新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義之方法技巧專題23立體幾何中的壓軸小題(原卷版+解析)

專題23立體幾何中的壓軸小題【題型歸納目錄】題型一：球與截面面積問題題型二：體積、面積、周長、角度、距離定值問題題型三：體積、面積、周長、距離最值與范圍問題題型四：立體幾何中的交線問題題型五：空間線段以及線段之和最值問題題型六：空間角問題題型七：立體幾何裝液體問題【典例例題】題型一：球與截面面積問題例1．（2023·河南安陽·模擬預(yù)測(cè)（文））已知球O的體積為，高為1的圓錐內(nèi)接于球O，經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面截球O和圓錐所得的截面面積分別為，若，則（

）A．2 B． C． D．例2．（2023·廣西·南寧二中高三階段練習(xí)（理））已知正四棱柱中，，E為的中點(diǎn)，P為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面過B，E，P三點(diǎn)，有如下四個(gè)命題：①平面平面；②平面與正四棱柱表面的交線圍成的圖形一定是四邊形；③當(dāng)P與A重合時(shí)，截此四棱柱的外接球所得的截面面積為；④存在點(diǎn)P，使得AD與平面所成角的大小為．則正確的命題個(gè)數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4例3．（2023·四川資陽·高二期末（理））如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，，，點(diǎn)P在線段EF上．給出下列命題：①存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF；②存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF；③直線DP與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍是；④三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面面積是．其中所有真命題的序號(hào)（

）A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，圓錐的軸截面是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，為中點(diǎn)．若底面所在平面上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持，過點(diǎn)作的垂線，垂足為．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，①點(diǎn)在空間形成的軌跡為圓②三棱錐的體積最大值為③的最大值為2④與平面所成角的正切值的最大值為上述結(jié)論中正確的序號(hào)為（

）．A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③例5．（2023·安徽省舒城中學(xué)一模（理））已知正三棱錐的高為3，側(cè)棱與底面所成的角為，為棱上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作正三棱錐的外接球的截面，則截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，底面，，，，是線段上一點(diǎn)，且．過點(diǎn)作球的截面，若所得截面圓面積的最大值與最小值之差為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直四棱柱，其底面是平行四邊形，外接球體積為，若，則其外接球被平面截得圖形面積的最小值為（

）A． B． C． D．例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)（文））已知正三棱錐的外接球是球O，正三棱錐底邊，側(cè)棱，點(diǎn)E在線段上，且，過點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．例9．（2023·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在單位正方體中，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，給出以下四個(gè)命題：①異面直線與直線所成角的大小為定值；②二面角的大小為定值；③若Q是對(duì)角線上一點(diǎn)，則長度的最小值為；④若R是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則直線與直線不可能平行．其中真命題有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例10．（2023·北京·人大附中模擬預(yù)測(cè)）已知正方體為對(duì)角線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作垂直于直線的平面，平面與正方體表面相交形成的多邊形記為，下列結(jié)論不正確的是（

）A．只可能為三角形或六邊形B．平面與平面的夾角為定值C．當(dāng)且僅當(dāng)為對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，的周長最大D．當(dāng)且僅當(dāng)為對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，的面積最大例11．（2023·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）如圖，在正方體中，，，分別為，的中點(diǎn)，，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積（

）A．存在最大值，最大值為 B．存在最小值，最小值為C．為定值 D．不確定，與，的位置有關(guān)例12．（2023·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，點(diǎn)P，Q分別為的中點(diǎn)，G在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足G∥平面，以下命題錯(cuò)誤的是（）A．B．多面體的體積為定值C．側(cè)面上存在點(diǎn)G，使得D．直線與直線BC所成的角可能為例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在正方體中，過對(duì)角線的一個(gè)平面交于E，交于F，給出下面幾個(gè)命題：①四邊形一定是平行四邊形；②四邊形有可能是正方形；③平面有可能垂直于平面；④設(shè)與DC的延長線交于M，與DA的延長線交于N，則M?N?B三點(diǎn)共線；⑤四棱錐的體積為定值．以上命題中真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5例14．（2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，棱長為1的正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A． B．三棱錐的體積為定值C． D．的最小值為例15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與，不重合），則下列說法不正確的是（

）A．B．三棱錐的體積為定值C．過，，三點(diǎn)作正方體的截面，截面圖形為三角形或梯形D．DP與平面所成角的正弦值最大為例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體內(nèi)切球的表面積為，是空間中任意一點(diǎn)：①若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則始終有；②若是棱中點(diǎn)，則直線與是相交直線；③若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，三棱錐體積為定值；④為中點(diǎn)，過點(diǎn)，且與平面平行的正方體的截面面積為；以上命題為真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5例17．（2023·江西南昌·三模（理））已知長方體中，，，，為矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)二面角為，直線與平面所成的角為，若，則三棱錐體積的最小值是（

）A． B． C． D．例18．（2023·浙江·高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，，為的中點(diǎn)．過作截面將此四棱錐分成上?下兩部分，記上?下兩部分的體積分別為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．例19．（2023·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二期中（理））已知四面體的所有棱長均為，分別為棱的中點(diǎn)，為棱上異于的動(dòng)點(diǎn)．有下列結(jié)論：①線段的長度為；②點(diǎn)到面的距離范圍為；③周長的最小值為；④的余弦值的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．例20．（2023·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）如圖，在正方體中，，，分別為，的中點(diǎn)，，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積（

）A．存在最大值，最大值為 B．存在最小值，最小值為C．為定值 D．不確定，與，的位置有關(guān)例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））已知某正四棱錐的體積是，該幾何體的表面積最小值是，我們?cè)诶L畫該表面積最小的幾何體的直觀圖時(shí)所畫的底面積大小是，則和的值分別是（

）A．3； B．4； C．4； D．3；例22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知棱長為的正方體，棱中點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)、、分別滿足：點(diǎn)到異面直線、的距離相等，點(diǎn)使得異面直線、所成角正弦值為定值，點(diǎn)使得．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)、兩點(diǎn)恰好在正方體側(cè)面內(nèi)時(shí)，則多面體體積最小值為（

）A． B． C． D．例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是對(duì)角線上的點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），有以下四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)，使得平面平面；②存在點(diǎn)，使得平面；③若的周長為L，則L的最小值為；④若的面積為，則．則正確的結(jié)論為（

）A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④例24．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））已知四面體的所有棱長均為，、分別為棱、的中點(diǎn)，為棱上異于、的動(dòng)點(diǎn)．有下列結(jié)論：①線段的長度為；②存在點(diǎn)，滿足平面；③的余弦值的取值范圍為；④周長的最小值為．其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為（

）A．①③ B．①④ C．①②④ D．②③④例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為的正方體中，是線段上的點(diǎn)，過的平面與直線垂直，當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面截正方體所得的截面面積的最小值是（

）A． B． C． D．例26．（2023·四川省成都市新都一中高二期中（文））如圖，正方形的中心為正方形的中心，，截去如圖所示的陰影部分后，翻折得到正四棱錐（，，，四點(diǎn)重合于點(diǎn)），則此四棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．例27．（2023·青?！ご笸ɑ刈逋磷遄灾慰h教學(xué)研究室二模（理））在棱長為3的正方體中，P為內(nèi)一點(diǎn)，若的面積為，則四面體體積的最大值為（

）A． B．C． D．例28．（2023·四川省宜賓市第四中學(xué)校三模（理））函數(shù)，設(shè)球O的半徑為，則（

）A．球O的表面積隨x增大而增大 B．球O的體積隨x增大而減小C．球O的表面積最小值為 D．球O的體積最大值為題型四：立體幾何中的交線問題例29．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））已知正方體的棱長為，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面中，，點(diǎn)在線段上，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①點(diǎn)的軌跡長度為；②線段的軌跡與平面的交線為圓弧；③的最小值為；④過、、作正方體的截面，則該截面的周長為A． B． C． D．例30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正四棱錐中，已知，為底面的中心，以點(diǎn)為球心作一個(gè)半徑為的球，則該球的球面與側(cè)面的交線長度為（

