第1章 二次函數(shù) 浙教版數(shù)學(xué)九年級上冊綜合素質(zhì)評價(jià)(含答案)

第一章二次函數(shù)綜合素質(zhì)評價(jià)一、選擇題(每題3分，共30分)1．下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是()A．y＝3xB．y＝x2＋(2－x)xC．y＝(x－1)2D．y＝ax2＋bx＋c2．將拋物線y＝eq\f(1,2)x2向下平移3個(gè)單位，則平移后拋物線的表達(dá)式為()A．y＝eq\f(1,2)x2－3B．y＝eq\f(1,2)x2＋3C．y＝－eq\f(1,2)x2－3D．y＝－eq\f(1,2)x2＋33．下列關(guān)于拋物線y＝－(x＋1)2＋4的判斷中，錯(cuò)誤的是()A．形狀與拋物線y＝－x2相同B．對稱軸是直線x＝－1C．當(dāng)x＞－2時(shí)，y隨x的增大而減小D．當(dāng)－3＜x＜1時(shí)，y＞04.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分圖象如圖所示，它與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(－3，0)，當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是()A．x＜－3B．x＞1C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞15．地面上一個(gè)小球被推開后筆直滑行，滑行的距離s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖中的部分拋物線所示(其中P是該拋物線的頂點(diǎn))，則下列說法正確的是()A．小球滑行12秒停止B．小球滑行6秒停止C．小球滑行6秒回到起點(diǎn)D．小球滑行12秒回到起點(diǎn)6．如圖，拋物線y＝ax2＋c經(jīng)過正方形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在y軸上，則ac的值為()A．－1B．－2C．－3D．－47．同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝(x－a)2的圖象與一次函數(shù)y＝a＋ax的圖象可能是()8．已知二次函數(shù)y＝ax2－2(b－1)x＋1(a≠0)，當(dāng)－2≤x≤－1時(shí)，y隨x的增大而增大，則()A．當(dāng)a＞0時(shí)，ab的最大值為eq\f(1,4)B．當(dāng)a＞0時(shí)，ab的最大值為eq\f(1,8)C．當(dāng)a＜0時(shí)，ab的最大值為eq\f(1,4)D．當(dāng)a＜0時(shí)，ab的最大值為eq\f(1,8)9．如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象，對稱軸是直線x＝1，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．b2＞4acB．9a＋3b＋c＞0C．3abc＜0D．3a＋c＜010．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)P(x1，y1)，當(dāng)點(diǎn)Q(x2，y2)滿足2(x1＋x2)＝y(tǒng)1＋y2時(shí)，稱點(diǎn)Q(x2，y2)是點(diǎn)P(x1，y1)的“倍增點(diǎn)”．已知點(diǎn)P1(1，0)，有下列結(jié)論：①點(diǎn)Q1(3，8)，Q2(－2，－2)都是點(diǎn)P1的“倍增點(diǎn)”；②若直線y＝x＋2上的點(diǎn)A是點(diǎn)P1的“倍增點(diǎn)”，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，4)；③拋物線y＝x2－2x－3上存在兩個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)P1的“倍增點(diǎn)”；④若點(diǎn)B是點(diǎn)P1的“倍增點(diǎn)”，則P1B的最小值是eq\f(4\r(5),5).其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4二、填空題(每題4分，共24分)11．拋物線y＝(x－2)2－8的頂點(diǎn)坐標(biāo)為________．12．如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(－1，－2)，對稱軸為直線x＝1，則9a＋3b＋c的值是________．13.已知點(diǎn)(－1，y1)，(－2，y2)，(－4，y3)在二次函數(shù)y＝－2x2－8x＋c的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是______________．14．如圖，直線y＝kx＋h與拋物線y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，m)，B(5，n)兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式ax2＋(b－k)x＋c＞h的解集是____________．