2024高考二模模擬訓練數(shù)學試卷（解析版）

備戰(zhàn)2024高考二模模擬訓練卷（1）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.集合卜€(wěn)叫2關(guān)-3|<3}的真子集個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解答】

解：因為卜叫-3<2》-3<3}={1,2}所以該集合的真子集的個數(shù)2?-1=3.故選：B

2.已知，為虛數(shù)單位.若復數(shù)2=土4一上產(chǎn)，則彳的虛部是（）

2-z

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】B

【解答】

4-臚55(2+7)

解:2+z,

2-z~2-i~(2-z)(2+z)

z=2-i

所以虛部為-1,

故選：B.

3.在A4BC中，己知8=30°,/C=3,點D在邊4B上,且AD=3,D4=DC,則//=()

n兀一兀

B.一D.一或——

6618

【答案】C

【解答】

解：設(shè)NA=4：.NDCA=a/BDC=2仇/BCD=——20,

6

_____=___________nCD=____________

△ADC中'sin30°.15萬A4OC中

I6)I6)

CD353sin。3

..=----r=3=—--=----,

sin。sin(4—2。)sin262cos6

第1頁，共20頁

nsinsin,20

yr57r

-2?；颉?+——2071,貝1J夕=2或工

2639

4.某校開設(shè)了素描、攝影、剪紙、書法四門選修課，要求每位同學都要選擇其中的兩門課程.已知甲同學選了素

描，乙與甲沒有相同的課程，丙與甲恰有一門課程相同，丁與丙沒有相同課程.則以下說法錯誤的是（）

A.丙有可能沒有選素描B,丁有可能沒有選素描

C.乙丁可能兩門課都相同D.這四個人里恰有2個人選素描

【答案】C

【解答】

解：因為甲選擇了素描，所以乙必定沒選素描.

那么假設(shè)丙選擇了素描，則丁一定沒選素描；

若丙沒選素描，則丁必定選擇了素描.

綜上，必定有且只有2人選擇素描，選項4,B,。判斷正確

不妨設(shè)甲另一門選修為攝影，則乙素描與攝影均不選修，

則對于素描與攝影可能出現(xiàn)如下兩種情況：

情形一：

甲乙丙T

素描XX

攝影7XX4

情形二：

甲乙丙T

素描XX

攝影XX

由上表可知，乙與丁必有一門課程不相同，因此C不正確.

故選：C.

5.大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍

生，即太極生兩儀原理，如圖，圖中?

表示太極，■

第2頁，共20頁

表示陽儀，)

表示陰儀.若數(shù)列的每一項都代表太極衍生過程中經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，即為為天一對應的經(jīng)歷過的兩

儀數(shù)量總和0,%為衍生到地二時經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和2,4為衍生到天三時經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和4,…，

按此規(guī)律，則45為()

太極

天一

陽儀Q?陰儀地二

天三

地四

天五

qqq???地六

天七QGG妙”

地八

天九(IGGG只,?“

QQQQQ地十

A.84B.98C.112D.128

【答案】C

【解答】

2，

解：由題意2(kcN),所以％$=112.

—,77=2k,

I2

6.將一個直角邊長為2的等腰直角三角形繞其直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得圓錐的內(nèi)切球的表面積為

()

A.(20-2卜B.(48-32亞,C,(24-16⑹%D.(108—72拒卜

【答案】B

【解答】

解：依題意，作圓錐的軸截面可得到等腰直角三角形，此等腰直角三角形的內(nèi)切圓即為該圓錐內(nèi)切球截面,

如下圖所示：

4

第3頁，共20頁

由題意可得，圓錐的底面半徑為2,其母線長為20.

設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為r,

貝!J—x2>/2r+—x242r+—x4xr=—x4x2，

2222

所以r=2（J^—1）,

所以該圓錐內(nèi)切球表面積為

S=41戶=16（3-2后）萬=（48-32收）萬.

故選：B.