）A． B． C． D．例31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正四面體的中心與球心O重合，正四面體的棱長為，球的半徑為，則正四面體表面與球面的交線的總長度為A． B． C． D．例32．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，△ABC為等腰直角三角形，斜邊上的中線AD＝3，E為線段BD中點(diǎn)，將△ABC沿AD折成大小為的二面角，連接BC，形成四面體C－ABD，若P是該四面體表面或內(nèi)部一點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)P落在三棱錐E－ABC內(nèi)部的概率為B．若直線PE與平面ABC沒有交點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡與平面ADC的交線長度為C．若點(diǎn)在平面上，且滿足PA＝2PD，則點(diǎn)P的軌跡長度為D．若點(diǎn)在平面上，且滿足PA＝2PD，則線段長度為定值例33．（2023·江蘇徐州·高二期中）如圖1，在正方形中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），將沿翻折，使得二面角為直二面角，得到圖2所示的四棱錐，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則在四棱錐中，下列說法正確的是（

）A．???四點(diǎn)一定共面B．存在點(diǎn)，使得平面C．側(cè)面與側(cè)面的交線與直線相交D．三棱錐的體積為定值例34．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））已知正方體的棱長是2，E，F(xiàn)分別是棱和的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形（包括邊界）內(nèi)，當(dāng)平面時(shí)，長度的最大值為a．以A為球心，a為半徑的球面與底面的交線長為（

）A． B． C． D．例35．（2023·湖南·臨澧縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知正四棱柱中，，為的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面過，，三點(diǎn)，則（

）A．平面平面B．平面與正四棱柱表面的交線圍成的圖形一定是四邊形C．當(dāng)與A重合時(shí)，截此四棱柱的外接球所得的截面面積為D．存在點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為例36．（2023·江蘇·南京師大附中模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓柱的底面半徑和高均為1，線段是圓柱下底面的直徑，點(diǎn)是下底面的圓心．線段是圓柱的一條母線，且．已知平面經(jīng)過，，三點(diǎn)，將平面截這個(gè)圓柱所得到的較小部分稱為“馬蹄體”．記平面與圓柱側(cè)面的交線為曲線．則（

）A．曲線是橢圓的一部分 B．曲線是拋物線的一部分C．二面角的大小為 D．馬蹄體的體積為滿足例37．（2023·江蘇·南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD-A1B1C1D1邊長為1，P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．BP的最小值為B．的最小值為C．當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積不變D．以點(diǎn)B為球心，為半徑的球面與面的交線長為例38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正四棱柱的底面邊為1，側(cè)棱長為a，M是的中點(diǎn)，則（

）A．任意，B．存在，直線與直線BM相交C．平面與底面交線長為定值D．當(dāng)時(shí)，三棱錐外接球表面積為題型五：空間線段以及線段之和最值問題例39．（2023·山東·高一階段練習(xí)）已知三棱錐三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，且，?分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則線段的長度的最小值為（

）A． B． C． D．例40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐的底面邊長為，外接球表面積為，，點(diǎn)M，N分別是線段AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是線段SN和平面SCM上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．例41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為3的正方體中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)在平面內(nèi)，則的最小值為（

）A． B． C． D．例42．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．3例43．（2023·湖北·高一階段練習(xí)）已知正方體的棱長為2，E為線段的中點(diǎn)，，其中，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．時(shí)， B．時(shí)，的最小值為C．時(shí)，直線與面的交點(diǎn)軌跡長度為 D．時(shí)，正方體被平面截的圖形最大面積是例44．（2023·湖南岳陽·三模）如圖，在直棱柱中，各棱長均為2，，則下列說法正確的是（

）A．三棱錐外接球的體積為B．異面直線與所成角的正弦值為C．當(dāng)點(diǎn)M在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，最小值為D．N是所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，若N到直線與的距離相等，則N的軌跡為拋物線例45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為1的正方體中，點(diǎn)滿足，，，則以下說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，平面B．當(dāng)時(shí)，存在唯一點(diǎn)使得與直線的夾角為C．當(dāng)時(shí)，長度的最小值為D．當(dāng)時(shí)，與平面所成的角不可能為例46．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)M是棱長為1的正方體中的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)M滿足B．當(dāng)點(diǎn)M在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為C．在線段上存在點(diǎn)M，使異面直線與所成的角是D．滿足的點(diǎn)M的軌跡是一段圓弧例47．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，斜三棱柱中，底面是正三角形，分別是側(cè)棱上的點(diǎn)，且，設(shè)直線與平面所成的角分別為，平面與底面所成的銳二面角為，則（

）A．B．C．D．例48．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，頂點(diǎn)P在底面的射影為的垂心O（O在內(nèi)部），且PO中點(diǎn)為M，過AM作平行于BC的截面，過BM作平行于AC的截面，記，與底面ABC所成的銳二面角分別為，，若，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若，則C．可能值為D．當(dāng)取值最大時(shí)，例49．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱臺(tái)中，底面BCD，，，．若A是BD中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)，則直線與AP夾角的正弦值的最小值是（

）A． B． C． D．例50．（2023·浙江臺(tái)州·高三期末）已知在正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，直線在平面內(nèi)．若二面角的平面角為，則的最小值為（

）A．B．C．D．例51．（2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體的棱長為3，為棱上的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)平面與平面和平面所成的角相等時(shí)，則的最小值為（

）A． B． C． D．例52．（2023·浙江·瑞安中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P是正方體上底面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記面ADP與面BCP所成的銳二面角為，面ABP與面CDP所成的銳二面角為，若，則下列敘述正確的是（

）A． B．C． D．例53．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，將矩形紙片折起一角落得到，記二面角的大小為，直線，與平面所成角分別為，，則（

）．A． B．C． D．例54．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，在棱上，，平行于的直線在正方形內(nèi)，點(diǎn)到直線的距離記為，記二面角為為，已知初始狀態(tài)下，，則（

）A．當(dāng)增大時(shí)，先增大后減小 B．當(dāng)增大時(shí)，先減小后增大C．當(dāng)增大時(shí)，先增大后減小 D．當(dāng)增大時(shí)，先減小后增大題型七：立體幾何裝液體問題例55．（2023·全國·高二期中）如圖，水平桌面上放置一個(gè)棱長為4的正方體水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，在該正方體側(cè)面上有一個(gè)小孔，點(diǎn)到的距離為3，若該正方體水槽繞傾斜（始終在桌面上），則當(dāng)水恰好流出時(shí)，側(cè)面與桌面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．2例56．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）一個(gè)封閉的正三棱柱容器，高為3，內(nèi)裝水若干（如圖甲，底面處于水平狀態(tài)），將容器放倒（如圖乙，一個(gè)側(cè)面處于水平狀態(tài)），這時(shí)水面與各棱交點(diǎn)分別為所在棱的中點(diǎn)，則圖甲中水面的高度為（

）A． B．C．2 D．例57．（2023·湖北宜昌·一模（文））已知一個(gè)放置在水平桌面上的密閉直三棱柱容器，如圖1，為正三角形，，，里面裝有體積為的液體，現(xiàn)將該棱柱繞旋轉(zhuǎn)至圖2．在旋轉(zhuǎn)過程中，以下命題中正確的個(gè)數(shù)是（

）①液面剛好同時(shí)經(jīng)過，，三點(diǎn)；②當(dāng)平面與液面成直二面角時(shí)，液面與水平桌面的距離為；③當(dāng)液面與水平桌面的距離為時(shí)，與液面所成角的正弦值為．A．0 B．1 C．2 D．3例58．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）一個(gè)密閉且透明的正方體容器中裝有部分液體，已知該正方體的棱長為1，如果任意轉(zhuǎn)動(dòng)該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍為（

）A． B． C． D．例59．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）一個(gè)密閉且透明的正方體容器中裝有部分液體，已知該正方體的棱長為2，如果任意轉(zhuǎn)動(dòng)該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體的體積的取值范圍為（

）A． B． C． D．例60．（2023·重慶·高二期末（文））已知某圓柱形容器的軸截面是邊長為2的正方形，容器中裝滿液體，現(xiàn)向此容器中放入一個(gè)實(shí)心小球，使得小球完全被液體淹沒，則此時(shí)容器中所余液體的最小容量為（

）A． B． C． D．例61．（2023·福建廈門·高一期末）如圖（1）平行六面體容器盛有高度為的水，，．固定容器底而一邊于地面上，將容器傾斜到圖（2）時(shí)，水面恰好過，，，四點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．例62．（2023·福建·廈門市湖濱中學(xué)高一期中）如圖，透明塑料制成的長方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器一邊于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面幾個(gè)結(jié)論，其中正確的命題是（

