2024年高考數(shù)學：特殊平行四邊形的綜合問題（重點突圍）(教師版)

高考復習材料

特殊平行四邊形的綜合問題

.【中考考向導航】

目錄

【直擊中考】...................................................................................1

【考向一特殊平行四邊形中的折疊問題】.....................................................1

【考向二特殊平行四邊形中旋轉問題】.......................................................7

【考向三特殊平行四邊形中定值問題】......................................................13

【考向四特殊平行四邊形最小值問題】.....................................................19

【考向五特殊平行四邊形中點四邊形問題】.................................................25

【考向六特殊平行四邊形中的動態(tài)問題】...................................................33

a;1

《一角【直擊中考】

【考向一特殊平行四邊形中的折疊問題】

例題：（2022秋?甘肅蘭州?九年級統(tǒng)考期中）將矩形紙片/BCD沿AD折疊得到△BCD,C'D與4B交于點

E,若Nl=35。，則N2的度數(shù)為（）

*-------------'

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】B

【分析】根據(jù)矩形的性質，可得乙4瓦?=/1=35。，ZABC=90°,進而求得乙D8C=55。，根據(jù)折疊可得

ZDBC=NDBC=55°,最后根據(jù)Z2=ZDBC-ZABD進行計算即可.

【詳解】解：???四邊形/BCD是矩形，

CD//AB,ZABC=90°,

：.ZABD=Z1=35°,

ZDBC=ZABC-NABD=55°,

由折疊可得ZDBC=ZDBC=55°,

.-.Z2=ZDBC-ZDBA=55°-35°=20°,

故選：B.

【點睛】本題考查了矩形的性質，平行線性質，折疊性質，角的有關計算等知識，解題的關鍵是求出

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和/DA4的度數(shù).

【變式訓練】

1.（2022秋?九年級課時練習）如圖，把菱形/BCD沿折疊，使B點落在上的E點處，若48=70。,

則NEOC的大小為（）.

A.15°B.20°C.30°D.25°

【答案】A

【分析】根據(jù)菱形的性質，已知菱形的對角相等，故推出乙4DC=/B=70。，從而得出瓦)=又因

為AD//BC,故ZDAE=ZAEB,ZADE=ZAED,易得解.

【詳解】解：根據(jù)菱形的對角相等得N/DC=N3=70。.

AD=AB=AE,

NAED=/ADE.

根據(jù)折疊得ZAEB=/B=70°.

VAD//BC,

NDAE=NAEB=70°,

ZADE=ZAED=(180°-ZD/E)+2=55°.

:.ZEDC=10°-55°=15°.

故選：A.

【點睛】此題要熟練運用菱形的性質得到有關角和邊之間的關系.在計算的過程中，綜合運用了等邊對等

角、三角形的內角和定理以及平行線的性質.注意：折疊的過程中，重合的邊和重合的角相等.

2.（2021?云南紅河?統(tǒng)考一模）如圖，菱形/BCD的周長為8厘米，Z￡>=120o,點M為48的中點，點N

是邊/。上任一點，把/Z沿直線折疊，點/落在圖中的點￡處，當AN=________厘米時，YBCE是

直角三角形.

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【分析】根據(jù)菱形23CD的周長為8厘米可得菱形的邊長為2厘米，根據(jù)翻折的性質可得=

根據(jù)題意分兩種情況進行討論：①當/班C=90。時，根據(jù)菱形的性質可得//"=120。，ZA=60°,從而

得到=30。，ZMNA=90°,根據(jù)直角三角形的性質求得/N的值；②當NBEC=90。時，點￡

落在菱形對角線NC上，根據(jù)點M為48的中點，為折痕，此時于點￡,可得點N為/。的中

點，從而得到NN的值.

【詳解】解：,??菱形的周長為8厘米，

■■.AB=BC=CD=AD=2厘米，

?.?點M為的中點，

???AM=BM=\厘米.

由翻折可知EM=AM=BM,

:./MBE=NMEB.

①當NE2C=90。時，ZD=120。，

■.ZABC=120°,ZA=60°,

ZMBE=ZMEB=30°,

ZBME=120°,

ZAMN=ZEMN=30°,

ZMNA=90°,=1厘米；

22

②當NBEC=90。時，點E在以“為圓心，為半徑的圓上，也在以3C為直徑的圓上，根據(jù)菱形/BCD

的特點，可知點E落在菱形對角線4C上，

???點加為的中點，AW為折痕，此時BDL/C于點E,

.?.點N為的中點，NN=；ND=1厘米.

當/"=；或1厘米時，V8CE是直角三角形.

【點睛】本題考查了菱形的性質，翻折變換，直角三角形的性質.解題關鍵是熟練掌握各個知識點.

