湖南省長沙市2024屆高三年級下冊月考（七）數(shù)學試題（含答案與解析）

雅禮中學2024屆高三月考試卷（七）

數(shù)學

（時量120分鐘，滿分150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知全集。={2,4,6,8］。，12},"={4,6,8},N={8,1。},則集合{2」2}=（）

A.MeNB.McNC.Cu（MuN）D.N）

2.下列命題正確的是（）

A.是"e7"<e"”的充分不必要條件

B.命題：Vx>O』nx<%-1的否定是：3x0>0,ln%0>x0-1

C.sinx+=-cosx

YI2

D.函數(shù)yn2——^在（-1,+cQ）上是減函數(shù)

?X\J-

3.若復數(shù)z滿足|z+2i|+|2-2i|=8,則復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應(yīng)點的軌跡是（）

A橢圓B.雙曲線C.圓D.線段

32

4.已知。是二ABC所在平面內(nèi)一點，AD=-AB+-AC,貝U（）

3-32

A.BD=-BCB.BD=-BCC.BD=-BCD.BD=-BC

5523

5.我們把由0和1組成的數(shù)列稱為0-1數(shù)列，0-1數(shù)列在計算機科學和信息技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，把

斐波那契數(shù)列｛匕｝（大=耳=1,%+2=月+月+i）中的奇數(shù)換成。，偶數(shù)換成1可得到0-1數(shù)列｛an｝,記

數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，則Si。。的值為（）

A.32B.33C.34D.35

6.我國元代瓷器元青花團菊花紋小盞如圖所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施

白釉，以青花為裝飾，釉質(zhì)潤澤，底足露胎，胎質(zhì)致密.碗內(nèi)口沿飾有一周回紋，內(nèi)底心書有一文字，碗外

壁繪有一周纏枝團菊紋，下筆流暢，紋飾灑脫.該元青花團菊花紋小盞口徑8.4厘米，底徑2.8厘米，高4

厘米，它的形狀可近似看作圓臺，則其側(cè)面積約為（單位:平方厘米）（）（附：^49?12.2）

A.3471B.2771C.20KD.18兀

2222

7.已知橢圓l+二=1（?！?〉0）與雙曲線二—2r=1（機〉0,〃〉0）有共同的焦點可，F(xiàn)2,且在第一

abmn

7T

象限內(nèi)相交于點P,橢圓與雙曲線的離心率分別為4.若/耳。耳=可，貝!02的最小值是

A/2C.BD.-

A-—2

T22

c4/士2cos40+cos80/、

8.求值：----------------二()

sin80

C.-43D.—昱

A.73B.顯

33

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某市7天國慶節(jié)假期期間的樓房日認購量（單位：套）與日成交量（單位：套）的折線圖如下圖所示，

小明同學根據(jù)折線圖對這7天的日認購量與日成交量作出如下判斷，則下列結(jié)論正確的是（）

。認購一成交

A.日認購量與日期正相關(guān)

B.日成交量的中位數(shù)是26

C.日成交量超過日平均成交量的有2天

D.10月7日日認購量的增量大于10月7日日成交量的增量

10.拋物線的弦與弦的端點處的兩條切線形成的三角形稱為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景、豐

富的性質(zhì)產(chǎn)生了無窮的魅力.設(shè)A3是拋物線C:/=4y上兩個不同的點，以4(%,%),5(9,%)為切點

的切線交于尸點.若弦A3過點/(0』)，則下列說法正確的有()

A.=-4

B.若石=2,則A點處的切線方程為％—丁―1=。

C.存在點尸，使得八4./>3>0

D.面積的最小值為4

11.已知函數(shù)“x)=(x+D(eX—x—l),則下列說法正確的有

A.7(%)有唯一零點

B.7(%)無最大值

C.”力在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增

D.%=0為了(%)的一個極小值點

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.雅禮中學將5名學生志愿者分配到街舞社、戲劇社、魔術(shù)社及動漫社4個社團參加志愿活動，每名志愿

