四川省成都市2024屆高三聯(lián)考數(shù)學(xué)理科試題（二）（含答案解析）

四川省成都市成實(shí)外教育集團(tuán)2024屆高三聯(lián)考數(shù)學(xué)理科試

題（二）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合M={x|lnx>0},N={x[-l<x<5},則McN=（）

A.{x|x>0}B.{x[O<x<5}C.{x|l<x<5}D.{x\x>5）

2.已知復(fù)數(shù)2=。+仇（0,人€2』是虛數(shù)單位，若z-22=2+3后，則復(fù)數(shù)z的虛部為（

A.y/3B.2A/3C.V3iD.2?

3.命題“V尤eN*,2*4wo”的否定是（）

A.王。wN*,2而一x；20B.土0eN*,2加一x：>0

C.VxeN*,2—2<oD.VxeN*,2,-尤2Vo

4.高三某班學(xué)生每天完成作業(yè)所需的時(shí)間的頻率分布直方圖如圖，為響應(yīng)國(guó)家減負(fù)政

策，若每天作業(yè)布置量在此基礎(chǔ)上減少0.5小時(shí)，則減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的說(shuō)法中正

確的是（）

時(shí)間（小時(shí)）

A.減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差減少0.5

B.減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的方差減少0.25

C.減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間在4小時(shí)以上的概率大于10%

D.減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的中位數(shù)在2至2.5之間

27c

5.在，ABC中，BC=3,AC=5,C=—,則AB=（）

A.屈B.751C.745D.7

6.現(xiàn)將5個(gè)代表團(tuán)人員安排至甲、乙、丙三家賓館入住，要求同一個(gè)代表團(tuán)人員住同一

家賓館，且每家賓館至少有一個(gè)代表團(tuán)入住.若這5個(gè)代表團(tuán)中A,8兩個(gè)代表團(tuán)已經(jīng)入

住甲賓館且不再安排其他代表團(tuán)入住甲賓館，則不同的入住方案種數(shù)為()

A.6B.12C.16D.18

7.已知直線/：依+y-2"l=0與圓0：/+>2=8交于A,B兩點(diǎn)，則弦A3最短時(shí)，k=

()

A.2B.1C.—D.—2

2

8.已知函數(shù)外力=2$皿5+0)卜>0,|夕臼的部分圖象如圖所示，其中《今,0

81一支,-2),現(xiàn)有如下說(shuō)法：

②將函數(shù)/'(%)的圖象向右平移:個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于y軸對(duì)稱；

③當(dāng)亳時(shí)，-"⑹，

則正確命題的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

9.若a=ln26,6=41n2Jn3,c=(l+ln3)2,則。，"c的大小關(guān)系是()

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<a<c

10.已知函數(shù)〃x）=ln（x+J?TT）-，p且/（玉）+/優(yōu)）+2<0,則（）

A.玉+工2<。B.玉+工2>0C.芭+々>一2D.x1+x2<-2

22

11.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，片，瓦為橢圓C:土+二=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，

一43

3

cos/月尸鳥(niǎo)=1，則P%P^=()

12.函數(shù)〃x)=e￡+asinx,xe(-兀,+<?),下列說(shuō)法不正確的是()

A.當(dāng)a=-l時(shí)，/(x)>0恒成立

B.當(dāng)。=1時(shí)，/(x)存在唯一極小值點(diǎn)%

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

C.對(duì)任意。>o,/(x)在xe(-兀,+oo)上均存在零點(diǎn)

D.存在a<O,/(x)在xe(-兀,+<?)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)

二、填空題

x-yV0

13.已知x,y滿足<2x+”0,則目標(biāo)函數(shù)2=-2彳+了+2024的最大值是.

x+y-l<0

14.已知向量d=(l,2),/?=(%,-1),若aJ_(a-2b),則。力=.

15.如圖，已知球的表面積為16兀，若將該球放入一個(gè)圓錐內(nèi)部，使球與圓錐底面和側(cè)

面都相切，則圓錐的體積的最小值為.

22

16.已知雙曲線［-*=1(。>08>0)的左、右焦點(diǎn)分別為斗鳥(niǎo)，過(guò)耳向圓作

ab

一條切線,與漸近線分別交于點(diǎn)4,8,當(dāng)|鉆|=耳時(shí)，雙曲線的離心率是.

