湖南省長(zhǎng)沙市2024屆高三年級(jí)下冊(cè)月考（七）數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

雅禮中學(xué)2024屆高三月考試卷（七）

數(shù)學(xué)

（時(shí)量120分鐘，滿(mǎn)分150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知全集。={2,4,6,8］。，12},"={4,6,8},N={8,1。},則集合{2」2}=（）

A.MeNB.McNC.Cu（MuN）D.N）

2.下列命題正確的是（）

A.是"e7"<e"”的充分不必要條件

B.命題：Vx>O』nx<%-1的否定是：3x0>0,ln%0>x0-1

C.sinx+=-cosx

YI2

D.函數(shù)yn2——^在（-1,+cQ）上是減函數(shù)

?X\J-

3.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z+2i|+|2-2i|=8,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是（）

A橢圓B.雙曲線(xiàn)C.圓D.線(xiàn)段

32

4.已知。是二ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，AD=-AB+-AC,貝U（）

3-32

A.BD=-BCB.BD=-BCC.BD=-BCD.BD=-BC

5523

5.我們把由0和1組成的數(shù)列稱(chēng)為0-1數(shù)列，0-1數(shù)列在計(jì)算機(jī)科學(xué)和信息技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，把

斐波那契數(shù)列｛匕｝（大=耳=1,%+2=月+月+i）中的奇數(shù)換成。，偶數(shù)換成1可得到0-1數(shù)列｛an｝,記

數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，則Si。。的值為（）

A.32B.33C.34D.35

6.我國(guó)元代瓷器元青花團(tuán)菊花紋小盞如圖所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施

白釉，以青花為裝飾，釉質(zhì)潤(rùn)澤，底足露胎，胎質(zhì)致密.碗內(nèi)口沿飾有一周回紋，內(nèi)底心書(shū)有一文字，碗外

壁繪有一周纏枝團(tuán)菊紋，下筆流暢，紋飾灑脫.該元青花團(tuán)菊花紋小盞口徑8.4厘米，底徑2.8厘米，高4

厘米，它的形狀可近似看作圓臺(tái)，則其側(cè)面積約為（單位:平方厘米）（）（附：^49?12.2）

A.3471B.2771C.20KD.18兀

2222

7.已知橢圓l+二=1（?！?〉0）與雙曲線(xiàn)二—2r=1（機(jī)〉0,〃〉0）有共同的焦點(diǎn)可，F(xiàn)2,且在第一

abmn

7T

象限內(nèi)相交于點(diǎn)P,橢圓與雙曲線(xiàn)的離心率分別為4.若/耳。耳=可，貝!02的最小值是

A/2C.BD.-

A-—2

T22

c4/士2cos40+cos80/、

8.求值：----------------二()

sin80

C.-43D.—昱

A.73B.顯

33

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某市7天國(guó)慶節(jié)假期期間的樓房日認(rèn)購(gòu)量（單位：套）與日成交量（單位：套）的折線(xiàn)圖如下圖所示，

小明同學(xué)根據(jù)折線(xiàn)圖對(duì)這7天的日認(rèn)購(gòu)量與日成交量作出如下判斷，則下列結(jié)論正確的是（）

。認(rèn)購(gòu)一成交

A.日認(rèn)購(gòu)量與日期正相關(guān)

B.日成交量的中位數(shù)是26

C.日成交量超過(guò)日平均成交量的有2天

D.10月7日日認(rèn)購(gòu)量的增量大于10月7日日成交量的增量

10.拋物線(xiàn)的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線(xiàn)形成的三角形稱(chēng)為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景、豐

富的性質(zhì)產(chǎn)生了無(wú)窮的魅力.設(shè)A3是拋物線(xiàn)C:/=4y上兩個(gè)不同的點(diǎn)，以4(%,%),5(9,%)為切點(diǎn)

的切線(xiàn)交于尸點(diǎn).若弦A3過(guò)點(diǎn)/(0』)，則下列說(shuō)法正確的有()

A.=-4

B.若石=2,則A點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為％—丁―1=。

C.存在點(diǎn)尸，使得八4./>3>0

D.面積的最小值為4

11.已知函數(shù)“x)=(x+D(eX—x—l),則下列說(shuō)法正確的有

A.7(%)有唯一零點(diǎn)

B.7(%)無(wú)最大值

C.”力在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增

D.%=0為了(%)的一個(gè)極小值點(diǎn)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.雅禮中學(xué)將5名學(xué)生志愿者分配到街舞社、戲劇社、魔術(shù)社及動(dòng)漫社4個(gè)社團(tuán)參加志愿活動(dòng)，每名志愿