）A．水面所在四邊形的面積為定值B．隨著容器傾斜度的不同，始終與水面所在平面平行C．沒有水的部分有時(shí)呈棱柱形有時(shí)呈棱錐形D．當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時(shí)，為定值例63．（2023·山東·高三專題練習(xí)）一個(gè)透明封閉的正四面體容器中，恰好盛有該容器一半容積的水，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)正四面體，則水面在容器中的形狀可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)專題23立體幾何中的壓軸小題【題型歸納目錄】題型一：球與截面面積問題題型二：體積、面積、周長、角度、距離定值問題題型三：體積、面積、周長、距離最值與范圍問題題型四：立體幾何中的交線問題題型五：空間線段以及線段之和最值問題題型六：空間角問題題型七：立體幾何裝液體問題【典例例題】題型一：球與截面面積問題例1．（2023·河南安陽·模擬預(yù)測(cè)（文））已知球O的體積為，高為1的圓錐內(nèi)接于球O，經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面截球O和圓錐所得的截面面積分別為，若，則（

）A．2 B． C． D．【解析】球O半徑為R，由得，平面截球O所得截面小圓半徑，由得，因此，球心O到平面的距離，而球心O在圓錐的軸上，則圓錐的軸與平面所成的角為，因圓錐的高為1，則球心O到圓錐底面圓的距離為，于是得圓錐底面圓半徑，令平面截圓錐所得截面為等腰，線段AB為圓錐底面圓的弦，點(diǎn)C為弦AB中點(diǎn)，如圖，依題意，，，，弦，所以．故選：C例2．（2023·廣西·南寧二中高三階段練習(xí)（理））已知正四棱柱中，，E為的中點(diǎn)，P為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面過B，E，P三點(diǎn)，有如下四個(gè)命題：①平面平面；②平面與正四棱柱表面的交線圍成的圖形一定是四邊形；③當(dāng)P與A重合時(shí)，截此四棱柱的外接球所得的截面面積為；④存在點(diǎn)P，使得AD與平面所成角的大小為．則正確的命題個(gè)數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【解析】由題意可知，，，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，且平面，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，可延長BP交的延長線于點(diǎn)M，延長BE交的延長線于點(diǎn)N，連結(jié)MN，分別交，于點(diǎn)R，Q，連結(jié)PR，EQ，則截面為五邊形BPRQE，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)P與A重合時(shí)，可取的中點(diǎn)為點(diǎn)F，截面為圖示中的矩形ABEF，則四棱柱的外接球半徑為，設(shè)點(diǎn)為平面的中心，過作于，連接，則可得，平面，所以點(diǎn)到平面ABEM的距離，所以截此四棱柱的外接球所得的截面圓的半徑，所以截此四棱柱的外接球所得的截面的面積為，故③正確；對(duì)于④，AD與平面所成角的大小，即為BC與平面所成角，可設(shè)為，作于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為h，則，所以，則，故④錯(cuò)誤．綜上，正確的命題個(gè)數(shù)為2．故選：B．例3．（2023·四川資陽·高二期末（理））如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，，，點(diǎn)P在線段EF上．給出下列命題：①存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF；②存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF；③直線DP與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍是；④三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面面積是．其中所有真命題的序號(hào)（

）A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④【解析】取EF中點(diǎn)G，連DG，令，連FO，如圖，在正方形ABCD中，O為BD中點(diǎn)，而BDEF是矩形，則且，即四邊形DGFO是平行四邊形，即有，而平面ACF，平面ACF，于是得平面ACF，當(dāng)點(diǎn)P與G重合時(shí)，直線平面ACF，①正確；假定存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF，而平面ACF，則，又，從而有，在中，，DG是直角邊EF上的中線，顯然在線段EF上不存在點(diǎn)與D連線垂直于DG，因此，假設(shè)是錯(cuò)的，即②不正確；因平面平面，平面平面，則線段EF上的動(dòng)點(diǎn)P在平面上的射影在直線BD上，于是得是直線DP與平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，當(dāng)P與E不重合時(shí)，，，而，則，當(dāng)P與E重合時(shí)，，，因此，，③正確；因平面平面，平面平面，，平面，則平面，，在中，，顯然有，，由正弦定理得外接圓直徑，，三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面是的外接圓，其面積為，④正確，所以所給命題中正確命題的序號(hào)是①③④．故選：D例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，圓錐的軸截面是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，為中點(diǎn)．若底面所在平面上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持，過點(diǎn)作的垂線，垂足為．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，①點(diǎn)在空間形成的軌跡為圓②三棱錐的體積最大值為③的最大值為2④與平面所成角的正切值的最大值為上述結(jié)論中正確的序號(hào)為（

）．A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③【解析】建系如圖，為等腰直角三角形，在所在圓上，設(shè)，，，則M的軌跡為圓，是以O(shè)A為直徑在xoy面上的圓．又隨著M運(yùn)動(dòng)，H軌跡是以O(shè)C為直徑的圓，故①正確②由圖可得，B到面COH的距離為1，，故②正確；③設(shè)，則，，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)H運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，，故③正確；④由①知H在以O(shè)C為直徑的圓上，且該圓所在的平面與平面PAB垂直，由對(duì)稱性，只考慮C在上半圓，如圖，過H作，過B作，則BH與平面PAB所成的角為，又，，故④錯(cuò)誤．綜上所述，正確的序號(hào)為①②③故選：D例5．（2023·安徽省舒城中學(xué)一模（理））已知正三棱錐的高為3，側(cè)棱與底面所成的角為，為棱上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作正三棱錐的外接球的截面，則截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】如圖①，∵三棱錐為正三棱錐，∴頂點(diǎn)在底面的射影為的中心，連接，則三棱錐外接球的球心在上，連接，，．顯然過點(diǎn)作球的截面中，面積最小的是垂直于的截面，∵正三棱錐的高為，即，側(cè)棱與底面所成的角為，在中，可解得，．∵是正三角形，∴．設(shè)正三棱錐的外接球半徑為，則，解得，如圖②，在中，，，由余弦定理得，∴，∴垂直于的截面半徑滿足，∴，即截面最小面積為．故選：A．例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，底面，，，，是線段上一點(diǎn)，且．過點(diǎn)作球的截面，若所得截面圓面積的最大值與最小值之差為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【解析】平面，，將三棱錐補(bǔ)成長方體，如下圖所示：設(shè)，連接、、，可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，，則為的中點(diǎn)，所以，且，設(shè)，且，，所以，球的半徑為，在中，，，，，在中，，，由余弦定理可得，平面，平面，平面，則，，，設(shè)過點(diǎn)的球的截面圓的半徑為，設(shè)球心到截面圓的距離為，設(shè)與截面圓所在平面所成的角為，則．當(dāng)時(shí)，即截面圓過球心時(shí)，取最小值，此時(shí)取最大值，即；當(dāng)時(shí)，即與截面圓所在平面垂直時(shí)，取最大值，即，此時(shí)，取最小值，即．由題意可得，，解得．所以，，因此，球的表面積為．故選：B．例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直四棱柱，其底面是平行四邊形，外接球體積為，若，則其外接球被平面截得圖形面積的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】由直四棱柱內(nèi)接于球，則四點(diǎn)在球面上，所以四邊形為球的一截面圓的內(nèi)接四邊形，所以對(duì)角互補(bǔ)．又四邊形是平行四邊形，所以為矩形．在直四棱柱中，平面，所以又，，所以平面，所以所以四邊形為正方形，所以直四棱柱為正四棱柱．由外接球體積為，則球的半徑為，由為該外接球的直徑，則設(shè)，則，則在中，，由余弦定理可得所以設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，即的最小值為其外接球被平面截得圖形面積的最小值為：故選：A例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)（文））已知正三棱錐的外接球是球O，正三棱錐底邊，側(cè)棱，點(diǎn)E在線段上，且，過點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】如圖，由題，設(shè)的中心為，球的半徑為，連接，則，，在中，，解得，所以，因?yàn)?，所以，在中，，所以，過點(diǎn)作球的截面，當(dāng)截面與垂直時(shí)，截面的面積最小，此時(shí)截面的半徑為，則截面面積為，當(dāng)截面過球心時(shí)，截面面積最大，最大面積為，故選：D例9．（2023·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在單位正方體中，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，給出以下四個(gè)命題：①異面直線與直線所成角的大小為定值；②二面角的大小為定值；③若Q是對(duì)角線上一點(diǎn)，則長度的最小值為；④若R是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則直線與直線不可能平行．其中真命題有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解析】對(duì)于①，由正方體的性質(zhì)可知，平面，又平面，故，異面直線與直線的所成的角為定值，①正確；對(duì)于②，平面即為平面，平面與平面所成的二面角為定值，故二面角為定值，②正確；對(duì)于③，將平面沿直線翻折到平面內(nèi)，平面圖如下，過點(diǎn)做，，，此時(shí)，的值最小．由題可知，，，，則，，故，又，故的最小值為，故③正確．對(duì)于④，在正方體中易證平面，設(shè)，則即為二面角的平面角，又正方體邊長為1，故，則，由余弦定理得，故，同理，故在上必然存在一點(diǎn)，使得二面角為，即平面平面，平面與平面的交線為，則，過點(diǎn)作的垂線．此時(shí)平面，又平面，故．故④錯(cuò)誤．故選：C．例10．（2023·北京·人大附中模擬預(yù)測(cè)）已知正方體為對(duì)角線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作垂直于直線的平面，平面與正方體表面相交形成的多邊形記為，下列結(jié)論不正確的是（

