遼寧省朝陽市2024屆數(shù)學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

遼寧省朝陽市2024屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試模擬試題

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)圓G：(x-l『+(y-l)2=9和圓。2：(x+lF+(y+2)2=4交于A,B兩點(diǎn),則線段A5所在直線的方程為。

A.2%+3y+4=0B.3%-2y+l=0

C.2x+3y-3=0D.3%—2y=0

2.已知函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)為/'(%),且滿足/(x)=2/(e)+lnx,則/'(e)=()

A.eB.-l

C.-g-1D.-e

3.若函數(shù)/(x)=cos(0%+0),xeR(其中0>0,0<。<不)的最小正周期是4/，且/⑼=乎，貝0()

1TC171

262”4

cnC乃

C.co=2.(p=-D?G=2,0=一

64

4.已知不等式In%-小>0只有一個(gè)整數(shù)解，則根的取值范圍是()

A./；ln2)B.gln2,；ln3)

C.—In2,—D.-ln3,-

[2ej3e

y>x

5.設(shè)變量％，V滿足約束條件：｛x+2y<2,則z=x—3y的最小值()

x>-2

A.-2B?-4

C.—6D?—8

6.若直線y=x+b與曲線y=有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為。

A.[-3,30]B.[-30,30]

C.僅,3a]D.[3,3碼

1

7.我們通常稱離心率是避二的橢圓為“黃金橢圓”.如圖，已知橢圓C:二+==1(?！?〉0),4，B],B2

2ab

分別為左、右、上、下頂點(diǎn)，￡,工分別為左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，下列條件中能使橢圓C為“黃金橢圓”的

是。

2

A.\AlFl\-\A2F2\=\FlF2\=90°

C.尸片_Lx軸，且尸0//4用D.四邊形4與44的一個(gè)內(nèi)角為60。

8.已知向量a=(3,0,T),則卜卜()

A.5B.6

C.7D.8

9.已知直線ox+2y—4=0與直線x+(a+l)y+2=0平行，則實(shí)數(shù)0值為()

A.1B.-2

2

C.1或-2D.----

3

10.雙曲線的離心率為逐，焦點(diǎn)到漸近線的距離為20，則雙曲線的焦距等于

A.2B.272

C.4D.4V3

11.在長(zhǎng)方體ABCO-ABCA中，N2A￡>=60°,ZC1DC=30°,則異面直線與所成角的正弦值是()

A.正B正

44

「屈V14

L?un?

44

12.已知匕，凡是橢圓C：4+或=1(。>6>0)的左，右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為也的直線

ab6

上，鳥為等腰三角形，/與心尸=120。，則。的離心率為

-IB.1

UD.1

34

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.圓C:(x—1)2+丁=1關(guān)于直線/：x—y+l=O對(duì)稱的圓的方程為

14.已知向量a=(2,m4),>=(-1,4,2),且則實(shí)數(shù)機(jī)=.

15.已知正數(shù)。、b滿足/+〃2=6,則以廬7的最大值為

16.在等比數(shù)列｛a*｝中，已知g=2,&=8,則a3aB+Q=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知圓M：x2+y2-4x-6y+12=0,過圓M外一點(diǎn)P(3,—l)作圓M的兩條切線Q4,PB,A,B

為切點(diǎn)，設(shè)。為圓河上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求|P0的取值范圍；

(2)求直線AB的方程.

4

18.(12分)在△被7中，角4B,C的對(duì)邊分別是"c,已知a=61=5,cosA=

(1)求角8的大?。?/p>

(2)求三角形上的面積.

19.（12分）在直三棱柱ABC-AiBiCi中，AB±AC,AB=AC=2,AiA=4,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)

(I)求異面直線AiB,AG所成角的余弦值；

(II)求直線ABi與平面GAD所成角的正弦值

20.(12分)已知函數(shù)70)=3/+內(nèi)+5在*=±2處有極值，且其圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,4).

(1)求Ax)的解析式；

(2)求Ax)在［0,3］的最值.

21.(12分)已知3(2,3),三點(diǎn)共線，其中凡是數(shù)列｛4｝中的第〃項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)；

⑵設(shè)包=2"an,求數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和T?.

22.(10分)如圖，正方形ADEF與梯形ABC。所在的平面互相垂直，ADYCD,ABCD,\AB\=\AD\=2,\CD\

=4,河為CE的中點(diǎn)

(1)求證：平面B￡)E_L平面BCE；

(2)求二面角以―OB—C的正切值

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】將兩圓的方程相減，即可求兩圓相交弦所在直線的方程.