者只分配到1個(gè)社團(tuán)、每個(gè)社團(tuán)至少分配1名志愿者，則不同分配方案共有種

13.已知圓G：f+(y—2尸=1與圓。2：(%-2)2+(y—=4相交于A,B兩點(diǎn)，則*■(G，+。⑻=

14.某同學(xué)在學(xué)習(xí)和探索三角形相關(guān)知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣性質(zhì)：將銳角三角形三條邊所對(duì)的外接圓

的三條圓弧（劣?。┭刂切蔚倪呥M(jìn)行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且此交點(diǎn)為該三角形

的垂心（即三角形三條高線(xiàn)的交點(diǎn)）.如圖，已知銳角ABC外接圓的半徑為2,且三條圓弧沿，48。三

邊翻折后交于點(diǎn)P.若鉆=3,則sin/B4C=；若AC:AB:5c=6:5:4,貝U

PA+PB+PC的值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證

明過(guò)程或演算步驟.

15.人工智能正在改變我們的世界，由OpenAI開(kāi)發(fā)的人工智能劃時(shí)代標(biāo)志的ChatGPT能更好地理解人類(lèi)

的意圖，并且可以更好地回答人類(lèi)的問(wèn)題，被人們稱(chēng)為人類(lèi)的第四次工業(yè)革命.它滲透人類(lèi)社會(huì)的方方面

面，讓人類(lèi)更高效地生活.現(xiàn)對(duì)130人的樣本使用ChatGPT對(duì)服務(wù)業(yè)勞動(dòng)力市場(chǎng)的潛在影響進(jìn)行調(diào)查，其

數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：

服務(wù)業(yè)就業(yè)人數(shù)的

ChatGPT應(yīng)

合計(jì)

用的廣泛性

減少增加

廣泛應(yīng)用601070

沒(méi)廣泛應(yīng)用402060

合計(jì)10030130

（1）根據(jù)小概率值。=0.01獨(dú)立性檢驗(yàn)，是否有99%的把握認(rèn)為ChatGPT應(yīng)用的廣泛性與服務(wù)業(yè)就業(yè)

人數(shù)的增減有關(guān)？

（2）現(xiàn)從“服務(wù)業(yè)就業(yè)人數(shù)會(huì)減少”的100人中按分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3

人，記抽取的3人中有X人認(rèn)為人工智能會(huì)在服務(wù)業(yè)中廣泛應(yīng)用，求X的分布列和均值.

2_n(ad-bc)2

",(a+/?)(c+d)(i+c)(b+d)其中n=a+b+c+d.

a0.10.050.01

3841

Xa2.7066.635

16.如圖，在四棱錐夕—ABC。中，P41.平面ABC。尸A=A5=3C=2,AD=C2/A3C=120.

(1)求證：平面R4C_L平面夫5。；

(2)若點(diǎn)M為PB的中點(diǎn)，線(xiàn)段尸C上是否存在點(diǎn)N,使得直線(xiàn)與平面PAC所成角的正弦值為

正.若存在，求娶的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2PC

17.如圖，圓C與x軸相切于點(diǎn)T(2,0),與丁軸正半軸相交于M,N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方)，且

\MN\=3.

(2)過(guò)點(diǎn)M任作一條直線(xiàn)與橢圓二+二=1相交于兩點(diǎn)A3,連接AN、BN,求證:

84

ZANM=ZBNM.

18.已知函數(shù)/(X)=仙1￥—辦2一3%(.￡R).

（1）若X=1是函數(shù)力的一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的值;

（2）若函數(shù)/（%）有兩個(gè)極值點(diǎn)花,9，其中西＜々，

①求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

②若不等式2axi+0噸＞3左+1恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

19.對(duì)于無(wú)窮數(shù)列{%},若對(duì)任意相,〃eN*,且mW",存在左eN*，使得曝+g=q.成立，則稱(chēng){%}

為“G數(shù)列”.

（1）若數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式為仇=2”，試判斷數(shù)列{〃}是否為“G數(shù)列”，并說(shuō)明理由；

（2）已知數(shù)列{4}為等差數(shù)列，

①若{4}是“G數(shù)列"，q=8,%eN*,且%＞q,求與所有可能的取值；

②若對(duì)任意〃eN*，存在左eN*，使得％=S”成立，求證：數(shù)列{4}為“G數(shù)列”.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1,已知全集。={2,4,6,8］。,12},加={4,6,8},N={8,”則集合{2,12}=（）

A.MeNB.McNC.Cu（MuN）D.CV（MN）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)交集、并集、補(bǔ)集的定義分別計(jì)算各選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的集合，從而可得正確的選項(xiàng).