3.（2022?安徽合肥?校考二模）如圖，在菱形48CD中，//=120。，AB=2,點￡是邊48上一點，以DE

為對稱軸將VD4E折疊得到VDGE,再折疊2E使8E落在直線EG上，點8的對應點為點7/,折痕為E尸且

交BC于點、F.

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(1)NDEF=；

(2)若點E是4B的中點，則。尸的長為

【答案】90。##90度y

【分析】(1)由翻折可得N4ED=ZDEG,2BEF=NHEF,則NDEG+AHEF=ZAED+NBEF,根據(jù)

ZDEG+ZHEF+ZAED+ZBEF=180°,可得NDEG+NHEF=90。,即/D￡F=90°.

(2)根據(jù)題意可得點G與點〃重合，且點。，G,尸三點在同一條直線上.過點。作。交8c的

延長線于點由乙4二120。，AB=2,可得NOCM=60。，CD=2,則C"=L。。=1,。河=立，

22

由翻折可得=_FG,AD=DG=2,設BF=x,則A/F=2—x+1=3—x,DF=2+x,由勾股定理可得

(2+X)2=(3-X)2+(A/3)2,解得X=：,,進而可得出答案.

【詳解】解：(1)由翻折可得ZAED=NDEG,NBEF=NHEF,

/.ZDEG+/HEF=ZAED+ZBEF,

?.?ZDEG+ZHEF+ZAED+4BEF=180。，

/DEG+/HEF=90。,

即NDEF=90。.

故答案為：90°.

(2),?,四邊形/3C。為菱形，

/.AD//BC,

ZA+ZB=180°f

由翻折可得/E=EG,BE=EH,ZA=ZEGD,ZB=AEHF,

,??點石是48的中點，

AE=BE,

EG=EH,

即點G與點H重合.

ZEGD+4EHF=//+N8=180°,

點。，G,尸三點在同一條直線上.

過點。作DW1_8C,交BC的延長線于點

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■.■ZA=120°,AB=2,

ZDCM=60°,CD=2,

[A

:.CM=-CD=1,DM=^CD=^3,

22

由翻折可得=AD=DG=2,

設BF=x,

貝！]MF=2-x+l=3-x,DF=2+x,

由勾股定理可得（2+x>=（3-xy+（6）2,

4

解得x，

DF=—.

5

14

故答案為：—.

【點睛】本題考查翻折變換（折疊問題）、菱形的性質、勾股定理，熟練掌握翻折的性質是解答本題的關

鍵.

4.（2023春?江蘇?八年級專題練習）如圖1,在正方形/BCD中，點E為8C上一點，連接DE,把VDEC

⑴求證：ZEDG=45°.

⑵如圖2,E為的中點，連接3尸.

①求證：BF//DE；②若正方形邊長為6,求線段4G的長.

【答案】⑴證明見解析；

⑵①證明見解析，②線段/G的長為2

【分析】11）由正方形的性質可得。C=D4.乙4=/8=/。=乙4。。=90。，由折疊的性質得出/。尸￡=/。,

DC=DF,/1=/2,再求出=DA=DF,然后由“血”證明RtADGA=RtADGF,由全等

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三角形對應角相等得出/3=/4,得出/2+/3=45°即可；

(2)①由折疊的性質和線段中點的定義可得CE=EF=5E,NDEF=NDEC,再由三角形的外角性質得出

Z5=ZDEC,然后利用同位角相等，兩直線平行證明即可；

②設4G=x,表示出G77、BG,根據(jù)點E是的中點求出5E、EF,從而得到GE的長度，再利用勾股

定理列出方程求解即可；

【詳解】(1)證明：如圖1：???四邊形NBCO是正方形，

圖1

DC=DA.ZA=NB=NC=ZADC=90°,

???KDEC沿DE折疊得到ADEF,

ZDFE=ZC,DC=DF,Z1=Z2,

:.ZDFG=ZA=90°,DA=DF,

在RtZ\OG/和RtAZJGF中，

[OG=DG

[DA=DF'

RtVOGN0RtVOGWHL),

Z3=Z4,

ZEDG=Z3+Z2=-ZADF+-NFDC,

22

=；(/ADF+/FDC),

=-x90°,

2

=45°；

(2)證明：如圖2所示：

vADEC沿DE折疊得到ADEF,E為BC的中點,

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CE=EF=BE,ADEF=NDEC,

Z5=Z6,

;NFEC=N5+N6,

NDEF+ZDEC=25+N6,

2Z5=2ZDEC,

即Z5=/DEC,

.-.BF〃DE；

②解：設NG=x,則GP=x,BG=6-x,

??,正方形邊長為6,E為BC的中點，

:.CE=EF=BE=-x6=3,

2

:.GE=EF+GF=3+x,

在RtZXGBE中，根據(jù)勾股定理得：(6-xy+32=(3+4，

解得：x=2,

即線段NG的長為2.

