2024屆高考數(shù)學(xué)模擬卷 【新課標(biāo)卷】

2024屆高考數(shù)學(xué)模擬卷【新課標(biāo)卷】

【滿分：150分】

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

l.^z=—+2i,則|z|=()

1+i

A.OB.-C.lD.V2

2

2.已知集合A={xy=Jx2—5b3={0,1,2,3,4},則A3=()

A.{0,1}B.{1,2}C.{2,3}D.{3,4}

3.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫

水位為海拔148.5m時，相應(yīng)水面的面積為140。kn?；水位為海拔157.5m時，相應(yīng)水面的面

積為180。kn?.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m

上升到157.5m時，增加的水量約為(⑺'=2.65)()

A.l.OxlO9m3B.1.2xl09m3

C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

4.函數(shù)y=(3=3T)cosx在區(qū)間-方、的圖象大致為()

5.若從1,2,3,9這9個整數(shù)中取出4個不同的數(shù)排成一排，依次記為a,b,c,d,則

使得ax/jxc+d為奇數(shù)的不同排列方法有()

A.1224種B.1800種C.1560種D.840種

6.定義在R上的函數(shù)/⑴滿足/(幻>1-/(x),且/(0)=6,r(x)是的導(dǎo)函數(shù)，則不等

式e*/(x)〉e，+5(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為()

A.(-oo,0)L(1,-HX>)B.(-oo,0)...(3,+oo)

C.(0,+oo)D.(3,+oo)

7.設(shè)等比數(shù)列｛叫的前附項和為%S〃=a-若不等式K<S〃<N對任意的〃eN*恒

成立，則N-K的最小值為()

317

A.lB.-C.2D.—

412

8.已知/(x)=sinf2020%+訃cos^2020%-才的最大值為A.若存在實數(shù)巧,々，使得對任意

實數(shù)x總有成立，則川七-々|的最小值為()

,2020B高c式

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.二十大報告中提出加強(qiáng)青少年體育工作，促進(jìn)群眾體育和競技體育全面發(fā)展，加快體育強(qiáng)

國建設(shè)步伐，某校進(jìn)行50米短跑比賽，甲、乙兩班分別選出6名選手，分成6組進(jìn)行比賽,

每組甲、乙每班各派出十名選手，且每名選手只能參加一個組的比賽下面是甲、乙兩班6個

小組50米短跑比賽成績(單位：秒)的折線圖，則下列說法正確的是()

A.甲班成績的極差小于乙班成績的極差

B.甲班成績的眾數(shù)小于乙班成績的眾數(shù)

C.甲班成績的平均數(shù)大于乙班成績的平均數(shù)

D.甲班成績的方差大于乙班成績的方差

10.已知圓C:(x-2)2+V=i,點夕是直線/：%+y=。上一動點，過點尸作圓C的切線以，

PB,切點分別為A和5,則下列說法錯誤的有()

A.圓C上恰有一個點到直線I的距離為

2

B.切線長PA的最小值為百

C.四邊形AC3P面積的最小值為1

D.直線A3恒過點段］

H.已知/(x)=2sinx+cosx+l,對任意的XER均有</(x)</(x2),則下列說法正確的

是()

A./(%)-/(%2)=-2B./(^)+/(X2)=2

「?_2君n._26

C.sin再————D.sinx2——-—

22

12.已知橢圓?+%=1(0<6<2)的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過點耳的直線/交橢圓于A,

3兩點.若司+忸閭的最大值為5,則()

A.橢圓的短軸長為B.當(dāng)m閭+忸閭最大時，閭=|皮引

c.離心率為乎的最小值為3

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m^R),且c與a的夾角等于c與力的夾角，則

m=.

14.已知拋物線C:/=4x的焦點為R經(jīng)過拋物線上一點P,作斜率為之的直線交C的準(zhǔn)線

4

于點Q，H為準(zhǔn)線上異于。的一點，當(dāng)NPQA=NP。尸時，|尸尸|=.

15.已知函數(shù)/（x）的定義域為（0,+co）,且滿足/（%）+/（9）=/（中2），當(dāng)％>1時，/（X）<0.

16.在棱長為9的正方體ABCD-AB'C'D'中，點E,R分別在棱AB,DD上,滿足

空=2￡=2,P是直線DD上一點，且Pfi〃平面CEF,則四棱錐P-ABCD外接球的表面

EBFD

積為..

四、解答題：本題共6題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知數(shù)列同｝的首項4=1,且一1匚=巳7+1.