）A．只可能為三角形或六邊形B．平面與平面的夾角為定值C．當(dāng)且僅當(dāng)為對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，的周長最大D．當(dāng)且僅當(dāng)為對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，的面積最大【解析】如下圖，在正方體中，體對(duì)角線與平面，平面，平面都垂直，由圖可知，在平面運(yùn)動(dòng)過程中只可能為三角形或六邊形，故A正確；由題可知平面與都垂直，所以平面在移動(dòng)過程中都是平行平面，與平面的夾角為定值，故B正確；如下圖，當(dāng)為對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，為正六邊形，而三角形為等邊三角形，根據(jù)中位線定理，可得兩個(gè)截面周長相等，故C錯(cuò)誤；由圖可得，當(dāng)為對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，為正六邊形，設(shè)邊長，面積為，當(dāng)向下剛開始移動(dòng)時(shí)，為六邊形，結(jié)合圖形可知兩鄰邊一條增大，一條減小且變化量相等，設(shè)，而且所有六邊形的高都相等且等于，兩鄰邊夾角都為，則六邊形梯形，當(dāng)為三角形時(shí)面積最大為，所以當(dāng)且僅當(dāng)為對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，的面積最大，故D正確．故選：C．例11．（2023·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）如圖，在正方體中，，，分別為，的中點(diǎn)，，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積（

）A．存在最大值，最大值為 B．存在最小值，最小值為C．為定值 D．不確定，與，的位置有關(guān)【解析】如下圖，連接，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，可得，，所以當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí)，到平面的距離為定值，當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí)，到的距離為定值，所以為定值，則三棱錐的體積為定值．平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，．故選：C．例12．（2023·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，點(diǎn)P，Q分別為的中點(diǎn)，G在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足G∥平面，以下命題錯(cuò)誤的是（）A．B．多面體的體積為定值C．側(cè)面上存在點(diǎn)G，使得D．直線與直線BC所成的角可能為【解析】對(duì)A：連接，作圖如下：因?yàn)闉檎襟w，故可得//，又，與是同一條直線，故可得，則，故A正確；對(duì)B：根據(jù)題意，，且線段在上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)到直線的距離不變，故△的面積為定值，又點(diǎn)到平面的距離也為定值，故三棱錐的體積為定值，故B正確；對(duì)C：取的中點(diǎn)分別為，連接，作圖如下：容易知在△中，//，又//，，面面，故面//面，又G在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足G∥平面，故的軌跡即為線段；又因?yàn)闉檎襟w，故面面，故，則當(dāng)與重合時(shí)，，故C正確；對(duì)D：因?yàn)?/，故直線與所成角即為直線與所成角，即，在中，，故，而當(dāng)直線與直線BC所成的角為時(shí)，，故直線與直線BC所成的角不可能為，故D錯(cuò)誤．故選：D．例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在正方體中，過對(duì)角線的一個(gè)平面交于E，交于F，給出下面幾個(gè)命題：①四邊形一定是平行四邊形；②四邊形有可能是正方形；③平面有可能垂直于平面；④設(shè)與DC的延長線交于M，與DA的延長線交于N，則M?N?B三點(diǎn)共線；⑤四棱錐的體積為定值．以上命題中真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【解析】因?yàn)槠矫媾c平面平行，截面與它們交于，BF，可得，同樣可得，所以四邊形是一個(gè)平行四邊形，故①正確；如果四邊形是正方形，則，因?yàn)?，所以平面，又平面，E與A重合，此時(shí)不是正方形，故②錯(cuò)誤；當(dāng)兩條棱上的交點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，四邊形為菱形，平面，此時(shí)四邊形垂直于平面，故③正確；由與DC的延長線交于M，可得，且，又因?yàn)槠矫?，平面ABCD，所以平面，平面ABCD，又因?yàn)槠矫?，平面ABCD，所以平面平面，同理平面平面，所以BM，BN都是平面與平面ABCD的交線，所以B，M，N三點(diǎn)共線，故④正確；由于，平面，則E，F(xiàn)到平面的距離相等，且為正方體的棱長，三角形的面積為定值，所以四棱錐的體積為定值，故⑤正確．故選：C．例14．（2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，棱長為1的正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A． B．三棱錐的體積為定值C． D．的最小值為【解析】由平面，可得，則由，可得平面又平面，則，所以A項(xiàng)命題正確；由于M，N分別為中點(diǎn)，可得∥因?yàn)辄c(diǎn)P在上，所以點(diǎn)P到平面的距離為定值，則三棱錐的體積由于和h都為定值所以三棱錐的體積為定值，所以B項(xiàng)命題正確；設(shè)，由對(duì)稱性可得，則當(dāng)P與C重合時(shí)，，此時(shí)，達(dá)到最小為，當(dāng)交于P時(shí)，由等面積法可得，此時(shí)，達(dá)到最大為，所以C項(xiàng)命題正確；將平面與平面沿展成平面圖，當(dāng)交于P時(shí)，可得，此時(shí)為最小值，所以D項(xiàng)命題錯(cuò)誤；故選D．例15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與，不重合），則下列說法不正確的是（

）A．B．三棱錐的體積為定值C．過，，三點(diǎn)作正方體的截面，截面圖形為三角形或梯形D．DP與平面所成角的正弦值最大為【解析】由題可知平面，所以，故A正確；由等體積法得為定值，故B正確；設(shè)的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，如下圖所示：此時(shí)截面是三角形，當(dāng)時(shí)，如下圖所示：此時(shí)截面是梯形，故C正確；選項(xiàng)D，在正方體中，連接，則為在平面上的射影，則為與平面所成的角，設(shè)正方體的棱長為1，，則，，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值最大，即時(shí)，的值最小為，所以的值最大為，故D不正確．故選：D．例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體內(nèi)切球的表面積為，是空間中任意一點(diǎn)：①若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則始終有；②若是棱中點(diǎn)，則直線與是相交直線；③若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，三棱錐體積為定值；④為中點(diǎn)，過點(diǎn)，且與平面平行的正方體的截面面積為；以上命題為真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【解析】因?yàn)檎襟w內(nèi)切球的表面積為，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，解得，所以正方體的棱長為，因?yàn)椋?，所以面，因?yàn)槊?，所以恒成立，故①是真命題；由圖可知，直線與是異面直線，故②是假命題；由圖可知：因?yàn)?，三棱錐體積等于三棱錐的體積，由①知，面，所以點(diǎn)到面的距離為，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到直線的距離等于1，所以的面積等于，所以，故棱錐體積為定值，故③是真命題；取中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以面面，所以過點(diǎn)，且與平面平行的正方體的截面為面，由圖可知面是菱形，其中對(duì)角線長為，所以，故④是真命題；真命題的個(gè)數(shù)有3個(gè)，故選：B；例17．（2023·江西南昌·三模（理））已知長方體中，，，，為矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)二面角為，直線與平面所成的角為，若，則三棱錐體積的最小值是（