【詳解】MLJN={4,6,810},而M「N={8},

故a（MUN）={2,12},a（MN）={2,4,6,10,12},

故選：C.

2.下列命題正確的是（）

A."Inmvln/z”是“記＜e"的充分不必要條件

B.命題：V%>0/nxKx—l的否定是：3x0>O,lnxo>x0-1

c.sinx+^Ucosx

龍+2

D.函數(shù)yn2---在（f0,T7（一1,+8）上是減函數(shù)

■X\L

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷A,根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定為特稱(chēng)量詞命題判斷B,利用誘

導(dǎo)公式判斷C,利用特殊值判斷D.

【詳解】對(duì)于A：由函數(shù)y=lnx為定義在（0,+。）上單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)榭傻?/p>

0<m<n,

又因?yàn)楹瘮?shù)y=e，為單調(diào)遞增函數(shù)，可得e"，<e"，即充分性成立；

反之：由e"'<e"，可得能<〃，當(dāng)私7?小于。時(shí)，此時(shí)沒(méi)意義，即必要性不成立，

所以是"e"'<砂”的充分不必要條件，故A正確；

對(duì)于B：命題：Vx>O』nx<x-l的否定是：3x0>O,lnxo>x0-l,故B不正確；

對(duì)于C：sin[x+￡]=sin[x+]]=cosx,故C不正確；

對(duì)于D：當(dāng)％=—2時(shí)y=0,當(dāng)％=0時(shí)y=2,但—2<0,可得0<2,

YI2

所以函數(shù)y=——在（-,—1）（―1,y）上不是減函數(shù)，故D不正確；

故選：A.

3.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z+2i|+|z-2i|=8,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是（）

A.橢圓B.雙曲線(xiàn)C.圓D.線(xiàn)段

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的幾何意義，以及橢圓的定義，即可求解.

【詳解】設(shè)尸（x,y）,耳（0,2）,鳥(niǎo)（0,—2）,復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸,

因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z+2i|+|z—2i|=8,

由復(fù)數(shù)的幾何意義，可得|尸閭+|尸周=8=2a>閨閭=4=2c,

所以復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)滿(mǎn)足橢圓的定義，復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是橢圓.

故選：A.

32

4.已知。是.ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，AD=-AB+-AC,貝|()

2332

A.BD=-BCB.BD=-BCC.BD=-BCD.BD=-BC

5523

【答案】A

【解析】

【分析】由平面向量線(xiàn)性運(yùn)算可得.

-3-232

由AD=—AB+—AC,得+=—AB+—AC

5555

得3。=—gAB+gAC,得3￡>=g(—AB+AC)=gBC,

故選：A

5.我們把由。和1組成的數(shù)列稱(chēng)為0-1數(shù)列，0-1數(shù)列在計(jì)算機(jī)科學(xué)和信息技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，把

斐波那契數(shù)列｛匕｝(E=6=1,月+2=%+月用)中的奇數(shù)換成o,偶數(shù)換成1可得到o—1數(shù)列｛%｝,記

數(shù)列｛??｝的前〃項(xiàng)和為s?,則s100的值為()

A.32B.33C.34D.35

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意求得數(shù)列的前9項(xiàng)，通過(guò)觀察找到規(guī)律，繼而可求.

【詳解】因?yàn)槎?8=1，r+2=居+%+「

所以罵=2,且=3,罵=5,耳=8,耳=13,耳=21,&=34,,

所以數(shù)列｛4｝的前若干項(xiàng)為：

q—a,=0,4Z3—-1,a1—0,—0,a$~1,a,—0,i2g=0,—1,

貝ljq+2+。3=%+%+Q=%+。8+°9==1，

所以S100=33x1+0=33.

故選:B.

6.我國(guó)元代瓷器元青花團(tuán)菊花紋小盞如圖所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施

白釉，以青花為裝飾，釉質(zhì)潤(rùn)澤，底足露胎，胎質(zhì)致密.碗內(nèi)口沿飾有一周回紋，內(nèi)底心書(shū)有一文字，碗外

壁繪有一周纏枝團(tuán)菊紋，下筆流暢，紋飾灑脫.該元青花團(tuán)菊花紋小盞口徑8.4厘米，底徑2.8厘米，高4

厘米，它的形狀可近似看作圓臺(tái)，則其側(cè)面積約為（單位：平方厘米）（）（附：土12.2）

A.34KB.2771C.20兀D.18兀

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意結(jié)合圓臺(tái)的側(cè)面積公式分析求解.