三、解答題

17.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,="；+1).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為；

(2)記b?=----,求數(shù)列｛2｝的前n項(xiàng)和.

anan+l

18.如圖，在四棱錐尸—ABCD中，底面ABCD為矩形，上4，面ABCD,PA=AD=>/2AB,

點(diǎn)M是PD的中點(diǎn).

BC

(1)證明：AMLPC-,

(2)設(shè)AC的中點(diǎn)為。，點(diǎn)N在棱PC上(異于點(diǎn)P,C),且0N=Q4,求直線AN與平

面ACM所成角的余弦值.

19.某校體育節(jié)組織定點(diǎn)投籃比賽，每位參賽選手共有3次投籃機(jī)會(huì).統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示,

每位選手投籃投進(jìn)與否滿足：若第七次投進(jìn)的概率為MO<P<D,當(dāng)?shù)谧蟠瓮哆M(jìn)時(shí)，第

%+1次也投進(jìn)的概率保持?不變，當(dāng)?shù)冢ゴ螞](méi)能投進(jìn)時(shí)，第左+1次能投進(jìn)的概率為

(1)若選手甲第1次投進(jìn)的概率為:，求選手甲至少投進(jìn)一次的概率；

(2)設(shè)選手乙第1次投進(jìn)的概率為g,每投進(jìn)1球得1分，投不進(jìn)得0分，求選手得分X

的分布列與數(shù)學(xué)期望.

22

20.拋物線G:V=2px(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于橢圓C2:x+16y=1的短軸長(zhǎng).

⑴求拋物線的方程；

⑵設(shè)是拋物線C|上位于第一象限的一點(diǎn)，過(guò)。作氏(尤一2)2+y=/(其中

0<r<l)的兩條切線，分別交拋物線C1于點(diǎn)M,N,過(guò)原點(diǎn)作直線MN的垂線，垂足為

Q,證明點(diǎn)。在定圓上，并求定圓方程

2x1

21.已知函數(shù)〃尤)=”「的圖象在(L〃l))處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2e?).

⑴求。的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若關(guān)于x的不等式幾廿一%)-inxe"，+Inx<0在區(qū)間(1,+?)上恒成立，求正實(shí)數(shù)％的

取值范圍.

x=2—t

22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為一r-。為參數(shù))，曲線C：

Y3t

—+/=1,以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

2

(1)求直線/的極坐標(biāo)方程和曲線C的參數(shù)方程；

⑵求曲線C上一點(diǎn)N到直線/距離的最小值，并求出此時(shí)N點(diǎn)的坐標(biāo).

23.已知函數(shù)1/(x)=]2x-3|,g(x)=3-|;v-2|

⑴求不等式/(%)<g(x)的解集N；

⑵設(shè)N的最小數(shù)為"，正數(shù)6滿足。+6=當(dāng)，求3+d的最小值.

2ab

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

1.c

【分析】

首先解對(duì)數(shù)不等式求出集合加,再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.

【詳解】由lnx>0,解得x>l,所以“={x|lnx>o}={x|尤>1},

y.N^{x\-l<x<5},所以McN={x[l<x<5}.

故選：C

2.A

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式加減運(yùn)算和共軌復(fù)數(shù)的概念得到方程組，解出即可.

【詳解】Z-2彳=4+歷一2（a—?dú)v）=-°+3歷=2+3后，

（—a=2a=—2

則3b=3jr解得b-jr則其虛部為君.

故選：A.

3.B

【分析】

根據(jù)全稱命題的否定即可得到答案.

【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為存在命題，任意變存在，范圍不變，結(jié)論相反，

則命題“VxeN*,2,-/<°，，的否定是“玉°?N*,2』-X；>0"，

故選：B.

4.D

【分析】

根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)判斷A、B,由頻率分布直方圖分析減負(fù)前完成作業(yè)的時(shí)間在4.5小

時(shí)以上的概率，即可判斷C,分析減負(fù)前完成作業(yè)的時(shí)間的中位數(shù)位于[2.5,3）之間，即可判

斷D.