22

7.已知廠是橢圓￡:「+】=1（。>6>0）的左焦點，經(jīng)過原點。的直線/與橢圓￡交于尸，。兩點，若

a-b~

\PF\=3\QF\,且NP尸。=120。，則橢圓￡的離心率為（）

.V71「不口而

A.——Dn.V_z.U.

6345

【答案】C

【解答】

設(shè)橢圓右焦點為尸，連接尸p,QF',

根據(jù)橢圓對稱性可知四邊形尸尸尸。為平行四邊形，則,

因為/尸尸0=120。，可得NEP產(chǎn)=60。，所以|尸尸|+|尸尸|=4|尸尸|=2a,

13

貝！||小1=5。，|P戶|=-。，

22

由余弦定理可得(2c)2=|PF|2+|PF'\2-2|PF||PF'\cos60°=(|PF|+|PF'\)2-3\PF\\PF'\,

即4c2=4/-2/=[/即J=2_

44/16-

第4頁，共20頁

TT

,且“X）的圖象是連續(xù)不間斷，Vxe（-y,o）,有

/r(x)cosx+/(x)sinx<0,若/(加)<cosm,則次的取值范圍是（）

A（-制B.(0,1)y,小

【答案】D

【解答】

/、/(x)

解：令g(x)=42,則g'(%)=/'(x)cosx+f(x)sinx

cosXcos2X

77

因為VXE(-萬,0),有/<x)cosx+/(x)sinx<0,

rr

所以當工6(-萬,0)時，g'(x)<0,

則g（/x\）=/W（x）在（一571,°）上單調(diào)遞減'

又〃x）是定義域在（-^，］）上的奇函數(shù),

/、f(-x)/(x)/、

所以g(T)=FT-or-g"

則g（x）=Wf（X）也是（一j萬r巧jr）上的奇函數(shù)并且單調(diào)遞減'

cos加等價于」創(chuàng)心

又/（加）＜<—―,

cosm7t

cos—

3

即g(m)<

7t7171

所以加〉一，又一——<m<—,

322

第5頁，共20頁

所以一＜加＜一.

32

故選：D.

二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.在（石-的展開式中，下列說法正確的是

A.常數(shù)項是84B.二項式系數(shù)之和為512

C.各項系數(shù)之和為256D.項的系數(shù)最大的項是第5項

【答案】BD

【解答】

r

解：由題意（J-：）'的展開式的通項為Tr+l=C；x~（-1/=（-l）C；x~,

令9-3r=0,得r=3,所以常數(shù)項是（-1）3C；=-84,故/錯誤；

由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，二項式系數(shù)之和為29=512，故8正確；

令x=l,則（1-1）9=09=0,所以各項系數(shù)之和為0,故C錯誤；

由于展開式有10項，根據(jù)二項式系數(shù)性質(zhì)第五項第六項二項式系數(shù)相等且最大，再根據(jù)通項，二項式系數(shù)

等于每一項系數(shù)的絕對值，且展開式中奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，相間出現(xiàn)的，所以項的系數(shù)最大的項是

第5項，故。正確.

故選：BD.

10.若實數(shù)x,y滿足,-/=],則下列結(jié)論中正確的是（）

2

A.|x|^A/2B.x+C.-＜—D.|x—垃y\&五

x2

【答案】AB

【解答】

22

解：/=y-l,所以三-珍0,解得|刈》0，所以/正確；

f+/=2+3/22,所以3正確；

取尤=2,了=1,滿足三—丁=1,此時上=工，所以。錯誤；

2x2

第6頁，共20頁

x=2,y=-l滿足>2=i,但|2+行|>亞，所以。錯誤.

故選AB.