）A． B． C． D．【解析】如圖，作平面，垂足為，再作，垂足為，連接，由題意可知，，所以，由拋物線定義可知，的軌跡為拋物線一部分，所以的軌跡為拋物線一部分，當(dāng)點(diǎn)到線段距離最短時(shí)，三角形面積最小，三棱錐體積最小，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則直線的方程為，拋物線的方程為，，由題意，，得，代入，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以到直線的最短距離為，因?yàn)椋?，所以三棱錐體積的最小值為．故選：C例18．（2023·浙江·高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，，為的中點(diǎn)．過作截面將此四棱錐分成上?下兩部分，記上?下兩部分的體積分別為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】過作平面的垂線，垂足為，連，設(shè)的交點(diǎn)為，在中過作直線交于兩點(diǎn)，由相交直線確定平面，則四邊形為過的截面．由計(jì)算可得，得為正三角形，，所以為的重心，設(shè)，由向量運(yùn)算可得，又，可得，所以，由三點(diǎn)共線，得，即，易得到平面的距離為，到平面的距離為1，因?yàn)?，所以，，得，，由，，得，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以，即的最小值為．故選：A．例19．（2023·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二期中（理））已知四面體的所有棱長均為，分別為棱的中點(diǎn)，為棱上異于的動(dòng)點(diǎn)．有下列結(jié)論：①線段的長度為；②點(diǎn)到面的距離范圍為；③周長的最小值為；④的余弦值的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【解析】四面體所有棱長均為，四面體為正四面體；對(duì)于①，作平面，垂足為，四面體為正四面體，為的中心，且；取中點(diǎn)，連接，則，且平面；，，；平面，平面，，，①正確；對(duì)于②，在上取點(diǎn)，使得，則，，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，點(diǎn)到平面的距離，令，則，，，，即點(diǎn)到平面的距離的取值范圍為，②正確；對(duì)于③，將等邊三角形與沿展開，可得展開圖如下圖所示，則（當(dāng)且僅當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)取等號(hào)），四邊形為菱形，分別為中點(diǎn)，，，則在四面體中，周長的最小值為，③正確；對(duì)于④，設(shè)為中點(diǎn)，若點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，其中，在中，；在中，同理可得：，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，，；的取值范圍為；同理可得：當(dāng)在線段上時(shí)，的取值范圍為；綜上所述：的余弦值的取值范圍為，④正確．故選：D．例20．（2023·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）如圖，在正方體中，，，分別為，的中點(diǎn)，，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積（

）A．存在最大值，最大值為 B．存在最小值，最小值為C．為定值 D．不確定，與，的位置有關(guān)【解析】如下圖，連接，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，可得，，所以當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí)，到平面的距離為定值，當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí)，到的距離為定值，所以為定值，則三棱錐的體積為定值．平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，．故選：C．例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））已知某正四棱錐的體積是，該幾何體的表面積最小值是，我們?cè)诶L畫該表面積最小的幾何體的直觀圖時(shí)所畫的底面積大小是，則和的值分別是（

）A．3； B．4； C．4； D．3；【解析】如圖，O為底面ABCD的中心，E為BC的中點(diǎn)，連接PO，OE，設(shè)該正四棱錐底面邊長為，高為，且，由題意，．易有，，則，所以，，將代入并化簡(jiǎn)得：，于是，．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”．易知，此時(shí)底面ABCD直觀圖的面積．故選：C．例22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知棱長為的正方體，棱中點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)、、分別滿足：點(diǎn)到異面直線、的距離相等，點(diǎn)使得異面直線、所成角正弦值為定值，點(diǎn)使得．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)、兩點(diǎn)恰好在正方體側(cè)面內(nèi)時(shí)，則多面體體積最小值為（

）A． B． C． D．【解析】由題意都在平面內(nèi)，其中為定點(diǎn)．點(diǎn)到異面直線、的距離相等，在正方體中，平面，故連接，有，所以為點(diǎn)到直線的距離．所以在平面上，點(diǎn)滿足到點(diǎn)的距離等于到直線的距離．所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線在正方體側(cè)面內(nèi)的部分．由，所以異面直線、所成角為（或其補(bǔ)角）在正方體中，平面，又平面，所以所以，又所以，則所以，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是為以為圓心，為半徑的圓．在四邊形中，，又在平面內(nèi)，取的中點(diǎn)，連接，以為軸，為軸則直線的方程為：，即，則點(diǎn)到直線的距離的最值為：所以的最小值為．動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：，設(shè)所以點(diǎn)到直線的距離（當(dāng)時(shí)取得等號(hào)）所以面積最小值所以四邊形面積點(diǎn)滿足，又．所以點(diǎn)在以為弦的劣弧上，由，則圓心角為．其半徑為2，圓心到的距離為．所以圓弧上的點(diǎn)到的距離的最大值為．當(dāng)劣弧所在的平面垂直于平面時(shí)，圓弧上的點(diǎn)到平面的距離最小值為所以動(dòng)點(diǎn)到面距離最小值為，所以多面體體積最小值為故選：A例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是對(duì)角線上的點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），有以下四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)，使得平面平面；②存在點(diǎn)，使得平面；③若的周長為L，則L的最小值為；④若的面積為，則．則正確的結(jié)論為（

）A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④【解析】連接，設(shè)平面與體對(duì)角線交于點(diǎn)，由，，，平面，即平面，平面，平面平面，存在點(diǎn)，使得平面平面，故①對(duì)；由，平面，平面，所以平面，同理由可得平面，又，所以平面平面，設(shè)平面與交于點(diǎn)M，則平面，所以平面，故②對(duì)；將平面與平面展開到同一平面，如圖所示則，所以的周長為L的最小值為，故③對(duì)；連接交于點(diǎn)O，過O作，在正方體中，平面，平面，，由，則，即，此時(shí)面積為，故④錯(cuò)；故選：B．例24．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））已知四面體的所有棱長均為，、分別為棱、的中點(diǎn)，為棱上異于、的動(dòng)點(diǎn)．有下列結(jié)論：①線段的長度為；②存在點(diǎn)，滿足平面；③的余弦值的取值范圍為；④周長的最小值為．其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為（

）A．①③ B．①④ C．①②④ D．②③④【解析】對(duì)于①，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接、，，為的中點(diǎn)，則，同理可得，，平面，平面，，、分別為、的中點(diǎn)，則且，同理可知，且，，由勾股定理可得，①正確；對(duì)于②，假設(shè)平面，由于平面，則．事實(shí)上，由①可知，且是以為直角的等腰直角三角形，所以，與所成的角為，故假設(shè)不成立，即與平面不垂直，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，取線段的中點(diǎn)，則，設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，則；當(dāng)點(diǎn)在線段上（不包括端點(diǎn)、）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則，，，由余弦定理可得，同理可得．，則，由余弦定理可得；當(dāng)點(diǎn)在線段上（不包括端點(diǎn)、）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，同理可知．綜上所述，的余弦值的取值范圍是，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，將側(cè)面和側(cè)面延展為同一平面，如下圖所示：當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，如上圖所示，由于四邊形是邊長為的菱形，則且，、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則，即的最小值為，所以，在正四面體中，的周長為最小值為，④正確．故選：B．例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為的正方體中，是線段上的點(diǎn)，過的平面與直線垂直，當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面截正方體所得的截面面積的最小值是（

）A． B． C． D．【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、，設(shè)點(diǎn)，其中．①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，所以，，，則，，，平面，此時(shí)平面即為平面，截面面積為；②當(dāng)時(shí)，同①可知截面面積為；③當(dāng)時(shí)，，，，，則，設(shè)平面交棱于點(diǎn)，，，可得，不合乎題意．設(shè)平面交棱于點(diǎn)，，，可得，合乎題意，即，同理可知，平面交棱于點(diǎn)，，且與不重合，故四邊形為平行四邊形，，，，則，所以，截面面積為．綜上所述，截面面積的最小值為．故選：C．例26．（2023·四川省成都市新都一中高二期中（文））如圖，正方形的中心為正方形的中心，，截去如圖所示的陰影部分后，翻折得到正四棱錐（，，，四點(diǎn)重合于點(diǎn)），則此四棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)，則所得的棱錐側(cè)面的高為，棱錐的高為其體積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即體積的最大值為，故選：B．例27．（2023·青海·大通回族土族自治縣教學(xué)研究室二模（理））在棱長為3的正方體中，P為內(nèi)一點(diǎn)，若的面積為，則四面體體積的最大值為（