【詳解】設(shè)4X,%),3(%,%)，

因?yàn)閳AG：(x-l『+("l)2=9①和圓G：a+i)?+(y+2)2=4②交于A,5兩點(diǎn)

所以由①-②得：T龍-6y-8=0,

即2x+3y+4=0,

故A(%1,%),5(%2,%)坐標(biāo)滿足方程2x+3y+4=0,

又過AB的直線唯一確定，

即直線A3的方程為2x+3y+4=0.

故選：A

2、C

【解析】求出導(dǎo)數(shù)后，把x=e代入，即可求解.

【詳解】因?yàn)椤ㄓ?=2-(e)+L所以=2〃e)+L解得/(e)=—,=一］

xee

故選：C

3、B

【解析】利用余弦型函數(shù)的周期公式可求得0的值，由/(0)=日結(jié)合。的取值范圍可求得。的值.

【詳解】由已知可得力=生=L，〃0)=cos0=變且0<0〈不，因此，夕=工.

4兀2''/"24

故選：B.

4、B

【解析】依據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合去求解即可解決.

Inx

【詳解】不等式Inx-小>0只有一個(gè)整數(shù)解，可化為——〉加只有一個(gè)整數(shù)解

x

人，/、Inx八、.「，/、1-lnx

令/z(x)=---(zx>0),貝！)/z(x)=——石-

xx

當(dāng)0<x<e時(shí)，h\x)>0,/z(x)單調(diào)遞增；當(dāng)X〉e時(shí)，〃(x)<0,加犬)單調(diào)遞減,

?1

111In—

則當(dāng)x=e時(shí)，/z(x)取最大值/z(e)=%=—,A(-)=—^=-e

eee

e

Inx

當(dāng)%>e時(shí)，以x)=」>0恒成立，/i(x)的草圖如下：

X

/z(2)=^=lnV2=ln^8,以3)=?=ln班=ln%，則丸(2)<〃(3)

In%〉機(jī)只有一個(gè)整數(shù)解，則版2)＜機(jī)＜〃(3),即megln2,；ln3

右

x

故不等式In.x—7。＞0只有一個(gè)整數(shù)解，則機(jī)的取值范圍是1ln2,1ln3

故選：B

5、D

【解析】如圖作出可行域，知可行域的頂點(diǎn)是A(-2,2)、B￡,?&C(-2,-2),

平移z=x—3y,當(dāng)z=x-3y經(jīng)過A時(shí),

z=x-3y的最小值為-8,故選D.

【解析】由題可知，曲線表示一個(gè)半圓，結(jié)合半圓的圖像和一次函數(shù)圖像即可求出5的取值范圍.

【詳解】由y=的_工2得x2+y2=9(”0),畫出圖像如圖：

網(wǎng)r-

當(dāng)直線4與半圓。相切時(shí)，直線與半圓。有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，拮=3,所以。=±3后，由圖可知，此時(shí)人＞0,

所以。=3夜，

當(dāng)直線4如圖過點(diǎn)A、8時(shí)，直線與半圓。剛好有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)b=y-x=3,

由圖可知，當(dāng)直線介于《與之間時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以3＜。＜3行.

故選：D.

7、B

【解析】先求出橢圓的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)于A,根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)求出離心率判斷A；對(duì)于B,根據(jù)勾股定理以

及離心率公式判斷B；根據(jù)左P。=念出結(jié)合斜率公式以及離心率公式判斷C；由四邊形A層44的一個(gè)內(nèi)角為60。,即

/男4為=60°即三角形4外4是等邊三角形，得到a他b，結(jié)合離心率公式判斷D.

22

【詳解】???橢圓C：A+==l(a〉6〉0)

ab

...4(—a,0),4(a,0),4(0,份,■(0,—圾耳(―c,0),F2(c,0)

91

對(duì)于A,若寓可|?內(nèi)闋=閨耳『，貝！l(a—c)2=(2c)2,—c=2c,.、=§,不滿足條件，故A不符合條件;

對(duì)于B,2月與4=90°,.?.|44『=|4娟2+陶&『

；?(a+C)2=c2+etc—a2=0

/+e—1=0,解得￡=避二1或e=(舍去)，故B符合條件;

22

h1

對(duì)于c,P耳_Lx軸，且。。//&用，???p(_g—)

a

'43]

￡

：?a_b,解得b=c

—c—u

***a2=b2+c2a=V2c

：.e=-=-^=—,不滿足題意，故C不符合條件；

aV2c2

對(duì)于D,四邊形4層4國的一個(gè)內(nèi)角為60。,即N4A層=60°

即三角形4與用是等邊三角形，。=辰

；.e2=l—衛(wèi)=1—』=2,解得.?.《=4!，故D不符合條件

a2333

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓離心率，涉及了勾股定理，斜率公式等的應(yīng)用，充分利用a2=》2+c2建立e的等式是

解題關(guān)鍵.

