新疆部分學校2024屆高三4月（二模）大聯(lián)考數(shù)學試題（含答案）

2024屆高三4月大聯(lián)考(新課標卷)

數(shù)學

本卷滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷

上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合A==%),B=eZ|y=cosx,xeR|,則AB-二()

A.{-1,1}B.{0,1}C.{0}D.{1}

2.已知拋物線=2py(p>0),點〃(3p-2,p+2)在拋物線C上，則p-()

22

A.1或2B.2C.2或一D.-

77

.?-3-23---

3.已知非零向量。力的夾角為夕，且|。|=3|。|,a=/〃?(〃+/?),則8二二()

2萬7i-3?71

A.----B.—C.—D.—

3344

4.若數(shù)據(jù)%,%，不，%的平均數(shù)為了，方差為$2,則數(shù)據(jù)看,%2，%3，%4，元的方：差為()

^Sl+元2

A.52B.—C.-s2D.-----------

555

5.已知等差數(shù)列{4}的前幾項和為S,，若生=-1,則％=()

A.S4B.S5C.S6D.S-,

6.已知函數(shù)/(x)=4COS(GX+9)[o>0,0<0<友)的部分圖象如圖所示，

圖象的一個最高點為"，圖象

與1軸的一個交點為且點N之間的距離為5,則()

1

A.—B.2GC.-D.2

22

22

7.過雙曲線C:，—當=1（。〉0力〉0）的右焦點戶向雙曲線。的一條漸近線作垂線，垂足為。，線段如

與雙曲線C交于點E,過點E向另一條漸近線作垂線，垂足為G,若?閑吁l=L則雙曲線。的離心率

\DF\-3

為（）

A.6B.72

8.已知函數(shù)y=/(x)滿足/(x+2)=/(x—2)且/(4—x)=/(x),當xe[0,2]時,

XG0,—

2

L」，則函數(shù)分（%）=/（%）—|lgx|在區(qū)間（0,10]上的零點個數(shù)為（)

出）

B.1C.5D.10

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.設馬/2為復數(shù)，則下列命題正確的是（）

,,5+12i,|I13^/5

A.若馬=------，則4==^

1l-2i1115

B.若歸一2]<1,則1<Z]<3

C.若2產(chǎn)0,則4與Z2互為共軌復數(shù)是4烏=|消的充要條件

D.若閔=兇=1,k+Z2|=G，則>-&]=1

10.如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=BD=2,且ADLBD,BF為△BCD的中線，將△BCF沿

8尸折起，使點。到點E的位置，連接AE,DE,CE,且CE=2,則（）

2

E

B.AE與平面班戶所成角的正切值是J5

D.點C到平面瓦汨的距離為逅

C.8c與。E所成的角為30°

3

11.設函數(shù)/(x)=‘in"，貝!j()

x+cosx

TT2

A./(x)在0,|上單調遞增B./(%)在[0,+00)上的最大值為一

71

JT1

C.方程/(九)=1只有一個實根D.Vxe0,y,都有/(九)']九成立

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知圓錐的底面周長為8?,其側面積與半徑為石的球的表面積相等，則該圓錐的體積為

13.^2-1j(x3—的展開式中x項的系數(shù)是.(用數(shù)字作答)

14.已知函數(shù)/(%)滿足其導函數(shù)/'(%)為偶函數(shù)，/(O)=l,/T|j=O,在如下三個函數(shù):

①/(x)=g?+@/(x)=ex1sinx+dx1+x；③/(x)=居3+7〃sinx+3x中，共有6個參數(shù)a,b,c,

(4411

d,左，機.請在集合〈0,1,-2,-—————中，取出合適的數(shù)賦予上面6個參數(shù).使其滿足題目要求，則

[7T237V2n\

a,b,c,d,左，機的值分別是(按對應的參數(shù)順序寫)；止匕時，在函數(shù)③中，/(%)的極小值

.(第一空2分，第二空3分)

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

1(2—1

已知函數(shù)/(%)=-ln%一XH--------.

