(人教A版必修第二冊)高一數(shù)學下冊同步講義第八講 空間直線與平面、平面與平面的垂直 原卷版+解析

專題08空間直線與平面、平面與平面的垂直

一、考情分析

性質(zhì)定理

L判定定理

L性質(zhì)定理

L判定定理

二、考點梳理

考點一直線與平面垂直

(D直線和平面垂直的定義

如果一條直線,與平面。內(nèi)的任意直線都垂直，就說直線,與平面?互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

IA.a、

一條直線與一個平面內(nèi)的

ILb

判定定理兩條相交直線都垂直，則該直anb=O>

aua

線與此平面垂直

ka>

=/J_Q

兩直線垂直于同一個平

-al.a

性質(zhì)定理

面，那么這兩條直線平行7a,

考點二平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

判定一個平面經(jīng)過另一個平面的一條7±

=〃_L￡

定理垂線，則這兩個平面互相垂直01bluB

aVP、

如果兩個平面互相垂直，則aAB=a

性質(zhì)>

在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的1.La

定理lu￡>

直線垂直于另一個平面￡,U

=/_L。

考點三知識拓展

1.兩個重要結(jié)論

(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.

(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方

法).

2.使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,

就垂直于這個平面”.

三、題型突破

重難點題型突破01線面垂直

例1.（1）、（2021?陜西,西安高級中學高一階段練習）若以。表示直線，a表示平面，下面推論中正確的個

數(shù)為（）

①//a,則：J；

（2）a±a,aA.b,則匕〃a；

（3）a//a,alb,則6_La.

A.1B.2C.3D.0

（2）、（2022?全國?高三專題練習）如圖，在正方形SG/G2G3中，E,F分別是G/Gz,G2G3的中點，D是EF

的中點，現(xiàn)在沿SE,SE及E尸把這個正方形折成一個四面體，使G/,Gz,G3三點重合，重合后的點記為G,

則在四面體S-EFG中必有（）

A.SGEI平面EFGB.S。色平面EFG

C.GE3平面SEFD.GZ?平面SEF

（3）、（2022?廣東茂名?高三階段練習）（多選題）已知正方體ABC。-ABGA中，點。是底面ABC。的中

心，點M是側(cè)面BBCC內(nèi)的一個動點，且QM//平面GA。，則以下關(guān)系一定正確的是（）

A.OMHDC,B.^M-C^D=%.GWC.OM1B.CD.OM工BD]

【變式訓練IT】、（2022?浙江麗水?高二期末）空間中兩條不同的直線機，〃和平面則下列命題中正確

的是（）

A.若nLa,則

B.若m〃a,nila,則〃?//〃

C.若，〃_L〃，nA.a,則加_La

D.若〃?_L”，nila,則”?J_tz

【變式訓練『2】、（2022?浙江?模擬預測）己知圓錐SO,48是圓。的直徑，尸是圓O上一點（不與Z,B

重合），。在平面S/B上，則（）

A.直線8Q可能與平面SAP垂直B.直線B。可能與平面S8P垂直

C.直線8?？赡芘c平面S4P平行D.直線8Q可能與平面S8P平行

【變式訓練13】、（2022?全國?模擬預測）（多選題）如圖，在正四棱柱ABCO-AMCQ中，AC與30交于

點0,P是BG上的動點，下列說法中一定正確的是（）

A.AC±BD,

B.平面ABCQ

C.點P在BG上運動時，三棱錐尸-的體積為定值

D.點P在BC|上運動時，P0始終與平面平行

例2.(2022?四川成都?高三階段練習(文))如圖，在四棱錐A-BQDE中，8C，平面N8E,且E>E〃BC,

A

⑴求證：AE_L平面/8C；

(2)若點尸滿足AD=/IAP，且平面CEF,求九

【變式訓練2-1】、(2022?廣西廣西?模擬預測(文))在平行四邊形ABC。中，AB=3,BC=2,過點4作

C。的垂線交8的延長線于點￡,AE=B連接E8交/。于點F,如圖①，將"E沿月。折起，使得

點E到達點尸的位置，如圖②.

