2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破第8章平面解析幾何第6講雙曲線第1課時(shí)考點(diǎn)3雙曲線的幾何性質(zhì)

雙曲線的幾何性質(zhì)角度1雙曲線的焦點(diǎn)、焦距、實(shí)軸、虛軸、頂點(diǎn)、范圍1.(2024·浙江浙南名校聯(lián)盟聯(lián)考)雙曲線C：y2－eq\f(x2,3)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(D)A．(±2,0) B．(±eq\r(2)，0)C．(0，±eq\r(2)) D．(0，±2)[解析]由題意可知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，c2＝1＋3＝4，故焦點(diǎn)為(0，±2)，故選D.2．(2023·福建福州一中模擬)已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1，過(guò)E的右頂點(diǎn)A且與一條漸近線平行的直線交y軸于點(diǎn)B，△OAB的面積為2，則E的焦距為(D)A.eq\r(2) B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)[解析]由題意可得，A(a,0)，且直線AB與雙曲線的一條漸近線平行，所以kAB＝eq\f(2,a)，則可得直線AB的方程為y＝eq\f(2,a)(x－a)，令x＝0，可得y＝－2，即B(－2,0)，所以|OA|＝a，|OB|＝2，則S△OAB＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)×a×2＝2，解得a＝2，所以c2＝a2＋b2＝4＋4＝8，即c＝2eq\r(2)，則E的焦距2c＝4eq\r(2).故選D.【變式訓(xùn)練】(2024·河南名校聯(lián)考)已知雙曲線C：x2－eq\f(y2,m)＝1的離心率為3，則C的虛軸長(zhǎng)為4eq\r(2).[解析]由題意得eq\f(c,a)＝3，則c＝3，b＝eq\r(c2－a2)＝2eq\r(2)，故虛軸長(zhǎng)2b＝4eq\r(2).角度2雙曲線的漸近線1.(2022·北京)已知雙曲線y2＋eq\f(x2,m)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，則m＝－3.[解析]對(duì)于雙曲線y2＋eq\f(x2,m)＝1，所以m<0，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2－eq\f(x2,－m)＝1，則a＝1，b＝eq\r(－m)，又雙曲線y2＋eq\f(x2,m)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，所以eq\f(a,b)＝eq\f(\r(3),3)，即eq\f(1,\r(－m))＝eq\f(\r(3),3)，解得m＝－3.2．(2024·重慶巴蜀中學(xué)月考)已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在E上，且cos∠F1AF2＝eq\f(3,5)，|AF1|＝2|AF2|，則E的漸近線方程為(C)A．y＝±eq\f(5,8)x B．y＝±eq\f(8,5)xC．y＝±eq\f(2\r(10),5)x D．y＝±eq\f(\r(10),4)x[解析]由雙曲線的定義可得：|AF1|－|AF2|＝2|AF2|－|AF2|＝|AF2|＝2a，則|AF1|＝2|AF2|＝4a，在△AF1F2中由余弦定理得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|·cos∠F1AF2，即4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·eq\f(3,5)，即c2＝eq\f(13,5)a2?a2＋b2＝eq\f(13,5)a2?eq\f(b,a)＝eq\f(2\r(10),5)，E的漸近線方程為y＝±eq\f(2\r(10),5)x，故選C.名師點(diǎn)撥：求雙曲線的漸近線方程的方法求雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線的方法是令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即得兩漸近線方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0.或確定焦點(diǎn)位置并求出eq\f(b,a)或eq\f(a,b)的值，從而寫(xiě)出漸近線方程．注：如圖F為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)，l為漸近線；FH⊥l于H，則|FH|＝b，|OH|＝a.提醒：兩條漸近線的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù)．兩條漸近線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱．【變式訓(xùn)練】(2024·福建泉州質(zhì)檢)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,6)＝1的焦距為4eq\r(3)，則C的漸近線方程是(A)A．y＝±x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(3),3)x D．y＝±eq\f(\r(7),7)x[解析]由已知，可得b2＝6,2c＝4eq\r(3)，所以c＝2eq\r(3)，a2＝c2－b2＝12－6＝6，即C的方程為eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.所以C的漸近線方程是y＝±x.故選A.角度3雙曲線的離心率1.(2023·河北衡水中學(xué)模擬)若雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(3)，則C的離心率為eq\f(2\r(3),3).[解析]不妨設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為bx＋ay＝0，因?yàn)閳A心到漸近線的距離為d＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，故eq\f(|2b＋0|,\r(a2＋b2))＝1，整理得eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,3)，所以雙曲線C的離心率為e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(2\r(3),3).2．