8、A

【解析】利用空間向量的模公式求解.

【詳解】因向量a=(3,0,T),

所以卜|=,32+0+(—4)2=5,

故選：A

9、A

【解析】根據(jù)兩直線平行的條件列方程，化簡(jiǎn)求得。，檢驗(yàn)后確定正確答案.

【詳解】由于直線^+2y—4=0與直線x+(a+l)y+2=0平行，

所以ax(a+1)=2x1,儲(chǔ)+。-2=0,a=l或a=-2,

當(dāng)a=-2時(shí)，兩直線方程都為x-y+2=0,即兩直線重合，所以。=-2不符合題意.

經(jīng)檢驗(yàn)可知a=l符合題意.

故選：A

10、D

【解析】不妨設(shè)雙曲線方程為，V,

/一中=1(a>0,fa>0)

則e=￡=若,即0=后，設(shè)焦點(diǎn)為(c,0),漸近線方程為y=

aa

則d=-==b=2^2,又=c?一a，=8,

<cr+b-c

解得a=2,c=2y/3.則焦距為4G.選：D

11、C

【解析】連接Bam,可得AQ/ABG，得到異面直線A。與。G所成角即為直線8G與。G所成角，設(shè)

NBGD=6,設(shè)cq=G，求得G。,CD,AD,AR的值，在中，利用余弦定理，即可求解.

【詳解】如圖所示，連接

在正方體ABCD-A瓦GR中，可得ADt/IBC,,

所以異面直線AD｝與OG所成角即為直線8G與DCX所成角，設(shè)NBCQ=0,

由在長(zhǎng)方體ABC。-A瓦G2中，ZD}AD=60°,ZCjDC=30°,

設(shè)CC[=g,可得￡D=20,CD=3,AZ)=1,AZ)]=2,

在直角△BCD中，可得BD=A/C02+BC2=y/CD2+AD~=M，

CD+BC；-BD?12+4-10出

在BC］。中，可得cos。=

2cp5cl2x26x2—4

,,13

所以sin2?=l—cos2，=，,

16

因?yàn)?e(0,￡],所以sin6=，m.

24

12、D

【解析】分析：先根據(jù)條件得PF2=2C,再利用正弦定理得a,c關(guān)系，即得離心率.

詳解：因ZXPK八為等腰三角形，NRF2P=120。,所以PF2=FE=2C,

由斜率為日得，

APtan/B4^=器,..sinNPA8=^,COSZPAF2=哈，

PFsin/PA￡

由正弦定理得京=

sinZAPF2

11

2cJ13A/132,1

所以丁=—產(chǎn)———a=4c,e=—,故選D.

a+csin（|-ZPAf；）7371211

2加5而

點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于七仇c的方程或不等式，再根據(jù)七4c的

關(guān)系消掉b得到。，c的關(guān)系式，而建立關(guān)于七仇c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)

的范圍等.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、(x+l)2+(y-2)2=l

【解析】求出圓心(1,0)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，從而求出對(duì)稱圓的方程.

【詳解】。:(x-1)2+/=1圓心為(1,0),半徑為1,設(shè)(1,0)關(guān)于/：x—y+l=。對(duì)稱點(diǎn)為(相,〃)，則

n

J/J/I_]

m-1解得：二,故對(duì)稱點(diǎn)為(—1,2),故圓C:(x—l『+y2=l關(guān)于直線/：%—y+l=。對(duì)稱的

m+1n=z

22

圓的方程為(x+iy+(y—2)2=1.

故答案為：(x+iy+(y—2)2=1

14、-8

【解析】利用向量平行的條件直接解出加.

【詳解】因?yàn)橄蛄縜=(2,私-4),/?=(-1,4,2),且。〃匕,

2m—4

所以一；=：=＜，解得加二一8.

-142

故答案為：-8.

15、5

【解析】直接利用均值不等式得到答案.

【詳解】/+/=6,對(duì)儲(chǔ)+4/-+/+4=§

2

當(dāng)b=J/+4即。==百時(shí)等號(hào)成立.

故答案為5

【點(diǎn)睛】本題考查了均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

16、32

【解析】根據(jù)已知求出公比即可求出答案.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為彘則/=胃=4,則/=2,

66

所以a3a5+/=%q-+a2q=a；q&+a^q=4x4+2x8=32.