圖①圖②

(1)求證：451.平面麻尸;

(2)若G為P8的中點，H為C。的中點，且平面AQP_L平面/88,求三棱錐G-8C”的體積.

【變式訓練2-2】、(2022?山西晉中?一模(文))如圖所示，在四棱錐尸-48CQ中，為回平面/8CQ,底面N8CQ

是矩形，PA=AB=0,AD=2,過點8作8血C,交4D于點E,點F,G分別為線段尸O,OC的中點.

(1)證明：4C0平面8￡/；

(2)求三棱錐尸-8GE的體積.

重難點題型突破02面面垂直

例3.（1）、（2022?陜西?寶雞市金臺區(qū)教育體育局教研室高一期末）已知兩條直線/,，〃及兩個平面夕以

下說法中正確的是（）

A.若〃/￡,mlIp,則"/加

B.若/〃7,lUm,則機///

C.若U0,///,?,則￡

D.若/，夕，1咋y,///m,則4//7

（2）、（2021?山東?高二學業(yè)考試）如圖，在四面體。一48C中，若AB=CB,AD=CD,E是NC的中點,

則下列結(jié)論正確的是（）

D

A

A.平面平面

B.平面4平面BDC

C.平面/8CEI平面且平面/DCS平面BDE

D.平面45as平面NOC,且平面4DC0平面8DE

（3）、（2021■山東省濰坊第四中學高三開學考試）（多選題）在四邊形488中，AD//BC,AD=AB,

ABCD=45°,ZBAD=9O°,將△AB。沿8。折起，使平面AB。J_平面8c0,構(gòu)成三棱錐A-8CD,則在

三棱錐A-3CD中，下列命題錯誤的是（）

A.平面/WE>_L平面N8CB.平面ADCJ?平面BCD

C.平面ABC_L平面SCOD.平面4）C_L平面力8c

（4）、（2021?四川省內(nèi)江市第六中學高二階段練習（理））如圖，已知矩形42CZ）,AB=0AD=\,AF1

平面Z8CZ）,且AF=3,點E為線段。C（除端點外）上的一點，沿直線NE將向上翻折成，O'AE,M

為8。的中點，則下列結(jié)論正確的有.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

①三棱錐A-BC尸的體積為半；

②當點￡固定在線段。C某位置時，則小在某圓上運動；

③當點E在線段OC上運動時，則W在某球面上運動；

④當點E在線段OC上運動時，三棱錐M-BCF的體積的最小值為3.

【變式訓練3-1】、（2022?江蘇鎮(zhèn)江?高二開學考試）（多選題）己知m,"為兩條不重合的直線，?,夕為兩

個不重合的平面，則（）

A.若m〃n,m<^a,則加〃aB.若mua,a/3=n,m//p,則6〃％

C.若〃z_La,〃_La,則D.若機_La,mup,則a_L￡

【變式訓練3-2】、（2022?四川達州?高二期末（文））（多選題）在四棱錐P-43C。中，四邊形ABC。為菱形,

P4_L平面ABC。，E是尸。中點，下列敘述正確的是（）

A.CE〃平面PABB.CE_L平面PAD

C.平面P8CJ_平面幺8D.平面PB￡>_L平面PAC

【變式訓練3-3】、（2022?全國?高三專題練習）（多選題）如圖，點N為邊長為1的正方形ABC。的中心，.ECQ

為正三角形，平面ECDL平面ABC。，M是線段即的中點，則（）

A.直線BM、EN是異面直線

B.BM#EN

C.直線與平面ECD所成角的正弦值為畫

7

D.三棱錐N-ECD的體積為立

24

【變式訓練3-4】、（2021?河南省杞縣高中高三階段練習（理））己知加，”是兩條直線，a、B、7是三個

不同的平面，給出下列命題：

①若a_Ly,￡_L/,則a〃/：

②若"_La,nA.。,則a〃/；

③若nua,mua,且〃?〃￡,n//p,則a〃尸；

④若機，〃為異面直線，且"ua,muB,m//a,n//P,則a〃￡.

其中正確命題的序號是.