15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一個(gè)圖形上的點(diǎn)都在一邊平行于x軸的矩形內(nèi)部(包括邊界)，這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖是函數(shù)y＝(x－2)2(0≤x≤3)的圖象(拋物線中的實(shí)線部分)，它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形OABC.若二次函數(shù)y＝eq\f(1,4)x2＋bx＋c(0≤x≤3)圖象的關(guān)聯(lián)矩形恰好也是矩形OABC，則b＝________．16．某品牌水果凍的高為3cm，底面圓的直徑為4cm，兩個(gè)水果凍倒裝在一個(gè)長方體盒子內(nèi)，如圖為橫斷面示意圖，水果凍的截面可以近似地看成兩條拋物線．以左側(cè)拋物線的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．(1)以O(shè)為頂點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式是____________________；(2)制作該長方體盒子所需紙張面積的最小值是____________cm2.(不計(jì)重疊部分)三、解答題(17～19題每題6分，20，21題每題8分，22，23題每題10分，24題12分，共66分)17．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝－x2＋bx＋1經(jīng)過點(diǎn)(2，3)．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)將該拋物線向下平移n個(gè)單位，使得平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)(0，0)，求n的值．18．如圖，拋物線y1＝－2x2＋2與直線y2＝2x＋2交于A，B兩點(diǎn)．(1)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若y1>y2，請直接寫出x的取值范圍．19．已知拋物線y＝ax2＋6x＋5a經(jīng)過點(diǎn)(2，3)．(1)求拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)直線l與拋物線相交于點(diǎn)A(n，y1)，B(n＋3，y2)，若點(diǎn)P在拋物線上，且在直線l上方(包含點(diǎn)A，B)，點(diǎn)P縱坐標(biāo)的最大值為3，求n的值．20．某景區(qū)旅游商店以20元/kg的價(jià)格采購一款旅游食品加工后出售，銷售價(jià)格不低于22元/kg，不高于45元/kg，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y(kg)與銷售價(jià)格x(元/kg)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)銷售價(jià)格定為多少時(shí)，該商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤最大？最大銷售利潤是多少？【銷售利潤＝(銷售價(jià)格－采購價(jià)格)×銷售量】21．設(shè)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋1(a≠0，b是實(shí)數(shù))．已知函數(shù)值y和自變量x的部分對應(yīng)取值如下表所示：x…－10123…y…m1n1p…若m＝4，求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)寫出一個(gè)符合條件的x的取值范圍，使得y隨x的增大而減??；(3)若在m，n，p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，求a的取值范圍．22．嘉嘉和淇淇在玩沙包游戲．某同學(xué)借此情境編了一道數(shù)學(xué)題，請解答這道題．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)單位長度代表1m長．嘉嘉在點(diǎn)A(6，1)處將沙包(看成點(diǎn))拋出，其運(yùn)動路線為拋物線C1：y＝a(x－3)2＋2的一部分，淇淇恰好在點(diǎn)B(0，c)處接住，然后跳起將沙包回傳，其運(yùn)動路線為拋物線C2：y＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(n,8)x＋c＋1的一部分．(1)寫出拋物線C1的最高點(diǎn)坐標(biāo)，并求a，c的值；(2)若嘉嘉在x軸上方1m的高度上，且到點(diǎn)A水平距離不超過1m的范圍內(nèi)可以接到沙包，求符合條件的n的整數(shù)值．23．