【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理、

翻折變換的性質；熟練掌握正方形的性質，并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵.

【考向二特殊平行四邊形中旋轉問題】

例題：(2021秋?陜西渭南?九年級統(tǒng)考階段練習)如圖，四邊形A8CD是矩形，以點3為旋轉中心，順時針

旋轉矩形得到矩形G8E尸，點A,D,C的對應點分別為點G,產，E,點。恰好在尸G的延長線

上.

⑴求證：△8D4也△BDG：

(2)若40=2,求的長.

【答案】⑴見解析

(2)4

【分析】(1)由旋轉矩形Z3CD可得/8=BG,ZA=NBGF=NDGB=90。,再根據(jù)斜邊為公共邊，利用

"血"可證得結論；

(2)由可知DG=2。，由旋轉矩形/BCD可知G尸=4。，即可求得。尸的長度.

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【詳解】(1)證明：?.?旋轉矩形A8CD得到矩形G8EF,

AB=BG,NN=ZBGF=ZDGB=90°,

在RtVBDA和RtABDG中,

BD=BD,BA=BG.

RtABDA^RtABDG(HL).

(2)解：由之RtZ\5DG可得。G=4D=2,

???旋轉矩形ABCD得到矩形GBEF,

GF=AD=2,

:.DF=DG+GF=4.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質、矩形的性質、解題關鍵是證明之RtZ\2DG,利用矩形和旋

轉性質求解.

【變式訓練】

1.(2022秋?廣東廣州?九年級廣州市第一一三中學?？计谥?如圖，將矩形/BCD繞點/順時針旋轉90。后,

得到矩形A8'C力'，如果CZ)=2D4=2,那么CC'=.

Cir--------\B

\D'C

【答案】屈

【分析】連接CC,先根據(jù)矩形的性質和勾股定理求出/C,然后根據(jù)旋轉的性質和勾股定理求出CC即

可.

【詳解】解：連接CC',

?.?矩形/8C。，CD=2DA=2,

NCDA=90°,AD=\,

■■AC=AD2+CD2=V5，

???將矩形ABCD繞點/順時針旋轉90°后，得到矩形AB'C'D,

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??.AC=AC=#,NC4C'=90。，

?1?CC'=yjAC2+AC'2=Vio-

故答案為：Vio.

【點睛】本題考查了矩形的性質，旋轉的性質，勾股定理等知識，掌握矩形的性質，旋轉的性質，勾股定

理是解題的關鍵.

2.（2022秋?天津河北?九年級天津二中?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校倪呅蜰O8C是矩形，點。（0,0）,

點力（3,0）,點8（0,4）.以點4為中心，順時針旋轉矩形/O8C,得到矩形4DE尸，點O,B,C的對應點

分別為。，E,F,記旋轉角為a（0°<a<90。）.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,當a=30。時，求點。的坐標；

⑵如圖2,當點E落在/C的延長線上時，求點。的坐標；

⑶當點。落在線段OC上時，直接寫出點E的坐標.

【答案】⑴］一高

（2）

⑶（6,4）

【分析】（1）過點。作。軸于G,由旋轉的性質得出4D=/O=3,a=ZOAD=30°,DE=OB=4,

由直角三角形的性質得出。G=44D=3,4G=6DG=￥，得出OG=O/-/G=g8,即可得出點。

2222

的坐標為|——；

（2）過點。作DGJLx軸于G,,DHLAE于H,則則GN=D〃，中=DG,由勾股定理得出/￡=10,由

123939

面積法求出不，得出由勾股定理得出，即可得出點。的坐標為

OG=y,DG=w5,5

（3）連接/E,作EG_Lx軸于G,由旋轉的性質得：NDAE=NAOC,AD=AO,

由等腰三角形的性質得出=得出=證出NE〃OC,由平行線的性質的

ZGAE=ZAOD,證出ZD/E=NG/￡,證明V/EG三V/即，得出/G=NO=3,EG=ED=4,得出

OG=6,即可得出答案.