【詳解】設(shè)該圓臺(tái)的上底面、下底面的半徑分別為民，

由題意可知：火=4.2/=1.4,則圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)/="2+（4.2—14）2=4，［函,

所以其側(cè)面積為兀x（4.2+1.4）x4a^“兀x（4.2+1.4）x4xl.22“27兀.

故選：B.

2222

7.已知橢圓=+:=1（?！?〉0）與雙曲線(xiàn)J—2r=1（機(jī)〉0,〃〉0）有共同的焦點(diǎn)耳，F(xiàn)2,且在第一

abmn

TT

象限內(nèi)相交于點(diǎn)P,橢圓與雙曲線(xiàn)的離心率分別為G，%.若8=9，貝Ue「e2的最小值是

AJ_R6C也2

2X.D.----x_z.----LnJ.

2222

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)共同的焦點(diǎn)為(-c,0),(c,0),設(shè)歸耳|=s,|。閭=/,運(yùn)用橢圓和雙曲線(xiàn)的定義，以及三角形的余弦定

理和基本不等式，即可得到所求最小值.

【詳解】解：設(shè)共同的焦點(diǎn)為(-c,0),(GO),

設(shè)歸國(guó)=s,|「鳥(niǎo)|=/,

由橢圓和雙曲線(xiàn)的定義可得s+/=2a,s—t—2m,

解得s=a+t—a—m,

TT

在中，公職=七,

可得閨可2=\PF^+\PF^\-2\PF^\PF^-cos

AFXPF2,

即為402=(〃+加)2+(6z—m)2—(a+m)(a—m)=a2+3m2,

-a3m-/

即61tl有一r+—^=4,

cC

13“

即為萬(wàn)+二=4,

G%

可得e「e22岑，當(dāng)且僅當(dāng)62=百弓時(shí)，取得最小值顯,

V

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線(xiàn)的定義、方程和性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

c4/士2cos40+cos80/、

8.求值：----------------=()

sin80

A.73B.且C.-73D.一立

33

【答案】A

【解析】

【分析】易知cos40=cos12。-80,再利用兩角差的余弦公式計(jì)算可得結(jié)果.

［詳解］2cos40+cos80_2cos（120-80）+cos80

sin80-sin80

2（cosl20cos80+sinl20sin80）+cos80qsin80

一sin80-sin80一

故選：A.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某市7天國(guó)慶節(jié)假期期間的樓房日認(rèn)購(gòu)量（單位：套）與日成交量（單位：套）的折線(xiàn)圖如下圖所示，

小明同學(xué)根據(jù)折線(xiàn)圖對(duì)這7天的口認(rèn)購(gòu)量與口成交量作出如下判斷，則下列結(jié)論正確的是（）

A.日認(rèn)購(gòu)量與日期正相關(guān)

B.日成交量的中位數(shù)是26

C.日成交量超過(guò)日平均成交量的有2天

D.10月7日日認(rèn)購(gòu)量的增量大于10月7日日成交量的增量

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)正相關(guān)的定義結(jié)合圖象即可判斷A；根據(jù)中位數(shù)的定義結(jié)合圖象即可判斷B；根據(jù)圖中數(shù)據(jù)進(jìn)

行計(jì)算即可求得平均數(shù)，即可判斷C；根據(jù)圖中數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可判斷D.

【詳解】由題圖可以看出，數(shù)據(jù)點(diǎn)并不是從左下至右上分布，所以A錯(cuò);

將成交量數(shù)據(jù)按大小順序排列，中位數(shù)為26,所以B對(duì);

13+8+32+16+26+38+166

日平均成交量為亡42.7

7

超過(guò)42.7的只有一天，所以C錯(cuò);

10月7日認(rèn)購(gòu)量的增量為276—112=164,

成交量的增量為166-38=128,所以D對(duì),

故選:BD.

10.拋物線(xiàn)的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線(xiàn)形成的三角形稱(chēng)為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景、豐

富的性質(zhì)產(chǎn)生了無(wú)窮的魅力.設(shè)A3是拋物線(xiàn)C:/=4y上兩個(gè)不同的點(diǎn)，以4（%,X）,5（%,%）為切點(diǎn)

的切線(xiàn)交于尸點(diǎn).若弦A3過(guò)點(diǎn)b（0』），則下列說(shuō)法正確的有（）

A.石泡=一4

B.若罰=2,則A點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為％—y—1=。

C.存在點(diǎn)尸，使得R4.P3>0

D..MB面積的最小值為4

【答案】ABD

【解析】

【分析】聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，可判定A正確；求得/=得到切點(diǎn)坐標(biāo)得出

