2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.2.3直線的一般式方程課件新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

第二章2.2.3直線的一般式方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解直線的一般式方程的形式特征,理解直線的一般式方程與二元一次方程的關(guān)系.(邏輯推理)2.能正確地進(jìn)行直線的一般式方程與特殊形式的方程的轉(zhuǎn)化.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)

3.能運(yùn)用直線的一般式方程解決有關(guān)問(wèn)題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)1

直線的一般式方程定義:關(guān)于x,y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程,簡(jiǎn)稱一般式.

一般式方程可以表示平面內(nèi)任意一條直線名師點(diǎn)睛1.解題時(shí),如無(wú)特殊說(shuō)明,應(yīng)把最終結(jié)果化為一般式.2.直線的一般式方程與其他形式的互化.微思考1.方程y-y0=0是二元一次方程嗎?

2.直線與二元一次方程的關(guān)系是什么?提示

是,是A為0的特殊的二元一次方程.提示

二元一次方程從形上來(lái)看代表直線,直線從代數(shù)上通過(guò)二元一次方程刻畫.知識(shí)點(diǎn)2

兩條直線的位置關(guān)系

名師點(diǎn)睛直線的一般式方程的法向量若直線l的方程為Ax+By+C=0,則直線l的法向量為n=(A,B),方向向量為(B,-A),法向量與方向向量垂直.兩直線平行,則其法向量也平行;兩直線垂直,則其法向量也垂直.直線的法向量在討論直線位置關(guān)系時(shí)運(yùn)算相對(duì)簡(jiǎn)單,且可以避免討論直線斜率不存在的情況.微思考1.兩條直線的斜率相等,這兩條直線是否平行?

2.直線l1:ax+(a+2)y+2=0與l2:x+ay+1=0平行,則實(shí)數(shù)a的值為-1或2.是否正確?提示

不一定,還有可能重合.平行關(guān)系的判斷,關(guān)鍵在于排除是否重合.提示

不正確,沒(méi)有排除重合的情況.由l1∥l2知,a×a=1×(a+2),即a2-a-2=0,∴a=2或a=-1.當(dāng)a=2時(shí),l1與l2重合,不符合題意,舍去;當(dāng)a=-1時(shí),l1∥l2.∴a=-1.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問(wèn)題1直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式方程都是關(guān)于x,y的二元一次方程.這是否說(shuō)明直線與二元一次方程都有這種關(guān)系?問(wèn)題2平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程表示嗎?問(wèn)題3任意一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程都表示一條直線嗎?探究點(diǎn)一直線的一般式方程問(wèn)題4直線的其他形式方程可否轉(zhuǎn)化為一般式方程?本質(zhì)上說(shuō)明什么問(wèn)題?問(wèn)題5直線的一般式方程,形式上如何約定其規(guī)范?【例1】

根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程,并化為一般式方程.(1)斜率是,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,3);(2)斜率為4,在y軸上的截距為-2;(3)經(jīng)過(guò)A(-1,5),B(2,-1)兩點(diǎn);(4)在x軸、y軸上的截距分別是-3,-1.思路分析先選擇合適的形式將直線方程寫出來(lái),再化為一般式.規(guī)律方法

直線的一般式方程的特征求直線方程時(shí),要求將方程化為一般式方程,其形式一般作如下設(shè)定:x的系數(shù)為正;系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù);一般按含x項(xiàng)、含y項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)的順序排列.探究點(diǎn)二由一般式方程判斷兩直線平行或垂直問(wèn)題6通過(guò)直線的一般式方程,能否看出其蘊(yùn)含的直線方向特征?據(jù)此,如何利用直線的一般式方程來(lái)判斷兩直線的位置關(guān)系?【例2】

(1)已知直線l1:2x+(m+1)y+4=0與直線l2:mx+3y-2=0平行,求實(shí)數(shù)m的值.思路分析利用在一般式方程下,兩直線平行或垂直的條件求解.解

由2×3-m(m+1)=0,得m=-3或m=2.當(dāng)m=-3時(shí),l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,顯然l1與l2不重合.同理,當(dāng)m=2時(shí),l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1與l2不重合.故m的值為2或-3.(2)已知直線l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0與直線l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,求實(shí)數(shù)a的值.解

由直線l1⊥l2,得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1.故當(dāng)a=1或a=-1時(shí),直線l1⊥l2.規(guī)律方法

由直線的一般式方程解決平行與垂直問(wèn)題的兩個(gè)等價(jià)關(guān)系.若直線l1:A1x+B1y+C1=0,直線l2:A2x+B2y+C2=0,A1和B1,A2和B2均不同時(shí)為0,則(1)l1∥l2?A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0);(2)l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.探究點(diǎn)三含有一個(gè)參數(shù)的一般式方程的定點(diǎn)特征問(wèn)題7通過(guò)直線的點(diǎn)斜式方程y-1=k(x-2)很容易看出直線過(guò)定點(diǎn)(2,1),若化為直線的一般式方程kx-y+1-2k=0,可否從代數(shù)的角度來(lái)理解直線過(guò)定點(diǎn)?問(wèn)題8有怎樣特征的直線方程會(huì)過(guò)定點(diǎn)?如何求此定點(diǎn)坐標(biāo)?【例3】

已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R),則該直線過(guò)定點(diǎn)

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(-2,1)解析

∵直線l:kx-y+1+2k=0,即k(x+2)+(-y+1)=0,當(dāng)x=-2,y=1時(shí),k無(wú)論取何值,方程都成立.∴該直線過(guò)定點(diǎn)(-2,1).本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)直線的一般式方程;(2)直線五種形式方程的互化;(3)利用直線方程判定直線的平行與垂直位置關(guān)系.2.方法歸納:分類討論法、轉(zhuǎn)化化歸.3.常見(jiàn)誤區(qū):(1)容易忽視直線斜率不存在的情況;(2)容易忽視兩直線重合的情況;(3)容易對(duì)于直線的一般式方程形式化簡(jiǎn)不徹底.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)1231.(例1對(duì)點(diǎn)題)根據(jù)下列各條件寫出直線的方程,并化成一般式.(1)斜率是-,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(8,-2);(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4,2),且平行于x軸;(3)在x軸和y軸上的截距分別是,-3;(4)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(3,-2),P2(5,-4).1231232.(例2對(duì)點(diǎn)題)已知點(diǎn)A(2,2)和直線l:3x+4y-20=0.求:(1)過(guò)點(diǎn)A和直線l平行的直線方程;(2)過(guò)點(diǎn)A和直線l垂直的直線方程.解

(1)將與直線l平行的直線方程設(shè)為3x+4y+C1=0.又過(guò)點(diǎn)A(2,2),所以3×2+4×2+C1=0,解得C1=-14.所求直線方程為3x+4y-14=0.(2)將與直線l垂直的直線方程設(shè)為4x-3