故答案為：32.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)[717-1,^/17+1]

(2)x—4y+9=0

【解析】(1)求出尸M,就可以求尸。的范圍；

⑵使用待定系數(shù)法求出切線的方程，再求求切點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可以求切點(diǎn)的連線的方程.

【小問1詳解】

如下圖所示，因?yàn)閳AM的方程可化為(％-2)2+(y-3)2=1,

所以圓心M(2,3),半徑r=1,

且PM=J(2—3)2+(3+1『=V17，

所以|PQL=MT，|PQL=g+i

故|PQ|取值范圍為[J萬-1,后+1]

【小問2詳解】

可知切線K4,可中至少一條的斜率存在，設(shè)為3則此切線為y+l=/：(x-3)

即kx~y~3k—1=0,

|2左—3—3左—15

[

由圓心〃到此切線的距離等于半徑乙即^——F—~=19得上=-一

VvTT8

所以兩條切線的方程為y+l=-g（x-3）和％=3,

8

于是由聯(lián)立方程組得兩切點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,3）和（史竺）

"-3

171

所以&8=而—=-

17-

故直線的方程為y—3=工(x—3)即x—4y+9=0

18、（1）B=30°（2）S”期券

3

【解析】分析：（1）由同角三角函數(shù)關(guān)系先求sinA=《，由正弦定理可求sin5值，從而可求區(qū)的值；（2）先求得

sinC=sin（A+B）=sin（A+30）的值，代入三角函數(shù)面積公式即可得結(jié)果.

詳解：（1）由正弦定理a—6、h—5*cos.I—；

3

又u.h???B為銳角sinA=—,由正弦定理B=30。

（2）sinC=s譏（A+6）=s加（A+30）

373-4,

=sinAcos300+cosAsin300=

10

975-12

A3■-2a/>sinA■

點(diǎn)睛：以三角形和為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對(duì)三角函數(shù)及解三角形進(jìn)行考查是近

幾年高考考查的一類熱點(diǎn)問題，一般難度不大，但綜合性較強(qiáng).解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導(dǎo)公式以

及二倍角公一定要熟練掌握并靈活應(yīng)用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.

19、（I）-（II）生^

515

【解析】(I)以屈，AOAA]為X,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,可得A]B和AC1的坐標(biāo)，可得cos〈A]B,

AC1＞,可得答案；

—?一一〃?AG=0

(II)由(I)知，A,B=(2,0,-4),AD=(1，L0)，設(shè)平面C1AD的法向量為n=(x,y,z),由｛可

1n-AD=0

得港(1,-1,2)，設(shè)直線ABi與平面CiAD所成的角為。，則sin6=|cosV函，：＞|=里1,進(jìn)而可得答案

215

解：(D以標(biāo)，正，AA]X,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則可得B(2,0,0),Ai(0,0,4),Ci(0,2,4),D(1,1,0),

?*.ApB=(2,0,-4),AC7=(0，2,4),

------------164

叫＞=國X質(zhì)-飛

.,.異面直線A1B,AC1所成角的余弦值為：3

5

(II)由(I)知，A7B=(2,0,-4),7D=(L1，0)，

設(shè)平面CiAD的法向量為：=(x,y,z),

則可得｛""OKBpf2y+4Z=O,取x=l可得；=(1,-1,3,

n-AD=0[x+z=02

設(shè)直線ABi與平面CiAD所成的角為8,則sin0=|cos＜函，^＞1=—

15

二直線ABi與平面CiAD所成角的正弦值為：筆

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角；直線與平面所成的角

1a4

20、(1)f｛x)--x-4x+4(2)f(^)max=4,/(x)^=--

【解析】(D由尸(2)=。與，(0)=4解方程組即可得解；

(2)求導(dǎo)后得到函數(shù)/(尤)的單調(diào)區(qū)間與極值后，比較端點(diǎn)值即可得解.

【詳解】(1)求導(dǎo)得/'(乃=/+。，％=±2處有極值，.??廣(2)=。即。=-4,

又圖象過點(diǎn)(0,4),代入可得6=4.

1

??f(x)=~x-4%+4.

(2)由(1)知/(%)=/一4,令/'。)=。得]=±2

又x&[0,3],x=2.

列表如下：

X0(0,2)2(2,3)3

/'(x)—0+—

4

/(x)4X極小值-1/1

4

.?.在xe[0,3]時(shí)，/(x)max=4,/(x)^=-j.

【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

21、(1)an=2n-l

(2)7；=6+2"+i(2〃-3)

【解析】⑴由三點(diǎn)共線可知斜率相等，即可得出答案；

⑵由題可得％=2"%=(2〃—1)2,利用錯(cuò)位相減法即可求出答案.

【