者只分配到1個社團、每個社團至少分配1名志愿者，則不同分配方案共有種

13.已知圓G：f+(y—2尸=1與圓。2：(%-2)2+(y—=4相交于A,B兩點，則*■(G，+。⑻=

14.某同學在學習和探索三角形相關(guān)知識時，發(fā)現(xiàn)了一個有趣性質(zhì)：將銳角三角形三條邊所對的外接圓

的三條圓弧（劣?。┭刂切蔚倪呥M行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點，且此交點為該三角形

的垂心（即三角形三條高線的交點）.如圖，已知銳角ABC外接圓的半徑為2,且三條圓弧沿，48。三

邊翻折后交于點P.若鉆=3,則sin/B4C=；若AC:AB:5c=6:5:4,貝U

PA+PB+PC的值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步驟.

15.人工智能正在改變我們的世界，由OpenAI開發(fā)的人工智能劃時代標志的ChatGPT能更好地理解人類

的意圖，并且可以更好地回答人類的問題，被人們稱為人類的第四次工業(yè)革命.它滲透人類社會的方方面

面，讓人類更高效地生活.現(xiàn)對130人的樣本使用ChatGPT對服務(wù)業(yè)勞動力市場的潛在影響進行調(diào)查，其

數(shù)據(jù)的統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：

服務(wù)業(yè)就業(yè)人數(shù)的

ChatGPT應(yīng)

合計

用的廣泛性

減少增加

廣泛應(yīng)用601070

沒廣泛應(yīng)用402060

合計10030130

（1）根據(jù)小概率值。=0.01獨立性檢驗，是否有99%的把握認為ChatGPT應(yīng)用的廣泛性與服務(wù)業(yè)就業(yè)

人數(shù)的增減有關(guān)？

（2）現(xiàn)從“服務(wù)業(yè)就業(yè)人數(shù)會減少”的100人中按分層隨機抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取3

人，記抽取的3人中有X人認為人工智能會在服務(wù)業(yè)中廣泛應(yīng)用，求X的分布列和均值.

2_n(ad-bc)2

",(a+/?)(c+d)(i+c)(b+d)其中n=a+b+c+d.

a0.10.050.01

3841

Xa2.7066.635

16.如圖，在四棱錐夕—ABC。中，P41.平面ABC。尸A=A5=3C=2,AD=C2/A3C=120.

(1)求證：平面R4C_L平面夫5。；

(2)若點M為PB的中點，線段尸C上是否存在點N,使得直線與平面PAC所成角的正弦值為

正.若存在，求娶的值；若不存在，請說明理由.

2PC

17.如圖，圓C與x軸相切于點T(2,0),與丁軸正半軸相交于M,N兩點(點M在點N的下方)，且

\MN\=3.

(2)過點M任作一條直線與橢圓二+二=1相交于兩點A3,連接AN、BN,求證:

84

ZANM=ZBNM.

18.已知函數(shù)/(X)=仙1￥—辦2一3%(.￡R).

（1）若X=1是函數(shù)力的一個極值點，求實數(shù)。的值;

（2）若函數(shù)/（%）有兩個極值點花,9，其中西＜々，

①求實數(shù)。的取值范圍；

②若不等式2axi+0噸＞3左+1恒成立，求實數(shù)上的取值范圍.

19.對于無窮數(shù)列{%},若對任意相,〃eN*,且mW",存在左eN*，使得曝+g=q.成立，則稱{%}

為“G數(shù)列”.

（1）若數(shù)列{%}的通項公式為仇=2”，試判斷數(shù)列{〃}是否為“G數(shù)列”，并說明理由；

（2）已知數(shù)列{4}為等差數(shù)列，

①若{4}是“G數(shù)列"，q=8,%eN*,且%＞q,求與所有可能的取值；

②若對任意〃eN*，存在左eN*，使得％=S”成立，求證：數(shù)列{4}為“G數(shù)列”.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1,已知全集。={2,4,6,8］。,12},加={4,6,8},N={8,”則集合{2,12}=（）

A.MeNB.McNC.Cu（MuN）D.CV（MN）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)交集、并集、補集的定義分別計算各選項對應(yīng)的集合，從而可得正確的選項.

【詳解】MLJN={4,6,810},而M「N={8},

故a（MUN）={2,12},a（MN）={2,4,6,10,12},

故選：C.