切線(xiàn)方程y=；X]X-進(jìn)而可判定B正確；由直線(xiàn)AP的斜率為gx1,直線(xiàn)的的斜率為:々，得到

111

:玉九2=一1，可判定C錯(cuò)誤；由過(guò)點(diǎn)5的切線(xiàn)方程為y=%石9，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，得到

3

S.=4（1+左2）5,可D正確.

y=kx+1

【詳解】對(duì)于A中，設(shè)直線(xiàn)A3:y=Ax+l,聯(lián)立方程組I1“，整理得7―4乙—4=0，

x=4y

再設(shè)4（外,%）,3（%2，%），則=44,西?％2=—4,所以A正確；

對(duì)于B中，由拋物線(xiàn)公=4丁.可得y=：入2,則/=；x,

則過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)斜率為gx],且％=；#，即“占,3",

1,1/、11,

則切線(xiàn)方程為：y——x1=—xl（^x—,即y=5尤]%—1王，

若石=2時(shí)，則過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)方程為：x-y-l=Qf所以B正確；

對(duì)于C中，由選項(xiàng)B可得：直線(xiàn)AP的斜率為,七，直線(xiàn)5P的斜率為！馬，

22

因?yàn)?z玉%2=—L所以APLE0,即P4，PB=0，所以C錯(cuò)誤；

11

對(duì)于D中，由選項(xiàng)B可知，過(guò)點(diǎn)3的切線(xiàn)方程為y=]入2%9

聯(lián)立直線(xiàn)PA,PB的方程可得尸(2人,—1),kpF=—[kpF-kAB=-1,PFLAB,

所以SABP=；|A5Hp司，

2

\AB\=y/l+k\xx-X2\=J1+左2J(%1+々)2-4%.%2-J1+左2?6k2+16=4(1+攵2),

IPF\=7(2Z:-0)2+(-l-l)2=44k2+4=2y/1+k2,

3

則sABP=4(1+左2)5,當(dāng)左=0時(shí)，％BP有最小值為4,所以D正確.

故選：ABD.

11.已知函數(shù)〃x)=(無(wú)+l)(e-尤—1),則下列說(shuō)法正確的有

A.7(九)有唯一零點(diǎn)

B.7(%)無(wú)最大值

C."%)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增

D.%=0為7(%)的一個(gè)極小值點(diǎn)

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出函數(shù)的零點(diǎn)判斷A；利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)/⑺在(2,+co)上的取值情況判斷B；利用導(dǎo)數(shù)探討單

調(diào)性及極值情況判斷CD.

【詳解】對(duì)于A,依題意，/(-1)=/(0)=0,即x=—1和％=0是函數(shù)〃x)=(x+l)(ex—%—1)的零

點(diǎn)，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)尤>0時(shí)，令〃(x)=e*—x—l,求導(dǎo)得a'(x)=e*-l>0,函數(shù)”x)在(0,+co)上遞增，當(dāng)

%之2時(shí)，w(x)>e2-3>l,

而>=尤+1在(0,+。)上遞增，值域?yàn)?1,+8),

因此當(dāng)工22時(shí)，/(x)>x+l,則/(%)無(wú)最大值，B正確；

對(duì)于C,/(x)=(x+2)eT-2x-2,

令g(x)=(x+2)e，-2x-2,求導(dǎo)得/(x)=(x+3)e*-2,

當(dāng)x>0時(shí)，令7i(x)=(x+3)e*-2,則/(x)=(x+4)e*>0,即g'(x)=/z(x)在(0,+。)上遞增，

g'(x)>g，(o)=1>0,則_ra)=g(x)在(0,+向上遞增,r(x)>r(o)=o,

因此了(左)在(0,+。)上遞增，即〃%)在(1,+8)上單調(diào)遞增，C正確；

2尤+2

對(duì)于D,當(dāng)一IvxvO時(shí)，(p(x\=ex-------，

v7x+2

2

求導(dǎo)得“('=6-食+2)2，顯然函數(shù)。(x)在(TO)上遞增，

而夕'(—1)=』—2<0,0'(0)=；>0,則存在％1,0),使得”(尤o)=O，

當(dāng)x?Xo,O)時(shí),”(尤)>0,函數(shù)0(x)在(％,0)上單調(diào)遞增,則0(%)<必0)=0,

v

即當(dāng)尤e(九0,。)時(shí)，e-<^—?jiǎng)t/'(x)=(X+2)e，—2x—2<0,又/'(0)=0,

x+2

因此x=0為八％)的一個(gè)極小值點(diǎn)，D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

①直接求零點(diǎn)：令/(x)=0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

②零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間切上是連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，且/(a)?/(》)〈(),還必須結(jié)