【詳解】

依題意若每天作業(yè)布置量在此基礎(chǔ)上減少0.5小時(shí)，

則平均數(shù)減小0.5小時(shí)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差均不變，故A、B錯(cuò)誤；

答案第1頁(yè)，共17頁(yè)

減負(fù)前完成作業(yè)的時(shí)間在4.5小時(shí)以上的概率為Qlx0.5=0.05<10%,

所以減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間在4小時(shí)以上的概率為0.1x0.5=0.05<10%,故C錯(cuò)誤；

由頻率分布直方圖可得（0.1+0.3+0.5）x0.5=0.45<0.5,（0.1+0.3+0.5+0.4）x0.5=0.65>0.5,

所以減負(fù)前完成作業(yè)的時(shí)間的中位數(shù)位于［2.5,3）之間，

所以減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的中位數(shù)在2至2.5之間，故D正確.

故選：D

5.D

【分析】在ABC中，直接利用余弦定理求解

【詳解】在ABC中，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2-2ACBCCOSC

=52+32-2x5x3xj^-1^=49,

所以皿=7,

故選：D.

6.A

【分析】

由題意可知只要將余下的3個(gè)代表團(tuán)安排到乙、丙兩家賓館，且每個(gè)賓館至少有一個(gè)代表團(tuán)

即可

【詳解】甲賓館不再安排代表團(tuán)入住，

則乙、丙兩家賓館需安排余下的3個(gè)代表團(tuán)入住，

所以一個(gè)賓館住1個(gè)代表團(tuán)，另一個(gè)賓館住2個(gè)代表團(tuán).

共有C；A；=6種方法，

故選：A

7.A

【分析】

求出直線所過(guò)定點(diǎn)。（2,1）,當(dāng)。43時(shí)，最小，根據(jù)直線垂直與斜率的關(guān)系即可得

到答案.

【詳解】Ax+y-2左-1=0變形為左（了一2）+,一1=0,故直線過(guò)定點(diǎn)。（2,1）,

因?yàn)?2+F=5<8,則該定點(diǎn)。（2,1）在圓內(nèi)，

答案第2頁(yè)，共17頁(yè)

而才+了2=8的圓心為0(0,0),半徑為20，設(shè)圓心到該直線的距離為d,

因?yàn)镮A.=24_陵=2加-屋,

則當(dāng)d最大時(shí)，|AB|取得最小值，而當(dāng)OQLAB時(shí)，d最大,即|AB|取得最小值,

因?yàn)椋?2=：，則-上=-2,k=2.

故選：A

8.B

【分析】通過(guò)圖象求出/>(X)的解析式，再利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.

【詳解】由題意可知:T=三一J,r=g=p。=4,

/1一4]=2sin]_e+p]=.2,sin[-e+e)=-1,-^+<p=-^+2lat,keZ,

cp=-^+2kn,,.[同<'|,：.(p=S/./(x)=2sin.

①因止匕，當(dāng)一5+2EV4X-4V]+2M,即一(+與+與小eZ時(shí)/(無(wú))單調(diào)遞增,

當(dāng)左=1時(shí)，野kg,與y,7l有交集，故錯(cuò)誤；

②/(X)的圖象向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度可得，

y=2sin4[-3-]=2sin=-2cos(4x),關(guān)于了軸對(duì)稱，故正確；

③當(dāng)時(shí)，/(x)e(-V3,2],故錯(cuò)誤.

綜上，只有命題②正確，

故選：B.

9.D

【分析】

做差法比較6的大小，利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)比較4。的大小.

【詳解】a="6=(in2+In3)2,c=(lne+ln3)2

因?yàn)镮n2+ln3vlne+ln3,LU(in2+In3)2<(lne+ln3)2,即〃<c,

a=In?6=(in2+In3/，Z?=4In2.In3,

答案第3頁(yè)，共17頁(yè)

貝Ua—6=(ln2+ln3)2—41n21n3=(ln2—ln3)2>0,即6<a,

所以6<a<c.

故選：D.

10.A

【分析】

先判斷函數(shù)單調(diào)性和奇偶性，然后結(jié)合單調(diào)性及奇偶性求解不等式.

【詳解】

2

由已知/(-%)+/(%)=ln(Jl+%2-x——^_x+In(Jl+Y+x)—

1+2”

12+22「G=2

=In+X2+川-

因?yàn)?(玉)+/(%2)+2<。，令g(x)=/(x)+l,則定義域?yàn)镽,

貝I］g(-x)+g(x)=〃—x)+/(x)+2=0,故g(x)為奇函數(shù),

又了二也卜+^?工卜廠一「］在［0,+動(dòng)上單調(diào)遞增，

則g(x)在［0,+“)上單調(diào)遞增，又其為奇函數(shù)，

故g(x)在R上單調(diào)遞增，

所以g(%)+g(%)<。，即g(%)<-g(%)=g(f)，

所以f<一工2，即玉十%2<0.