）A． B．C． D．【解析】設(shè)與平面相交于點(diǎn)，連接交于，連接，則交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可證得，因?yàn)樗云矫?，因?yàn)槠矫妫?，所以是的高，因?yàn)?，，所以，所以點(diǎn)P的軌跡是以為原點(diǎn)，1為半徑的圓，因?yàn)槠矫妫云矫?，所以平面，所以，因?yàn)闉槌?shù)，所以當(dāng)最大時(shí)，取得最大值，在中，設(shè)到的距離為，所以，所以只要求出的最大值，就取得最大值，在四邊形中，如下圖，，，所以，所以，，在等邊三角形中，如下圖，在高上，，所以，所以到的距離是到距離的，因?yàn)榈骄嚯x為，所以到的距離，所以的最大值為，所以四面體體積的最大值為，故選：D例28．（2023·四川省宜賓市第四中學(xué)校三模（理））函數(shù)，設(shè)球O的半徑為，則（

）A．球O的表面積隨x增大而增大 B．球O的體積隨x增大而減小C．球O的表面積最小值為 D．球O的體積最大值為【解析】令，則，故函數(shù)，，即為單調(diào)增函數(shù)，而在上遞增，在上遞減，故在上遞增，在上遞減，又在上遞增，在上遞減，且是正值，也是正值，故在上遞增，在上遞減，即球O的半徑在上遞增，在上遞減，故A，B錯(cuò)誤；由以上分析可知當(dāng)時(shí)，球O的半徑取到最大值為，故球O的表面積最大值為，無最小值，故C錯(cuò)誤；同時(shí)球O的體積最大值為，故D正確；故選：D題型四：立體幾何中的交線問題例29．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））已知正方體的棱長為，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面中，，點(diǎn)在線段上，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①點(diǎn)的軌跡長度為；②線段的軌跡與平面的交線為圓?。虎鄣淖钚≈禐?；④過、、作正方體的截面，則該截面的周長為A． B． C． D．【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡是平面上以為圓心，以2為半徑的圓，所以點(diǎn)的軌跡長度為，故①錯(cuò)誤；連接，易知線段的軌跡是圓錐的側(cè)面，而平面與軸不垂直，所以線段的軌跡與平面的交線不是圓弧，故②錯(cuò)誤；以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以水平向右、垂直平分為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，則所在的直線方程為，則點(diǎn)到直線的距離為，所以的最小值為，故③正確；如下圖，過作正方體的截面，為五邊形，其中為的靠近的三等分點(diǎn)，為的靠近的四等分點(diǎn)．可計(jì)算得，，所以該截面的周長為，故④錯(cuò)誤．故選：D．例30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正四棱錐中，已知，為底面的中心，以點(diǎn)為球心作一個(gè)半徑為的球，則該球的球面與側(cè)面的交線長度為（

）A． B． C． D．【解析】如圖，取CD的中點(diǎn)為E，則有，，，可得，，故，為正三角形，球心O在平面PCD上的投影M即為的中心，，球的半徑，在中，則截面圓半徑，在正三角形中，以點(diǎn)M為圓心，作半徑為的圓，圓與三角形截得的三部分，圓心角都為，故該球的球面與側(cè)面的交線長度為截面圓周長的，即為．故選：A．例31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正四面體的中心與球心O重合，正四面體的棱長為，球的半徑為，則正四面體表面與球面的交線的總長度為A． B． C． D．【解析】考查正四面體的一個(gè)平面與球相交的截面如圖所示，由題意結(jié)合幾何關(guān)系可知：，球心到截面的距離：，則，，據(jù)此可得截面對(duì)應(yīng)的弧長為：，則四面體的一個(gè)面截球面的弧長為：，則正四面體表面與球面的交線的總長度為．故選A．例32．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，△ABC為等腰直角三角形，斜邊上的中線AD＝3，E為線段BD中點(diǎn)，將△ABC沿AD折成大小為的二面角，連接BC，形成四面體C－ABD，若P是該四面體表面或內(nèi)部一點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)P落在三棱錐E－ABC內(nèi)部的概率為B．若直線PE與平面ABC沒有交點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡與平面ADC的交線長度為C．若點(diǎn)在平面上，且滿足PA＝2PD，則點(diǎn)P的軌跡長度為D．若點(diǎn)在平面上，且滿足PA＝2PD，則線段長度為定值【解析】如圖所示，由題意可知底面BCD，由于E為線段BD中點(diǎn)，故，故P落在三棱錐內(nèi)部的概率為，故A正確；若直線PE與平面ABC沒有交點(diǎn)，則P點(diǎn)在過點(diǎn)E和平面ABC平行的平面上，如圖所示，設(shè)CD的中點(diǎn)為F，AD的中點(diǎn)為G，連接EF，F(xiàn)G，EG，則平面EFG平面ABC，則點(diǎn)P的軌跡與平面ADC的交線即為GF，由于△ABC為等腰直角三角形，斜邊上的中線AD=3，故，則，故B正確；若點(diǎn)P在平面ACD上，且滿足，以D為原點(diǎn)，DC，DA為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)，則，即，故P點(diǎn)在平面ADC上的軌跡即為該圓被平面ADC截得的圓?。ㄈ鐖D示），由可得，則，則點(diǎn)P的軌跡長度為，故C正確；由題意可知，故平面ADC，故，由于P在圓弧上，圓心為M，故PD的長不是定值，如上圖，當(dāng)位于N點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)位于T點(diǎn)時(shí)，，故線段PB長度不是定值，D錯(cuò)誤，故選：D例33．（2023·江蘇徐州·高二期中）如圖1，在正方形中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），將沿翻折，使得二面角為直二面角，得到圖2所示的四棱錐，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則在四棱錐中，下列說法正確的是（

）A．???四點(diǎn)一定共面B．存在點(diǎn)，使得平面C．側(cè)面與側(cè)面的交線與直線相交D．三棱錐的體積為定值【解析】A．假設(shè)???四點(diǎn)共面，則直線EC與BF共面，若EC與BF平行，又EC與AD平行，則AD與BF平行，這與AD與BF相交矛盾；若EC與BF相交，設(shè)交點(diǎn)為Q，則Q即在平面BAD內(nèi)，又在平面AECD內(nèi)，則點(diǎn)Q在交線AD上，這與EC與AD平行矛盾，所以假設(shè)不成立，所以B、E、C、F不共面，故錯(cuò)誤；B．如圖所示：在AD上取點(diǎn)G，使得AG=EC，當(dāng)時(shí)，，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，則平面，故存在點(diǎn)，使得平面，故正確；C．設(shè)側(cè)面與側(cè)面的交線為l，因?yàn)?，且面，面，所以面，則，所以，故錯(cuò)誤；D．因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，?dāng)點(diǎn)E移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B到AE的距離即三棱錐的高變化，而是定值，故三棱錐的體積不是定值，故錯(cuò)誤；故選：B例34．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））已知正方體的棱長是2，E，F(xiàn)分別是棱和的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形（包括邊界）內(nèi)，當(dāng)平面時(shí)，長度的最大值為a．以A為球心，a為半徑的球面與底面的交線長為（

）A． B． C． D．【解析】如圖所示：分別取的中點(diǎn)M，N，連接MN，AM，AN，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面AMN平面，因?yàn)辄c(diǎn)P在正方形（包括邊界）內(nèi)，且平面，所以點(diǎn)P的軌跡是線段MN，所以長度的最大值為，在平面內(nèi)取一點(diǎn)P，使得，則，所以以A為球心，為半徑的球面與底面的交線為以為圓心，以1為半徑的圓弧RPQ，其長度為，故選：A例35．（2023·湖南·臨澧縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知正四棱柱中，，為的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面過，，三點(diǎn)，則（

）A．平面平面B．平面與正四棱柱表面的交線圍成的圖形一定是四邊形C．當(dāng)與A重合時(shí)，截此四棱柱的外接球所得的截面面積為D．存在點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為【解析】因?yàn)?，為的中點(diǎn)，底面ABCD為正方形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，即A正確；當(dāng)時(shí)，畫出平面與正四棱柱表面的交線圍成的圖形如下圖：其中F在線段上，G在上，BP∥EG，BE∥PF，可知交線圍成的圖形為五邊形，即B錯(cuò)誤；如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB所在直線為，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)平面ABEF的法向量為，則有，令，則，則球心到平面的距離，此正四棱柱的外接球半徑為，所以截面半徑，則截面積，即C正確；設(shè)，，則平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)與平面所成角為，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以不存在點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為，即D錯(cuò)誤．故選：AC例36．（2023·江蘇·南京師大附中模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓柱的底面半徑和高均為1，線段是圓柱下底面的直徑，點(diǎn)是下底面的圓心．線段是圓柱的一條母線，且．已知平面經(jīng)過，，三點(diǎn)，將平面截這個(gè)圓柱所得到的較小部分稱為“馬蹄體”．記平面與圓柱側(cè)面的交線為曲線．則（

