廣東省深圳市羅湖區(qū)2024年高考數(shù)學二模試卷含解析

廣東省深圳市羅湖區(qū)2024年高考數(shù)學二模試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

3—Y

1.在區(qū)間[-3,3]上隨機取一個數(shù)x,使得—20成立的概率為等差數(shù)列{見}的公差，且。2+4=-4,若4〉0,

X—1

則"的最小值為（）

A.8B.9C.10D.11

22

2.已知橢圓二+與=1（。〉6〉0）的左、右焦點分別為片、F2,過點耳的直線與橢圓交于P、。兩點.若的

ab

內(nèi)切圓與線段PK在其中點處相切，與R2相切于點片，則橢圓的離心率為（）

A.正B.且C.顯D.避

2233

3.已知定點A,3都在平面a內(nèi)，定點是a內(nèi)異于A,B的動點，SPC1AC,那么動點C在平面

?內(nèi)的軌跡是（）

A.圓，但要去掉兩個點B.橢圓，但要去掉兩個點

C.雙曲線，但要去掉兩個點D.拋物線，但要去掉兩個點

4.已知a>0,/（x）=奴2-x+l（x>0）,A={x[/（x）<x],B-{x\</（x）<x],若A=3#0則實數(shù)。的

取值范圍是（）

33

A.(0,1]B.(0,-]C.[-,1]D.[l,+oo)

5.已知復數(shù)z滿足z（l+i）=l—i（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）

A.-iB.iC.1D.-1

6.已知耳是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的-一個公共點，且/耳2鳥=q-，設橢圓和雙曲線的離心率分

別為則02的關系為（）

314,1,

A.—~-4B.—e,2+—e2=4

eje；31322

13

C.=—r=4D.e0+3e=4

qe?x?

7.已知戊為銳角，且，^sin2a=2sine,則cos2i等于（）

2214

A.B.D.

i939

8.己知四棱錐S-ABC。中，四邊形ABC。為等腰梯形，AD//BC,/BAD=120°,ASAD是等邊三角形，且

SA=AB=2%；若點尸在四棱錐S-ABCD的外接球面上運動，記點P到平面ABC。的距離為d,若平面SA。，

平面ABCD,則d的最大值為（）

A.V13+1B.而+2

C.V15+1D.V15+2

9.已知排球發(fā)球考試規(guī)則：每位考生最多可發(fā)球三次，若發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次結束為止.某考

生一次發(fā)球成功的概率為。（0＜夕＜1）,發(fā)球次數(shù)為X,若X的數(shù)學期望￡（x）＞1.75,則。的取值范圍為（）

10.給出下列四個命題：①若“"且4”為假命題，則2、4均為假命題；②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角;

2

③若命題。：三/eR,XQ>0,則命題可:VxeR,x<0;④設集合4={]|%>1}5={x|x>2},貝！

是“xe5”的必要條件；其中正確命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

\2X-X3,X<01

11.已知函數(shù)/（x）h?八，貝！1/(/(-))=()

Inx,x>0e

2

A.B.1C.-1D.0

2

12.如圖，在三棱錐S-ABC中，&4,平面ABC,ABLBC,現(xiàn)從該三棱錐的4個表面中任選2個，則選取的2個

表面互相垂直的概率為（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

21

13.已知處方均為正數(shù)，且a+b=l,巴二-1的最小值為

2ab

14.設+x)i°=4++%/+,則%=，

(tZg+a,+%+...+q0)~—(q+/+/+?-?+佝)~的值為?

15.在直角坐標系x，y中，已知點A(O,1)和點8(-3,4),若點C在NAO3的平分線上，且|。。|=3，而，則向量0C

的坐標為.

16.已知sin，那么tantz-sintz=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)手工藝是一種生活態(tài)度和對傳統(tǒng)的堅持，在我國有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，

有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名，還大量遠銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該

村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴把質(zhì)量關，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進行質(zhì)量把關，

質(zhì)量把關程序如下：(i)若一件手工藝品3位行家都認為質(zhì)量過關，則該手工藝品質(zhì)量為A級；(ii)若僅有1位行家

認為質(zhì)量不過關，再由另外2位行家進行第二次質(zhì)量把關，若第二次質(zhì)量把關這2位行家都認為質(zhì)量過關，則該手工

藝品質(zhì)量為5級，若第二次質(zhì)量把關這2位行家中有1位或2位認為質(zhì)量不過關，則該手工藝品質(zhì)量為C級；(iii)

若有2位或3位行家認為質(zhì)量不過關，則該手工藝品質(zhì)量為O級.已知每一次質(zhì)量把關中一件手工藝品被1位行家認

為質(zhì)量不過關的概率為g,且各手工藝品質(zhì)量是否過關相互獨立.