例4.（2022?陜西咸陽?高一期末）如圖甲，直角梯形ABCD中，ABLAD,AD//BC,/為4）的中點，E在

8C上，且E/W45,現(xiàn)沿￡尸把四邊形CD正折起得到空間幾何體，如圖乙.在圖乙中求證：

⑴平面ADFH平面BCE；

⑵平面ABCJ?平面8CE.

【變式訓練4-1】、（廣西玉林市普通高中2022屆高三3月教學質(zhì)量監(jiān)測考試（第一次適應(yīng)性測試）數(shù)學（文）

試題）如圖所示，己知四棱錐中底面ABCD是矩形，面叢￡＞，底面ABC。且A3=l,

PA=AD=PD=2,E為PD中點.

⑴求證：平面尸CD_L平面ACE；

（2）求點B到平面ACE的距離.

【變式訓練4-2】、（2021?西藏林芝?高三階段練習（文））如圖所示，直三棱柱A8C-4⑸G的底面是邊長為

2的正三角形，E,尸分別是BC,CG的中點.

（1）求證：平面AEFJ_平面耳8CG.

⑵若/莊C=45。，求三棱錐A-EFC的體積.

重難點題型突破03綜合應(yīng)用

例5.(2022?遼寧實驗中學高三階段練習)如圖，在正三棱柱A8C-A內(nèi)G中，各棱長均為2,。是CQ的中

點.

⑴求證：平面平面的34；

(2)求平面8￡>A與平面力8c所成角的大小.

例6.(2022?全國?高三專題練習)如圖，四棱錐尸一488的底面48。是邊長為2的正方形，以=尸8=3.

⑴證明：明〃)=朋8C；

(2)當直線PA與平面PCD所成角的正弦值最大時，求此時二面角尸一的大小.

例7.（2022?浙江紹興?高三期末）如圖，三棱錐P—ABC中，AC=CB=PA=PC,Z4CB=120°,ZfiCP=90°.

(1)證明：平面心6_L平面ABC；

⑵求直線依與平面PAC所成角的正弦值.

例8.(2022?重慶南開中學模擬預測)如圖所示，四棱錐A-3CDE中，13ABe為正三角形，CDHBE,

D

⑴求四棱錐A-BCDE的體積;

(2)求BE與面ADE所成角的正弦值.

四、課堂訓練（30分鐘）

1.（2022?黑龍江?一模（理））設(shè)m"是兩條不同的直線，?,P,7是三個不同的平面，下列四個命題中

正確的是（)

A.若mlla,nlla,則mlln

B.若a,7,2,則。〃尸

C.若all/3,mua,n//p,則相〃九

D.若allp,尸〃mla,則他

2.（2022?四高三開學考試（文））已知a,夕是兩個不同的平面，/，團是兩條不同的直線，下

列命題是真命題的個數(shù)為（)

命題①：若機〃a,"?〃/,則a〃/命題②：若加〃a,ILa,貝ij〃7_L/

命題③：若加〃a,a-LJ3,則m//p命題④：若相〃1km,則」_La

A.4B.3C.2D.1

3.（2022?浙江?高三專題練習）如圖，在正方體ABC。-A4GR中，點尸是線段8G上的一個動點，有下列

三個結(jié)論:

①4尸〃面ACR；

②8sAp；

③面面4CD.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②③B.②③C.①③D.①②

4.（2021?陜西,西安高級中學高一階段練習）如圖，在直三棱柱ABC-AMG中，AC=8C,O為A8的中點,

下列說法正確的個數(shù)有（)

G

①。，平面488??；

②Bq〃平面AOC；

③平面AOC，平面48gA.