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【詳解】(1)解：過點。作。G，x軸于G,如圖所示:

?.?點4(3,0),點8(0,4),

AO=3,OB=4,

???以點A為中心，順時針旋轉矩形得到矩形/￡>￡尸,

/.AD=AO=3,cc=Z.OAD—30°,DE=OB=4,

134A

在及△NOG中，DG=—AD=—,AG=y/3DG=—,

222

6-373

■-OG=OA-AG

2

???點。的坐標為［”2口；

(2)過點。作。GJ_x軸于G,,DH上AE于H,如圖所示:

則G/=OH,g

:DE=OB=4,ZADE=ZAOB=90°,

AE=^AD~+DE2=A/32+42=5，

?.--AEDH=-ADDE,

22

c”ADDE3x412

DH=-----------=------=—,

AE55

.-.OG=OA-GA=OA-DH=3-^-=^,DG=AD2-AG2=j?一=J?一等=總=|

???點力的坐標為匡｝

(3)連接NE,作EG_Lx軸于G,如圖所示:

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由旋轉的性質得：/DAE=NAOC,AD=AO,

NAOC=/ADO,

:"DAE=ZADO,

AE〃OC,

ZGAE=ZAOD,

??.ZDAE=ZGAE,

在△/EG和△4ED中，

ZAGE=ZADE=90°

<ZGAE=NDAE,

AE=AE

：.MAEG^MAED(AAS)f

AG=AD=3,EG=ED=4,

OG=OA+AG=3+3=6,

二點￡的坐標為(6,4).

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質、坐標與圖形性質、勾股定理、全等三角形的判定與性

質、旋轉變換的性質、含30。角的直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，正確作出輔助線，屬

于中考壓軸題.

3.(2022秋?山西呂梁?九年級統(tǒng)考期中)綜合與實踐

【情境呈現(xiàn)】如圖1,將兩個正方形紙片N5CD和NEFG放置在一起.若固定正方形/3CZ),將正方形NEFG

繞著點/旋轉.

⑴【數(shù)學思考】如圖1,當點E在48邊上，點G在/。邊上時，線段3E與。G的數(shù)量關系是，位置

關系是.

⑵如圖2,是將正方形/環(huán)G繞著點/逆時針旋轉a度得到的，則(1)中的結論是否仍然成立？若成立，

請證明；若不成立，請說明理由.

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(3)【拓展探究】如圖3,若點。，E,G在同一條直線上，旦AB=2AE=2亞,求線段8E的長度(直接寫

出答案).

【答案】(1)8E=OG,BE1DG

(2)(1)中的結論成立，證明見解析；

(3)1+77

【分析】(1)由正方形性質可以得到BE與DG相等且垂直；

(2)由SAS可證△/BE1@△4DG,可得BE=DG,Z.ABE=AADG,由余角的性質可證BEDG；

(3)由(2)問結論連接加，表示出V8DE三邊即可利用勾股定理列方程解題.

【詳解】(1)???四邊形/BCD和/EFG均為正方形，

BE1DG,AB=AD,AG=AE,

：.AB-AE=AD-AG,

即BE=DG,

???BE與DG的數(shù)量關系是相等；位置關系是垂直

故答案為：相等；垂直

(2)(1)中結論成立，理由如下：

設BE交40于O,DG于N,

???四邊形ABCD和AEFG均為正方形，

AE=AG,AB=AD,ABAD=ZEAG=90°,

：.ZBAE=ZDAG,

在V4BE和△4DG中，

AB=AD

<ZBAE=ZDAG,

AE=AG

■■■/\ABE^/\ADG(SAS),

BE=DG,NABE=NADG,

?；NABE+NAOB=9Q°,

ZADG+ZAOB=ZADG+ADON=90°,

ZDNO=90°,

：.BE1DG-,

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(3)連接2D,

■■AB=1AE=272,

???AE=6，

，EG=4^AE=2,BD=GAB=4,

由(2)可得：NBED=90。,BE=DG,

.?.在RtABED中,ED=DG-EG=BE-EG=BE-2,

則。￡2+3打2=8。2,

.-.(BE-2)2+BE2=42

解方程得：BE=±y/7+l,

BE=y/l+1,

即線段BE的長度為V7+1.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質,旋轉的性質等知識，靈

活運用這些性質進行推理是本題的關鍵.

【考向三特殊平行四邊形中定值問題】

例題：（2022秋?山東棗莊?九年級?？茧A段練習）如圖，在矩形中，AB=3,4。=4,M是4D上異

于A和。的任意一點，且MEJ.NC于E,MF1BD于'F,則兒小+兒3為.

【分析】根據(jù)矩形的性質，AB=3,AD=4,可求出矩形的面積，的長,由此可知△NOD的面積,

根據(jù)S^oLS”0M+S^D0M=1OA幽E+1OD配F,即可求解.

【詳解】解：如圖所示，設NC與8。相交于點。，連接。河，

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2222

AC=BD=ylAB+BC=>/3+4=5>S^ABCD=AB^C=3x4=12,

；?SAMD=；S矩形s=；x12=3,04=OD=；/C=；x5=g,

■.■ME1AC,MF±BD,

SAAOD=+S/\DOM=]OA^dE+—ODgWF,

S^=-OAgME+-ODgMF=-OA^ME+MF)=-x-x(ME+MF)=3,

AOD22222

.-.ME+MF=^-,

12

故答案為：—.