(1)求一件手工藝品質(zhì)量為3級的概率；

(2)若一件手工藝品質(zhì)量為A,&C級均可外銷，且利潤分別為900元，600元，300元，質(zhì)量為O級不能外銷，利潤

記為100元.

①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；

②記1件手工藝品的利潤為X元，求X的分布列與期望.

18.(12分)在銳角三角形ABC中，角的對邊分別為“，仇c.已知tanA,tan3,tanC成等差數(shù)列，

cosA,A/COSC,cosB成等比數(shù)列.

(1)求A的值；

(2)若ABC的面積為1,求。的值.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=alnx+L

(1)討論/(尤)的零點個數(shù)；

(2)證明：當0<a<］時，

20.(12分)為了打好脫貧攻堅戰(zhàn)，某貧困縣農(nóng)科院針對玉米種植情況進行調(diào)研，力爭有效地改良玉米品種，為農(nóng)民

提供技術支援，現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進行統(tǒng)計，獲得莖葉圖如圖（單位：厘米），設莖高大于或等于180厘米

的玉米為高莖玉米，否則為矮莖玉米.

抗倒狀易例狀

77314

97331151

9640167

5541758

8801812667

9552190034589

66320223

（1）求出易倒伏玉米莖高的中位數(shù)相；

（2）根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表:

抗倒伏易倒伏

矮莖

高莖

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，是否可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為抗倒伏與玉米矮莖有關?

附：心________________________

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K\.K)0.0500.0100.001

K3.8416.63510.828

21.（12分）一個工廠在某年里連續(xù)10個月每月產(chǎn)品的總成本y（萬元）與該月產(chǎn)量x（萬件）之間有如下一組數(shù)據(jù):

X1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.87

y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26

（1）通過畫散點圖，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合y與X的關系，請用相關系數(shù)廠加以說明；

（2）①建立月總成本y與月產(chǎn)量X之間的回歸方程；②通過建立的y關于X的回歸方程，估計某月產(chǎn)量為1.98萬件

時，產(chǎn)品的總成本為多少萬元？（均精確到0.001）

1010/10f10

附注：①參考數(shù)據(jù)：14.45,Zy=27.31,^-10x2?0.850,^y,2-10y2?1.042,b=1.223

i=l曰VM

￡x*―^^x^-nxy

②參考公式：相關系數(shù)廠=八"〃、,3=號---------，a^y-bx.

-而［v［￡才__而2

22.（10分）設橢圓C:；+V=i的右焦點為口，過尸的直線/與C交于A,3兩點，點M的坐標為（2,0）.

（1）當直線/的傾斜角為45。時，求線段A3的中點的橫坐標；

（2）設點A關于x軸的對稱點為C,求證：M,B,C三點共線；

（3）設過點M的直線交橢圓于G,H兩點，若橢圓上存在點P,使得OG+OH=4O尸（其中。為坐標原點），求實數(shù)

2的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

由題意，本題符合幾何概型，只要求出區(qū)間的長度以及使不等式成立的x的范圍區(qū)間長度，利用幾何概型公式可得概

率，即等差數(shù)列的公差，利用條件a2+a6=2a4,求得G4=-2,從而求得a?=-y+1,解不等式求得結果.

【詳解】

由題意，本題符合幾何概型，區(qū)間［-3,3］長度為6,

3—Y

使得一720成立的X的范圍為（1,3］,區(qū)間長度為2,

X—1

3-r21

故使得一720成立的概率為二=-=d,

x-163

4ccc/A\110n

又％+&=-4-2a49.?/=-2，.?冊——2+\ji—4jx—=——+—,

令?！啊?,則有〃>10,故"的最小值為U,

故選：D.

【點睛】

該題考查的是有關幾何概型與等差數(shù)列的綜合題，涉及到的知識點有長度型幾何概型概率公式，等差數(shù)列的通項公式，

屬于基礎題目.