2.下列命題正確的是（）

A."Inmvln/z”是“記＜e"的充分不必要條件

B.命題：V%>0/nxKx—l的否定是：3x0>O,lnxo>x0-1

c.sinx+^Ucosx

龍+2

D.函數(shù)yn2---在（f0,T7（一1,+8）上是減函數(shù)

■X\L

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷A,根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題判斷B,利用誘

導公式判斷C,利用特殊值判斷D.

【詳解】對于A：由函數(shù)y=lnx為定義在（0,+。）上單調(diào)遞增函數(shù)，因為可得

0<m<n,

又因為函數(shù)y=e，為單調(diào)遞增函數(shù)，可得e"，<e"，即充分性成立；

反之：由e"'<e"，可得能<〃，當私7?小于。時，此時沒意義，即必要性不成立，

所以是"e"'<砂”的充分不必要條件，故A正確；

對于B：命題：Vx>O』nx<x-l的否定是：3x0>O,lnxo>x0-l,故B不正確；

對于C：sin[x+￡]=sin[x+]]=cosx,故C不正確；

對于D：當％=—2時y=0,當％=0時y=2,但—2<0,可得0<2,

YI2

所以函數(shù)y=——在（-,—1）（―1,y）上不是減函數(shù)，故D不正確；

故選：A.

3.若復數(shù)z滿足|z+2i|+|z-2i|=8,則復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應(yīng)點的軌跡是（）

A.橢圓B.雙曲線C.圓D.線段

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用復數(shù)的幾何意義，以及橢圓的定義，即可求解.

【詳解】設(shè)尸（x,y）,耳（0,2）,鳥（0,—2）,復數(shù)z對應(yīng)點尸,

因為復數(shù)z滿足|z+2i|+|z—2i|=8,

由復數(shù)的幾何意義，可得|尸閭+|尸周=8=2a>閨閭=4=2c,

所以復數(shù)Z對應(yīng)的點滿足橢圓的定義，復數(shù)Z在復平面內(nèi)所對應(yīng)點的軌跡是橢圓.

故選：A.

32

4.已知。是.ABC所在平面內(nèi)一點，AD=-AB+-AC,貝|()

2332

A.BD=-BCB.BD=-BCC.BD=-BCD.BD=-BC

5523

【答案】A

【解析】

【分析】由平面向量線性運算可得.

-3-232

由AD=—AB+—AC,得+=—AB+—AC

5555

得3。=—gAB+gAC,得3￡>=g(—AB+AC)=gBC,

故選：A

5.我們把由。和1組成的數(shù)列稱為0-1數(shù)列，0-1數(shù)列在計算機科學和信息技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，把

斐波那契數(shù)列｛匕｝(E=6=1,月+2=%+月用)中的奇數(shù)換成o,偶數(shù)換成1可得到o—1數(shù)列｛%｝,記

數(shù)列｛??｝的前〃項和為s?,則s100的值為()

A.32B.33C.34D.35

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意求得數(shù)列的前9項，通過觀察找到規(guī)律，繼而可求.

【詳解】因為耳=8=1，r+2=居+%+「

所以罵=2,且=3,罵=5,耳=8,耳=13,耳=21,&=34,,

所以數(shù)列｛4｝的前若干項為：

q—a,=0,4Z3—-1,a1—0,—0,a$~1,a,—0,i2g=0,—1,

貝ljq+2+。3=%+%+Q=%+。8+°9==1，

所以S100=33x1+0=33.

故選:B.

6.我國元代瓷器元青花團菊花紋小盞如圖所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施

白釉，以青花為裝飾，釉質(zhì)潤澤，底足露胎，胎質(zhì)致密.碗內(nèi)口沿飾有一周回紋，內(nèi)底心書有一文字，碗外

壁繪有一周纏枝團菊紋，下筆流暢，紋飾灑脫.該元青花團菊花紋小盞口徑8.4厘米，底徑2.8厘米，高4

厘米，它的形狀可近似看作圓臺，則其側(cè)面積約為（單位：平方厘米）（）（附：土12.2）

A.34KB.2771C.20兀D.18兀

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意結(jié)合圓臺的側(cè)面積公式分析求解.