故選：A.

11.A

【分析】

由橢圓的定義可得忸制+|尸用=4,再結(jié)合余弦定理可得忸用忸閭=?，然后由向量數(shù)量積定

義得解.

【詳解】由橢圓的定義可得1M|+|尸篇|=4,

在△MB中,由余弦定理|月球=|「周，+|尸球-2|產(chǎn)制％|cosN4%,

又比=2,cos/月尸乙=|可得：

答案第4頁(yè)，共17頁(yè)

附「+用「一?阿*=4,即(附|+[*)2=曰*|*+4,

即引尸￡||產(chǎn)用+4=42=16,即忸葉|尸用=，，

則尸￡?尸乙=|尸用|叫cos4Pg=^x|=^,

故選：A.

12.C

【分析】

對(duì)于A：代入。=-1,直接函數(shù)性質(zhì)判斷；對(duì)于B：代入，=1,求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性來(lái)判斷;

對(duì)于CD：求出“X)在xw(-7t,+8)上的單調(diào)性和極值，再來(lái)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A：當(dāng)。=一1時(shí)，〃x)=e￡-sin%xw(-7t,+8),

當(dāng)xe(-7i,0)時(shí)，e'>0,sinx<0,貝1Je*-sinx>0,

當(dāng)xe[0,+co),ex>l,sinxe[-l,l],則e*-sin無(wú)>0,不能取等號(hào),

所以/(x)>0恒成立，A正確;

對(duì)于B：當(dāng)a=l時(shí)，f^x)=e'+sinx,x&(-TI,+OO),則/''(%)=e"+cosx

令/z(x)=e*+cosx,則〃(x)=e*-sinx,由選項(xiàng)A得，(x)>0恒成立,

則/'⑺在(一兀,+e)上單調(diào)遞增，又尸(一兀)=0+cos(一兀乂0J'(0)=e°+cos0)0,

故存在毛e(-兀,0)使得/(%)=0,

所以f(x)在(-兀,5)上單調(diào)遞減，在(1,+力)上單調(diào)遞增，故存在唯一極小值點(diǎn)馬，B

正確;

對(duì)于CD：令/(x)=e*+asinx,當(dāng)尤=fat，笈？Z,顯然不是零點(diǎn),

當(dāng)尤左2—1時(shí)，令/(x)=0,得°=--—,

sinx

xx

Py/2ecosx+—

則令爪X)一二’則『X)ex(cosx-sinx)I4

sin2xsin2x

當(dāng)兀+2左兀471+2?],%￡Z時(shí)，F(xiàn)r(x)<0,尸(x)單調(diào)遞減,

^xe(-^7i+2kTi,2kRj,k￡N時(shí)，F(xiàn)r(x)>0,尸⑴單調(diào)遞增

答案第5頁(yè)，共17頁(yè)

3%,3%

I-1-2x71/-

此時(shí)有極小值F■加+2E=V2e4>V2e4>0,

當(dāng)兀+2左兀wN時(shí)，F(xiàn)z(x)>0,/(%)單調(diào)遞增,

當(dāng)％￡|；兀+左兀

2kJi,71+2J,上eN時(shí)，F(xiàn)(x)<0,尸(x)單調(diào)遞減,

f--+2kKL-

此時(shí)有極大值兀+2E=-V2e4<-V2e4<0,

故選項(xiàng)C中任意。>0,“力均有零點(diǎn)，錯(cuò)誤;

選項(xiàng)D中，存在a<0,7(x)在xe(-7t,+8)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)〃=_岳：，

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：一：對(duì)于不等式恒成立問(wèn)題可以構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題來(lái)解決;

二：對(duì)于零點(diǎn)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題來(lái)解決.

13.2028

【分析】

由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

x-j<0

【詳解】因?yàn)閤,y滿足2x+yN0,作出可行域如下所示:

x+y-140

由圖可知，當(dāng)直線2=-2》+、+2024過(guò)點(diǎn)八時(shí)，z有最大值,

且小=-2x(-1)+2+2024=2028?