4+i%

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）若數(shù)列也｝滿足4丸=〃，求數(shù)列低｝的前〃項和S”.

18.（12分）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=BC=CD=2,AD=2有.

（1）若。3平分NADC,證明：A+C=7i；

（2）記△AB。與△BCD的面積分別為5和S2，求S；+S；的最大值.

19.（12分）如圖，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，△SAD是等邊三角形，平

面1sA。，平面ABCD,AB=1,E為棱SA上一點，P為棱AD的中點，四棱錐S-ABCD的

體積為唱

（1）若E為棱SA的中點，R是S3的中點，求證：平面PEF〃平面SCD；

（2）是否存在點E,使得平面PEB與平面SAD的夾角的余弦值為畫?若存在，確定點E

10

的位置；若不存在，請說明理由.

20.（12分）某研究公司為了調(diào)查公眾對某事件的關(guān)注程度，對某年的連續(xù)6個月內(nèi)，月份x,

和關(guān)注人數(shù)為（單位：百）（，=L2,3,…,6）的數(shù)據(jù)做了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)

計量的值.

66

Z&-元）（%-歹）71330

i=li=l

17.53536.5

（1）由散點圖看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明，并建立

y關(guān)于x的回歸方程；

（2）經(jīng)統(tǒng)計，調(diào)查材料費(fèi)用v（單位：百元）與調(diào)查人數(shù)滿足函數(shù)關(guān)系式丫=上+更哭，求

23y

材料費(fèi)用的最小值，并預(yù)測此時的調(diào)查人數(shù)；

（3）現(xiàn)從這6個月中，隨機(jī)抽取3個月份，求關(guān)注人數(shù)不低于1600人的月份個數(shù)4的分布

列與數(shù)學(xué)期望.

￡（%-元）（y-歹）

參考公式:相關(guān)系數(shù)r=,;=1,若r>0.95,則y與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)

VZ=11=1

高，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.

回歸方程9=%+6中斜率與截距的最小二乘估計公式分別為B----------------,

寸

1=1

a=y-bx.

22

21.(12分)已知雙曲線C:j-1=1(a>0,b>0)的左，右焦點分別為耳，工，斜率為

-3的直線/與雙曲線C交于A,3兩點，點〃(4,-2后)在雙曲線C上，且|咋國=24.

(1)求△州鳥的面積；

(2)若。3+。&=0(。為坐標(biāo)原點)，點N(3,l),記直線ML,N3'的斜率分別為6,k2,

問：左?右是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

22.(12分)已知函數(shù)/(%)=皿+呸+2的圖象在點(1J⑴)處的切線方程為y-3=0.

XX

(1)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)尤>0時，/(%)<e21.

答案以及解析

1.答案：C

解析：z="+2i=魚創(chuàng)匕D+2i=—i+2i=i,則|z|=l.故選C.

1+i(l-i)(l+i)

2.答案：D

解析：人=(-8,-百］」石,+8),所以A5={3,4},故選D.

3.答案：C

解析：如圖，由已知得該棱臺的高為157.5-148.5=9(m),所以該棱臺的體積

V=1x9x(140+7140x180+180)xl06=60X(16+3A/7)X106

標(biāo)60x(16+3x2.65)x106=I437x10*4義1()9陋).故選C.

4.答案：A

解析：法——：取x=l,貝>Jy=[3-；]cosl='|cosl〉0；取％=—1,貝>J

y=Q-3]cos(-l)=-gcosl<0.結(jié)合選項知選A.

法二：令y=/(x),則/(—%)=(3一=3，cos(—x)=—(3，—3f)cosx=—/(無)，所以函數(shù)

y=(3*—3f)cosx是奇函數(shù)，排除B,D；取x=l,則y=13-Jcosl=jcosl〉0,排除C.故

選A.

5.答案：B

解析：當(dāng)d為奇數(shù)時，axbxc為偶數(shù):

①a,。，c為一偶兩奇，此時不同的排列方法有C：C；C；A；=720種；

②a,。，c為兩偶一奇，此時不同的排列方法有C；C：C；A：=720種；

③a,b,c為三個偶數(shù)，此時不同的排列方法有C；C：A；=120種.

當(dāng)d為偶數(shù)時，ax/?xc為奇數(shù)，此時a,b,c為三個奇數(shù)，則不同的排列方法有

C；C；A；=240種.綜上，不同的排列方法有720+720+120+240=1800種.故選B.