【詳解】設(shè)該圓臺的上底面、下底面的半徑分別為民，

由題意可知：火=4.2/=1.4,則圓臺的母線長/="2+（4.2—14）2=4，［函,

所以其側(cè)面積為兀x（4.2+1.4）x4a^“兀x（4.2+1.4）x4xl.22“27兀.

故選：B.

2222

7.已知橢圓=+:=1（。〉6〉0）與雙曲線J—2r=1（機〉0,〃〉0）有共同的焦點耳，F(xiàn)2,且在第一

abmn

TT

象限內(nèi)相交于點P,橢圓與雙曲線的離心率分別為G，%.若8=9，貝Ue「e2的最小值是

AJ_R6C也2

2X.D.----x_z.----LnJ.

2222

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)共同的焦點為(-c,0),(c,0),設(shè)歸耳|=s,|。閭=/,運用橢圓和雙曲線的定義，以及三角形的余弦定

理和基本不等式，即可得到所求最小值.

【詳解】解：設(shè)共同的焦點為(-c,0),(GO),

設(shè)歸國=s,|「鳥|=/,

由橢圓和雙曲線的定義可得s+/=2a,s—t—2m,

解得s=a+t—a—m,

TT

在中，公職=七,

可得閨可2=\PF^+\PF^\-2\PF^\PF^-cos

AFXPF2,

即為402=(〃+加)2+(6z—m)2—(a+m)(a—m)=a2+3m2,

-a3m-/

即61tl有一r+—^=4,

cC

13“

即為萬+二=4,

G%

可得e「e22岑，當且僅當62=百弓時，取得最小值顯,

V

故選C.

【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題.

c4/士2cos40+cos80/、

8.求值：----------------=()

sin80

A.73B.且C.-73D.一立

33

【答案】A

【解析】

【分析】易知cos40=cos12。-80,再利用兩角差的余弦公式計算可得結(jié)果.

［詳解］2cos40+cos80_2cos（120-80）+cos80

sin80-sin80

2（cosl20cos80+sinl20sin80）+cos80qsin80

一sin80-sin80一

故選：A.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某市7天國慶節(jié)假期期間的樓房日認購量（單位：套）與日成交量（單位：套）的折線圖如下圖所示，

小明同學根據(jù)折線圖對這7天的口認購量與口成交量作出如下判斷，則下列結(jié)論正確的是（）

A.日認購量與日期正相關(guān)

B.日成交量的中位數(shù)是26

C.日成交量超過日平均成交量的有2天

D.10月7日日認購量的增量大于10月7日日成交量的增量

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)正相關(guān)的定義結(jié)合圖象即可判斷A；根據(jù)中位數(shù)的定義結(jié)合圖象即可判斷B；根據(jù)圖中數(shù)據(jù)進

行計算即可求得平均數(shù)，即可判斷C；根據(jù)圖中數(shù)據(jù)進行計算即可判斷D.

【詳解】由題圖可以看出，數(shù)據(jù)點并不是從左下至右上分布，所以A錯;

將成交量數(shù)據(jù)按大小順序排列，中位數(shù)為26,所以B對;

13+8+32+16+26+38+166

日平均成交量為亡42.7

7

超過42.7的只有一天，所以C錯;

10月7日認購量的增量為276—112=164,

成交量的增量為166-38=128,所以D對,

故選:BD.

10.拋物線的弦與弦的端點處的兩條切線形成的三角形稱為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景、豐

富的性質(zhì)產(chǎn)生了無窮的魅力.設(shè)A3是拋物線C:/=4y上兩個不同的點，以4（%,X）,5（%,%）為切點

的切線交于尸點.若弦A3過點b（0』），則下列說法正確的有（）

A.石泡=一4

B.若罰=2,則A點處的切線方程為％—y—1=。

C.存在點尸，使得R4.P3>0

D..MB面積的最小值為4

【答案】ABD

【解析】

【分析】聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理，可判定A正確；求得/=得到切點坐標得出

切線方程y=；X]X-進而可判定B正確；由直線AP的斜率為gx1,直線的的斜率為:々，得到

111

:玉九2=一1，可判定C錯誤；由過點5的切線方程為y=%石9，結(jié)合弦長公式，得到

3

S.=4（1+左2）5,可D正確.