故答案為：2028.

14.-/2.5

2

【分析】

答案第6頁(yè)，共17頁(yè)

首先求出Q-2。的坐標(biāo)，再由向量垂直得到。?(〃-2。)=0,即可求出X,再根據(jù)數(shù)量積的坐

標(biāo)表示計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)椋?。,2),8=(%,—1),

所以0-%=(1,2)-2(%,-1)=。一2%,4),

因?yàn)镼_L(〃一2力)，所以Q,(a-2〃)=1一2x+2x4=0,解得％,

所以Q,A=%-2=*.

2

故答案為：y

1廠64.64萬(wàn)

15.—71/-----

33

【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為可廠>2),圓錐的高為。，則母線長(zhǎng)為護(hù)壽，利用圓錐的軸

截面得/!=■，求出圓錐的體積y=d兀.(,-4+4),令/=,一4,再利用基本不等式或

廠-43戶-4

利用導(dǎo)數(shù)求最值可得答案.

【詳解】依題意，得球的半徑R=2,設(shè)圓錐的底面半徑為「(廠>2),圓錐的高為心

則母線長(zhǎng)為爐/，如圖是圓錐的軸截面，

則軸截面的面積5=1、2廠*〃=；(2廠+2護(hù)壽)我，

即rh—2y28+后,平方整理得h=-^―，

r-4

則圓錐的體積V=/2/7=，JL=/d-4+4),令仁/_4,

33戶一43戶一4

則V=§4十+(7+186)°7、|84+2『c7/1『6丁|64，

當(dāng)且僅當(dāng)f=4時(shí)取得最小值，此時(shí)「=20.

4/8，(,-8)

［或求導(dǎo)：V^-71-———,所以—w，

3r2-43卜2_4)

當(dāng)產(chǎn)一8>0即r>2a時(shí)T>0,V&)單調(diào)遞增，

當(dāng)產(chǎn)一8<0即0<r<2a時(shí)V'<0,丫⑺單調(diào)遞減,

答案第7頁(yè)，共17頁(yè)

所以當(dāng)r=20時(shí)V最小，且最小值為耳?！?/p>

64

故答案為：-7T.

16.2或地

3

【分析】依題意可得切點(diǎn)必在漸近線（，軸左側(cè)）與圓的交點(diǎn)，不妨令為A（A在漸近線

y=》上），分民4分別在一、二象限和二、三象限兩種情況討論，分別求出漸近線的斜率,

a

進(jìn)一步計(jì)算離心率.

【詳解】雙曲線斗-號(hào)=1（。＞0,10）的漸近線為y=-2x和y=2x,

顯然漸近線與x2+y2=1相交，

過(guò)片向圓龍2+y2=.2作一條切線/,且切線/與漸近線分別交于點(diǎn)A、B,

b

所以切點(diǎn)必在漸近線（,軸左側(cè)）與圓的交點(diǎn)，不妨令為A（人在漸近線＞=-2%上），

a

=y/3a,在RtZ\AO3中，|OA|=ajAB|=g〃JO5|=2a,

b

當(dāng)民A分別在一二象限時(shí)（如圖1）,ZAOB=6Q,設(shè)＞=—1的傾斜角為。，

a

則tana=豆，所以e=￡=Jl+（=2;

aa\a2

b

當(dāng)A,5分別在二、三象限時(shí)（如圖2）,設(shè)y=2冗的傾斜角為。，

a

貝!ltan/AO5=V§\tana=2=^^，所以e=Jl+二，

a3Va23

綜上可得雙曲線的離心率為2或2叵.

3

故答案為：2或空

3

答案第8頁(yè)，共17頁(yè)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是分析出切點(diǎn)恰好在漸近線（y軸左側(cè)）與圓的交點(diǎn)，另外

一點(diǎn)就是分類討論，根據(jù)交點(diǎn)的位置得到不一樣的圖形.

17.(l)a?=?

(2)已

H+1

【分析】

\S,n=l

⑴根據(jù)"ST],,…作差即可得解;

（2）由（1）可得——]，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.

nn+1

【詳解】（1）數(shù)列的前"項(xiàng)和為S"=妁/,

當(dāng)九=1時(shí)q=E=lx（；+l）=],

,n（n—i]

當(dāng)Iz“22時(shí)S'T=±」，

所以a,=S“一凡_=心羅n(n—l)

-2~=n

又當(dāng)〃=1時(shí)，%=〃也成立,

???數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為凡=".