2、D

【解析】

可設NPFQ的內(nèi)切圓的圓心為/，設|尸耳|=加，|P閭=〃，可得加+〃=2。，由切線的性質(zhì):切線長相等推得m=^n,

解得加、〃，并設|?？趞=八求得f的值，推得APKQ為等邊三角形，由焦距為三角形的高，結合離心率公式可得所

求值.

【詳解】

可設心心。的內(nèi)切圓的圓心為/,〃為切點，且為「心中點，，歸用=歸刈=四段，

設|尸國="，歸耳|=”,貝!且有〃z+〃=2a,解得w=F，

設|Q周=乙|鑿|=2aT,設圓/切。工于點N,^\NF2\=\MF2\=^-,\QN\^\QF\=t,

由2aT=|Q￡|=|QN|+|NE|=/+?,解得r=?,.?.|尸口=m+”?，

所以為等邊三角形，

\PF2\=\QF2\=^,APKQ

所以，2c力.處,解得g=走.

23a3

因此，該橢圓的離心率為3.

3

故選:D.

【點睛】

本題考查橢圓的定義和性質(zhì)，注意運用三角形的內(nèi)心性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，考查化簡運算能力，屬

于中檔題.

3、A

【解析】

根據(jù)題意可得AC，3C,即知C在以為直徑的圓上.

【詳解】

PB±a,ACa,

:.PB±AC,

又PC_LAC,PBcPC=P,

AC±平面PBC,又BCu平面PBC

:.AC±BC,

故C在以AB為直徑的圓上，

又C是a內(nèi)異于A3的動點，

所以C的軌跡是圓，但要去掉兩個點A,3

故選：A

【點睛】

本題主要考查了線面垂直、線線垂直的判定，圓的性質(zhì)，軌跡問題，屬于中檔題.

4、C

【解析】

根據(jù)Aw。，得到了(為=以2一%+1<》有解，則八=4—4。20,得0<aWl,芯=匕業(yè)二巴,電=1±正巴，得

aa

到A={尤"(九)V尤}=昌,々］=［匕正2,l±xEZ］,再根據(jù)B={x|/(/(x))</(x)<%},有/(/(%))</(%),

aa

即a(t?2—x+l)2—2(依2—x+l)+lW0,可化為(加一2%+1)(/%2+a—1)<0,根據(jù)4=3/。，貝?。?/p>

?2%2+?-1>0的解集包含［匕正2,11YE4求解，

aa

【詳解】

因為Aw。，

所以/(%)=a%2—x+l<x有解，

即/(x)=ax2-2x+1＜。有解,

1—J1—a1+J1—a

所以A=4—4。20,得0<aWl,石，X?—

aa

所以A={x"(x)0}=凡%]=，

aa

又因為B={x\f(f(x))<f(x)<x},

所以/(/(x))</(x),

即九+l)—2(6?%2—+1)+1v0,

可化為(女2-2%+1乂〃2%2+〃一1)?0,

因為A=BW。，

221+

所以ax+a-l>0的解集包含[匕正?,^~^],

aa

所以1+41-a<-J]-a或1-y/1—a〉Jl-a

aaaa

3

解得一WoWl,

4

故選：C

【點睛】

本題主要考查一元二次不等式的解法及集合的關系的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題,

5、D

【解析】

根據(jù)復數(shù)z滿足z(l+i)=l-i,利用復數(shù)的除法求得心再根據(jù)復數(shù)的概念求解.

【詳解】

因為復數(shù)Z滿足Z(l+z)=l—i,

所以z=?

1+z

所以Z的虛部為-1.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查復數(shù)的概念及運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.

6、A

【解析】

］尸用+|尸閭=2%

解得

設橢圓的半長軸長為由,雙曲線的半長軸長為。2,根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得:］「用一|「用=2%

PF]=Q[+%

然后在△GP8中，由余弦定理得:

PF2=q—%

a+S

4c2(i+(1a2)—2(a1+a2j,(a1—a2j?cos,化簡求解.

【詳解】

設橢圓的長半軸長為生,雙曲線的長半軸長為出，

pp+PF=2a

由橢圓和雙曲線的定義得：。?,

PR—PF］=2a2

\PE=4+%..27r

解得":設閨閭=2c,N用第=-p

2

在△大P&中，由余弦定理得：4c2=(4++(4-<32)_2(q+4).(4-^2)-cos—,

3

2

化簡得3a；+a2=4c2,

31

即f+f=4

e\,2

故選：A

【點睛】

本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和性質(zhì)以及余弦定理的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

7、C

【解析】

由A/3sin2a=2sina可得cosa=,再利用cos2a=2cos2。一1計算即可.

