2/?+3c=l,結(jié)合“1”的代換，利用基本不等式即可證明結(jié)論.

【詳解】

解：(1)法一：++—(%—1)|=2(當(dāng)且僅當(dāng)—時(shí)取等號(hào))，

又忖20(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào))，

所以歸+[+國(guó)+|%—1住2(當(dāng)且僅當(dāng)％=0時(shí)取等號(hào))，

由題意得|加+1歸2,則—2Wm+lW2,解得—3<加<1,

故機(jī)的取值范圍是[-3』；

法二：因?yàn)閷?duì)于任意XCR恒有|X+1|+|H+|X—1月|加+1|成立，即帆+1區(qū)（卜―l|+W+k+l%n，

令“另=歸+1|+國(guó)+歸—1|,易知/（九）是偶函數(shù)，且xe[o,a）時(shí)為增函數(shù)，

所以“X）疝n=/（O）=2,Bp|m+l|<2,則一2Wm+lW2,解得—3WmWl,

故機(jī)的取值范圍是[—3』；

（2）由（1）知，M=l,即a+2/?+3c=l,

+^—=（a+2Z?+3c）-|+^—|

2a+bb+2c\2a+bb+2c）

（2〃+Z?）+3（Z?+2c）（11）

2（2〃+/?/?+2cJ

'3（Z?+2c）2a+b

4+-^-----L+------

22a+bZ?+2c

當(dāng)4+2百］=2+6,

11

故不等式-------------1-------------N2+G成立.

2a+bb+2c

【點(diǎn)睛】

本題主要考查絕對(duì)值不等式的恒成立問題，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

22

20、（1）—+^=1；（2）詳見解析.

43

【解析】

試題分析：（1）利用題中條件先得出。的值，然后利用條件忸Cj=2|AB|,5AA3結(jié)合橢圓的對(duì)稱性得到點(diǎn)5的坐

標(biāo)，然后將點(diǎn)3的坐標(biāo)代入橢圓方程求出b的值，從而確定橢圓的方程；（2）將條件NPBC=

NQ54得到直線BP與BQ的斜率直線的關(guān)系（互為相反數(shù)），然后設(shè)直線族的方程為y-：=1）,將此直線