2024年高考數(shù)學(xué)排列組合的13種套路

2024年高考數(shù)學(xué)排列組合的13種套路簡(jiǎn)直不要

太贊

今天來(lái)我們總結(jié)一下排列組合概率及統(tǒng)計(jì)學(xué)，這個(gè)在高考中占

據(jù)17分左右，但是又不是很難的內(nèi)容。這一塊在高考中一般必

有一道大題，一般是第19題12分，基礎(chǔ)題在選擇填空題中一

般會(huì)考一題5分，不會(huì)很難，比較基礎(chǔ)。

類型一、特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略

位置分析法和元素分析法是解決排列組合問(wèn)題最常用也是最基

本的方法。

若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其它元素；若以位

置分析為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位置；若有多

個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其它條

件。

1.由0,1,234,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù).

解沫位和苜位有明要求,應(yīng)優(yōu)械排,

先臟腐有一

然后排首位共有一

最后總黑它位置共有一

3

4

這種首先確定排列還是組合的問(wèn)題，對(duì)于首位和末位無(wú)須考慮

順序，但是首位末位有優(yōu)先需求。

所以先要排首位和末位，末位必須是奇數(shù)，也就是從1,3,5這

個(gè)里邊去挑選一個(gè)即可，那首位還不能排0,在排除一個(gè)奇數(shù),

只剩下4個(gè)數(shù)可以選擇，所以剩下的三位我們直接全排列就可

以。

類型二、相鄰/相間元素捆綁策略

要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題，可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)

題，即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素,再與其它元素一起作

排列，同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列。

審題時(shí)一定要注意關(guān)鍵字眼。

2.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.

解：先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素,

再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排.

由分步計(jì)數(shù)原理可得共有4口；=480種不同的排法.

一/幺

類型三、不相鄰問(wèn)題插空策略

先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和

兩端。

3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng)很。節(jié)目的出場(chǎng)順序有

多少種？

解:分兩步進(jìn)行第"排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有一種，

第二步將4舞蹈插入第一步抖好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有不同的方法

由分步計(jì)數(shù)原理節(jié)目的不同順序共有種

所以這兩個(gè)方法的關(guān)鍵字都是相鄰，以元素相鄰為附加條件的

應(yīng)把相鄰元素視為一個(gè)整體，即采用“捆綁法”；

以某些元素不能相鄰為附加條件的，可采用“插空法”。“插空”有

同時(shí)“插空”和有逐一“插空”，并要注意條件的限定。

類型四、定序問(wèn)題倍縮空位插入策略

順序固定問(wèn)題用“除法”，對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)

題，可先將這幾個(gè)元素與其它元素一同進(jìn)行排列，然后用總的

排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。

當(dāng)然還可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理。

4.有4名男生,3名女生，3名女生高矮互不等，將7名學(xué)勢(shì)威f,要求從左到右，女生

從瘦到高日汐J,有多少種排法？

（：三去）對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的舊例問(wèn)也可先把這幾個(gè)元素與其他元素H進(jìn)行刊例，

然后用總膨瞰除以這幾個(gè)元素之間的全膨瞰則共有不同排法種數(shù)是：白

（主位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有一種方法，

其余的三個(gè)位置甲乙丙共有一種坐法，則共有一種方法.

/4

雖然計(jì)算的方法不用，但是最后計(jì)算出來(lái)的結(jié)果是一致的，所以我們空位法的答案是‘一

類型五、重排問(wèn)題求塞策略

分房問(wèn)題又名：住店法，重排問(wèn)題求幕策略，解決“允許重復(fù)排

列問(wèn)題”要注意區(qū)分兩類元素：

一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作

“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。

允許重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位

置的約束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地n不同的元

素沒(méi)有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為mn種。

例：把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí)，共有多少種不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配

到車間有1種分法.把第二名實(shí)習(xí)生分配

到車間也有7種分法，依此類推,由分步計(jì)

數(shù)原理共有,種不同的排法

類型六、環(huán)排問(wèn)題

一般地n個(gè)不同元素作圓形排列，共有(n-1)!種排法.

如果從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作圓形排列共有￡力；.

?5人圍桌而坐共有多少種坐法?