3

【詳解】

因為26sinacosa=2sina,sinawO,所以cosa=，^,

3

0乙J.

所以cos2o=2cosa-l=——1=——.

33

故選：C.

【點睛】

本題考查二倍角公式的應用，考查學生對三角函數(shù)式化簡求值公式的靈活運用的能力，屬于基礎題.

8、A

【解析】

根據(jù)平面&LD，平面ABC。，四邊形ABC。為等腰梯形，則球心在過的中點E的面的垂線上，又AS4。是等

邊三角形，所以球心也在過ASM）的外心E面的垂線上，從而找到球心，再根據(jù)已知量求解即可.

【詳解】

依題意如圖所示：

取的中點E,則E是等腰梯形ABC。外接圓的圓心，

取口是ASL4D的外心，作平面ABCD,。尸，平面也，

則。是四棱錐S-ABCD的外接球球心，且。尸=3,SF=2,

設四棱錐S-ABCD的外接球半徑為R,貝!JR?=M2+0/2=3而?！?1,

所以"2=尺+?！?屈+1，

故選：A.

【點睛】

本題考查組合體、球，還考查空間想象能力以及數(shù)形結合的思想，屬于難題.

9、A

【解析】

根據(jù)題意，分別求出P（X=1）,P（X=2）,P（X=3）,再根據(jù)離散型隨機變量期望公式進行求解即可

【詳解】

由題可知P(x=l)=p,P(X=2)=(1-p)p,p(x=3)=(l—p)2p+(l—p)3=(l—p)2,則

E(X)=P(X=l)+2P(X=2)+3尸(X=3)=_p+2(l-“”+3(1-02>1.75

解得P>g或P<g，由pw(?！?可得

答案選A

【點睛】

本題考查離散型隨機變量期望的求解，易錯點為第三次發(fā)球分為兩種情況：三次都不成功、第三次成功

10、B

【解析】

①利用。人q真假表來判斷，②考慮內(nèi)角為90，③利用特稱命題的否定是全稱命題判斷，

④利用集合間的包含關系判斷.

【詳解】

若“。且q”為假命題，則。、q中至少有一個是假命題，故①錯誤；當內(nèi)角為90時，不是象限角，故②錯誤；

由特稱命題的否定是全稱命題知③正確；因為37A,所以xe5nxwA,所以"xeA"是“尤e5"的必要條件，

故④正確.

故選：B.

【點睛】

本題考查命題真假的問題，涉及到“且”命題、特稱命題的否定、象限角、必要條件等知識，是一道基礎題.

11、A

【解析】

2%—%3x<0111

由函數(shù)/'(%)=,'—,求得/(一)=ln—=—1,進而求得/(/(一))的值，得到答案.

In%,%>0eee

【詳解】

_3<n

由題意函數(shù)〃%)=r'r",

Inx,x>0

iiiQ

則;?(一)=ln—=—l,所以7?"(—))=/(—l)=2T—(—1)3=，，故選A.

eee2

【點睛】

本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題，其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入求解是解答的關鍵，著重考查了推理

與運算能力，屬于基礎題.

12、A

【解析】

根據(jù)線面垂直得面面垂直，已知&4_L平面ABC,由可得3CL平面816,這樣可確定垂直平面的對數(shù),

再求出四個面中任選2個的方法數(shù)，從而可計算概率.

【詳解】

由已知S4_L平面ABC,ABLBC,可得SBLNC,從該三棱錐的4個面中任選2個面共有=6種不同的選法,

而選取的2個表面互相垂直的有3種情況，故所求事件的概率為1.

2

故選：A.

【點睛】

本題考查古典概型概率，解題關鍵是求出基本事件的個數(shù).

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、V2

【解析】

本題首先可以根據(jù)a+b=1將竺"-1化簡為-+然后根據(jù)基本不等式即可求出最小值.

2abb2a

【詳解】

因為a+〃=l,

所以椅_1=)+("與=

lablabb2a\b2a

Z7b

當且僅當7=丁，即。=行一1、b=2—0時取等號，

b2a

故答案為：0.

【點睛】

本題考查根據(jù)基本不等式求最值，基本不等式公式為a+匕？2疝(a0,^>0)，在使用基本不等式的時候要注意“=”

成立的情況，考查化歸與轉化思想，是中檔題.

