2023-2024學(xué)年河南省南陽(yáng)市高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年河南省南陽(yáng)市高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)f(x)=lA.1x B.1x+sinπ32.Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1+aA.43 B.44 C.45 D.463.函數(shù)y=f(x)A.0<f′(4)<f′4.在一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1)，(?x2,y2)，A.?1 B.1 C.?125.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a2+A.22 B.±22 6.若正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S8?A.22 B.24 C.26 D.287.剛考入大學(xué)的小明準(zhǔn)備向銀行貸款a元購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)筆記本電腦，然后上學(xué)的時(shí)候通過(guò)勤工儉學(xué)來(lái)分期還款.小明與銀行約定：每個(gè)月月末還一次款，分12次還清所有的欠款，且每個(gè)月還款的錢(qián)數(shù)都相等，貸款的月利率為t.則小明每個(gè)月所要還款的錢(qián)數(shù)為元．(

)A.a(1+t)12 B.a8.“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二(除以3余2)，五五數(shù)之剩三(除以5余3)，七七數(shù)之剩二(除以7余2)，問(wèn)物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題：已知正整數(shù)p(p>1)滿足二二數(shù)之剩一，三三數(shù)之剩一，將符合條件的所有正整數(shù)p按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，記數(shù)列A.16 B.22 C.23 D.25二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且anA.數(shù)列{an2}是等比數(shù)列 B.數(shù)列{an+1?an10.小明研究函數(shù)f(x)的圖象與導(dǎo)函數(shù)，經(jīng)查閱資料，發(fā)現(xiàn)f(x)具有下面的性質(zhì)：若函數(shù)y=f(x)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f′(xA.f(x)=2x+1 11.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，數(shù)列{bn}A.a3<b3 B.a5>b5

C.若a12.設(shè)數(shù)列{an}(n∈N*)為正項(xiàng)等比數(shù)列，q為公比，Tn為前nA.0<q<1 B.a17=1

C.T19三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知數(shù)列{an}的前5項(xiàng)依次為13,12,314.已知f(x)=12x15.垃圾分類是保護(hù)環(huán)境，改善人居環(huán)境、促進(jìn)城市精細(xì)化管理、保障可持續(xù)發(fā)展的重要舉措.某小區(qū)為了倡導(dǎo)居民對(duì)生活垃圾進(jìn)行分類，對(duì)垃圾分類后處理垃圾x(千克)所需的費(fèi)用y(角)的情況作了調(diào)研，并統(tǒng)計(jì)得到表中幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，同時(shí)用最小二乘法得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.62x2345y22.33.4m①變量x，y之間呈正相關(guān)關(guān)系；

②可以預(yù)測(cè)當(dāng)x=10時(shí)，y的值為6.88；

③表中m的值為3.9；

④樣本中心點(diǎn)為(16.已知數(shù)列{an}滿足an+2+(?1)四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知曲線C：y=x3+x?2．

(1)求與直線y=4x?118.(本小題12分)

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2?20n．

(1)求證：{19.(本小題12分)

已知公差不為0的等差數(shù)列{an}，前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，_____．

現(xiàn)有條件：①S5=25；②a8=a2a3；③a5=3a20.(本小題12分)

為了了解高中學(xué)生課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間x(分鐘/每天)和他們的數(shù)學(xué)成績(jī)y(分)的關(guān)系，某實(shí)驗(yàn)小組做了調(diào)查，得到一些數(shù)據(jù)(表一)．

表一編號(hào)12345學(xué)習(xí)時(shí)間x3040506070數(shù)學(xué)成績(jī)y65788599108(1)經(jīng)分析，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)求出線性回歸方程，并由此預(yù)測(cè)每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間為100分鐘時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī).(參考數(shù)據(jù)：i=15xiyi=22820,i=15yi=435,x沒(méi)有進(jìn)步有進(jìn)步合計(jì)參與周末自主學(xué)習(xí)35130165末參與周末自主學(xué)習(xí)253055合計(jì)60160220附：bP0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82821.(本小題12分)

設(shè)函數(shù)f(x)=x2，過(guò)點(diǎn)C1(1,0)作x軸的垂線l1交函數(shù)f(x)圖象于點(diǎn)A1，以A1為切點(diǎn)作函數(shù)f(x)圖象的切線交x軸于點(diǎn)C2，再過(guò)C2作x軸的垂線l2交函數(shù)f(x)圖象于點(diǎn)A2，…，以此類推得點(diǎn)An，記An的橫坐標(biāo)為an22.(本小題12分)

在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴(kuò)充”.如數(shù)列1，2第1次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1，3，2，第2次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1，4，3，5，2.設(shè)數(shù)列a，b，c經(jīng)過(guò)第n次“和擴(kuò)充”后所得數(shù)列的項(xiàng)數(shù)記為Pn，所有項(xiàng)的和記為Sn．

(1)求P1、P2；

(2)若Pn≥2024，求n的最小值；

(3)是否存在實(shí)數(shù)a、b答案和解析1.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=lnx+cosπ3，

2.【答案】C

【解析】解：a1+a2+a3=6，a7+a9=16，

則3a2=6，2a83.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，f′(4)的幾何意義為y=f(x)在點(diǎn)B處切線的斜率，

f′(5)的幾何意義為y=f(x)在點(diǎn)A處切線的斜率，

f(5)4.【答案】A

【解析】解：在一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)(5.【答案】C

【解析】解：∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a2+a4+a6=8,1a2+1a4+1a6=2，