A.0個B.1個C.2個D.3個

5.（2021?湖南?常德市第二中學高二期中）如圖，在正方體中，A/、N分別為NC,48的中

點，則下列說法正確的是（）

A.MM3平面/。。小

B.MN^AB

C.直線MN與平面/BCD所成角為45°

D.異面直線WN與。。所成角為60°

6.（2021?湖南?常德市第二中學高二期末）如圖，直線以垂直于圓O所在的平面，H/18C內(nèi)接于圓O,且

為圓O的直徑，點〃為線段P8的中點.以下結(jié)論成立的是（）

A.BC^PC

B.QW0平面Z8C

C.點8到平面RIC的距離等于線段8c的長

D.三棱錐必為C的體積等于三棱錐A/-/8C體積

7.（2022?四中高三開學考試（理））在三棱錐P-4?C中，PA=AB=ACf,BC=2,PC=2&，

且PCJL8c.

(1)證明：平面4>8_L.平面PBC；

(2)求鈍二面角AC—P的余弦值.

8.(2022?全國?高三專題練習)如圖，在四棱錐中，力團底面ABCD,底面ABCD是矩形，PA=2AD=^,

且尸C=2卡.點E在PC上.

(1)求證：平面出比0平面RIC；

(2)若E為PC的中點，求直線PC與平面所成的角的正弦值.

專題08空間直線與平面、平面與平面的垂直

一、考情分析

性踴理

J判定定理

L性質(zhì)定理

J判定定理

二、考點梳理

考點一直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義

如果一條直線/與平面a內(nèi)的任意直線都垂直，就說直線,與平面a互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

lYb

一條直線與一個平面內(nèi)的

aQb=O>

判定定理兩條相交直線都垂直，則該直

aua

線與此平面垂直baa>

=/_La

兩直線垂直于同一個平al.

性質(zhì)定理-〃力

面，那么這兩條直線平行￡a\

考點二平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

判定一個平面經(jīng)過另一個平面的一條1.La

Oa_L￡

定理垂線，則這兩個平面互相垂直bluB

a工6、

如果兩個平面互相垂直，則aCl￡=a

性質(zhì)>

在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的IS.a

定理1

直線垂直于另一個平面￡b7c￡,

=a

考點三知識拓展

1.兩個重要結(jié)論

(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.

(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的

一個重要方法).

2.使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)

的無數(shù)條直線，就垂直于這個平面”.

三、題型突破

重難點題型突破01線面垂直

例1.（1）、（2021?陜西?西安高級中學高一階段練習）若表示直線，a表示平面，下面

推論中正確的個數(shù)為（）

①，匕//a,則）J：

@ala,al.b,則方〃a：

（3）a//a,aYb,則b_La.

A.1B.2C.3D.0

【答案】A

【解析】

【分析】

對于①，利用線面垂直的性質(zhì)判斷即可，對于②，由線面垂直的性質(zhì)和線面平行的判定判

斷，對于③，由線面平行的性質(zhì)判斷

【詳解】

對于①，當a，a,6〃a時，則“人相交垂直或異面垂直，所以①正確，

對丁②，當時，b〃a或〃ua,所以②錯誤，

對于③，當。〃時，b與a平行，或相交，或。ua,所以③錯誤，

故選：A

（2）、（2022?全國?高三專題練習）如圖，在正方形SG/G2G3中，E,F分別是G/G?,G2G3

的中點，。是E尸的中點，現(xiàn)在沿SE,S尸及所把這個正方形折成一個四面體，使G/,G2,

G3三點重合，重合后的點記為G,則在四面體S—E/G中必有（）

A.SG0平面EFGB.SD3平面E/G

C.G/=13平面SE尸D.GDO平面5￡產(chǎn)

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)在折疊的過程中，始終有SG曲G/E,SGjfflGs凡即可得SGfflGE,SGSGF,從而由線面

垂直的判定定理可得結(jié)論

【詳解】

對于A,因為在正方形SGG?Gj中，SG^GiE,SG用GjF,

所以在四面體SEFG中，SG3GE,5G0GF,

因為GEcGF=G,所以SG3平面E尸G.所以A正確，

對于B,因為SG3平面EFG,G￡）u平面EFG.所以SG_LGD,所以NSGD=9（）。,所以NSDG

不可能為直角，所以S。與GO不垂直，所以SD與平面EFG不可能垂直，所以B錯誤，

對于C,由題意可知AGM為等腰直角三角形，且GE=GF,NG莊=45。，所以GF與平面

SEF不可能垂直，所以C錯誤，

對于D,由選項B的解析可知，NS3G不可能為直角，所以SD與GO不垂直，所以GO與

平面SEE不可能垂直，所以D錯誤，

故選：A.