如圖，拋物線過點(diǎn)O(0，0)，E(10，0)，矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè))，點(diǎn)C，D在拋物線上，設(shè)B(t，0)，當(dāng)t＝2時(shí)，BC＝4.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的周長有最大值？最大值是多少？(3)保持t＝2時(shí)的矩形ABCD不動，向右平移拋物線，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線GH平分矩形ABCD的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．24．已知點(diǎn)P(2，－3)在拋物線L：y＝a(x－1)2＋k(a，k均為常數(shù)，且a≠0)上，拋物線L交y軸于點(diǎn)C，連結(jié)CP.(1)用含a的式子表示k，并求拋物線L的對稱軸；(2)當(dāng)拋物線L經(jīng)過點(diǎn)(4，－7)時(shí)，求此時(shí)拋物線L的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．如圖，當(dāng)a<0時(shí)，若拋物線L在點(diǎn)C，P之間的部分與線段CP所圍成的區(qū)域內(nèi)(含邊界)恰有5個(gè)整點(diǎn)，求a的取值范圍．

答案一、1．C2．A3．C4．D5．B6．B7．D8．B【點(diǎn)撥】當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝－eq\f(－2(b－1),2a)＝eq\f(b－1,a).∵當(dāng)－2≤x≤－1時(shí)，y隨x的增大而增大，∴eq\f(b－1,a)≤－2.∴b－1≤－2a.∴b≤1－2a.∴ab≤－2a2＋a＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,8)，即ab的最大值為eq\f(1,8)，故A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝－eq\f(－2(b－1),2a)＝eq\f(b－1,a).∵當(dāng)－2≤x≤－1時(shí)，y隨x的增大而增大，∴eq\f(b－1,a)≥－1.∴b－1≤－a.∴b≤－a＋1.∴ab≥－a2＋a＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)，易知－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)<0，故C，D錯(cuò)誤．9．B【點(diǎn)撥】∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，∴b2－4ac＞0.∴b2＞4ac，故A正確；由圖象可知當(dāng)x＝3時(shí)，y＜0,∴9a＋3b＋c＜0，故B錯(cuò)誤；∵拋物線開口向下，拋物線與y軸交于正半軸，∴a＜0，c＞0.∵拋物線的對稱軸為直線x＝－eq\f(b,2a)＝1，即b＝－2a，∴b＞0.∴3abc＜0，故C正確；由圖象可知當(dāng)x＝－1時(shí)，y＜0，∴a－b＋c＜0.∵b＝－2a，∴a－b＋c＝3a＋c＜0，故D正確．10．C【點(diǎn)撥】①∵P1(1，0)，Q1(3，8)，∴2(x1＋x2)＝2×(1＋3)＝8，y1＋y2＝0＋8＝8.∴2(x1＋x2)＝y(tǒng)1＋y2，則點(diǎn)Q1(3，8)是點(diǎn)P1的“倍增點(diǎn)”；∵P1(1，0)，Q2(－2，－2)，∴2(x1＋x2)＝2×(1－2)＝－2，y1＋y2＝0－2＝－2.∴2(x1＋x2)＝y(tǒng)1＋y2，則點(diǎn)Q2(－2，－2)是點(diǎn)P1的“倍增點(diǎn)”，故①正確；②設(shè)點(diǎn)A(a，a＋2)．∵點(diǎn)A是點(diǎn)P1的“倍增點(diǎn)”，∴2×(1＋a)＝0＋a＋2，解得a＝0.∴點(diǎn)A(0，2)，故②不正確；③設(shè)拋物線上的點(diǎn)D(t，t2－2t－3)是點(diǎn)P1的“倍增點(diǎn)”，∴2(1＋t)＝t2－2t－3，整理得t2－4t－5＝0.∵(－4)2－4×1×(－5)＝36>0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即拋物線y＝x2－2x－3上存在兩個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)P1的“倍增點(diǎn)”，故③正確；④設(shè)點(diǎn)B(m，n)．∵點(diǎn)B是點(diǎn)P1的“倍增點(diǎn)”，∴2(m＋1)＝n.∵B(m，n)，P1(1，0)，∴P1B2＝(m－1)2＋n2＝(m－1)2＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2(m＋1)))eq\s\up12(2)＝5m2＋6m＋5＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(3,5)))eq\s\up12(2)＋eq\f(16,5).