14、7201

【解析】

利用二項展開式(。+份”的通式4+1=C，"-7/可求出出；令(直+%尸+中的x=l,

x=—1得兩個式子，代入a。+a2+4+???+)—(q+/+%+■??+?)可得結果?

【詳解】

利用二項式系數(shù)公式，(=弓(0)晨2=720*2,故4=720,

a。+q+...+=(\/2a()-ciy+劣一...+=(\/2-1)",

故(CIQ+CL]+。4+...+tZjQ—(q+%+%+???+%

=(/+%+...+%0)(%-%+a2-.??+40)=+1)'^(>/2-1)]。=1>

故答案為：720；1.

【點睛】

本題考查二項展開式的通項公式的應用，考查賦值法，是基礎題.

15、(-3,9)

【解析】

點C在ZAOB的平分線可知OC與向量S+陷共線，利用線性運算求解即可.

|OA|\OB\

【詳解】

因為點C在NAO3的平線上，

所以存在加(。,+8)使oc=j-

[\OA\|OB|JI55八55J

而|OC|=^(——A)2+(—A)2=3A/10,

可解得4=5,

所以OC=(—3,9),

故答案為：(-3,9)

【點睛】

本題主要考查了向量的線性運算，利用向量的坐標求向量的模，屬于中檔題.

9

16、——

20

【解析】

由已知利用誘導公式可求COSa,進而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系即可求解.

【詳解】

12J5

.4.，121169

??cosa-——,sina=1-cosa=l------=——,

52525

9

sina759

:.tana-sma---------=---------.

cosa_420

-5

9

故答案為：-二7.

【點睛】

本小題主要考查誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系式，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)—(2)①2②期望值為空見

X900600300100

816207

P

27818127

【解析】

(1)一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為C；x|x(l-l)2x(l-：)2=登.

33381

1ii7

(2)①由題意可得一件手工藝品質(zhì)量為O級的概率為C；x(72x(i一§)+c；x(73=方,

7

設10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是J件，則4~仇10,1)，

「上+1,7、上+l(20、9-k

7/(3=k+1)1°臼臼70—7左

則p(g=@=Cfo也)“用產(chǎn)

P記=k)一吠(2)上(任嚴y-2。左+20

70—7^50

由>1得所以當k=1時,黃二；>1,即PC=2)>PC=1),

20k+2027

70—7^SO

由<1得k>卷,所以當心2時,P(J=k+l)<P(J=k),

20k+2027

所以當左=2時，P(4=k)最大,即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.

②由上可得一件手工藝品質(zhì)量為A級的概率為(l-g)3=1,一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為

一件手工藝品質(zhì)量為C級的概率為C^x|x(l-1)2x[C^x|x(l-1)+&]=當，

3333381

7

一件手工藝品質(zhì)量為O級的概率為「，

27

所以X的分布列為

X900600300100

816207

P

27818127

則期望為￡(X)=900xA+600x—+300x—+100x—=

2781812727

18、(1)4=(；(2)c=V3.

【解析】

⑴根據(jù)加加4,MB,成等差數(shù)列與三角形內(nèi)角和可知=-31(4+5),再利用兩角和的正切公式，代入

2tanB=tanA+tanC,化簡可得2tanAtan5-tan2A=3洞理根據(jù)三角形內(nèi)角和與余弦的兩角和公式與等比數(shù)列的

性質(zhì)可求得tanAtanB=^2，聯(lián)立即可求解求A的值.

(2)由(1)可知318=2,tanC=3，再根據(jù)同角三角函數(shù)的關系與正弦定理可求得6=哀1c，再結合ABC的面積為1,

3

利用面積公式求解即可.

【詳解】

解：⑴tanA,tanB,tanC成等差數(shù)列，

可得2tanB=tanA+tanC.

■一/A八'tanA+tanBn“tanA+tanB

而tanC=-tan(A+B)=---------------，即2tanB-tanA=--------------，展開化簡得

tanAtanB-1tanAtanB-l

2tanAtan2B-2tanB-tan2Atan3=tan3,因為tan5wO,故

2tanAtanB-tan2A=3①

又cosA,JcosC,cosB成等比數(shù)列，

可得cosAcosB=cosC=~cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB,

即sinAsinB=2cosAcosB,

可得tanAtanB=2,②

聯(lián)立①②解得勿九4=1(負的舍去)，

7T

可得銳角A=-；

4

(2)由⑴可得tanB=2,tanC=3,

由口〃3=二一=2,s加B+COS2B=1,§為銳角,

cosB

解得血3=拽，

5

因為勿〃。=型￡=3,5沅2。+。32。=1,。為銳角，故可得立“。=之叵，

cosC10

2

,――,7csinBJ52A/2

由正弦定理可得b=-^7=浮。二三一c,

sinCJ3

而

又ABC的面積為1,

.1,.,12拒2A/2,

可得一bcsmA=-------c~----=1,

2232

解得c=G.