∴6.【答案】B

【解析】解：由題意可知，公比q>0，

S4，S8?S4，S12成等比數(shù)列，

則S4(S12?S8)=(S8?S4)27.【答案】D

【解析】解：根據(jù)等額本息還款法得，第一個(gè)月末所欠銀行貸款為：a1=a(1+t)?x，

第二個(gè)月末所欠銀行貸款數(shù)為：a2=a1(1+t)?x=a(1+t)2?x(18.【答案】B

【解析】解：因?yàn)槎?shù)之剩一的數(shù)為2m+1的形式，三三數(shù)之剩一的數(shù)為3k+1的形式，其中m∈N，n∈N，

則數(shù)列{an}的項(xiàng)即為以上兩類數(shù)的公共項(xiàng)，即為6n+1的形式，n∈N，

即an=6n+1，9.【答案】AC【解析】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，

因?yàn)閍n>0(n∈N*)，所以q>0，

對(duì)于A，an+12an2=(an+1an)2=q2，所以數(shù)列{an2}是等比數(shù)列，故A正確；

對(duì)于B，當(dāng)10.【答案】CD【解析】解：對(duì)于A，f(x)=2x+1，其導(dǎo)數(shù)f′(x)=2，則有f″(x)=0，不符合“凹函數(shù)”的定義，故A不符合題意；

對(duì)于B，f(x)=x3，定義域?yàn)镽，其導(dǎo)數(shù)f′(x)=3x2，則f″(x)=6x，

在定義域R上f″(x)>011.【答案】BC【解析】解：等差數(shù)列{an}的公差d≠0，數(shù)列{bn}為正項(xiàng)等比數(shù)列，設(shè)公比為q，q>0，q≠1，

設(shè)a1=b1=t，t>0，由a9=b9，可得t+8d=tq8，

即有d=t8(q8?1)，

由a3?b3=t+2d?tq2=t?tq2+t4(q8?1)=t4(3+q8?4q2)，

設(shè)f(q)=3+q8?4q2，可得f′(q)=8q7?8q，

當(dāng)q>1時(shí)，f′(q)>0，f(q)遞增；當(dāng)012.【答案】AB【解析】解：因?yàn)閧an}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，Tn是其前n項(xiàng)的積，

所以q>0，Tn>0，

由T16=T17可得a17=1，故B正確；

由T15<T16=a16×T15，可得a16>1，

由T17>T18=a18×T17，可得a18<1，

因?yàn)閧an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，所以a18=q2a16?q2=a18a16<1，則0<q<1，故A正確；

因?yàn)門(mén)19=T17?a18?a19=T17?a17?a17?(q13.【答案】nn【解析】解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}的前5項(xiàng)依次為13,12,35,23,57，即13，24，35，414.【答案】?2023【解析】解：因?yàn)閒(x)=12x2+2xf′(2024)?2024lnx，

所以f15.【答案】①②【解析】解：對(duì)于①中，由y關(guān)于x的線性回歸方程為y?=0.62x+0.68，可得0.62>0，

所以變量x，y之間呈正相關(guān)關(guān)系，所以①正確；

對(duì)于②中，由y關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.62x+0.68，

當(dāng)x=10時(shí)，可得y?=0.62×10+0.68=6.88，所以②正確；

對(duì)于③中，由表格中的數(shù)據(jù)，可得x?=14(2+3+4+5)=72，y?=16.【答案】1

【解析】解：因?yàn)閍n+2+(?1)nan=2n?1，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an+2?an=2n?1，

即a3?a1=1，a5?a3=5，

a7?a5=917.【答案】解：(1)由y=x3+x?2，可得y′=3x2+1，

令3x2+1=4，

解得x=±1，

當(dāng)x=1時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，

則切線方程為y=4(x?1【解析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合兩直線平行的條件，可得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線方程；

(2)由18.【答案】(1)證明：因?yàn)镾n=n2?20n，

所以n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?1=n2?20n?(n?1)2+20(n?1)=2n?21，

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=?【解析】(1)結(jié)合和與項(xiàng)的遞推關(guān)系先求出an，然后結(jié)合等差數(shù)列的定義即可證明；

(2)19.【答案】解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，

選條件①：由S5=25可得，S5=5a1+5×42d=25，

又a1=1，解得d=2，

所以an=2n?1；

選條件②：由a8=a2a3可得，a1+7d=(a【解析】(1)結(jié)合所選條件，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式即可求解；

(2)先求出20.【答案】解：(1)x?=30+40+50+60+705=50，

y?=4355=87，又xi(i=1,2,3,…,5)的方差為15i=15【解析】(1)先求出平均數(shù)，利用最小二乘法求出回歸方程，代入數(shù)據(jù)即可預(yù)測(cè)；

(2)根據(jù)題意計(jì)算出χ221.【答案】(I)證明：∵函數(shù)f(x)=x2，∴f′(x)=2x，

∴以點(diǎn)An?1(an?1,an?12)為切點(diǎn)的切線方程為y?an?12=2an?1(x【解析】(I)求導(dǎo)函數(shù)，可得以點(diǎn)An?1(an?1,an?12)為切點(diǎn)的切線方程，從而可得數(shù)列{an}22.【答案】解：(1)原數(shù)列有3項(xiàng)，經(jīng)第1次拓展后的項(xiàng)數(shù)P1=3+2=5；

經(jīng)第2次拓展后的項(xiàng)數(shù)P2=5+4=9