合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

③利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的

值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.雅禮中學(xué)將5名學(xué)生志愿者分配到街舞社、戲劇社、魔術(shù)社及動(dòng)漫社4個(gè)社團(tuán)參加志愿活動(dòng)，每名志愿

者只分配到1個(gè)社團(tuán)、每個(gè)社團(tuán)至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有種

【答案】240

【解析】

【分析】根據(jù)題意，先將5名學(xué)生志愿者分為4組，再將分好4組安排參加4個(gè)社團(tuán)參加志愿活動(dòng)，結(jié)

合分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①將5名學(xué)生志愿者分為4組，有C；=10種分組方法，

②將分好的4組安排參加4個(gè)社團(tuán)參加志愿活動(dòng)，有A：=24種情況，

貝IJ有10x24=240種分酉己方案.

故答案為：240.

13.已知圓G：犬+（y—2）2=1與圓C2:（x—2）2+（y—1尸=4相交于A,3兩點(diǎn)，則QC2-（QA+。⑻=

【答案】2

【解析】

【分析】易知兩圓公共弦AB所在的直線(xiàn)方程為2x-y+l=0,C1（0,2）,C2（2,l）,由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可

,1

得向量GA在向量GC?方向上的投影為1=而，可得結(jié)果為2.

【詳解】由題意可知兩圓公共弦A3所在的直線(xiàn)方程為2x—y+l=0，G（0,2），G（2』），如下圖所示：

所以點(diǎn)G到直線(xiàn)2x—y+l=0的距離為4=言,|。］。2|=逐，

又易知，A3，所以向量GA在向量GG方向上的投影為d=有,

所以?GA=君義美=1,同理可得QC2GB=1,

所以CIG-（GA+G5）=2.

故答案為：2

14.某同學(xué)在學(xué)習(xí)和探索三角形相關(guān)知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的性質(zhì)：將銳角三角形三條邊所對(duì)的外接圓

的三條圓?。踊。┭刂切蔚倪呥M(jìn)行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且此交點(diǎn)為該三角形

的垂心(即三角形三條高線(xiàn)的交點(diǎn)).如圖，已知銳角cABC外接圓的半徑為2,且三條圓弧沿AABC三

邊翻折后交于點(diǎn)尸.若AB=3,則sin/QAC=；若AC:AB:5C=6:5:4,則

PA+PB+PC的值為.

【答案】①.—②.—##5.75

44

【解析】

【分析】第一空，由正弦定理求得sin/ACB=2,可得COS/AC5=Y7,利用三角形垂心性質(zhì)結(jié)合三

44

角形誘導(dǎo)公式推得sin/R4C=cos/AGB,即得答案；

第二空，^NCAB=e,NCBA=a,NACB=/3,由余弦定理求得它們的余弦值，然后由垂心性質(zhì)結(jié)合

正弦定理表示出PA+PB+PC=4(cos0+cos?+cos/3),即可求得答案.

【詳解】設(shè)外接圓半徑為R,則R=2，

AB

由正弦定理，可知------------=2R=4,

sin/ACBsin^ACB

3立,

即sin/ACB=—,由于ZACB是銳角，故cos/ACB

4丁

JT

又由題意可知尸為三角形ABC的垂心，即APL5C,故，R4C=——ZACB,

2

所以sin/P4c=cosZACB=—；

4

設(shè)ZCAB=aNCBA=a,ZACB=13,

jrjrjr

則NPAC=5—4,/PBA=5—e,/叢3=萬(wàn)—o,

由于AC:AB:5C=6:5:4,不妨假設(shè)AC=6,A5=5,5C=4,

由余弦定理知cos"62+5、42/42+5-2」」+6-529

2x6x542x4x582x4x616

jrjr

設(shè)ADCE1尸為三角形的三條高，由于NEC3+NEBC=—,NPCD+NCPD=—,

22

故NEBC=NCPD,

貝ij得ZAPC=7i-ZCPD=7i-NEBC=兀一/ABC，

PCPAACAC

=27?=4

所以.(7i—.，兀/—sin/APC

smQ引叫2刊sin/ABC

45AB

=27?=4

sin^APBsin^ACB

31923

所以P4+P3+PC=4(cos6+cosa+cos￡)=4一——?——

48164

故答案為：；—

44

【點(diǎn)睛】本題重要考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，涉及到三角形垂心的性質(zhì)的應(yīng)用，解答時(shí)要能

靈活地結(jié)合垂心性質(zhì)尋找角之間的關(guān)系，應(yīng)用正余弦定理，解決問(wèn)題.