1111

（2）由（1）可得a7二------/----77,

設(shè)數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為4,

則］=4+62+63++b“

n

nn+1n+1n+1

答案第9頁(yè)，共17頁(yè)

18.（1）證明見(jiàn)解析

【分析】

（1）通過(guò)面面垂直的判定定理先得到面面垂直，再利用面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，進(jìn)

而得到線線垂直；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法先求出點(diǎn)N坐標(biāo)，再利用向量法求線面角.

【詳解】（1）因?yàn)樯?=AD,點(diǎn)/為PO中點(diǎn)，則

因?yàn)镻A_L面ABC。，PAu面PAD,所以面上4D_L面ABCO,

又底面ABCD為矩形，則CDLAD,

因?yàn)槊嫔?￡>c面ABCD=AD,CDu面ABC。，

所以CD,面上4￡>,所以CDLAM,

因?yàn)锽DcCZ）=。，PRCDu面PCD,

所以AMI面PCD,又PCu面PCD,

所以AM_LPC；

（2）由已知得AD,AP兩兩垂直，設(shè)AB=1,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（O,O,O）,8（1,O,O）,C（1,"O），WO,"O）,P（O,O,V^,M0,%與,

\7

所以AM=|O,事，學(xué),AC=（1,72,0）,

設(shè)平面ACM的法向量為〃=（x,y,z）,

AC-n=x+\[ly=0

又PC=0,拒,-吟,設(shè)N（%,yN，ZN），尸N=XPC=（4夜4-近2）（0<2<1）,

即即打,z.-應(yīng)）=（4722,-722）,所以N（尢亞尢&-夜2）,

又。H，"°N=°A=咚，

答案第10頁(yè)，共17頁(yè)

所以(久-g

+yflA,+^A/2—A/2/Lj=—,解得彳=二或4=1（舍去）,

’22V23。

所以AN=〔寸丁'，

設(shè)直線⑷V與平面ACM所成角為e,

30

\n-AN\A/15

貝ljsin6>=%~虧

H-Mlo-

,2+1+1x\巴+一

252525

所以直線AN與平面ACM所成角的余弦值為叵.

10

(2)分布列見(jiàn)解析，期望g

【分析】

(1)記選手甲第左次投進(jìn)為事件4(%=1,2,3),未投進(jìn)為事件瓦，利用概率的乘法公式求

解即可；

(2)X的取值可為0」,2,3,分別求出對(duì)于的概率，然后再求期望.

【詳解】(1)記選手甲第七次投進(jìn)為事件4(%=1,2,3),未投進(jìn)為事件正,

則選手甲至少投進(jìn)一次這一事件的概率為i-p(AXA)，

因?yàn)槭椴范?/p>

所以1_2(不為)=2；

(2)選手乙得分X的取值可為0」,2,3,

答案第11頁(yè)，共17頁(yè)

記選手乙第k次投進(jìn)為事件Bk（k=1,2,3），

711

根據(jù)題意，3次都投進(jìn)的概率依次為尸（4）=$尸（層）=,尸色）=。

1255

p(x=o)=—X—X

33627

尸(X=l)=|12112127

X—X——F—X—X——F—X—X

3333333627

?〃人2212111117

IIX—2)——x—x—I—x—x—|—x—x——

',33333333327

/.2228

P(X=3)=—x—x—=——

'733327

所以X的分布列為

X0123

5778

尸(X)

27272727

c7725

E(X)=0x——+lx——+2x——+3x——=—

v7272727273

20.(l)/=x

(2)x2+U+114

【分析】

（i）直接根據(jù)橢圓的短軸長(zhǎng)求出?，進(jìn)而可得拋物線方程；

（2）設(shè)求出直線班的方程，求出切線的方程，然后化歸

為二次方程的根的問(wèn)題，利用韋達(dá)定理可得直線過(guò)的定點(diǎn)，進(jìn)而可得點(diǎn)。所在圓的方程.