（3）、（2022?廣東茂名?高三階段練習）（多選題）已知正方體4BCO-ABCQ中，點。是底

面ABCD的中心，點〃是側(cè)面88CC內(nèi)的一個動點，且OM〃平面GA。，則以下關(guān)系一定

正確的是（）

5c,

0

4B

A.OM//DQB.C.OMD.OM1BD.

【答案】AD

【解析】

【分析】

根據(jù)正方體的性質(zhì)，利用線面、面面平行垂直的判定定理及性質(zhì)定理逐一驗證即可.

【詳解】

A：因為O為底面中心，連接8。，BG，因為OM//平面CM。，根據(jù)線面平行性質(zhì)定理可

知：OMHDC、、A正確;

B：因為直線CM與平面CM。不平行，所以點C與點”至U平面CM。的距離必然不相等,

故VM-C,W*，B錯誤.

C：根據(jù)中位線可知：M為BG中點，所以O(shè)MDC{,BtCA。，因為A。與。G不垂直，

所以。例與片。不垂直，故C錯誤.

D：根據(jù)正方體性質(zhì)易知：。弓，平面88小，所以力q_LB。，所以O(shè)M_LBR,故D正

確.

故選：AD

【變式訓練1T】、（2022?浙江麗水?高二期末）空間中兩條不同的直線機，〃和平面a,則下

列命題中正確的是（）

A.若m_La,nVa,貝

B.若mHa,nila,則m//〃

C.若，〃_L〃，〃J_a,則/??_La

D.若，”_L〃，nila,則，〃_La

【答案】A

【解析】

【分析】

利用線面垂直的性質(zhì)判斷A：舉特例說明并判斷B,C,D作答.

【詳解】

對于A,mLa,〃J_a,由線面垂直的性質(zhì)知，mlln,A正確；

對于B,在長方體AB8-ABCQ，平面ABC。視為平面a,棱A4，AA所在直線分別視

顯然有機〃a，nila,此時"，與〃相交，B不正確；

對于C,在長方體ABC。-A&GR,平面的CD視為平面a,棱4內(nèi),你所在直線分別視

為宜線"?，n,

顯然有機-L”，n±（z,此時,w//a,C不正確；

對于D,在長方體ABCQ-ABC。，平面ABCD視為平面。，棱村織人口所在直線分別視

為直線加，n,

顯然有,"J-",nila,此時機//a,D不正確.

故選：A

【變式訓練?2】、（2022?浙江?模擬預測）已知圓錐SO,"8是圓。的直徑，尸是圓。上一

點（不與48重合），0在平面”8上，則（）

A.直線3Q可能與平面SAP垂直B.直線8?？赡芘c平面SBP垂直

C.直線BQ可能與平面SAP平行D.直線BQ可能與平面SBP平行

【答案】C

【解析】

【分析】

按照對應(yīng)選項的條件假設(shè)，再結(jié)合題目條件，利用反證法證明，對選項逐一判斷.

【詳解】

對A,若BQL平面SAP,則8QJ.AP,又SO^AP,BQu平面S43，SOu平面&18,又

因為SO//B。時，8。不垂直于平面SAP,所以SO,B。必相交，所以AP_L平面SAB，不符

合題意，故A錯誤；

對B,若8。，平面SBP,則又SOLBP,BQu平面SAB,SOu平面1s4B,乂

因為SO//8Q時，B。不垂直于平面S8P,所以SO,3Q必相交，所以平面SA8,不符

合題意，故B錯誤；

對C,若B。//平面乂3Qu平面&記，平面〕平面&IP=SA,所以BQ〃SA,

如圖所示，可能存在，故C正確；對D,8。與平面S8P有公共點，不可能平行，故D錯誤.

故選：C

【點睛】

解答本題的關(guān)鍵是利用反證法對選項逐一證明判斷.