y=kx+1

【詳解】對于A中，設(shè)直線A3:y=Ax+l,聯(lián)立方程組I1“，整理得7―4乙—4=0，

x=4y

再設(shè)4（外,%）,3（%2，%），則=44,西?％2=—4,所以A正確；

對于B中，由拋物線公=4丁.可得y=：入2,則/=；x,

則過點A的切線斜率為gx],且％=；#，即“占,3",

1,1/、11,

則切線方程為：y——x1=—xl（^x—,即y=5尤]%—1王，

若石=2時，則過點A的切線方程為：x-y-l=Qf所以B正確；

對于C中，由選項B可得：直線AP的斜率為,七，直線5P的斜率為！馬，

22

因為=z玉%2=—L所以APLE0,即P4，PB=0，所以C錯誤；

11

對于D中，由選項B可知，過點3的切線方程為y=]入2%9

聯(lián)立直線PA,PB的方程可得尸(2人,—1),kpF=—[kpF-kAB=-1,PFLAB,

所以SABP=；|A5Hp司，

2

\AB\=y/l+k\xx-X2\=J1+左2J(%1+々)2-4%.%2-J1+左2?6k2+16=4(1+攵2),

IPF\=7(2Z:-0)2+(-l-l)2=44k2+4=2y/1+k2,

3

則sABP=4(1+左2)5,當左=0時，％BP有最小值為4,所以D正確.

故選：ABD.

11.已知函數(shù)〃x)=(無+l)(e-尤—1),則下列說法正確的有

A.7(九)有唯一零點

B.7(%)無最大值

C."%)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增

D.%=0為7(%)的一個極小值點

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出函數(shù)的零點判斷A；利用導數(shù)探討函數(shù)/⑺在(2,+co)上的取值情況判斷B；利用導數(shù)探討單

調(diào)性及極值情況判斷CD.

【詳解】對于A,依題意，/(-1)=/(0)=0,即x=—1和％=0是函數(shù)〃x)=(x+l)(ex—%—1)的零

點，A錯誤；

對于B,當尤>0時，令〃(x)=e*—x—l,求導得a'(x)=e*-l>0,函數(shù)”x)在(0,+co)上遞增，當

%之2時，w(x)>e2-3>l,

而>=尤+1在(0,+。)上遞增，值域為(1,+8),

因此當工22時，/(x)>x+l,則/(%)無最大值，B正確；

對于C,/(x)=(x+2)eT-2x-2,

令g(x)=(x+2)e，-2x-2,求導得/(x)=(x+3)e*-2,

當x>0時，令7i(x)=(x+3)e*-2,則/(x)=(x+4)e*>0,即g'(x)=/z(x)在(0,+。)上遞增，

g'(x)>g，(o)=1>0,則_ra)=g(x)在(0,+向上遞增,r(x)>r(o)=o,

因此了(左)在(0,+。)上遞增，即〃%)在(1,+8)上單調(diào)遞增，C正確；

2尤+2

對于D,當一IvxvO時，(p(x\=ex-------，

v7x+2

2

求導得“('=6-食+2)2，顯然函數(shù)。(x)在(TO)上遞增，

而夕'(—1)=』—2<0,0'(0)=；>0,則存在％1,0),使得”(尤o)=O，

當x?Xo,O)時,”(尤)>0,函數(shù)0(x)在(％,0)上單調(diào)遞增,則0(%)<必0)=0,

v

即當尤e(九0,。)時，e-<^—則/'(x)=(X+2)e，—2x—2<0,又/'(0)=0,

x+2

因此x=0為八％)的一個極小值點，D正確.

故選：BCD

【點睛】方法點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：

①直接求零點：令/(x)=0,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點.

②零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間切上是連續(xù)不斷的曲線，且/(a)?/(》)〈(),還必須結(jié)

合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.