∵5>0，∴P1B2的最小值為eq\f(16,5).∴P1B的最小值是eq\r(\f(16,5))＝eq\f(4\r(5),5)，故④正確．綜上，正確的結(jié)論有①③④，共3個(gè)．二、11．(2，－8)12．－213．y3<y1<y214．－1<x<515．eq\f(7,12)或－eq\f(25,12)【點(diǎn)撥】由y＝(x－2)2(0≤x≤3)知，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，∴C(0，4)．易知A(3，0)，∵四邊形ABCO是矩形，∴B(3，4)．①當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)O，B時(shí)，將點(diǎn)O(0，0)，B(3，4)的坐標(biāo)分別代入y＝eq\f(1,4)x2＋bx＋c(0≤x≤3)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝0，,\f(1,4)×9＋3b＋c＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\f(7,12)，,c＝0；))②當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，C時(shí)，將點(diǎn)A(3，0),C(0，4)的坐標(biāo)分別代入y＝eq\f(1,4)x2＋bx＋c(0≤x≤3)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝4，,\f(1,4)×9＋3b＋c＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－\f(25,12)，,c＝4.))綜上所述，b＝eq\f(7,12)或b＝－eq\f(25,12).16．(1)y＝eq\f(3,4)x2(2)(28eq\r(2)＋80)【點(diǎn)撥】(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式是y＝ax2(a≠0)．∵水果凍的高為3cm，底面圓的直徑為4cm，∴E(2，3)．把E(2，3)的坐標(biāo)代入y＝ax2(a≠0)，得3＝4a，解得a＝eq\f(3,4)，∴拋物線的表達(dá)式是y＝eq\f(3,4)x2.(2)如圖①，設(shè)兩拋物線的交點(diǎn)為K，過點(diǎn)K作KH⊥OC于點(diǎn)H，過右側(cè)拋物線的頂點(diǎn)G作GM⊥x軸于點(diǎn)M.根據(jù)題意可設(shè)Keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(3,2))).則有eq\f(3,2)＝eq\f(3,4)x2，解得x1＝eq\r(2)，x2＝－eq\r(2)(舍去)，∴OH＝HM＝eq\r(2)cm.∴BC＝BO＋OH＋HM＋MC＝2＋2eq\r(2)＋2＝(4＋2eq\r(2))(cm)．∴S矩形ABCD＝AB·BC＝3×(4＋2eq\r(2))＝(12＋6eq\r(2))(cm2)．如圖②，S矩形A′B′C′D′＝A′B′·B′C′＝(4＋2eq\r(2))×4＝(16＋8eq\r(2))(cm2)．∴2S矩形ABCD＋2S矩形A′B′C′D′＋4×3×2＝(28eq\r(2)＋80)(cm2)．∴制作該長方體盒子所需紙張面積的最小值是(28eq\r(2)＋80)cm2.三、17．解：(1)把點(diǎn)(2，3)的坐標(biāo)代入y＝－x2＋bx＋1，得－4＋2b＋1＝3，解得b＝3，∴該拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋3x＋1.(2)將拋物線向下平移n個(gè)單位后得y＝－x2＋3x＋1－n.把點(diǎn)(0，0)的坐標(biāo)代入y＝－x2＋3x＋1－n.得1－n＝0，解得n＝1.18．解：(1)根據(jù)題意，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2x2＋2，,y＝2x＋2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0.))∴A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－1，0)，(0，2)．(2)當(dāng)y1>y2時(shí)，x的取值范圍是－1＜x＜0.19．解：(1)將點(diǎn)(2，3)的坐標(biāo)代入y＝ax2＋6x＋5a，得4a＋12＋5a＝3，解得a＝－1，∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋6x－5＝－(x－3)2＋4.∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，4)．(2)當(dāng)y＝3時(shí)，－(x－3)2＋4＝3，解得x1＝2，x2＝4.∵ymax＝3，∴n＋3＝2或n＝4.∴n＝－1或n＝4.20．解：(1)當(dāng)22≤x≤30時(shí)，設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b(k≠0)．