四、解答題：本題共5小題，共77分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證

明過(guò)程或演算步驟.

15.人工智能正在改變我們的世界，由OpenAI開(kāi)發(fā)的人工智能劃時(shí)代標(biāo)志的ChatGPT能更好地理解人類(lèi)

的意圖，并且可以更好地回答人類(lèi)的問(wèn)題，被人們稱(chēng)為人類(lèi)的第四次工業(yè)革命.它滲透人類(lèi)社會(huì)的方方面

面，讓人類(lèi)更高效地生活.現(xiàn)對(duì)130人的樣本使用ChatGPT對(duì)服務(wù)業(yè)勞動(dòng)力市場(chǎng)的潛在影響進(jìn)行調(diào)查，其

數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：

ChatGPT應(yīng)服務(wù)業(yè)就業(yè)人數(shù)的合計(jì)

用的廣泛性減少增加

廣泛應(yīng)用601070

沒(méi)廣泛應(yīng)用402060

合計(jì)10030130

（1）根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，是否有99%的把握認(rèn)為ChatGPT應(yīng)用的廣泛性與服務(wù)業(yè)就業(yè)

人數(shù)的增減有關(guān)?

（2）現(xiàn)從“服務(wù)業(yè)就業(yè)人數(shù)會(huì)減少”的100人中按分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3

人，記抽取的3人中有X人認(rèn)為人工智能會(huì)在服務(wù)業(yè)中廣泛應(yīng)用，求X的分布列和均值.

n(ad-be)?

附：/,其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.01

X。2.7063.8416.635

9

【答案】（1）沒(méi)有（2）分布列見(jiàn)解析，-

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意求力2,并與臨界值對(duì)比判斷；

（2）根據(jù)分層抽樣求各層人數(shù)，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.

【小問(wèn)1詳解】

零假設(shè)為Ho：ChatGPT對(duì)服務(wù)業(yè)就業(yè)人數(shù)的增減無(wú)關(guān).

+口信主用物短汨2130x（60x20—40x10）2

根據(jù)表中數(shù)據(jù)得Z-=---------------------—?6.603<6.635=x

70x60x100x30°n

所以根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，

沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為無(wú)關(guān).

【小問(wèn)2詳解】

由題意得，采用分層抽樣抽取出的5人中,

有一x5=3人認(rèn)為人工智能會(huì)在服務(wù)業(yè)中廣泛應(yīng)用,

100

有一x5=2人認(rèn)為人工智能不會(huì)在服務(wù)業(yè)中廣泛應(yīng)用,

100

則X的可能取值為1,2,3,

233

又尸（X=］）=罟c'c$3%=2）=罟cc'=3|，尸（X=3）磊c三1

所以X的分布列為

X123

331

P

10510

331Q

所以E（X）=1X3+2X2+3X—=M

V'105105

16.如圖，在四棱錐尸―ABCD中，/%，平面48。。,24=46=8。=2,")=。。,/46。=120.

(1)求證：平面？ACJ_平面尸8D；

(2)若點(diǎn)M為P3的中點(diǎn)，線(xiàn)段尸C上是否存在點(diǎn)N,使得直線(xiàn)與平面尸AC所成角的正弦值為

巫.若存在，求上的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2PC

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

PN1PN3

(2)存在,---———----=一

PC4?PC8

【解析】

【分析】(1)設(shè)AC的中點(diǎn)為。，根據(jù)題意證得6r)_LAC和證得3D工平面R4C,進(jìn)而證

得平面PAC±平面PBD.

（2）以O(shè)COD所在的直線(xiàn)為x軸和y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PN=XPC（OW2<1）,分別求得

平面PAC和MN=fl岳——241，結(jié)合向量的夾角公式，列出方程，即可求解.

I22J

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)AC的中點(diǎn)為。，因?yàn)?6=6。，所以

因?yàn)锳D=CD,所以“>，AC,所以5。,。三點(diǎn)共線(xiàn)，所以

因?yàn)槠矫鍭BC。，5Du平面ABCD，所以5DLR1，

因?yàn)锳C=A,Q4u平面PAC,ACu平面R4C,所以5D1平面PAC,

因?yàn)?。匚平面PBD,所以平面PAC_L平面尸8D.