）A．曲線是橢圓的一部分 B．曲線是拋物線的一部分C．二面角的大小為 D．馬蹄體的體積為滿足【解析】將相同的圓柱按如圖方式拼接在一起，將兩個(gè)球放入圓柱內(nèi)，使每一個(gè)球既與圓柱相切，又與曲線C所在平面相切，球與曲線C的切點(diǎn)為，取曲線C上一點(diǎn)，過點(diǎn)的圓柱母線與兩球交于兩點(diǎn)，由于同是下面球的切線，同是上面球的切線，可得，，則，由橢圓定義知：曲線是橢圓的一部分，A正確；B錯(cuò)誤；連接，由，，知面，故，則為二面角的平面角，又，則，C正確；由補(bǔ)成的幾何體知馬蹄體的體積為為圓柱體的，即為，D錯(cuò)誤．故選：AC．例37．（2023·江蘇·南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD-A1B1C1D1邊長為1，P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．BP的最小值為B．的最小值為C．當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積不變D．以點(diǎn)B為球心，為半徑的球面與面的交線長為【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，BP最小，由于到直線的距離對(duì)．對(duì)于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，以分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，表示平面上之間的距離，表示平面上之間的距離，錯(cuò)；對(duì)于C，，平面，平面到平面的距離為定值，為定值，則為定值，對(duì)．對(duì)于D，由于平面，設(shè)與平面交于點(diǎn)，，設(shè)以為球心，為半徑的球與面交線上任一點(diǎn)為，在以為圓心，為半徑的圓上，由于為正三角形，邊長為，其內(nèi)切圓半徑為，故此圓恰好為的內(nèi)切圓，完全落在面內(nèi)，交線長為正確．故選：ACD例38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正四棱柱的底面邊為1，側(cè)棱長為a，M是的中點(diǎn)，則（

）A．任意，B．存在，直線與直線BM相交C．平面與底面交線長為定值D．當(dāng)時(shí)，三棱錐外接球表面積為【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，，，，，平面，∴平面，平面，∴，A對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)B，平面，平面，∴平面∴與異面不相交，B錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)C，延長，交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，，∴，∴，，∴，平面平面，平面與底面交線為，其中P為中點(diǎn)，，C對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)D，，是直角三角形，外接圓是以為直徑的圓，半徑，此時(shí)三棱錐外接球的半徑，可知外接球表面積應(yīng)大于等于，可知D錯(cuò)；故選：AC．題型五：空間線段以及線段之和最值問題例39．（2023·山東·高一階段練習(xí)）已知三棱錐三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，且，?分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則線段的長度的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】由已知將該三棱錐補(bǔ)成正方體，如圖所示．設(shè)三棱錐內(nèi)切球球心為，外接球球心為，內(nèi)切球與平面的切點(diǎn)為，易知：三點(diǎn)均在上，且平面，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則．由等體積法：，得，由等體積法：，得，將幾何體沿截面切開，得到如下截面圖：大圓為外接球最大截面，小圓為內(nèi)切球最大截面，∴兩點(diǎn)間距離的最小值為．故選：B．例40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐的底面邊長為，外接球表面積為，，點(diǎn)M，N分別是線段AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是線段SN和平面SCM上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】依題意，，解得，由是正三角形可知：其外接圓半徑為，設(shè)點(diǎn)S到平面ABC的距離為h，故，解得或，則或（舍去），故，則，而，故為等腰直角三角形，，故為等腰直角三角形，，則，又，故平面SCM，取CB中點(diǎn)F，連接NF交CM于點(diǎn)O，則，則平面SCM，故平面SCM，則，要求最小，首先需PQ最小，此時(shí)可得平面SCM，則；再把平面SON繞SN旋轉(zhuǎn)，與平面SNA共面，即圖中位置，當(dāng)共線且時(shí)，的最小值即為的長，由為等腰直角三角形，故，，∴，即，∴，可得，，故選：B．例41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為3的正方體中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)在平面內(nèi)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)椋?，則平面，所以，同理得平面，所以，而，所以平面，記與平面交于點(diǎn)，連接，且，則，易得，從而得點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為，所以的最小值為．故選：B．例42．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．3【解析】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，則有．當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則即為的最小值．在三角形ABC中，，，由余弦定理得：，所以，即在三角形中，，，由勾股定理可得：，且．同理可求：因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以，所以在三角形中，，，由余弦定理得：．故選B．例43．（2023·湖北·高一階段練習(xí)）已知正方體的棱長為2，E為線段的中點(diǎn)，，其中，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．時(shí)， B．時(shí)，的最小值為C．時(shí)，直線與面的交點(diǎn)軌跡長度為 D．時(shí)，正方體被平面截的圖形最大面積是【解析】取AD中點(diǎn)F，BC的中點(diǎn)G，連接，，，則，因?yàn)椋?，即點(diǎn)在線段上，因?yàn)镋為線段的中點(diǎn)，則，故，所以，由于，所以，又⊥平面，平面，所以⊥，因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫?，所以，A正確；B選項(xiàng)，在AB上取點(diǎn)H，使得，在DC上取點(diǎn)K，使得，因?yàn)?，，所以點(diǎn)P在線段HK上，將平面與平面沿著HK展開到同一平面內(nèi)，如圖1，連接交HK于點(diǎn)P，即三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，其中由勾股定理得：，所以，所以，故B正確；C選項(xiàng)，，，時(shí)，由向量共線定理的推論可得：P點(diǎn)在線段BD上，連接，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN即為直線與面的交點(diǎn)軌跡，其中三角形是等邊三角形，，由三角形相似可知：，而，所以，同理可得：，所以三角形是等邊三角形，所以，直線與面的交點(diǎn)軌跡長度為，C錯(cuò)誤；由C選項(xiàng)的分析可知，：P點(diǎn)在線段BD上，連接AC，BD相交于點(diǎn)Z，當(dāng)P位于線段DZ上時(shí)，連接AP并延長交CD于點(diǎn)Q，連接，則平面截正方體所得圖形為三角形，則當(dāng)與重合時(shí)，Q與C重合，此時(shí)截面三角形面積最大，面積為；當(dāng)P位于線段BZ上時(shí)，如圖3，連接AP并延長，交BC于點(diǎn)W，過點(diǎn)W做WR∥交于點(diǎn)R，連接，則四邊形即為平面截正方體所得的截面，設(shè)，則由平行性質(zhì)可知：，則，所以四邊形為等腰梯形，其中，設(shè)梯形的高為h，則，則截面面積為，如圖4所示，直角三角形，直角邊，在上取一點(diǎn)，連接，則三角形的面積即為，顯然當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，最大面積為，因?yàn)?，所以時(shí)，正方體被平面截的圖形最大面積是，D正確．．故選：ABD例44．（2023·湖南岳陽·三模）如圖，在直棱柱中，各棱長均為2，，則下列說法正確的是（