【點睛】本題主要考查矩形的性質，等面積法求高，掌握矩形的性質，三角形的等面積法求高是解題的關

鍵.

【變式訓練】

1.(2023秋?吉林長春?八年級長春外國語學校?？计谀?如圖，菱形N3C。的周長為20,面積為24,尸是

對角線AD上一點，分別作尸點到直線NB、的垂線段尸￡、PF,則PE+P尸等于

【分析】首先利用菱形的性質得出NB=4D=5,Sy皿=12,進而利用三角形面積求法得出答案.

???菱形/BCD的周長為20,

/.AB=AD=5,

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S菱形/3C。=ABD，

^\/ABD——X24=12,

而^^ABD~4PB~^^^APD，PE-LAB,PF_LAD,

：,--PEAB+--PFAD=\2,

22

??.5PE+5PF=24,

24

.-.PE+PF=—f

24

故答案為：—

【點睛】本題考查了菱形的性質：菱形的對邊分別平行，四條邊都相等，兩條對角線互相垂直平分，并且

分別平分兩組內角.也考查了三角形的面積公式.

2.Q022春?四川成都?九年級成都市第二十中學校?？茧A段練習)如圖，已知點尸是菱形N3CD的對角線/C

延長線上一點，過點P分別作AD,DC延長線的垂線，垂足分別為點￡,尸.若/48C=120。，AB=2,貝|

尸￡-尸尸的值為.

【分析】設NC交80于0,根據(jù)已知可得/C=2G，而尸E-正=gNP-gcP=；(/P-CP)=；/C,即

可得到答案.

【詳解】設NC交8。于。，如圖：

ZABC=120°,AB=1,

：.ABAD=ZBCD=60°,ADAC=ZDCA=30°,AD=AB=2,BDVAC,

R-'OD=kAD=^0A3

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:.AC=2OA=2y[3,

RtMAPE,^DAC=30°,PE=-AP,

2

心△CP/中，ZPCF=ZDCA=30°,PF=gcP,

???依一小=卜尸丁。尸1（/尸一。尸）=95

:.PE-PF=6,

故答案為：V3.

【點睛】本題考查菱形的性質及應用解題的關鍵是求出心把2所轉化為

3.（2022?全國?八年級專題練習）如圖，己知四邊形28CD為正方形，/5=50，點E為對角線/C上一動

點，連接。E,過點￡作￡尸，。E交8c于點尸，以。E、E尸為鄰邊作矩形。MG,連接CG.

⑴求證：矩形DMG是正方形；

⑵探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.

【答案】⑴見解析

⑵是定值，CE+CG=10

【分析】（1）作出輔助線，得到￡M=￡N,然后再判斷尸=得到VDEN三VFEM,則有

DE=EF,即可判斷矩形DEFG為正方形；

（2）由四邊形/BCD為正方形，四邊形DEFG是正方形可知AD=C〃，DE=DG,故可得

MADEWCDG,得到/E=CG,即可判斷CE+CG=10,為定值.

【詳解】（1）解：如圖所示，過E作EWJ_BC于M點，過￡作EN_LCD于N點，

BMFCH

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???四邊形/BCD為正方形，

/BCD=90°,

?:EM1BC,EN1CD,

ZEMF=ZENC=/END=90°,

/MEN=90°,

???四邊形。EFG為矩形，

NFED=90。,

:./MEN-/FEN=/FED-NFEN,BPZMEF=ZNED,

￡是正方形ABCD對角線的點，

/.EN=EM,

在VD￡N和△田/中，

ZEMF=ZEND

<EM=EN,

ZMEF=ZNED

:VDEN出FEM(ASA),

ED=EF,

...矩形。￡FG為正方形.

(2)CE+CG的值為定值，

???矩形。跖G為正方形，

:.DE=DG,ZEDG=90°,

???四邊形是正方形，

AD=DC,ZADC=90°,

ZEDG-ZEDC=/ADC-ZEDC,即/ADE=ZCDG,

在V4D￡和VCDG中，

AD=DC

</ADE=ZCDG,

DE=DG

.MADE^/CDG(SAS),

AE=CG,

:.CE+CG=CE+AE=AC=y/2AB=lQ，

CE+CG=10.

【點睛】本題考查了正方形的性質與判定，矩形的性質，關鍵是結合圖形得出三角形全等.

4.(2022春?四川德陽?八年級統(tǒng)考期末)已知，如圖，矩形/5CD中，40=3,DC=4,菱形EFG/Z的三個

頂點E,G,〃分別在矩形ABCO的邊/瓦CD,DA±,4H=1,連接CF.