【變式訓練上3】、（2022?全國?模擬預測）（多選題）如圖，在正四棱柱ABCD-ABCQ中,

4c與3。交于點。，P是8G上的動點，下列說法中一定正確的是（）

Di

A.AC工BQ

B.平面ABCQ

C.點P在BG上運動時，三棱錐P-償。的體積為定值

D.點尸在BG上運動時，P0始終與平面平行

【答案】ACD

【解析】

【分析】

依題意可得AC_LBD,AC1BB,,即可得到ACL平面80。由，即可判斷A；

根據(jù)正四棱柱的性質(zhì)可得用C，8G不一定成立，即可判斷B,易知BG〃平面明。，即可

判斷C,由面面平行的判定定理得到平面GBO〃平面A4R,由尸Ou平面GBO,即可得

到PO〃平面即可得證；

【詳解】

解：對于選項A,由條件得AC1BD,AC1BB,,BDcBB、=B,BD,BBtu平面BDRB、,

所以AC,平面BDD出.又因為平面再，所以AC_LBR,故選項4正確；

對于選項B,由于正四棱柱的側(cè)面不一定是正方形，所以瓦C，8G不一定

成立，所以BC，平面ABGA不一定成立，故選項8錯誤；

對于選項C,易知BCJ!平面AAtD,所以點尸到平面AA,D的距離為定值，所以三棱錐

P-A4,。的體積為定值，故選項C正確；

對于選項D,由于8G〃A。，BD"B、D\,BC；,BOu所以平面C/Z),且BD=B,

4。,耳。《平面用。，且所以平面QB?！ㄆ矫鍭BQ,點尸在BQ上運

動時，/0<=平面68。，所以「O〃平面A8Q,故選項D正確.

故選:ACD.

例2.(2022?四川成都?高三階段練習(文))如圖，在四棱錐A-3COE中，BCJ_平面Z8E,

且￡)￡〃8C,DE=3AB=3BC=6,BE=4,ZABE=60°.

D

⑴求證：A￡_L.平面ABC；

(2)若點/滿足A。=2AF,且AB//平面CEF,求2.

【答案】⑴證明見解析(2)4

【解析】

【分析】

(1)在AWE中，由余弦定理求得4E=2>/5,再根據(jù)勾股定理證得利用線面

垂直的判定定理可得證；

ApBG

(2)連接3。交CE于點G,連接FG,根據(jù)AB〃平面CEF,得到AB//FG,由工=一求

卜D3D

解.

(1)

證明：在AABE中，AE2=AB2+BE2-2AB-BE-cosZABE,解得4E=2>/J.

BE2=AB2+AE2<即AB_L/i￡.

I28C_L平面/BE,0BC1A￡,

又AB,8Cu平面N5C,ABcBC=B,回AE_L平面/BC.

⑵

A

連接8。交CE于點G,連接FG.

ArBG

回45//平面?！陸?，平面ABDc平面CEF=FG,0AB//FG,0—=—.

R「1

在直角梯形3CDE中，ABCGADEG,0—=—=-,

GDDE3

,-r|>i4尸_BG_I.

明以行;=；ZX=W，所xr以A￡）=4A尸，

FDGD3

02=4.

【變式訓練2T】、（2022?廣西廣西?模擬預測（文））在平行四邊形ABC。中，AB=3,BC=2,

過點/作8的垂線交CQ的延長線于點E,AE=6,連接E8交于點F,如圖①，

將_4汨沿折起，使得點￡到達點P的位置，如圖②.

圖①圖②

⑴求證：45_1平面3尸尸；

⑵若G為尸8的中點，〃為8的中點，且平面平面/8CA,求三棱錐G-BC”的體

積.

【答案】⑴證明見解析

⑵』

16

【解析】

【分析】

（1）通過證明「F，A￡>,BF_LAO來證得AD_L平面哥尸.

（2）先證明PF_L平面ABCO,然后根據(jù)錐體體積公式，求得三棱錐G-3cH的體積.