6.答案：C

解析：設(shè)g(x)=e，"(x)—e*(xeR),則g'(x)=e，?f(x)+ex-/'(x)—e、=e、(/(x)+f\x)-1).

:.f(x)+f'(x)-l>0,:.g'(x)>0,二丁二8。)在定義域上單調(diào)遞增.

ex-/(x)>ex+5,g(x)>5.又-，g(0)=e°"(0)-e°=6-1=5,g(x)>g(0),/.x>0,

不等式的解集為(0,+s),故選C.

7.答案：B

解析：因為S==a—,所以當(dāng)〃=1時，6=a+g；當(dāng)“22時，S"-i=a—1―gj，所以

(―因為｛4｝為等比數(shù)列，所以

所以則一(一[].當(dāng)“為奇數(shù)時,

a1=a+—=—,a=l,S0=1則

“22"I2

1<^<-；當(dāng)〃為偶數(shù)時，s?=i-f--T=i-f-T,則3ws,<i,所以?？伞?因為不

、2"[2J\1)4"4"2

等式K<S“<N對任意的〃eN*恒成立，所以N2』，K<~,所以-K2-3,則

244

N-K>--^-=-,即N—K的最小值為之.故選B.

2444

8.答案：B

解析：/(%)=sin2020%+-^+cosf2020%——

j?jIj?j?

=sin2020%?cos—+cos2020%sin—+cos2020%cos—+sin2020犬sin—

6633

sin2020%+—?cos2020%+—cos2020%+—sin2020%

222

=sin2020%+cos2020x=2sin(2020x+,所以/(x)的最大值A(chǔ)=2.由題意得，歸―的

最小值為工=二，所以川%-引的最小值為2=」匚.

2202011」20201010

9.答案：AB

解析：甲班成績的極差為9.1-8.1=1.0(秒)，乙班成績的極差為9.3-70=2.3(秒)，A項正

確；

甲班成績的眾數(shù)為8.6秒，乙班成績的眾數(shù)為8.9秒，B項正確；

甲班成績的平均數(shù)為辱=-x(8.1+9.1+8.5+8.6+8.7+8.6)=8.6,乙班成績的平均數(shù)為

6

務(wù)」x(7.0+9.3+8.3+9.2+8.9+8.9)=8.6.所以小氣，C項錯誤；

6

甲班成績波動小，相對于甲班的平均值比較集中，乙班成績波動大，且相對于乙班的平均值

比較分散，所以甲班成績的方差小于乙班成績的方差，D項錯誤.故選AB.

10.答案:ABD

2

解析：易知圓心半徑廠圓心到直線/的距離VL如圖.

C(2,0),=1,Cd正

對于A,d—廠=8—1<!，.?.圓C上有兩個點到直線/的距離為工，A中說法錯誤；

22

對于B,由切線的性質(zhì)可知PA=y]PC2-r2=y/PC2-1,易知當(dāng)PC，/時，PC

取最小值，且(。，(皿二^二④，故(%)皿=夜=1=1，B中說法錯誤；

對于C,易知Q4=PB,又，AC^BC,PC=PC,:.Z\PAC^Z\PBC,故四邊形AC3P的面

積5=25揖.=尸44。=尸421，二四邊形4底。面積的最小值為1，C中說法正確；

對于D,設(shè)點P(m,“)，則加+〃=0,線段PC的中點為1等記為E,則

=血-2)-+〃一,二以線段為直徑的圓E的方程為

2

2)TJ將圓E和圓C的方程作差可得

4

%—y—2=0

(m-2)x+ny+3-2m=Q,又加+〃=0,...加(x-y-2)+3-2x=0,由《'解得

3-2%=0,

x-上

<2；故直線A3恒過點||,-g),D中說法錯誤.故選ABD.

?="2，

11.答案：BD

解析：由題可知，〃不)是/(%)的最小值，/(%)是/(幻的最大值.因為

/(%)=2sinx+cosx+l=A/5sin(x+(z)+1,其中sinacosa=~~~>所以

/(毛)=6+1,/6)=-6+1,所以)(七)一/(W)=一2故A錯誤./(%)+/(%2)=2,

故B正確.

因為/(%)是/(x)的最小值，所以/+a=2丘一1,kGZ,即可=2471-'一。，左eZ,所以

sin%1=sinf2^K--|--aj=sin[=-sin[-^+6/j=-cosa=———,左eZ,故C錯誤.