③利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的

值，就有幾個不同的零點.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.雅禮中學將5名學生志愿者分配到街舞社、戲劇社、魔術(shù)社及動漫社4個社團參加志愿活動，每名志愿

者只分配到1個社團、每個社團至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有種

【答案】240

【解析】

【分析】根據(jù)題意，先將5名學生志愿者分為4組，再將分好4組安排參加4個社團參加志愿活動，結(jié)

合分步計數(shù)原理，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：

①將5名學生志愿者分為4組，有C；=10種分組方法，

②將分好的4組安排參加4個社團參加志愿活動，有A：=24種情況，

貝IJ有10x24=240種分酉己方案.

故答案為：240.

13.已知圓G：犬+（y—2）2=1與圓C2:（x—2）2+（y—1尸=4相交于A,3兩點，則QC2-（QA+。⑻=

【答案】2

【解析】

【分析】易知兩圓公共弦AB所在的直線方程為2x-y+l=0,C1（0,2）,C2（2,l）,由點到直線距離公式可

,1

得向量GA在向量GC?方向上的投影為1=而，可得結(jié)果為2.

【詳解】由題意可知兩圓公共弦A3所在的直線方程為2x—y+l=0，G（0,2），G（2』），如下圖所示：

所以點G到直線2x—y+l=0的距離為4=言,|。］。2|=逐，

又易知，A3，所以向量GA在向量GG方向上的投影為d=有,

所以?GA=君義美=1,同理可得QC2GB=1,

所以CIG-（GA+G5）=2.

故答案為：2

14.某同學在學習和探索三角形相關(guān)知識時，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的性質(zhì)：將銳角三角形三條邊所對的外接圓

的三條圓?。踊。┭刂切蔚倪呥M行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點，且此交點為該三角形

的垂心(即三角形三條高線的交點).如圖，已知銳角cABC外接圓的半徑為2,且三條圓弧沿AABC三

邊翻折后交于點尸.若AB=3,則sin/QAC=；若AC:AB:5C=6:5:4,則

PA+PB+PC的值為.

【答案】①.—②.—##5.75

44

【解析】

【分析】第一空，由正弦定理求得sin/ACB=2,可得COS/AC5=Y7,利用三角形垂心性質(zhì)結(jié)合三

44

角形誘導公式推得sin/R4C=cos/AGB,即得答案；

第二空，^NCAB=e,NCBA=a,NACB=/3,由余弦定理求得它們的余弦值，然后由垂心性質(zhì)結(jié)合

正弦定理表示出PA+PB+PC=4(cos0+cos?+cos/3),即可求得答案.

【詳解】設(shè)外接圓半徑為R,則R=2，

AB

由正弦定理，可知------------=2R=4,

sin/ACBsin^ACB

3立,

即sin/ACB=—,由于ZACB是銳角，故cos/ACB

4丁

JT

又由題意可知尸為三角形ABC的垂心，即APL5C,故，R4C=——ZACB,

2

所以sin/P4c=cosZACB=—；

4

設(shè)ZCAB=aNCBA=a,ZACB=13,

jrjrjr

則NPAC=5—4,/PBA=5—e,/叢3=萬—o,

由于AC:AB:5C=6:5:4,不妨假設(shè)AC=6,A5=5,5C=4,

由余弦定理知cos"62+5、42/42+5-2」」+6-529

2x6x542x4x582x4x616

jrjr

設(shè)ADCE1尸為三角形的三條高，由于NEC3+NEBC=—,NPCD+NCPD=—,

22

故NEBC=NCPD,

貝ij得ZAPC=7i-ZCPD=7i-NEBC=兀一/ABC，

PCPAACAC

=27?=4

所以.(7i—.，兀/—sin/APC

smQ引叫2刊sin/ABC

45AB

=27?=4

sin^APBsin^ACB

31923

所以P4+P3+PC=4(cos6+cosa+cos￡)=4一——?——

48164

故答案為：；—

44

【點睛】本題重要考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，涉及到三角形垂心的性質(zhì)的應(yīng)用，解答時要能

靈活地結(jié)合垂心性質(zhì)尋找角之間的關(guān)系，應(yīng)用正余弦定理，解決問題.

四、解答題：本題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步驟.