（1）

折疊前，在Rt/XBAE中，AB=3,AE=也，

ZAEB=60°目一BE=26，

AOE是直角三角形，,-.DE=ylAD2-AE2=1-CE=4,

在；8CE中，CE=4,BE=2?BC=2,CE2=BE2+BC2,

：.BEVBC,又BC“AD、.-.BE1AD,EF=-AE=—.

22

折疊后，PFLAD,BFLAD,PFcBF=F，

.-.AD±￥ffiTBFP.

⑵

???平面A￡）P_L平面488,且平面皿》0平面"8=4）,尸產(chǎn)u平面/。尸，

且由（1）知尸尸J_">,.?.Pf_L平面N8CD由（1）得PF=立.

2

由于G是尸8的中點，所以G到平面A8C。的距離是P到平面ABC。的距離的一半.

設(shè)G到平面ABCD的距離為力，則〃=!「尸=更.

24

13

CH=-DC=-

22t

._1.-I3H3G

..Sc——Cruri,AE——x—x，3-----,

BCH2224

,1375>/3_3

V

??G-BCH=]SfiCH-?=-X^—X—=—.

【變式訓練2-2】、（2022?山西晉中?一模（文））如圖所示，在四棱錐尸-/8C。中，以1回平面

ABCD,底面是矩形，PA=AB=丘,4）=2,過點8作5￡&4C,交于點E,點

F,G分別為線段尸。，OC的中點.

⑴證明：NQ3平面8EF；

⑵求三棱錐廣8GE的體積.

【答案】（1）證明見解析

嗚

【解析】

【分析】

（1）利用線面垂直證明B4_LAC,由防〃24可知所_LAC,結(jié)合BE,AC可以證明結(jié)

論.

（2）先利用面積分割法求出三角形8GE的底面積，然后利用椎體的計算公式求解.

⑴

證明：BEVAC,

jr

所以ND4C+/BEA=-,

2

TT

又二ZDAC+ZDCA=-

2t

???ZDCA=ZBEA,

RtBAEsRtADC,

ADCD

:?——=——，

ABAE

又AD=2,AB=CD=6,

?.?AE=1,

???點E為線段Z。的中點，

EF//PA,

乂?尸平面力8cO,ACu平面為BCD,

???PALAC,

??.EFLAC,

又EFBE=E,EFfBEu平面BEF,

??.AC_L平面BEF.

⑵

解:

由（1）可知E尸〃P4且EF=—PA="

22

又.PA_L平面43co

/.￡/_1_平面力8。。

crA近6叵3近

S.BEG=S矩形ABC。-SABE~

EDGKCG2424

所以V三棱錐咚棱鏈FYGE=gX孝X；

重難點題型突破02面面垂直

例3.（1）、（2022?陜西?寶雞市金臺區(qū)教育體育局教研室高一期末）已知兩條直線口"及兩

個平面力，7,以下說法中正確的是（）

A.若〃//，mlIP,則〃/機

B.若////,Him,則zw//y

C.若I工0,i//m,則僅_Ly

D.若灶0,m峰y,[//m,則分///

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)線面平行、線線平行的性質(zhì)可判斷AB,根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可判斷CD.

【詳解】

對于A,〃/4，機//力，則/,，〃可能平行、相交、異面，故錯誤；

對于B,IHy,l//m,則加在平面內(nèi)或機故錯誤；

對于C,由/〃/_L￡,可得，力，又所以力J_7,故正確；

對于D,由C可知得不到￡///,故錯誤.

故選：C

（2）、（2021?山東?高二學業(yè)考試）如圖，在四面體。一/8C中，若AB=CB,AD=CD,E

是ZC的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.平面Z8Q3平面

B.平面Z8OEI平面8DC

C.平面平面且平面力。。3平面8OE

D.平面Z8CEI平面/OC,且平面ZOC0平面

【答案】C

【解析】

【分析】

利用垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判斷定理，即可判斷選項.

【詳解】

因為且E是ZC的中點，所以3￡EL4C,同理有Q血C,于是平面因為

/C在平面N8C內(nèi)，所以平面平面6Z）E.又由于XCu平面/CD所以平面4cLH3平面

BDE.