）A．三棱錐外接球的體積為B．異面直線與所成角的正弦值為C．當(dāng)點(diǎn)M在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，最小值為D．N是所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，若N到直線與的距離相等，則N的軌跡為拋物線【解析】因?yàn)樵谥崩庵?，各棱長均為2，，所以△ABC為等邊三角形，設(shè)三棱錐外接球球心為O，則O在底面ABC的投影為△ABC的中心H，設(shè)△ABC外接圓半徑為R，由正弦定理得：，所以△ABC外接圓半徑為，設(shè)三棱錐外接球的半徑為r，則，故三棱錐外接球的體積為，A正確；連接，，則，且從圖中可以看出為銳角，所以異面直線與所成角即為，由勾股定理得：，由余弦定理得：，故在△中，由余弦定理得：，所以，B錯(cuò)誤；將平面與平面沿著公共邊折疊到同一平面內(nèi)，如圖連接，與的交點(diǎn)即為取得最小值的M，此時(shí)的長度即為最小值，其中，，由勾股定理得：，C正確；因?yàn)槠矫鍭BCD，故點(diǎn)N到直線的距離即為的長，又因?yàn)槠矫鍭BCD，故在平面ABCD上，到一點(diǎn)N的距離等于到直線BC的距離，由拋物線的定義可知：N的軌跡為拋物線，D正確．故選：ACD例45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為1的正方體中，點(diǎn)滿足，，，則以下說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，平面B．當(dāng)時(shí)，存在唯一點(diǎn)使得與直線的夾角為C．當(dāng)時(shí)，長度的最小值為D．當(dāng)時(shí)，與平面所成的角不可能為【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)在線段上，利用正方體的性質(zhì)，易證平面平面，平面，平面，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，設(shè)的中點(diǎn)為H，則，即，即點(diǎn)為中點(diǎn)，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，可知三點(diǎn)共線，線段在中，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，最小，此時(shí)，，故長度的最小值為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，可知三點(diǎn)共線，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為Q在線段上，則為與平面所成的角，，又，所以，而，所以與平面所成的角不可能為，故D正確；故選：ACD例46．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)M是棱長為1的正方體中的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)M滿足B．當(dāng)點(diǎn)M在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為C．在線段上存在點(diǎn)M，使異面直線與所成的角是D．滿足的點(diǎn)M的軌跡是一段圓弧【解析】對(duì)A，若M在上，此時(shí)必有，證明如下：平面，所以，又，所以平面，所以，所以A正確；對(duì)B，如圖，旋轉(zhuǎn)面使之與面共面，連接交于，此時(shí)最短為，大小為，故B錯(cuò)誤，對(duì)C，當(dāng)在和交點(diǎn)處時(shí)，此時(shí)直線與所成的角即直線與所成角，此時(shí)此異面直線所成最小，其正切值為，即最小角大于，故不存在，即C錯(cuò)誤，對(duì)D，在面上建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，設(shè)，由整理可得：，根據(jù)解析式可得M的軌跡是圓的一部分，故D正確，故選：AD．例47．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，斜三棱柱中，底面是正三角形，分別是側(cè)棱上的點(diǎn)，且，設(shè)直線與平面所成的角分別為，平面與底面所成的銳二面角為，則（

）A．B．C．D．【解析】如圖：延長EF，AB交于M，延長EG，AC交于N，延長FG，BC交于D，易得MN為平面ABC和平面EFG的交線，又D在平面ABC和平面EFG上，則D在直線MN上，即M，N，D三點(diǎn)共線，由外角定理可得．過A作面EFG，垂足為P，過A作，垂足為Q，連接，易得即為直線與平面所成的角，則，又面EFG，面EFG，則，又，面，，所以面，面，則，則即為平面與底面所成的銳二面角，則，又，則，同理可得，則，又由，，則，故，A，C錯(cuò)誤；故，由可知，所以，即，整理可得，即，即，故，又，故，B正確，D錯(cuò)誤．故選：B．例48．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，頂點(diǎn)P在底面的射影為的垂心O（O在內(nèi)部），且PO中點(diǎn)為M，過AM作平行于BC的截面，過BM作平行于AC的截面，記，與底面ABC所成的銳二面角分別為，，若，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若，則C．可能值為D．當(dāng)取值最大時(shí)，【解析】如圖所示，連接延長交與，連接延長交與，設(shè)平面平面頂點(diǎn)P在底面的射影為的垂心，平面，平面平面則有：直線與平行又，則平面，則又則平面從而故為與平面的二面角，即同理可得：對(duì)選項(xiàng)A，，又，則有：可得：與全等，則又根據(jù)是的垂心，則，綜上可得：直線垂直并平分線段可得：，故選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B，易知有如下角關(guān)系：又，則有：可得：解得：則，故選項(xiàng)B正確；對(duì)選項(xiàng)C，若，則有：則有：化簡(jiǎn)后可得：令，則有：則有：，此時(shí)方程無解，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，設(shè)（），則有：可化簡(jiǎn)為：令，則有：則有：解得：故取得最大值時(shí)，，此時(shí)同理可得：故，且則有：，故選項(xiàng)D正確；故選：C例49．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱臺(tái)中，底面BCD，，，．若A是BD中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)，則直線與AP夾角的正弦值的最小值是（

）A． B． C． D．【解析】如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接由三棱臺(tái)的性質(zhì)知，且，所以四邊形為平行四邊形，又，，故直線與AP的夾角為直線與AP的夾角，要使直線與AP夾角的正弦值最小，需點(diǎn)到AP的距離最小，又點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)，則需點(diǎn)到AP的距離最小，即點(diǎn)到面的距離，設(shè)點(diǎn)到面的距離為，利用等體積法知即，即，在直角中，，，又在中，，，，，又設(shè)直線與AP夾角的最小值為，則故選：B例50．（2023·浙江臺(tái)州·高三期末）已知在正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，直線在平面內(nèi)．若二面角的平面角為，則的最小值為（

）A．B．C．D．【解析】連接AE，取AE的中點(diǎn)P，過點(diǎn)P作FG⊥AE交CD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，設(shè)正方體棱長為2，由勾股定理可知：，，同理，取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作MN⊥交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，則直線即為直線，此時(shí)，MF⊥CD，NG⊥AB，OP⊥底面ABCD，因?yàn)镕G平面ABCD，所以O(shè)P⊥FG，因?yàn)锳E∩OP=P，所以FG⊥平面AOP，連接OA，OE，因?yàn)镺A平面AOP，所以O(shè)A⊥FG，因?yàn)镸N∥FG，所以O(shè)A⊥MN，同理可證：OE⊥MN，所以即為二面角的平面角，由對(duì)稱性可知：此角即為二面角的平面角的最大值，且，其中，由勾股定理得：，所以，則故選：B例51．（2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體的棱長為3，為棱上的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)平面與平面和平面所成的角相等時(shí)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】如圖1，為棱上靠近的三等分點(diǎn)，由正方體的對(duì)稱性可知平面與平面和平面所成角相等，取棱AB上靠近B的三等分點(diǎn)E，取棱DC上的三等分點(diǎn)N，M，容易證明：，則共面，即平面與平面和平面所成角相等，于是點(diǎn)P在線段FN上．如圖2，過點(diǎn)作垂直于FN于，容易知道當(dāng)P位于時(shí)，最?。鐖D3，由勾股定理可以求得，由等面積法，．故選：A．例52．（2023·浙江·瑞安中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P是正方體上底面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記面ADP與面BCP所成的銳二面角為，面ABP與面CDP所成的銳二面角為，若，則下列敘述正確的是（

）A． B．C． D．【解析】如圖取正方體的下底面的各邊中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，上底面的中心為O，下底面的中心為O'，ABP，BCP所成的角為α，ABP，CDP所成的角為β，α>β，等價(jià)于P到HF的距離比到EG的距離大，所以P在如圖所示的陰影范圍內(nèi)．在△APC和△BPD中，AC=BD，PQ公用，Q為共同的中點(diǎn)，∠APC，∠BPD的大小由PQ于AC，BD所成的角大小所決定，所成角越小，則對(duì)應(yīng)角越大，顯然PQ與AC和BD所成的角的大小關(guān)系不確定，當(dāng)P在靠近A'時(shí)PQ與直線AC所成的角較小，與直線BD所成的角則接近于90°，此時(shí)∠BPD>∠APC，同樣當(dāng)P接近于D'時(shí)∠APC>∠BPD，故A、B錯(cuò)誤；∠APD與∠BPD的大小關(guān)系看P實(shí)在EG的左側(cè)還是右側(cè)．若是在左側(cè)，則∠APD>∠BPC，若是在右側(cè)，則∠APD<∠BPC，若是在EG上，則∠APD=∠BPC；同樣，P在HF的前面，則∠APB>∠CPD，P在HF上，則∠APB=∠CPD，P在HF的后面，則∠APB<∠CPD，所以當(dāng)P在A'OH內(nèi)時(shí)，max{∠APD，∠BPC}=∠APD，min{∠APD，∠BPC}=∠BPC，max{∠APB，∠CPD}=∠APB，min{∠APB，∠CPD}=∠CPD，∵PH<PE，∴∠APD>∠APB，∵PG<PF，∴∠BPC<∠CPD，故C正確，D錯(cuò)誤，