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備用圖

⑴當點G在邊DC上運動時；探究：點尸到邊。C的距離萬M是否為定值？如果是，請求出這個值；如果

不是，請說明理由.

(2)當。G為何值時，^FCG的面積最小，并求出這個最小值.

【答案】(1)點尸到邊DC的距離是定值，定值為1

(2)當DG=而時，AFCG的面積最小值為2-1至

【分析】(1)連接GE,根據(jù)N8//CD得到乙1EG=NMGE,/汨〃G廠得到"/EG="GE之后證明

AAHE=AMFG即可得到結論；

(2)由題易知S.cG=gwCG=〈CG,要使aFCG的面積有最小值則需CG最小，于是。G應最大，在

而A4E8中，根據(jù)勾股定理可得/ffi的最大值，即用的最大值，在放A￡>G〃中，根據(jù)勾股定理可求DG的

最大值，進而求得CG最小值，進而得到答案.

(1)

解：點P到邊DC的距離是定值.

理由：連接GE

■.■AB//CD,

:.UEG=^MGE

■.-HE//GF,

:.乙HEG—FGE

■■■^AEG-ZJ{EG=AMGE-^FGE,即

在和ZWFG中，4=4=90。，HE=FG,

:AAHE34MFG,

高考復習材料

:.FM=HA=\,

即無論菱形EFG”如何變化，點F到直線CD的距離始終為定值1.

（2）

解：由題易知：S^FCG=-FM-CG=^-CG,

22

要使△尸CG的面積有最小值，

則需CG最小，所以。G應最大，

在必△D77G中，當8G最大時，0G最大，

在小A4E//中，AE<AB=4,

■■HE2=AH2+AE1<\+\6=\r1,

■■HG2=HE2<\y,

■-DG2+DH2=DG2+4<11,

■■DG<y/13,

當。G=VH時，GC=4-而，

二WRU的最小值=gGC=2_；JT5,

即當。G=加時，△尸CG的面積最小值為2而.

【點睛】本題主要考查平行線的性質，勾股定理，三角形全等的判定與性質，菱形的性質，矩形的性質,

掌握定理與性質是解題的關鍵.

【考向四特殊平行四邊形最小值問題】

例題：（2022秋?重慶沙坪壩?八年級重慶市鳳鳴山中學校聯(lián)考期末）如圖，E為正方形/BCD邊4D上一點,

AE=1,DE=3,尸為對角線AD上一個動點，則P/+PE的最小值為（）

A.5B.4&C.2屈D.10

【答案】A

【分析】連接EC交2D于P點，根據(jù)'兩點之間線段最短"，可知尸4+PE的最小值即為線段EC的長，求出EC

的長即可.

【詳解】連接EC,交3D于P點

?.?四邊形/BCD為正方形

高考復習材料

■■A點和C點關于2。對稱

:.PA=PC

:.PA+PE=PC+PE=EC

根據(jù)"兩點之間線段最短"，可知PA+PE的最小值即為線段EC的長.

???AE=1,DE=3

AD=4

DC=4

:.CE=y/DE2+CD2=>/32+42=5

.■.PA+PE的最小值為5

故選：A

【點睛】本題主要考查了正方形的性質和兩點之間線段最短，這是一個將軍飲馬模型.熟練掌握正方形的性

質并且能夠識別出將軍飲馬模型是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2022秋,江西新余?九年級新余四中校考階段練習）如圖，矩形/BCD中，/8=8,8c=14,M,N

分別是直線8C,48上的兩個動點，AE=2,沿EM翻折形成△尸,連接NF,ND,則

ZW+NF的最小值為（）

A.14B.16C.18D.20

【答案】C

【分析】如圖作點。關于8C的對稱點。*連接ND'，ED',由DN=ND\推出DN+NF=ND'+NF,又

斯=瓦4=2是定值，即可推出當E、F、N、共線時，DN+N尸定值最小，最小值=瓦/-斯.

【詳解】解：如圖作點。關于8C的對稱點?？谶B接76，ED'.

高考復習材料

rn

-：DE=n,DD'=16,

ED'=7122+162=20.，

QDN=ND',

:.DN+NF^ND'+NF,

（W=E/=2是定值，

:.當E、F、N、。共線時，NF+MT定值最小，最小值=20-2=18,

.,.ON+NF的最小值為18,

故選：C.

【點睛】本題考查翻折變換、矩形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱，根據(jù)兩點之

間線段最短解決最短問題，屬于中考?？碱}型.

2.（2022秋?吉林長春?八年級?？计谀┤鐖D，Rt2\4BC中，ZACB=90。,NB=30。,BC=Z6點、D

為邊4B上一個動點,作DEL2C、DF1AC,垂足為E、F,連接則E/長度的最小值為.