【詳解】（1）由橢圓C2：x2+16y2=l可知短軸長(zhǎng)26=；,

所以拋物線G:V=2Px（p>0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于p=：,

故橢圓方程為y=x；

（2）因?yàn)?。?J）是拋物線G上位于第一象限的一點(diǎn)，所以r=1,又r>0,

所以。（1,1）,

設(shè)則直線MN方程為。-。=小短卜一叫,

答案第12頁(yè)，共17頁(yè)

即1—(a++aZ7=0,

因?yàn)镈M：(,一1乂。2=即1_(a+l)y+Q=O與圓￡1：(%—2)2+丁二/相切,

\a+2\

所以J+(+了=、整理得(--1)/+(2/—4)〃+2/_4=0①，

同理，直線ON與圓石相切可得卜2—1/+(2/—4a+2/—4=。②

由①②得〃/是方程(—+Q嚴(yán)—4卜+2戶—4=0的兩根，

代入％-3+〃)y+4?=°整理得(1+2丁+2)/-I-4丁一4二0,

x=0/、

y=_],故直線過(guò)定點(diǎn)(0,-1),

所以點(diǎn)Q在以(0,-1)和(0,0)連線為直徑的圓上，且圓的方程為+

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：證明點(diǎn)在定圓上，一般轉(zhuǎn)化為證明直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，從而得到點(diǎn)在某兩定點(diǎn)連線

為直徑的圓上.

21.(1)1

⑵L+e]

【分析】

答案第13頁(yè)，共17頁(yè)

(1)求導(dǎo)，求出切線方程，然后代點(diǎn)(2,2/)求出。的值，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性即可；

2_-122x_-1

(2)將不等式變形為三二V然后令/=lnxJ>0,可得/⑺W/(Xx),利用〃x)

InxA,x

的單調(diào)性得到Y(jié),進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)求最值即可.

2x1

【詳解】(1)函數(shù)"彳)=竺『的定義域?yàn)?0,+2，

則)，(元)=26e2'ye2xl),貝|1(1)=淀2+1,又"1)=肉—1,

所以〃x)在點(diǎn)處的切線y-(?e2-l)=(ae2+l)(x-l),

代入點(diǎn)(2,2e?)得2e?-(/2T=(g2+1)Q_1),解得=i；

2jc

則尸⑺二2無(wú)e?x一產(chǎn)，-1)=(2尸1產(chǎn)工+1,^^(x)=(2x-l)e+l,x^0

則q'(x)=4xe2"令得x>0,令0(x)<O,得x<0,

所以。(力>0(0)=0,即力2")>。在(-oo,0)U(0,+oo)上恒成立，

所以函數(shù)“X)的單調(diào)增區(qū)間為(y,0),(。,也)，無(wú)單調(diào)減區(qū)間；

(2)由(1)得=

2(x3-x)-lnxew+hu<0在區(qū)間(1,+<?)上恒成立，即三二1<e二1,

Inx

a2r_iQ2ZX_i

令f=lnxJ>0,則即/⑺

tAx

只需要也就是22g在(1,”)上恒成立，

X

令力(力=生^/>1,則〃(x)=l?x,

令得0<x<e,令得元〉e,

11

故,(力2二人⑻二)所以22一

即正實(shí)數(shù)九的取值范圍是5+"]

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)關(guān)鍵是將不等式變形為一4^_令t=lnxJ>0,然后轉(zhuǎn)化

InxAx

為了⑺利用函數(shù)函數(shù)/(X)的單調(diào)性來(lái)解答，充分利用了函數(shù)單調(diào)性來(lái)解決問(wèn)題.

答案第14頁(yè)，共17頁(yè)

22.(1)直線/的極坐標(biāo)方程為：用cose+/7sin<9-26=0,曲線。的參數(shù)方程為

x=及cosa

(a為參數(shù))

y=sina

⑵可日

【分析】

(1)利用消元法求出直線/的直角坐標(biāo)方程，再利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)互化公式即可求出直

線/的極坐標(biāo)方程，直接根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得曲線C的一個(gè)參數(shù)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(忘c(diǎn)osa,sina),表示出點(diǎn)N到直線/的距離，結(jié)合輔助角公式和

正弦函數(shù)的值域，即可得出距離最小值，進(jìn)而求出點(diǎn)N的坐標(biāo).

【詳解】(1)

x=2—t

直線/的參數(shù)方程為r-a為參數(shù))，消r得直線/的普通方程為瓜+>-26=0,

y=13/

[x=PCOS0