【小問(wèn)2詳解】

以O(shè)COD所在的直線(xiàn)為x軸和y軸，過(guò)。點(diǎn)作平行于AP的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示，則C（后,0,0）,網(wǎng)-若,0,2）,3（0,-1,0）,

（1）

因?yàn)镸為PB的中點(diǎn)，所以I—2—24J，

設(shè)PN=2PC（O<2<1）,所以N（2后—君,0,2—2%）,

所以2W=（2岳一立，工,1—2%],

[22J

由（1）知8D1平面R4C,所以平面P4C的一個(gè)法向量為“=（0,1,0）,

設(shè)直線(xiàn)MV與平面P4C所成角為9,

?,?MN'n\1J2

則sin?=\cosMN,n\=-----；-L=——/=——，

11MN\\n\2.V1622-102+22

PN1PN36

即當(dāng)——=一或一=—時(shí)，直線(xiàn)MN與平面R4c所成角的正弦值為注.

PC4PC82

ZA

17.如圖，圓C與無(wú)軸相切于點(diǎn)T（2,0）,與y軸正半軸相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方），且

\MN\=3.

（2）過(guò)點(diǎn)以任作一條直線(xiàn)與橢圓二+二=1相交于兩點(diǎn)A3,連接⑷V、BN,求證:

84

ZANM=ZBNM.

【答案】（I）（x—2『+卜—=學(xué)（II）見(jiàn)解析

【解析】

【詳解】分析：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為（2,）,根據(jù)=3.可由勾股定理求出r,求得圓的方程.

（2）討論當(dāng)斜率不存在時(shí)NAAZM=N3NM=0；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)丁=區(qū)+1方程，聯(lián)立橢圓方

4左6

—

程，利用韋達(dá)定理表不出為+%=....——~—rry，表不出左.、kBN,即可判定

J.十乙KJ.十乙K

ZANM二ZBNM.

'：MN=3,:.r2=f-^+22=—,r=-

詳解：⑴由題可知圓心的坐標(biāo)為（2j）.

⑵42

.??圓C方程為：（x—2『+（y—

(2)由圓C方程可得M(0,l),N(0,4)

①當(dāng)A3斜率不存在時(shí)，ZANM^ZBNM=0

②當(dāng)A5斜率存在時(shí)，設(shè)A5直線(xiàn)方程為:y=Ax+L設(shè)4(%,%),5(9,%)

y=kx+l

22(1+2左2)*2+4依-6=0x,+x^=——=-----^—7

x「-iV71-l+2k1-1+2左2

I84

、24――匚1_3仁以1]

,>_%—4工%—4_-3(%+々)_Il+2k^)I\+2k~J_n

KAN+KBN=1==7=u

%x2xxx2o

-1+2公

^AN+^BN~°

綜上所述ZANM=ZBNM

點(diǎn)睛：本題考查了求圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與橢圓的關(guān)系，通過(guò)韋達(dá)定理解決相交弦問(wèn)題，也是高考的?？?/p>

點(diǎn)，屬于難點(diǎn).

18.己知函數(shù)/(x)=xlnx-ax2_3MawR).

(1)若X=1是函數(shù)/(光)的一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)〃的值；

(2)若函數(shù)/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)石，龍2，其中石<々，

①求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

②若不等式2axi+曲%>3上+1恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【答案】18.-1

19.①②[1,y)

【解析】

【分析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，依題意可得/'(1)=0,解得。=-1,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；

(2)①將函數(shù)/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程Inr-2依-2=0有兩個(gè)不同的正數(shù)根，再由函數(shù)與方程的思

想可知函數(shù)g(力=上二與函數(shù)y=2a的圖象在(0,+“)上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合可得

②由兩極值點(diǎn)的關(guān)系通過(guò)構(gòu)造函數(shù)可將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)尸(f)=flnr—f+l—左(f—1—lw)<0

對(duì)任意的0<f<1恒成立，利用導(dǎo)數(shù)并對(duì)實(shí)數(shù)k的取值分類(lèi)討論即可求得ke[1,+").

【小問(wèn)1詳解】

易知/'(x)=lnx+l—2ar-3=lnx-2or—2,又x=l是函數(shù)〃尤)的一個(gè)極值點(diǎn)，

/'(1)=0,即-2a-2=0,r.a=-1.

此時(shí)/'(x)=lnx+2x-2,令丸(x)=hu+2x-2,/2'(x)=』+2>0,

X

：.f'(x)=h(x)在(0,+1)上單調(diào)遞增，且/''⑴=0,

當(dāng)xe(0,l),/'(x)<0,當(dāng)xe(l,+8),/'(x)>0,

.■./(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+。)上單調(diào)遞增，

所以％=1是/(%)的極小值點(diǎn)，即。=-1符合題意；

因此實(shí)數(shù)。的值為-1.

【小問(wèn)2詳解】

①因?yàn)?'(%)=lux-2ax-2,且/(x)=xlnx-ta2-3x(aGR)有兩個(gè)極值點(diǎn)