2x

(1)當a=:時，求/(%)的單調區(qū)間；

(2)當xe[l,+oo)時，/(x)<—；恒成立，求實數(shù)。的最大值.

3

16.（15分）

目前不少網(wǎng)絡媒體都引入了虛擬主播，某視頻平臺引入虛擬主播A,在第1天的直播中有超過100萬次的觀

看.則當天觀看虛擬主播A的直播的概率為工，若前一天沒有觀看虛擬主播A的直播，則當天觀看虛擬主播A

3

3

的直播的概率為《，求小李第2天與第3天至少有一天觀看虛擬主播A的直播的概率；

2

（2）若未來10天內虛擬主播A的直播每天有超過100萬次觀看的概率均為一，記這10天中每天有超過100

3

萬次觀看的天數(shù)為X.

①判斷人為何值時，P（X=k）最大;

②記丫=（—1『，求E（y）.

17.（15分）

如圖，三棱錐A—BCD的所有棱長都是46，E為CD的中點，F(xiàn)G〃正且A為EG的中點.

（1）求證：平面ACDJ_平面ABR；

（2）若FG〈2AB,平面ABC與平面DEG夾角的余弦值為9,求FG的長.

9

18.（17分）

已知直線/與平面a所成的角為60。，動點P在平面a內，如果點P到直線/的距離總是百，則點尸的軌跡

為橢圓C,如圖所示.以該橢圓的中心為坐標原點，長軸所在直線為x軸建立平面直角坐標系.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設A,B分別為橢圓C的左、右頂點，動點。在直線x=4上，直線QA交橢圓C于另一點"，直線

交橢圓。于另一點N,探究：直線是否經(jīng)過一定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說

明理由.

19.（17分）

4

我們把滿足下列條件的數(shù)列｛4｝稱為機-L數(shù)列：

①數(shù)列｛??｝的每一項都是正偶數(shù)；

②存在正奇數(shù)相，使得數(shù)列｛4｝的每一項除以m所得的商都不是正偶數(shù).

(1)若a,b,c是公差為2的等差數(shù)列，求證：a,b,。不是3—L數(shù)列；

(2)若數(shù)列也｝滿足對任意正整數(shù)p,q,恒有％+g=-+-bpbQ,且偽=8,判斷數(shù)列，，，是否是7—L

數(shù)列，并證明你的結論；

(3)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝共有100項，且對任意1W〃W1OO,恒有

3.3..3

t

q+c2+.+c.=_323^(左cN*),若數(shù)列｛g｝為111—L數(shù)列，求滿足條件的所有

AIk+kc、+kc[+,+kc〃+k

兩位數(shù)左值的和.

2024屆高三4月大聯(lián)考(新課標卷)

數(shù)學-全解全析及評分標準

1234567891011

BCACADABACDABBCD

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.B【解析】由題意，知4=｛0,1｝,B=｛—1,0,1｝,所以AB=｛0,l｝.故選B.

2.C【解析】因為點M(3p—2,0+2)在拋物線。上,所以(30-2)2=2°5+2),整理,得702—160+4=0,

2

解得p=2或〃=*.故選C.

3.A【解析】由|小襯得|a||b|=：|a『.由a=ja<a+b),得21al?=31a『+3。小，所以

a-b=--\a\L,所以cos8=±L=—工.因為8e[0,捫，所以。=2工.故選A.

3\a\\b\23

44

4.C【解析】因為數(shù)據(jù)石,々,七，%的平均數(shù)為元，方差為廣，所以￡智=4無，2(七_元y=4s2,所以數(shù)

z=li=l

5

4

2(x,.-x)2+(x-x)2

4￥+Y

據(jù)看,%2，%3，%4，元的平均數(shù)為卷土二元，方差為衛(wèi)------------------=152.故選C.

5.A【解析】因為幺=一1,所以%+。8=0，所以/+為=%+%0=0.