11.已知函數(shù)/(x)=/-ax-lnx(aeR),則下列說法正確的是()

A.若°=-1,則/(X)是?上的減函數(shù)

B.若,則f(X)有兩個零點

C.若”1,則/(x)20

D.若。>1,則曲線>=/(%)上存在相異兩點跖N處的切線平行

【答案】AC

【解答】

解：函數(shù)f(x)=x2-ax-inx(aGR),

對于4,當Q=-1,/(x)=x2+x-Inx(x>0),

f'(x)=2x+1」在(0,+8)上單調(diào)遞增，又/X-)=o,

x2

故當xe(0,；)時，f\x)<0,

則/(x)是(0,g)上的減函數(shù)，故/正確；

對于8,若=0,則/一al一1口］=0,

故。=x-----(x>0),令g(x)—x-----(x>0),

xx

|,(、11-lnxx2+lnx-l

則mig(x)=1-----=-----2----，

XX

再令h(x)=x2+Inx-l(x>0),

顯然，〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又〃(1)=0,

所以，當(0,1)時,h(x)<0,

即g'(x)<0,則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

當x￡(1,+co)時，h(x)>0,

第7頁，共20頁

即g'(x)>0,則g(x)在(1,+co)上單調(diào)遞增,

故g(x)min=5(1)=1)

要使/(x)有2個零點，則。>1,故3錯誤；

對于C,當a=l時，/(%)=x2-x-Inx(x>0),

/(x)=2x—1-,在(o,+s)上單調(diào)遞增，又/(1)=0,

x

故當xe(0,1)時，f'(x)<0,

則/(x)是在(0,1)上單調(diào)遞減；

當xe(l,+co)時，f\x)>0,

則/(x)在(1,+s)上單調(diào)遞增，

故/(x)》/(D=o,故c正確；

對于。，由于/'(x)—2x—a---(x>0),

x

若曲線了=/(X)上存在相異兩點,A^(X2,/(X2))處的切線平行,

則/'(占)=/'(》2)(芯,%>°，且占H%)，

即2X]-a---=2%2—a----,即2x1----=2x2----,

X]x2Xjx2

令t{x}=2x-—(x>0),

x

則t(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

C1C1

，

顯然，不存在不同的x2>0,且芯力》2使得2為---=2X2--,

X]%2

故。錯誤.

綜上所述，/C正確，

故選：AC.

第8頁，共20頁

12.如圖直角梯形/BCD,AB//CD,ABLBC,8C=CD==2.E為4B的中點，以。E為折痕

2

把4DE折起，使點/到達點P的位置，且尸0=2百，則.（）

A,平面PDE±平面EBCDB.PC±ED

C.二面角尸-OC-8的大小彳D.PC與平面尸瓦）所成角的正切值為J5

【答案】AC

【解答】解：/選項中，PD=AD=y）AE2+DE2=722+22=272，

在APDC中，PD°+CD2=PC2，PDLCD,

易知CQ_LZ>￡,且PDcDE=D,PD,DEu平面PDE,

CD1平面PED,-.'CDu平面EBCD,：.平面PED1平面EBCD,故A選項正確；

2選項中，先假設(shè)尸CLED,易知EQLCD,PCcCD=C,PC,CDu平面尸￡>C,

77

可得ED，平面尸AC,則尸OLED,而N4DE=/EDP=—,顯然矛盾，故3選項錯誤；

4

C選項中，易知二面角P-OC—8的平面角為/0DE,

77

根據(jù)折疊前后位于同一平面上的線線位置關(guān)系不變知/PDE=/ADE=一,故C選項正確；

4

。選項中，由上面的分析知，/。尸。為PC與平面尸成（所成角，

在RtAPCD中，tanZCPD=—=^L,故。選項錯誤.

PD2

故選：AC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若直線b-，即+2=0被圓C:尤2+J?+2X=0截得線段的長為述，則實數(shù)〃?的值為.

5--------------

【答案】±2

【解答】

第9頁，共20頁

解：圓C:x2+y2+2x=0的圓心坐標為(-1,0),半徑為1,

圓心(一1,0)到直線l：x-my+2=0的距離d=

+(-77Z)2

1n氏

由題意，得(『^)2+(+)2=/，解得加=±2.