【點睛】

本題主要考查了等差等比中項的運用以及正切的和差角公式以及同角三角函數(shù)關系等.同時也考查了正弦定理與面積

公式在解三角形中的運用,屬于中檔題.

19、(1)見解析(2)見解析

【解析】

/TV—1

(1)求出/'(x)=^^,分別以當a<。，a=Q,。>0時，結合函數(shù)的單調(diào)性和最值判斷零點的個數(shù).(2)令

/:(%)=talnx+1,結合導數(shù)求出/z(x"/4)=，+l?L同理可求出g(x)=\ez滿足g(x)?g6=L從

ee222

而可得以Inx+bgxeiT,進而證明了(%)〉2-.

【詳解】

解析：(1)/(力=三'，xe(O,-H?),

當a<0時，/,(x)<0,/(%)單調(diào)遞減，—a+e〉0,fe%=-1+^<0,此時/(%)有1個零點；

當。=0時，/(%)無零點；

當a>0時，由/(%)<0得xe(0,：),由尸(x)>0得xe(：+oo),.?./(%)在(0,：)單調(diào)遞減，在(：,+8)單調(diào)遞

增，二/(%)在x=工處取得最小值f(-)=-alna+a,

aa

若-alnQ+Q>0,則a<e,此時/(%)沒有零點；

若—alnQ+Q=0,則〃=e,此時/(%)有1個零點；

1111

若—alna+a<0,則。>e,/(1)>0,求導易得/(一)>0,此時/(%)在(一,一)，(一,1)上各有1個零點.

aaaa

綜上可得OWave時，/(x)沒有零點，a<。或〃時，/(%)有1個零點，〃〉e時，/(%)有2個零點.

(2)令/z(x)=oxlnx+l,則=a(l+lnx),當％一時，/z*(x)>0；當0<%<，時，<0,

ec.

:.h(x\>/z(—)=--+!>—.

ee2

令g(%)=；尤/r，則g'(%)=；0一九),

當Ovxvl時，g'(x)>0,當x>l時，g'(x)<0,/.g(x)<g(l)=1-,

]]gi-"e1-"%

??/z(x)>g(x),axInx+l>,xe?.aInx—>----,即/(x)〉----?

【點睛】

本題考查了導數(shù)判斷函數(shù)零點問題，考查了運用導數(shù)證明不等式問題，考查了分類的數(shù)學思想.本題的難點在于第二問

不等式的證明中，合理設出函數(shù)，通過比較最值證明.

20、(1)190(2)見解析(3)可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為抗倒伏與玉米矮莖有關.

【解析】

(1)排序后第10和第11兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)；

(2)由莖葉圖可得列聯(lián)表；

(3)由列聯(lián)表計算K?可得結論.

【詳解】

5,、190+190

解：⑴m=--------=190.

2

(2)

抗倒伏易倒伏

矮莖154

高莖1016

(3)由于左2=45x(15x16-4x10)-=7.287〉6.635,因此可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為抗倒伏

19x26x25x20

與玉米矮莖有關.

【點睛】

本題考查莖葉圖，考查獨立性檢驗，正確認識莖葉圖是解題關鍵.

21、(1)見解析；⑵①9=1.223%+0.964②3.386(萬元)

【解析】

辰一10F

⑴利用莉?%代入數(shù)值，求出廠后即可得解，

Mi

(2)①計算出無、歹后，利用4=元求出3后即可得解；

②把x=1.98代入線性回歸方程，計算即可得解.

【詳解】

(1)由已知條件得,

...r=1.2230.998,

1.042

說明了與x正相關，且相關性很強.

1010

(2)①由已知求得—一「，—c，a==2.731-1.223x1.445?0.964

x=——=1.445y=—=2.731-

10-10

所以，所求回歸直線方程為$=L223x+0.964.

②當x=1.98時，、=1.223x1.98+