因為/(尤2)是/(x)的最大值，所以々+。=24兀+^,ZeZ,

7U兀275

即x=2kn+--a,左eZ,所以sin4=sin2kTt+--a=sin--6Z=cosa=-----

2I2)5

keZ,故D正確.故選BD.

12.答案：ABD

解析：由題意知a=2,所以忸閭+|M|+|AB|=4a=8.因為|A閭+忸閭的最大值為5,所以

的最小值為3,故D正確.當(dāng)且僅當(dāng)軸時，取得最小值，此時|A閭=|典

故B正確.由B的分析,不妨令+局,將點A的坐標(biāo)代入橢圓方程,得小靠“又

一〃2

-3所T4+Q91，解得ML，所以橢圓的短軸長為L班,故A正

確.易得C=l,所以e=￡=L故C錯誤.選ABD.

a2

13.答案：2

解析：由a=(1,2),b—(4,2)>—ma+b—(m+4,2m+2),|a|=>J5,\b|=2^/5,

a-c=5m+8,b-c=8m+20.c與Q的夾角等于c與力的夾角，J

'\c\\a\~\c\\b\，

即膏=然￡,解得根=2.

14.答案：—

9

解析：如圖，過點P作PH垂直于準(zhǔn)線，垂足為R,JLZPQR^ZPQF,所以PQ為NPQR的

平分線，又。是斜率為:的直線與拋物線準(zhǔn)線的交點,

則點P在第一象限內(nèi)，而m_LQR,

（2、

根據(jù)角平分線性質(zhì)知P/FQF,令尸—,m且加>0,則直線PQ的方程為

I4J

2、2

3mAi1l16m-3m-12所以Q［一"二12

y-m=—x------'令一則7n為=一而一,又

44JI16)

,“22

、23

vyi16m—3m—12、Cm\6ITT-3/71-12/M

F(l,0),所以"?/Q=--l,m--2,=2------+=0,整理

I4JV16J216

Q2G;

可得34—8m2+12m—32=(m2+4)(3m-8)=0,則故|尸氏|=|尸/|=?+1=豆

15.答案：（0,也j

解析：任取%1，%2￡（°，+°°）,且王<X2，則上〉1,.—<0,

%7

///

x、x、x

???/(%)—/(%)=/X222<0,即/⑸</&),

k.再)

AP+->72,當(dāng)且僅當(dāng)石=々時取等號，〈后.又/(x)的定義域為(0,+oo),二?！?。.

V%2Xl

綜上可知，。€(0,0].

16.答案:178K

解析：以。為原點，DA,DC,的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角

坐標(biāo)系(圖略)，由已知得E(9,6,0),C(0,9,0),尸(0,0,3),8(9,9,0),設(shè)P(0,0j),所以

EC=(-9,3,0),CF=(0,-9,3),PB=(9,9,—t).

設(shè)平面CEF的一個法向量為〃=(x,y,z),則‘即"‘不妨令z=3,貝I]

n-CF=Q,l-9y+3z=0.

y=l,x=_,所以〃=仕,1,31.因為Pfi〃平面CEE,所以=gp-x9+lx9-3z=o,

-3UJ3

解得r=4,所以P(0,0,4).因為PD,平面ABCD,且底面ABC。是正方形，所以四棱錐

P-ABCD外接球的直徑就是Pfi,由PB=(9,9,-4),M|PB\=792+92+(-4)2=V178,所以

/\2

其外接球的表面積S=4兀段=178兀.

I2J

17.答案：(1)4=不二

Z—1

（2）Sn=（n-1""”+2—“。?。?/p>

12

解析：（1）因為---=---H1,

%an

1（1

所以---1-1=21-1.

“n+lI%J

又q=l,所以—nl=2,

q

所以工+1是首項為2,公比為2的等比數(shù)歹U，

UJ

所以1"+1=2"，即

42-1

(2)因為4?〃=”,所以6“=—=〃?2"-”.

’an

記數(shù)列｛〃?2"｝的前〃項和為T/

則7；=1x21+2x22+3x23++(〃—1)X2”T+〃x2",

234Z!n+1

2Tn=1X2+2X2+3X2++(n-l)-2+nx2,

所以—7；=21+22+23+24++2n-nx2n+1,

整理得，=(〃-1)2向+2,

所以S〃=(“-l)2'+i+2/(〃+l).

2

18.答案：(1)證明見解析

(2)14

解析：(1)證明：DB平分ZADC,；.ZADB=NCDB,貝ijcosNADfi=cosNCOS,

由余弦定理得AD'BDy+BDM,即12+.2-4=4+?—4,

2ADBD2CDBD4y/3BD4BD

BD2=4(73+1).