Vl+m25

故答案為：±2

14.幕函數(shù)/(x)=xa(ae&)滿足：對任意XCR有/(r)=/(x),且/(-1)</(2)<2,請寫出符合上述

條件的一個函數(shù)/(x)=.

【答案】

【解答】

解：塞函數(shù)/'(X)=/(￡€/?)滿足：任意xe火有/(-X)=/(X),可知函數(shù)為偶函數(shù)；

又=/⑴<〃2)<2,

所以符合條件的函數(shù)為〃刈=藍(答案不唯一)?

15.古時候“五花”常指金菊花、木棉花、水仙花、火棘花、土?；ū扔鞯奈宸N職業(yè)，“八門”則指巾、皮、

彩、掛、平、團、調(diào)、聊這八種職業(yè)，廈門中學生助手從這13種職業(yè)中任取兩種職業(yè)，則這兩種職業(yè)中至

少有一種職業(yè)是“五花”的概率是.

25

【答案】—

39

【解答】

解：從這13種職業(yè)中任取兩種職業(yè)有=78種不同的選法.

這兩種職業(yè)都是“八門”的C：=28,

2825

所以這兩種職業(yè)中至少有一種職業(yè)是“五花”的概率是尸=1-一=一，

7839

故答案為:

第10頁，共20頁

16.如圖，在A/臺。中，。是5C上的一點，滿足|/C|?忸必=|/同仁到"在/。上且|/叫=!/必，延長

14cAH

交/C于點“，|/。|二|8|,tanADAC=-,則一777=，~T^~=^

3AD-----------------AC----------------

【答案】甲；片

【解答】

\AC\_CD

解：?忸必用/叫.|CD|n\AB\~BD，

：.由角平分線的性質(zhì)定理知ND是NA4C的角平分線，...NR4D=ND4Ce(0，H

■：\AE\=卬，ZC=ADAC.

1.13

tanZ.DAC——,..?可得sinNDAC—,—,cos/DAC—.—,

3AM

3

cosC~cos/DAC—~~^=.

V10

△4DC中，由余弦定理得：|/。［2=|/C『+|CD「-2|/CHCD|COSC,

2A

即|"C=2|CZ)|x.—=,—|CDI,

1111V10V1011

.AC\_\AC_6_3A/10

13

在小ABC中，sin/C=sinND4c——,cosC—cos/DA.C——.

十VioM

???AD是ABAC的角平分線，

.133

二.sin/C45=sin2C=2sinCcosC=2x—=x—==—

VI0V105

第11頁，共20頁

2

4

cos/CAB=1-2sin2C=1-2x

5

334]13

sinZCBA=sin(ZCAB+ZC)=-x-=+-x-==-=

5J105V105V10

由正弦定理得：=忸a,

sinZCBAsinZCAB

3

?平c=,附=卡MC=嚕M，而m=⑷=乎|相，

5V10

Vio

CJ人」3

BC3廂18

13

取善，工為基底，則由%M,8三點共線可得：ZA?=(I-A)Z^+AZ§?,

由C,。,8三點共線可得：屈=(1-必)次+〃刀；

即適一%=〃(萬一硝，CD=jUCB,.??〃=*

—5—13—

即4D=—AC+—AB②.

1818

■：\AM\=^AD\,,-.AD=3AM^

①式可化為：3而=3(1-2)而+32萬，SP25=3(1-2)2?/+3218(3).

設(shè)下=乙則而=/%，代入③：AD=3(1-A)tAC+3AAB

AC/

-13L13

37L=—Z=-4H5

18

②④對照得：4，解得及，即卞=7T.

3(1叫一=41

Iv718I41

故答案為：MO；1r

541

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題12分)

已知數(shù)列｛%｝滿足彳%+~^2+7“3~1----^~~^an=n[71￡N).