因為5110—5*4=。5+。6+%+“8+。9+〃10=0，所以S］0=邑.故選A.

6.D【解析】易知函數(shù)/(幻的最大值為4.設/(x)的最小正周期為T,依題意，得42+(；］-MN2=25,

解得T=12,所以二=12,解得。=工，所以/(x)=4cos［工x+°］.又點在函數(shù)/(x)的圖象

①6\6)14J

上，所以/審=4COS［M；+(|=0,結合圖象，知看x：+0=］，解得夕=(，所以

/(x)=4cos［?x+/］,所以/=4cos+=4cost=2.故選

7.A【解析】由題意，知雙曲線C的漸近線方程為以土分=0.

設雙曲線C的半焦距為c,則右焦點F(c,0)到漸近線的距離|DF|=嚴?=b.

yjb2+a2

22

設點￡(%,%)，則與T=l，即〃焉―

ab

又阿|因=華2.<理=學，所以用卑二」，解得呼省.故選A.

1"1。2|DF|2C2e23

8.B【解析】由題意，知4為函數(shù)y=/(x)的一個周期且函數(shù)/(x)的圖象關于直線x=2對稱.

當xe［0,2］時，由函數(shù)y=/(x)的解析式，兩出函數(shù)/(%)的大致圖象如圖所示.

當xe(0,l)時，函數(shù)y=/(x)的圖象與函數(shù)y=|lgx|的圖象有且僅有一個交點；

當je［1,10］時，總有了(%)21.而函數(shù)y=|lgx|在區(qū)間［1,10］上單調遞增且|lglO|=l,

/(10)=/(2)=|>1,所以函數(shù)y=/(x)的圖象與函數(shù)y=|lgx|的圖象在區(qū)間［1,10］上沒有交點.

綜上，函數(shù)/(x)=/(x)—|lgx|在區(qū)間(0,10］上的零點個數(shù)為1.故選B.

6

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

|5+121|

9.ACD【解析】對于A,|Z1|==J1=1^,故A正確；

’11-21|,55

對于B,虛數(shù)不能比較大小，當馬為虛數(shù)時不滿足題意，故B錯誤；

對于C,若Z2=Z],則Z]?Z?=Z]?Z]=歸『，充分性成立.若Z]?Z2=歸『，則Z[?Z2=Z[?Z],即

Z[?（Z?-Z]）=0.又Z]w0,所以z?=Z],必要性成立.綜上，當Z[#0時，Z]與z2互為共軌復數(shù)是-z2=

的充要條件，故c正確；

對于D,由閔=%|=1,[Z]+Z2|=G，知在復平面內，Z]與Z2對應的向量的夾角為60。，所以歸_Z21=1,

故D正確.故選ACD.

10.AB【解析】因為AD=5D=2,且ACBD,所以A3=CD=2形，ZDBC=90°.

又5歹為△BCD的中線，所以CF=BF=EF=O.

因為CE=2,所以跖，C戶.由題意，知BE=BC=2,所以EFLBF.

又CFBF=F,且C尸，Mu平面ABCD,所以叱，平面ABCD,故A正確；

因為瓦'LCE,BFLCF,EF\BF=F,所以平面5石戶.

又ABIICF,所以W平面巫尸.所以AE與平面5石戶所成的角為NAEB.

在RtZkAEB中，AB=272,BE=2.所以tanNAEB="=后，故B正確；

BE

因為所以4DE或其補角即為與OE所成的角，連接A尸，在八4/加中，AD=2,

DF=y/2,ZADF^135°,所以由余弦定理，得AF=12?+（收了一2x2義形x—牛=M-

在RtAAEF中，由勾股定理，得?1￡=，4尸+￡尸=&0+2=26

所以在ZVIDE中，AD=DE=2,AE=2百.