將(22，48)，(30，40)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(22k＋b＝48，,30k＋b＝40，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝70，))∴y＝－x＋70(22≤x≤30)；當(dāng)30＜x≤45時(shí)，設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝k1x＋b1(k1≠0)．將(30，40)，(45，10)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30k1＋b1＝40，,45k1＋b1＝10，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－2，,b1＝100，))∴y＝－2x＋100(30＜x≤45)．綜上，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋70(22≤x≤30)，,－2x＋100(30<x≤45).))(2)設(shè)銷售利潤為w元．當(dāng)22≤x≤30時(shí)，w＝(x－20)(－x＋70)＝－x2＋90x－1400＝－(x－45)2＋625.∴當(dāng)22≤x≤30時(shí)，w隨著x的增大而增大．∴當(dāng)x＝30時(shí)，w取得最大值400；當(dāng)30＜x≤45時(shí)，w＝(x－20)(－2x＋100)＝－2x2＋140x－2000＝－2(x－35)2＋450，∴當(dāng)x＝35時(shí)，w取得最大值450.∵450＞400，∴當(dāng)銷售價(jià)格定為35元/kg時(shí)，銷售利潤最大，最大銷售利潤為450元．21．解：(1)把(－1，4)，(2，1)代入y＝ax2＋bx＋1(a≠0)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋1＝4，,4a＋2b＋1＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，))∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2－2x＋1.(2)∵(0，1)，(2，1)在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋1的圖象上，∴拋物線的對稱軸為直線x＝eq\f(0＋2,2)＝1.∴當(dāng)a＞0，x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)a＜0，x＞1時(shí)，y隨x的增大而減?。?3)把(2，1)代入y＝ax2＋bx＋1，得1＝4a＋2b＋1，∴b＝－2a.∴y＝ax2＋bx＋1＝ax2－2ax＋1.把(－1，m)代入y＝ax2－2ax＋1，得m＝a＋2a＋1＝3a＋1，把(1，n)代入y＝ax2－2ax＋1，得n＝a－2a＋1＝－a＋1，把(3，p)代入y＝ax2－2ax＋1，得p＝9a－6a＋1＝3a＋1，∴m＝p.∵m，n，p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a＋1>0，,3a＋1≤0，))解得a≤－eq\f(1,3).22．解：(1)∵拋物線C1：y＝a(x－3)2＋2，∴拋物線C1的最高點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)．∵點(diǎn)A(6，1)在拋物線C1：y＝a(x－3)2＋2上，∴1＝a(6－3)2＋2，解得a＝－eq\f(1,9).∴拋物線C1的表達(dá)式為y＝－eq\f(1,9)(x－3)2＋2.∵點(diǎn)B(0，c)在拋物線C1上，∴c＝－eq\f(1,9)(0－3)2＋2＝1.(2)設(shè)嘉嘉在點(diǎn)D處接到沙包，易知點(diǎn)D的坐標(biāo)范圍為(5，1)～(7，1)．當(dāng)在點(diǎn)(5，1)處接到沙包時(shí)，有1＝－eq\f(1,8)×52＋eq\f(n,8)×5＋1＋1，解得n＝eq\f(17,5)；當(dāng)在點(diǎn)(7，1)處接到沙包時(shí)，有1＝－eq\f(1,8)×72＋eq\f(n,8)×7＋1＋1，解得n＝eq\f(41,7)，∴eq\f(17,5)≤n≤eq\f(41,7).∴符合條件的n的整數(shù)值為4和5.23．解：(1)根據(jù)題意設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax(x－10)(a≠0)．∵當(dāng)t＝2時(shí)，BC＝4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，－4)．將點(diǎn)C(2，－4)的坐標(biāo)代入表達(dá)式，得2a(2－10)＝－4，解得a＝eq\f(1,4).∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝eq\f(1,4)x(x－10)＝eq\f(1,4)x2－eq\f(5,2)x.(2)由拋物線的對稱性得AE＝OB＝t，∴AB＝10－2t.當(dāng)x＝t