24o2

⑴求數(shù)列｛為｝的通項公式；

第12頁，共20頁

]

⑵設(shè)也小皿。"，數(shù)歹叫，的前〃項和為7；,證明：7；,＜1.

bh+i

【答案】解：⑴由已知一qH—出—%----1—①

2482

當〃22時,+；出+(。3+…+=〃T'②

①-②n*a“=l，=2"(心2)

而當〃=1時，；％=1,%=2也滿足上式，「.%=2"

n

(2)由(1)知bn=log2an=log22=n

111__1

bh+in(n+l)n〃+1

^1111J—=1———

T=1-----1---------F.......H------

〃223n72+1n+\

因為」一＞0,所以5=1—

—<1

n+\〃+1

18.(本小題10分)

已知函數(shù)/(%)=sin{(ox+(p)(a)＞0,[加＜])滿足下列3個條件中的2個條件.

①函數(shù))(x)的最小正周期為萬;

jr

②X=—是函數(shù)/(%)的圖象的對稱軸;

6

7T7171

③且/⑶在區(qū)間

/(R=°%'萬上單調(diào).

⑴請指出這2個條件，并求出函數(shù)“X)的解析式;

77

(2)若求函數(shù)〃x)的值域.

【答案】解：⑴由①得，由函數(shù)“X)的周期為萬，得。=2=2；

7T

.7C(i)TTC,717CC0一

由②得，—-cp=kjr+—,(p=ku+———,kEZ.

6226

./口TIG)一

由③得，—~+(p=m7i,mGZ,

4

T7171_7l

又7=紅，故紅》紅，解得0＜。(3.

COCD3

第13頁，共20頁

若①②成立，則。=2,(p=—,f(x)=sin(2x+—)；

66

若①③成立，則。=冽〃一詈=勿4—],mGZ,與I"|<]不合題意；

7777/7)TTCD

若②③成立，則左?+工—婦=冽%—%,即G=12(加—左)—6c(0,3],

264

得加一后與加，A-eZ,與③矛盾，所以②③不成立.

所以只有①②成立，/(x)=sin(2x+—).

6

(2)xe[0,f]時，2x+￡e[g,苧],

3666

所以sin(2x+工)e,

62

兀1

所以函數(shù)/(X)在xe[0,1]內(nèi)的值域是寫,1].

19.(本小題12分)

在梯形中，ABIICD,ZZ)=90°-AB=272?AD=DC=亞，如圖1.現(xiàn)將右/。。沿對角線

NC折成直二面角P—NC-B,如圖2,點M在線段AP上.

(1)求證：AP1CM；

(2)若點M到直線/C的距離為迪，求也的值.

5BP

【答案】證明：⑴在直角梯形/BCD中，N￡>=90°，AD=DC=g，所以ZC=2,

在A/BC中，ZCAB=45°，ZC=2,AB=272-

所以心=AC~+AB2-2AC-ABcosZCAB=4,

所以4^2=/c2+3。2,即

因為二面角P—是直二面角，平面48Cc平面P4C=/C,且BCu平面NC5,

所以8C_L平面尸NC,

又4Pu平面PNC,所以尸，

第14頁，共20頁

因為尸C,PCcBC=C,PC,BCu平面P3C,

所以/PL平面尸5C,

又因為CWu平面P8C,所以NP_LCN;

解：（2）如圖，以C為坐標原點，CA,C3所在直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系,

則C(0,0,0),5(0,2,0),4(2,0,0),

尸(1,0,1),

所以a=(2,0,0),而=(1,-2,1),5C=(0,-2,0),

因為點M在線段AP上，

所以設(shè)兩=4而，,

貝ij屈=兩一反=A(l,-2,l)-(0,-2,0)=(A,2-2^,2),

因為點河到直線/c的距離為會？，

5

所以|西人也<3,CM>=^,

又cos<聲，■>=,匕=/

乂cos<。|Cf4|.|CM\擊)一X二+4

_一，儲-

所以sm<G4,CM>=)65—8%+64

J5儲-82+4275,

即"6川-跋+小------------.所以2522-402+16=0,

76A2-8A+4

4BM4

解得八丁即定石

第15頁，共20頁

20.(本小題12分)

在信道內(nèi)傳輸0,1信號,信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時，收到1的概率為a(0<]<1),收到0的概率為1-a；

發(fā)送1時，收到0的概率為4(0<尸<1),收到1的概率為1-P.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.

