人教A版選擇性必修時等比數(shù)列的概念與通項公式課件

4.3等比數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念第一課時等比數(shù)列的概念與通項公式學習目標1.通過實例,理解等比數(shù)列和等比中項的概念,達成數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).2.探索并掌握等比數(shù)列的通項公式,能運用通項公式解決簡單的問題,發(fā)展邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng).3.會判斷和證明一個數(shù)列是等比數(shù)列,提升邏輯推理的核心素養(yǎng).知識梳理·自主探究師生互動·合作探究知識梳理·自主探究我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》中有一個有趣的問題叫“出門望九堤”:“今有出門望九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雛,雛有九毛,毛有九色,問各有幾何?”[問題1]試寫出“出門望九堤”問題構成的數(shù)列.提示:構成數(shù)列:9,92,93,94,95,96,97,98.[問題2]根據(jù)數(shù)列相鄰兩項的關系,上述數(shù)列有什么特點?提示:數(shù)列中,從第2項起,每一項與前一項的比都是9.知識探究1.等比數(shù)列的定義一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比都等于

.

,那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的

,通常用字母q表示(顯然q≠0).[思考1]等比數(shù)列中能有0項嗎?提示:不能.[思考2]常數(shù)列是否一定是等比數(shù)列?提示:常數(shù)列都是等差數(shù)列,但卻不一定是等比數(shù)列.如常數(shù)列是各項都為0的數(shù)列,它就不是等比數(shù)列;當常數(shù)列各項不為0時,是等比數(shù)列,對于含字母的數(shù)列應注意討論.同一個常數(shù)公比A.1個 B.2個

C.3個 D.4個解析:①中,數(shù)列不符合等比數(shù)列的定義,故不是等比數(shù)列;②中,前3項是等比數(shù)列,多于3項時,無法判定,故不能判定是等比數(shù)列;③中,當a=0時,不是等比數(shù)列;④中,數(shù)列符合等比數(shù)列的定義,是等比數(shù)列.故選A.A[問題3]如果2,a,4成等差數(shù)列,如何求a?那如果是2,a,4成等比數(shù)列,如何求a?答案唯一嗎?2.等比中項如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成

,那么G叫做a與b的等比中項.此時,G2=ab.等比數(shù)列[做一做2]2和8的等比中項為(

)A.-4 B.4C.5 D.-4或4D[問題4](1)如何利用等比數(shù)列的定義歸納出等比數(shù)列的通項公式?(2)在等比數(shù)列{an}中,任意兩項an與am有怎樣的關系?能否用它們求公比?(其中n>m,m,n∈N*).提示:(2)an=amqn-m,能用它們求公比.(3)在等比數(shù)列{an}的通項公式中,an與n的關系與以前所學過的什么函數(shù)有關?3.等比數(shù)列的通項公式(1)首項為a1,公比為q(q≠0)的等比數(shù)列{an}的通項公式為an=

.a1qn-1amqn-m師生互動·合作探究[例1]在等比數(shù)列{an}中.(1)a1=1,a4=8,求an;探究點一等比數(shù)列的通項公式解:(1)因為a4=a1q3,所以8=q3,所以q=2,所以an=a1qn-1=2n-1.(2)an=625,n=4,q=5,求a1.方法總結與求等差數(shù)列的通項公式的基本量一樣,求等比數(shù)列的通項公式的基本量也常運用方程的思想和方法.從方程的觀點看等比數(shù)列的通項公式an=a1·qn-1(a1q≠0)中包含了四個量,已知其中的三個量,可以求得另一個量.求解時,要注意應用q≠0驗證求得的結果.[針對訓練]在等比數(shù)列{an}中,(1)a4=2,a7=8,求an;[針對訓練]在等比數(shù)列{an}中,(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.[例2]有四個數(shù),前三個數(shù)成等差數(shù)列,后三個數(shù)成等比數(shù)列,第一個數(shù)與第四個數(shù)之和為16,第二個數(shù)與第三個數(shù)之和為12,求這四個數(shù).探究點二等比中項及其應用變式探究:將本例條件“第一個數(shù)與第四個數(shù)的和為16”改為“前三個數(shù)的和為48”,將“第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12”改為“后三個數(shù)的積為8000”,其他條件不變,求這四個數(shù).方法總結(2)在一個等比數(shù)列中,從第二項起,每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項和后一項的等比中項.(4)四個數(shù)成等比數(shù)列,不能確定它們的符號相同時,可設為a,aq,aq2,aq3.[針對訓練]有四個實數(shù),前三個數(shù)成等比數(shù)列,且它們的乘積為216,后三個數(shù)成等差數(shù)列,且它們之和為12,求這四個數(shù).探究點三等比數(shù)列的判定與證明方法總結(3)通項公式法:若數(shù)列{an}的通項公式為an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.備用例題[例1]若等比數(shù)列{an}的前三項分別為5,-15,45,求a5.[例2]設四個實數(shù)依次成等比數(shù)列,其積為210,中間兩項的和是4,則這四個數(shù)為多少?當堂檢測C1.數(shù)列{an}中,如果an=32-n(n=1,2,3,…),那么這個數(shù)列是(

)A.公比為2的等比數(shù)列B.公差為3的等差數(shù)列C.首項為3的等比數(shù)列D.首項為3的等差數(shù)列C答案:±1解析:4,a,b,25成等