解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成

圓形沒(méi)有首尾之分，所以固定一人A并從.4

此位置把圓形展成直線其余4人共有*1),4

種排法即

類型七、多排問(wèn)題

一般地，元素分成多排的排列問(wèn)題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段研

究。

8人排成前后兩排，每排4人，其中甲乙在前排，丁在后排,共有多少排法

前排后排

解：8人排前后兩排，相當(dāng)于8人坐8把椅子，可以

把椅子排成一排.先在前4個(gè)位置排甲乙兩

個(gè)特殊元素有在種,再排后4個(gè)位置上的

特殊元素有幺二^，其余的5人在5個(gè)位置

上任意排列有屋種,則共有,弋/種?

545

類型八、小集團(tuán)問(wèn)題

小集團(tuán)排列問(wèn)題中，先整體后局部，再結(jié)合其他策略進(jìn)行處

理。

用LZ3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾L5在兩個(gè)奇數(shù)之間，這樣的五位

數(shù)有多少個(gè)？

_小集團(tuán)_

<35242

解:把1,5,2,4當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與3排隊(duì)

共有一種排法,再排小集團(tuán)內(nèi)部共有

—種排法.由分步計(jì)數(shù)原理共有

—種排法.

■

類型九、元素相同問(wèn)題隔板策略

相同的元素分謠干部分，每部分至少一個(gè).

將n個(gè)相同的元素分成m份（n,m為正整數(shù)），每份至少一個(gè)元素，可以用m-1塊隔板,插入n

個(gè)元素排成一耳密）n-l個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為。二■:.

.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，在分給7個(gè)班，每班至少一個(gè)，有多少種分配方案？

一二三四五六七

班班班班班班班

解：因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成

一排.相鄰名額之間形成9個(gè)空隙.

在9個(gè)空檔中選6個(gè)位置插個(gè)隔板，

可把名額分成7份，對(duì)應(yīng)地分給7個(gè)

班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法

共有c2種分法?

類型十、正難則反總體淘汰問(wèn)題

對(duì)于某些較復(fù)雜的、或較抽象的排列組合問(wèn)題，可以利用轉(zhuǎn)化

思想,將其化歸為簡(jiǎn)單的、具體的問(wèn)題來(lái)求解。

有些排列組合問(wèn)題，正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較

簡(jiǎn)捷,可以先求出它的反面，再?gòu)恼w中淘汰。

對(duì)于含有否定詞語(yǔ)的問(wèn)題，還可以從總體中把不符合要求的減

去，此時(shí)應(yīng)注意既不能多減又不能少減。

從0,123,456,7,8,蛻十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù),使其和為不小于10的偶數(shù)不同的取法有多少

1^1.__-___.____一.'：

013015017023025027045041043

解：這問(wèn)題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很

困難，可用總體淘汰法.這十個(gè)數(shù)字中有5

個(gè)偶數(shù)5個(gè)奇數(shù).所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有工X.

只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有_（工和為偶數(shù)的取法共有

再淘汰和小于io的偶數(shù)共9

符合條件的取法共有-9

■

類型十一、平均分組除法問(wèn)題

平均分成的也不管它們的順版出可,都士-種情況，所以分組后要一定要除以，,(n為均分的

組物避免重復(fù)計(jì)數(shù).

7.6本不同的書(shū)平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？

解:分三步取書(shū)得cc：c；種方法，但這里出現(xiàn)

重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書(shū)為ABCDEF

若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF

該分法記為(AB,CD,EF),則C：CC中還有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)

(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有/俐取法，而

這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法，故共

有C：C；C；//種分法?

--/

類型十二、實(shí)際操作枚舉問(wèn)題

設(shè)有編號(hào)L234,5的五個(gè)球和編號(hào)L2,3,4,5的五個(gè)盒子，現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi)，要求

每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，有多少投法？

Ibi||3|||4|

解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有工_種

還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際

操作法，如果剩下345號(hào)球,3,4,5號(hào)盒

3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí)，則4,5號(hào)球有只有I種裝法

同理3號(hào)球裝5號(hào)盒時(shí),4.5號(hào)球有也

只有1種裝法，由分步計(jì)數(shù)原理有2c種

類型十三、具體問(wèn)題具體分析

解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，

按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。

分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過(guò)

程的始終。

處理復(fù)雜的排列組合問(wèn)題時(shí)可以把一個(gè)問(wèn)題退化成一個(gè)簡(jiǎn)要的

問(wèn)題，通過(guò)解決這個(gè)簡(jiǎn)要的問(wèn)題的解決找到解題方法，從而進(jìn)

下一步解決原來(lái)的問(wèn)題。

25人排成5乂5方隊(duì)現(xiàn)/A中選3人要求3人不在同一行也不在同一列不同的選;力多少料?

孵：這個(gè)阿K退化成9人推成3x3方