故選：C

（3）、（2021?山東省濰坊第四中學高三開學考試）（多選題）在四邊形中，AD//BC,

AD-AB,NBCD=45°,ZBAD=90°,將△ABD沿8。折起，使平面平面88,

構(gòu)成三棱錐A-3C￡>,則在三棱錐A-88中，下列命題錯誤的是（）

A.平面A?D_L平面Z8CB.平面A￡>C_L平面88

C.平面ABC_L平面BC￡>D.平面ADC_L平面NBC

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件，結(jié)合面面垂直的判定和性質(zhì)，結(jié)合二面角的定義，對每個選項進行逐一分析,

即可判斷和選擇.

【詳解】

根據(jù)題意，作圖如下：

因為在四邊形/8CD中，AD//BC，AD=AB,ABCD=45°,ABAD=90°,

所以8￡>_LCD,又平面平面8C。，且平面A8Dc平面BCD=①），

故CQ_L平面N8Q,又ABu面ABZ），則8_LA8,又AZ）d_AB，

又a>cAO=2C2AOu面A￡>C,故ABJ■平面/DC,又A5u面A8C,

所以平面A8C_L平面4OC,故D正確；

設(shè)A8=AO=1,則&，BC=2,CD=6，

由C0LA3,又SLAB，Cr>cAr>=2C￡>,AOu面AOC,可得AB_L平面4OC,

又ACu面AOC,可得AB_LAC,47=斥1=退，

所以ZC4D為平面ABD與平面ABC所成角，且tanACAD=—=72,

AD

故二面角不為直角，故A錯誤；

由上述證明可知，NA￡>8為平面/OC與平面8CD所成角，為45。，故B錯誤；

若平面ABCL平面BC。，取5c的中點4,可得DH_LBC,則￡>〃_L平面/8C,

AHu平面/8C,可得

而I3AOH中，AO=1,DH=\,AH=1,顯然團A￡>〃不為直角三角形，故C錯誤.

故選：ABC.

（4）、（2021?四川省內(nèi)江市第六中學高二階段練習（理））如圖，已知矩形AB=6

AD=\,4尸，平面/8CO,且AF=3,點E為線段。C（除端點外）上的一點，沿直線ZE將

△D4E向上翻折成，O'AE,/為B￡>'的中點，則下列結(jié)論正確的有.（寫出所有正確

結(jié)論的序號）

F

②當點E固定在線段。C某位置時，則次在某圓上運動；

③當點E在線段0c上運動時，則以在某球面上運動；

④當點E在線段。C上運動時，三棱錐尸的體積的最小值為器.

【答案】②③④

【解析】

【分析】

利用等體積法求出體積，即可判斷選項①，利用DM回D0E,即可判斷選項②，根據(jù)AW=

1保持不變，即可判斷選項③，求出點M到平面BCF的距離的最小值，過點A作出8F的垂

線，求出最小值，即可判斷選項④.

【詳解】

對于①，由等體積法可得，匕一BCF=%_ABC='xgx石X3=#,

三棱錐N-8C5的體積為3,故選項①錯誤；

對于②，當固定點￡時，可知點屏在球面被平面截得的圓弧匕即在某圓上運動，

故選項②正確；

對于③，當點E在線段。C上運動時，力理=1保持不變，

點以的軌跡為以點力為球心，半徑為1的球面的一部分，

故選項③正確；

X'j于（3），SpcF=exBCXBF=3*1x,9+3='J^>,

.?.求三棱錐8CF的體積的最小值即求點加到平面8c尸的距離4的最小值，

即求點D0到平面距離〃的最小值，且4=gd,

過點力作8尸的垂線，垂足為，，

；力61,平面/8C。，且8Cu平面48c￡）,

^AFLBC,

又BCLAB,iLAB[\AF=A,AF,/8u平面/8F,

，8C_L平面尸，

又平面ABF,

貝ijBCA.AH,

XBC'BF=F,BC,BFu平面BCF,

故/平面BCF,

?.?點以在以點4為球心，半徑為1的球面上運動，

31

則點以到平面BCE距離的最小值為1=1-1=1,