15.人工智能正在改變我們的世界，由OpenAI開發(fā)的人工智能劃時代標志的ChatGPT能更好地理解人類

的意圖，并且可以更好地回答人類的問題，被人們稱為人類的第四次工業(yè)革命.它滲透人類社會的方方面

面，讓人類更高效地生活.現(xiàn)對130人的樣本使用ChatGPT對服務(wù)業(yè)勞動力市場的潛在影響進行調(diào)查，其

數(shù)據(jù)的統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：

ChatGPT應(yīng)服務(wù)業(yè)就業(yè)人數(shù)的合計

用的廣泛性減少增加

廣泛應(yīng)用601070

沒廣泛應(yīng)用402060

合計10030130

（1）根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，是否有99%的把握認為ChatGPT應(yīng)用的廣泛性與服務(wù)業(yè)就業(yè)

人數(shù)的增減有關(guān)?

（2）現(xiàn)從“服務(wù)業(yè)就業(yè)人數(shù)會減少”的100人中按分層隨機抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取3

人，記抽取的3人中有X人認為人工智能會在服務(wù)業(yè)中廣泛應(yīng)用，求X的分布列和均值.

n(ad-be)?

附：/,其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.01

X。2.7063.8416.635

9

【答案】（1）沒有（2）分布列見解析，-

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意求力2,并與臨界值對比判斷；

（2）根據(jù)分層抽樣求各層人數(shù)，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.

【小問1詳解】

零假設(shè)為Ho：ChatGPT對服務(wù)業(yè)就業(yè)人數(shù)的增減無關(guān).

+口信主用物短汨2130x（60x20—40x10）2

根據(jù)表中數(shù)據(jù)得Z-=---------------------—?6.603<6.635=x

70x60x100x30°n

所以根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，

沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認為無關(guān).

【小問2詳解】

由題意得，采用分層抽樣抽取出的5人中,

有一x5=3人認為人工智能會在服務(wù)業(yè)中廣泛應(yīng)用,

100

有一x5=2人認為人工智能不會在服務(wù)業(yè)中廣泛應(yīng)用,

100

則X的可能取值為1,2,3,

233

又尸（X=］）=罟c'c$3%=2）=罟cc'=3|，尸（X=3）磊c三1

所以X的分布列為

X123

331

P

10510

331Q

所以E（X）=1X3+2X2+3X—=M

V'105105

16.如圖，在四棱錐尸―ABCD中，/%，平面48。。,24=46=8。=2,")=。。,/46。=120.

(1)求證：平面？ACJ_平面尸8D；

(2)若點M為P3的中點，線段尸C上是否存在點N,使得直線與平面尸AC所成角的正弦值為

巫.若存在，求上的值；若不存在，請說明理由.

2PC

【答案】(1)證明見解析

PN1PN3

(2)存在,---———----=一

PC4?PC8

【解析】

【分析】(1)設(shè)AC的中點為。，根據(jù)題意證得6r)_LAC和證得3D工平面R4C,進而證

得平面PAC±平面PBD.

（2）以O(shè)COD所在的直線為x軸和y軸，建立空間直角坐標系，設(shè)PN=XPC（OW2<1）,分別求得

平面PAC和MN=fl岳——241，結(jié)合向量的夾角公式，列出方程，即可求解.

I22J

【小問1詳解】

設(shè)AC的中點為。，因為46=6。，所以

因為AD=CD,所以“>，AC,所以5。,。三點共線，所以

因為平面ABC。，5Du平面ABCD，所以5DLR1，

因為AC=A,Q4u平面PAC,ACu平面R4C,所以5D1平面PAC,

因為5。匚平面PBD,所以平面PAC_L平面尸8D.

【小問2詳解】

以O(shè)COD所在的直線為x軸和y軸，過。點作平行于AP的直線為z軸，建立空間直角坐標系，

如圖所示，則C（后,0,0）,網(wǎng)-若,0,2）,3（0,-1,0）,

（1）

因為M為PB的中點，所以I—2—24J，

設(shè)PN=2PC（O<2<1）,所以N（2后—君,0,2—2%）,

所以2W=（2岳一立，工,1—2%],

[22J

由（1）知8D1平面R4C,所以平面P4C的一個法向量為“=（0,1,0）,

設(shè)直線MV與平面P4C所成角為9,

?,?MN'n\1J2

則sin?=\cosMN,n\=-----；-L=——/=——，

11MN\\n\2.V1622-102+22

PN1PN36

即當——=一或一=—時，直線MN與平面R4c所成角的正弦值為注.