【分析】解直角三角形求出NC和48,證明四邊形C9E是矩形，根據(jù)矩形的性質得出CD=E尸，當

（力，/8時，CD有最小值，此時E產有最小值，根據(jù)三角形的面積公式求出長即可.

【詳解】解：???//C8=90。，48=30。，BC=2道,

AB=2AC,

根據(jù)勾股定理可得，AB2=AC2+BC2,

即（2/°）2=/02+（2國，

解得：AC=2,AC=-2（舍去）,

.-.AB=2AC=4,

連接CD,如圖所示：

高考復習材料

■：DF1AC,ZACB=90°,DE1BC,

ZDFC=NFCE=ZDEC=90°,

???四邊形CFDE是矩形，

：.EF=CD,

當CD，時，CZ＞最小，此時E尸有最小值，

???SyACB=；4C*BC=gABxCD,

??AC'x.BC2x2石r-

CD=-----------=----------=V3,

AB4

??.E尸長度的最小值是G，

故答案為：行.

【點睛】本題考查了矩形的性質和判定，垂線段最短，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理，作出輔

助線，證明CD=E廠是解此題的關鍵.

3.（2022秋?重慶大渡口?九年級?？计谀┤鐖D，在矩形/BCD中，AB=\,AD=2,點￡在邊4D上，點

尸在邊BC上，且/E=CF,連接CE,DF,則CE+D尸的最小值為.

【答案】20

【分析】先連接BE,將CE+DF轉4匕為CE+BE,再利用將軍飲馬解決問題即可.

【詳解】解：如圖，連接BE,

???四邊形/BCD是矩形，

:.AB=CD,NBAE=NDCF=90°,

■■■AE=CF,

；.LABE咨ACDF,

BE=DF,

**.CE+DF=CE+BE,

如圖，作點3關于A點的對稱點夕，連接C夕,

高考復習材料

CB'即為CE+5E的最小值,

,?*AB=1,AD=2，

；.BB'=2,BC=2,

CB'=ylBB'2+BC2=2y/2，

??.CE+D尸的最小值為2逝,

故答案為：2亞.

【點睛】本題考查矩形的性質、勾股定理、將軍飲馬問題、全等三角形的判定與性質等內容，綜合性較強,

將CE+DF轉化為CE+BE是解題的關鍵.

4.（2022秋?陜西漢中?九年級?？计谥校┤鐖D，在正方形ZBCD中，/8=12,E為BC邊上一點,CE=7.

尸為對角線5D上一動點（不與點B、。重合），過點尸分別作FM_L8C于點Af、FN工CD于點、N,連接

EF、MN,則所+ACV的最小值為.

【分析】連接CF、AF,由四邊形C7VFM為矩形，得CF=MN,由正方形的對稱性得/尸=W,即知

EF+MN^EF+AF,故當跖+MN最小時，斯+/斤最小，此時A、F、E共線，+的最小值即

為/E的長，由N3=12,CE=1,可得4E=jAB2+BE2=13,從而跖+MN的最小值為13.

如圖:

QFM±BC,FN1CD,ZBCD=90°,

高考復習材料

四邊形CNFN為矩形，

:.CF=MN,

???四邊形/BCD是正方形，

???由正方形的對稱性可得/尸=CF,

:.MN=AF,

:.EF+MN=EF+AF,

當所+MN最小時，斯+/尸最小，此時A、F、E共線，￡尸+〃乂的最小值即為/E的長，如圖:

■：AB=n,CE=7,

:.BE=BC-CE=AB-CE=5,

AE=^AB~+BE2=V122+52=13，

二.EF+跖V的最小值為13,

故答案為：13.

【點睛】本題考查正方形中的動點問題，解題的關鍵是把求跖+九亞的最小值問題轉化成求NE的長.

5.（2022春?江西贛州?八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在菱形NBCD中，AB=6,4BAD=120。,點￡,廠分別在

菱形的邊3C,CD上滑動，滿足NE/尸=60。，連接￡尸，且E,尸不與8,C,。重合.

⑴求證：不論E,尸在BC,CD上如何滑動，總有2E=CG

（2）當點E,F在BC,CD上滑動時，分別探討四邊形NEC斤的面積和斯的周長是否發(fā)生變化？如果不

變，求出這個定值；如果變化，求出最小值.

【答案】⑴見解析

⑵四邊形/ECF的面積不變，面積等于9公；△CM的周長發(fā)生變化，最小值為6+36；理由見解析

【分析】（1）先根據(jù)菱形的性質求出N8/C=ND4C=；/B/D=60。，然后根據(jù)等式的性質可得41=N3,再求證

AABC、A4c。為等邊三角形，得乙4=60。，/C=4B進而求證ZUBEmAJCF,即可求得3E=CF；

高考復習材料

（2）根據(jù)ZUBEmZUCF可得SAABE=SAACF,故根據(jù)S幽遨/ECF=S/EC+S/C尸=S41EC+S/5E=S/8C

即可解題；由"垂線段最短"可知：當正三角形NE尸的邊NE與8c垂直時，邊4E最短.A4E尸的周長會隨

著/E的變化而變化，求出當NE最短時，△CM的周長即可.