“AD-+AB2-BD212+4-4(73+1)0—1

cosA=----------------------=-----------；=--------=--------

2ADAB8A/32

CD。+BC?-BD?4+4—4(6+1)1-73

cosC=

2CDBC82

...cosA=-cosC.又Ac(0,兀)，Ce(0,7t),A+C=n.

(2)BD7=AB-+AD--2AB-ADcosBC2+CD2-2BC-CD-cosC,

/.16-8^/3cosA=8-8cosC,整理可得cosC=GeosA-l.

.,.S；+S；=[gAD.ABsinA]+[^BC-CDsmC^=12sin2A+4sin2C

=12-12cos2A+4-4COS2C=16-12COS2A-4(A^COSA-1)2

(石丫

=-24cos2A+8A/3COSA+12=-24cosA----+14.

I6J

4口0,兀)，.?.當(dāng)cosA=且時，S：+S；取得最大值，最大值為14.

6

19.答案：(1)證明見解析

(2)存在點E,且E為AS上靠近A點的三等分點

解析：(1)證明：在等邊三角形SAD中，P為AD的中點，于是SPLAD,

又平面&LDL平面ABCD,平面&4。平面ABCD=AD,SPu平面SAD,

平面A3CD,

SP是四棱錐S-ABCD的高,

m

設(shè)AD—m,則SP=m,S矩形4BC￡>=，

2

m

%棱錐S-ABS=S矩形ABC?-SP--m'~^=3，-'.rn—l,

如圖，以點P為坐標(biāo)原點，以所在直線為x軸，過點P且與A3平行的直線為y軸，PS所在

直線為2軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,0),A(l,0,0),5(1,1,0),S(0,0,百)，E1,0,1J.⑻

F”‘句

.-.PE=f-,O,—,PF=f-,-,—1

〔22J〔222)

設(shè)4=(X]，X，zJ是平面PEF的一個法向量，

16_A

%1+Z1=0,

口J〃「PE=O,Hn2T

12

則即1廠

nlPF=O,116_八

2%i+5%+~fZi=a

令Z]=1,則%=_#>,%=0,.4.riy=(—A/3,0,1).

同理可得平面SCD的一個法向量為〃2=(-6,0,1).

/=丐，平面PEFH平面SCD.

(2)AE=AAS=2(-1,0,73)=(-2,0,^2)(0<2<1),

則PE=PA+AE=(1,0,0)+(-2,0,后)=(1-2,0,后)，PB=(1,1,0),

設(shè)平面PEB的一個法向量為相=(x,y,z),

則m-PE=(1-2)x+j3Az=0,

m-PB=%+y=0,

令x=A/32,貝！Jy=—A/32,z=X-1,

m-—A/3A,A—1)f

易知平面SAD的一個法向量為AB=(0,1,0),

,i,\AB-m\|-A/32|屈

\AB\\m\V722-22+l1。

0<2<l,.\A=-,

3

二存在點E,且E為AS上靠近A點的三等分點.

20.答案：(1)9=2x+9

(2)y=207

(3)見解析

解析：(1)由題意得，=工義(11+13+16+15+20+21)=16,

6

6

V)2=76.

i=l

66

又'可2=17.5,可(％-9)=35,

?=1i=l

￡(%-可(y-9)

3535

1=1亡0.96.

nn717.5x76-y/1330

fa-元江(％-寸

i=\i=l

由于y與x的相關(guān)系數(shù)”0.96>0.95,

這說明y與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.

6

-2(無一可(X一9)351

又Z?二-一%----------=----=2,且無=-x(l+2+3+4+5+6)=3.5,

(—\217.56

%)

Z=1

a=y-bx=16-2x3.5=9,回歸方程為夕=2x+9.

△V1863>2hx^=18,即調(diào)查材料費(fèi)用的最小值為1800元，此時

(2)v=—+------

23y[23y

余墨所以-7.

(3)J可能的取值為0,1,2,3,

3!23

且%=。)=C:1PC=1)=C皆2cl=9/，PC=2)=/CC9即=3)=C,$1

J的分布列為

40123

1991

P

20202020

“1991

￡C)=0x-----Fix-----i-2x-----i-3x—=1.5.

20202020

21.答案：(1)8后

(2)匕?履為定值-1

解析：(1)依題意可知，月(-c,0),馬(c,0),

貝I］防|=J(4+c)2+(—2夜—0)2=7(4+77+8,

222

\MF2