PC4PC82

ZA

17.如圖，圓C與無軸相切于點T（2,0）,與y軸正半軸相交于兩點（點M在點N的下方），且

\MN\=3.

（2）過點以任作一條直線與橢圓二+二=1相交于兩點A3,連接⑷V、BN,求證:

84

ZANM=ZBNM.

【答案】（I）（x—2『+卜—=學（II）見解析

【解析】

【詳解】分析：（1）設(shè)圓心坐標為（2,）,根據(jù)=3.可由勾股定理求出r,求得圓的方程.

（2）討論當斜率不存在時NAAZM=N3NM=0；當斜率存在時，設(shè)出直線丁=區(qū)+1方程，聯(lián)立橢圓方

4左6

—

程，利用韋達定理表不出為+%=....——~—rry，表不出左.、kBN,即可判定

J.十乙KJ.十乙K

ZANM二ZBNM.

'：MN=3,:.r2=f-^+22=—,r=-

詳解：⑴由題可知圓心的坐標為（2j）.

⑵42

.??圓C方程為：（x—2『+（y—

(2)由圓C方程可得M(0,l),N(0,4)

①當A3斜率不存在時，ZANM^ZBNM=0

②當A5斜率存在時，設(shè)A5直線方程為:y=Ax+L設(shè)4(%,%),5(9,%)

y=kx+l

22(1+2左2)*2+4依-6=0x,+x^=——=-----^—7

x「-iV71-l+2k1-1+2左2

I84

、24――匚1_3仁以1]

,>_%—4工%—4_-3(%+々)_Il+2k^)I\+2k~J_n

KAN+KBN=1==7=u

%x2xxx2o

-1+2公

^AN+^BN~°

綜上所述ZANM=ZBNM

點睛：本題考查了求圓標準方程，直線與橢圓的關(guān)系，通過韋達定理解決相交弦問題，也是高考的?？?/p>

點，屬于難點.

18.己知函數(shù)/(x)=xlnx-ax2_3MawR).

(1)若X=1是函數(shù)/(光)的一個極值點，求實數(shù)〃的值；

(2)若函數(shù)/(%)有兩個極值點石，龍2，其中石<々，

①求實數(shù)。的取值范圍；

②若不等式2axi+曲%>3上+1恒成立，求實數(shù)上的取值范圍.

【答案】18.-1

19.①②[1,y)

【解析】

【分析】(1)對函數(shù)求導，依題意可得/'(1)=0,解得。=-1,經(jīng)檢驗符合題意；

(2)①將函數(shù)/(%)有兩個極值點轉(zhuǎn)化為方程Inr-2依-2=0有兩個不同的正數(shù)根，再由函數(shù)與方程的思

想可知函數(shù)g(力=上二與函數(shù)y=2a的圖象在(0,+“)上有兩個不同交點，利用數(shù)形結(jié)合可得

②由兩極值點的關(guān)系通過構(gòu)造函數(shù)可將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)尸(f)=flnr—f+l—左(f—1—lw)<0

對任意的0<f<1恒成立，利用導數(shù)并對實數(shù)k的取值分類討論即可求得ke[1,+").

【小問1詳解】

易知/'(x)=lnx+l—2ar-3=lnx-2or—2,又x=l是函數(shù)〃尤)的一個極值點，

/'(1)=0,即-2a-2=0,r.a=-1.

此時/'(x)=lnx+2x-2,令丸(x)=hu+2x-2,/2'(x)=』+2>0,

X

：.f'(x)=h(x)在(0,+1)上單調(diào)遞增，且/''⑴=0,

當xe(0,l),/'(x)<0,當xe(l,+8),/'(x)>0,

.■./(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+。)上單調(diào)遞增，

所以％=1是/(%)的極小值點，即。=-1符合題意；

因此實數(shù)。的值為-1.

【小問2詳解】

①因為/'(%)=lux-2ax-2,且/(x)=xlnx-ta2-3x(aGR)有兩個極值點