（1）解：（1）如圖，連接/C,,??四邊形/BCD為菱形，^BAD=nO°,

；ZBAC=H4C=L/BAD=60°,AB=BC=AD=CD,-：/.EAF=60°,.?zl+NE/C=60。，N3+ZE4c=60。，.-.zl=z3,

2

?；AB=BC=AD=CD,NR4C=〃MC=6O。，.?.△A8C和A4CZ>為等邊三角形，山以它。。，4C=AB,:.在A4BE

21=Z3

和2MC廠中，\AB=AC,.-.AABE^AACFCASA).：.BE=CF-,

NB=N4

（2）解:四邊形NECF的面積不變，的周長發(fā)生變化.理由如下：由（1）得A48E三A4CR則

S^ABE^S^ACF,AE=AF,故S四邊/AECFuS^AEC+SyCFuS^AEC+S^ABEuS^ABC,是定值，作4HlBC于H

22

點，則8〃=3,Seg?AECF=SAABC=^BC-AH=^BC-^AB-BH=9A/3,■,-AE=AF,4E4F=6Q°,：.AAEF是

等邊三角形，：-EF=AE,.?.△CEF的周長=CE+CF+EF=CE+BE+EF=BC+EF=BC+4E,由“垂線段最短”可知：當

正三角形4E尸的邊/￡與8c垂直時，邊4E最短.故A4EF的周長會隨著4E的變化而變化，且當4E最

短時，△（7￡戶的周長會最小，最小值為6+，加一族=6+34.

【點睛】本題考查了菱形的性質；三角形全等的判定與性質；垂線段的性質等，綜合性較強，正確添加輔

助線，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵.

【考向五特殊平行四邊形中點四邊形問題】

例題：（2022春?安徽合肥?八年級?？计谥校┤鐖D，E、F、G、”分別是四邊形/BCD四條邊的中點，順

次連接E、F、G、b得四邊形EFG",連接/C、BD,下列命題不正確的是（）

A.當四邊形/BCD是矩形時，四邊形EFG”是菱形

B.當四邊形/BCD是菱形時，四邊形EFG”是矩形

高考復習材料

C.當四邊形/BCD滿足NB4D=42c=90。時，四邊形EFGX是菱形

D.當四邊形Z8C。滿足=C8=CD時，四邊形斯GH是矩形

【答案】C

【分析】先證四邊形EFG4是平行四邊形；再根據(jù)選項條件結合矩形、菱形的判定定理進行判斷即可.

【詳解】解：???￡,廠分別是45,2C的中點，

:.EF//AC,EF=-AC,

2

■：H,G分別是NO,CD的中點，

:.HG//AC,HG=-AC,

2

:.HG//EF,HG=EF,

四邊形EFG#是平行四邊形；

■-F,G分別是BC,CO的中點，E、，分別是N2、4D中點，

:.FG=-BD=EH,FGUBDHEH,

2

當四邊形23。是矩形時，BD=AC,

HG=EF=FG=EH,

四邊形EFG8是菱形，故/正確，不符合題意；

當四邊形48CD是菱形時，AC1BD,

■：HG//AC,FG//BD,

ZHGF=90°,

四邊形EFG”是菱形，故2正確，不符合題意；

當四邊形/BCD滿足NB4O=NN8C=90。時，不能證明四邊形用G”是菱形，故C錯誤，符合題意；

當四邊形/BCD滿足=CB=CZ＞時，

AB=AD,CB=CD,

.?./C是8。的垂直平分線，即/Cl2。

■：EF/1AC/IEF,FGUBDHEH

:.乙HEF=KEFG=LDGH=LGHE=9Q°

???四邊形EFG”是矩形，故。正確，不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了中點四邊形，靈活利用矩形、菱形的判定定理是解答本題的關鍵

【變式訓練】

1.（2022春?北京西城?八年級?？计谥校┧倪呅?3。的對角線/C,BD交于點O,點M,N,P,。分

別為邊48,BC,CD,的中點.有下列四個推斷：

①對于任意四邊形/BCD,四邊形ACVP。都是平行四邊形；

高考復習材料

②若四邊形/BCD是平行四邊形，則M尸與N。交于點。；

③若四邊形NBCD是矩形，則四邊形MVPQ也是矩形；

④若四邊形MVP。是正方形，則四邊形/B