單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則

如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依

次收到1,0,1,則譯碼為1).

⑴當夕=；,〃；時，

(i)采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,求依次收到1,0,1的概率；

(ii)采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,求譯碼為1的概率;

(2)若發(fā)送0,采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率，求。的取值范圍.

【答案】解：⑴⑴記“采用單次傳輸方案，依次發(fā)送1,0,1,依次收到1,0,1”為事件/,

則尸⑷卜

(ii)記“采用三次傳輸方案，發(fā)送1,譯碼為1”為事件3,

(2)記“發(fā)送0,采用三次傳輸方案譯碼為0”為事件C,

記“發(fā)送0,采用單次傳輸方案譯碼為0”為事件。，

貝！|P(C)=(l-a)3+C^(l-a)2a=(l-a)2(l+2a),

P(D)=l-a,所以(l-a)2(l+2a)>l-a,

因為0<夕<1,整理得2a2-々<0，

解得0<a<—.

2

21.(本小題12分)

已知函數(shù)/(x)=lnx-ax+l有兩個零點再，x2,且西〉2%,

⑴求。的取值范圍；

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⑵證明：6-(考+9)>4也.

再X2

【答案】解：⑴〃x)=lnx-ax+l的定義域為(0,+8),/，(幻=！一。=匕竺

XX

當”0時,

/'(%)〉。恒成立，所以/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故/(%)不可能有兩個零點，故舍去;

當〃>0時,

令((x)>0,解得0<X<1；令/，(了)<0,解得

aa

所以“X)在(0,-)上單調(diào)遞增，在(L+8)上單調(diào)遞減，

aa

所以〃x)m,x=/d)=lnL

aa

要使/(x)有兩個零點,則/(x)=/(-)=ln->o,

maxaa

解得0<Q<1.

444?4

/(—)=ln———+l=21n----+1,

eeeeaaaaa

2，22(l-m)

令機=一>2,則>=21n加一2m+1,y=——2=-^----^<0

amm

所以函數(shù)V=21n冽-2加+1在(2,Tyq)上單調(diào)遞減,

所以>=21n加一2m+l<21n2-3<0,即/7<0,

1114In%-Q%I+1=0

所以當0<〃<1時，/(X)在(一,一)和(一,二)上各有一個零點工2，、1，且西〉2工2，所以

eaaaInx2-ax2+1=0

由/(x)單調(diào)性知，當、￡(>2，再)時，/(工)>0，當(%i，+8)時，/(x)<0,

因為％2<2%2<不，所以/(2%2)〉0，BPln(2x2)-a-2x2+1>Inx2-ax2+1,

所以a%<In2,

而ax2+lnx2-ax2+1<ln2,所以0<%<一，

lnx2+1

又。=

A7/、lnx+1/八2,7,,、1—Inx—1-Inx

令h(x)=------xG(0,-),貝(Jh\x)=--------

XexJi

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所以人(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，

e

7/、7N、In2eln21_

.h(x)<h(一)=—=-----br、i/八eln2

所以e22，所以?！?0,(一).

e一

（2）由于e(—+—)>e-2(%[工2，

要證e(g+E)〉4行，

x{x2

即證e?2dxi也,

8

即證為'22~?，

e

即證In/+In%223ln2-2,

In^+1=。再

v11，設(shè)及2=玉，，〉2，

]nx2+l=ax2

iIn，11In，11

In%2=—--1,InXy——--1+InZ,

11