由余弦定理的推論，得cosNADE=2-+2-T26）二=,所以“汨二口。。，

2x2x22

所以5C與所成的角為6。。，故C錯誤;

7

因為5￡>=5。=2,且/DBC=90。，所以S^BCD=2.又60=。石=包=2,所以S^BED=中義22

因為點E到平面的距離為所=形，所以由等體積法，得點C到平面3。石的距離為莘=2西，故

有3

D錯誤.故選AB.

11.BCD【解析】f'(x)=XC°SX-sin：+l,令g(無)=xcosx-sinx+l,貝!Jg'(x)=-xsinx,

(x+cosx)

當x￡[0,?)時，sinx>0,所以g'(%)<0,g(x)在[0,?)上單調遞減.

又=所以當XE0，T時，g(l)20，即/'(x)N。，當,寸，g(x)<0,即/'(x)<0,

上單調遞減，所以在［0,?)上，/(%)</^=|

所以/(x)在0,j上單調遞增，在，萬

cinx122

當xe[1,+8)時，<—^<-,所以/(x)在[0,+oo)上的最大值為*,故A錯誤，B正確;

X+COSX71TC71

由圖象，知丁=%與>=的圖象只有一個交

點，故C正確;

人，/、，/、1…，/、xcosx-sinx+11(sinx-1)2-x2(sinx+x-l)(sinx-x-1)

令丸(x)=/(x)-升則〃(x)=(-JF

2(x+cosx)22(x+cosx)2

JT

當0,—時,sinx-x-l<0y=sinx+x-l單調遞增，當x=0時，y=-1<0,

3

當X=(時，y=^+1-l>0,所以/z(x)在0,1上先增后減.又〃(0)=0,

_一四>/_至>0,所以々(xRO成立，故D正確.故選BCD.

2"+367T6

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.167V【解析】設該四金隹的底而半徑為r,母線長為/,則2幻'=8〃，解得r=4.

因為半徑為百的球的表面積為4萬x(、后)2=20］，所以不力=20不，解得/=5.

所以圓錐的高〃—/=3.所以該圓錐的體積17=」%/無=j_乃*42><3=16乃.故填16不.

33

13.-27【解析】由選意，知卜？—展開式的近項為&1=。］(—2)「/3,r=01,2.

8

3,r=0

I展開式的通項為/+i=C；?(—3)Ry9-4R,R=O」,2,3,所以當，時，可配湊出x項，此時x

XR=3

項的系數(shù)為CX(-2)0XC；X(—3)3=-27.故填—27.

14.一一4，1，一~0,--4，-2；2—萬【解析】對于①，因為/(%)=1%2+"，所以/'(x)=3以之+人,

3〃n7i

3alm+1=0,所以口4

顯然/'(%)為偶函數(shù)，因為尸(0)=人=1,所以6=1.又于'

對于②，因為/(%)=ofsinx+dx2+x,所以((%)=2cxsinx+cx2cosx+2dx+1.

771

因為/'(%)為偶函數(shù)，所以d=0,顯然/'(0)=1.又廣2c?—+1=0,所以c=—

27C

對于③，因為/(x)=fcr3+7〃sinx+3x,所以/'(x)=3Ax?+mcosx+3,

4

易知/'(九)為偶函數(shù).又/'(0)=m+3=1,所以加=—2.又/'+3=0,所以Z=—5.

71

41

所以a,byc,dfk,機的值分別為----^-,1,----,0,——____2

3/兀尸

,4Q/、12,

此時，③中/(%)=---^-x3-2sinx+3x,/'(力二一——九2—2cosx+3.

7171

方法一：由/'(x)=0,得2cosx=—二必+3,結合圖象，得X=土工，

712

nn

所以當XC時，/'(x)>0，/(x)單調遞增,

3,萬

當了€卜00,-]],XC[q,+00)時，/'(x)<0,/(X)單調遞減,

所以函數(shù)/(處的極小值為f]=—：x]—-2x(-l)+3x^-|^|+2-^=2-7T.

414

故填一丁方」,---,。,^-，―2；2—7T.

、兀71幾

12c