(2024·湖南名校聯(lián)合體聯(lián)考)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1的直線與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為A，在△AF1F2中，|F1A|＝|F1F2|，∠AF2F1＝30°，則雙曲線C的離心率是eq\f(\r(3)＋1,2).[解析]因?yàn)閨F1A|＝|F1F2|，所以|AF1|＝|F1F2|＝2c，由雙曲線的定義知|AF2|－|AF1|＝2a，所以|AF2|＝2a＋2c.如圖，取M為AF2的中點(diǎn)，所以|F2M|＝eq\f(1,2)|AF2|＝a＋c，又∠AF2F1＝30°，得|F1M|＝c，所以在直角ΔF1MF2中，|F1M|2＋|F2M|2＝|F1F2|2，即c2＋(a＋c)2＝(2c)2，得a2－2c2＋2ac＝0，所以1－2e2＋2e＝0，解得e＝eq\f(±\r(3)＋1,2)，因?yàn)閑>0，所以雙曲線C的離心率是eq\f(\r(3)＋1,2).3．(2024·湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知圓C1：x2＋y2＝b2(b>0)與雙曲線C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，若在雙曲線C2上存在一點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P所作的圓C1的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，且∠APB＝eq\f(π,3)，則雙曲線C2的離心率的取值范圍是(B)A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，＋∞))C．(1，eq\r(3)] D．[eq\r(3)，＋∞)[解析]連接OA、OB、OP，則OA⊥AP，OB⊥BP，由切線長(zhǎng)定理可知，|PA|＝|PB|，又因?yàn)閨OA|＝|OB|，|OP|＝|OP|，所以，△AOP≌△BOP，所以，∠APO＝∠BPO＝eq\f(1,2)∠APB＝eq\f(π,6)，則|OP|＝2|OA|＝2b，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則y2＝eq\f(b2x2,a2)－b2，且|x|≥a，所以|OP|＝2b＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(x2＋\f(b2x2,a2)－b2)＝eq\r(\f(c2x2,a2)－b2)≥eq\r(\f(c2,a2)·a2－b2)＝a，所以eq\f(b,a)≥eq\f(1,2)，故e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)≥eq\r(1＋\f(1,4))＝eq\f(\r(5),2)，故選B.名師點(diǎn)撥：求雙曲線離心率或其范圍的方法1．直接法：由題設(shè)條件求出a，c，從而得e.2．等價(jià)轉(zhuǎn)化法：由e＝eq\f(c,a)或e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))等公式將已知條件轉(zhuǎn)化為e的等式，從而得e.3．列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解．解題時(shí)要特別注意幾何特點(diǎn)，以簡(jiǎn)化運(yùn)算或?qū)で蟛坏汝P(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．(2023·廣東梅州一模)由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)下支的部分，且此雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為60°，則該雙曲線的離心率為(D)A.eq\f(\r(3),3) B．eq\r(3)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(2\r(3),3)[解析]由題意知一條漸近線的傾斜角為60°.∴k＝eq\f(a,b)＝tan60°＝eq\r(3)，∴e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(2\r(3),3).故選D.2．(2024·廣西北海模擬)已知直線y＝x＋1與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線交于A，B兩點(diǎn)，且A在第一象限．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OA|＝2|OB|，則雙曲線C的離心率為(B)A.eq\r(5) B．eq\r(10)C．2 D．5[解析]因?yàn)閨OA|＝2|OB|，所以xA＝－2xB，設(shè)B(m，m＋1)，則A(－2m，－2m＋1)，因?yàn)閗OA＋kOB＝0，所以eq\f(m＋1,m)＋eq\f(－2m＋1,－2m)＝0，解得m＝－eq\f(1,4)，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，所以eq\f(b,a)＝3，則e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(10).故選B.3．(2024·河南頂尖名校聯(lián)盟期中)已知雙曲線C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，A為C的上頂點(diǎn)，B(0,5a)．若在C的漸近線上存在一點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則C的離心率的取值范圍為(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(2),4))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(2),4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(5),5))) D．eq\b\lc\(\rc\](\