蒙特卡洛方法

蒙特卡洛（MonteCarlo）模擬方法這一方法源于美國在第二次世界大戰(zhàn)研制原子彈的"曼哈頓計(jì)劃"。MonteCarlo方法創(chuàng)始人主要是這四位：StanislawMarcinUlam,EnricoFermi,JohnvonNeumann（學(xué)計(jì)算機(jī)的肯定都認(rèn)識(shí)這個(gè)牛人吧）和NicholasMetropolis。二十世紀(jì)最偉大的10大算法之一Monte-Carlo,Monaco數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的MonteCarlo—來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。但是——蒙特卡洛模擬方法并不是什么神秘的東西，只是基于概率論而生的一種算法。其中的大部分內(nèi)容概率論都已經(jīng)涉及。所謂蒙特卡洛方法，簡(jiǎn)單地說就是將問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)概率問題.并用計(jì)算機(jī)模擬產(chǎn)生一堆隨機(jī)數(shù)據(jù)，之后就是對(duì)隨機(jī)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)工作了！蒙特卡洛模擬方法=建立概率模型+計(jì)算機(jī)模擬+數(shù)理統(tǒng)計(jì)實(shí)例分析1mP=Π/4應(yīng)用蒙特卡洛模擬方法計(jì)算Π值：P=圓的面積/正方形的面積問題：1.建立概率模型：2.用計(jì)算機(jī)模擬，產(chǎn)生0—1之間的二維的隨機(jī)數(shù)3.對(duì)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，算出π值，并計(jì)算誤差這就是一個(gè)完整的蒙特卡洛分析過程。蒙特卡洛模擬方法與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的區(qū)別在于：1.蒙特卡洛需要建一個(gè)概率模型，即將問題轉(zhuǎn)化為概率問題2.用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)之后的工作大部分就是對(duì)隨機(jī)數(shù)的統(tǒng)計(jì)分析即我們所學(xué)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)了！該方法為我們提供了一個(gè)看待世界的新思路，即一個(gè)不具有隨機(jī)性的事件也可以通過一定的方法用隨機(jī)事件來模擬或逼近意義該方法巧妙的“逃避”了數(shù)學(xué)上的困難，不管多復(fù)雜，只要模擬的次數(shù)足夠多，就可得到一個(gè)比較精確可靠度指標(biāo)。這種看似簡(jiǎn)單的方法在許多領(lǐng)域卻是不可或缺的。并且隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展會(huì)滲透到更多的學(xué)科。概率研究的是問題表面的性質(zhì)，跳開了問題的本質(zhì)，因此簡(jiǎn)單了很多。下面是一些具體的論述1.根據(jù)問題構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單、適用的概率模型或隨機(jī)模型。使問題的解對(duì)應(yīng)于該模型中隨機(jī)變量的某些特征（如概率、均值和方差等），所構(gòu)造的模型在主要特征參量方面要與實(shí)際問題或系統(tǒng)相一致建立模型要具體問題具體分析模擬：建立一個(gè)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，這個(gè)模型包含所研究系統(tǒng)的主要特點(diǎn)．通過對(duì)這個(gè)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪\(yùn)行，獲得所要研究系統(tǒng)的必要信息現(xiàn)代的數(shù)學(xué)模擬都是在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的，稱為計(jì)算機(jī)模擬。物理模擬通?；ㄙM(fèi)較大、周期較長(zhǎng)，甚至無法進(jìn)行接下來，跳過第二步利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的過程，直接進(jìn)行對(duì)隨機(jī)數(shù)（樣本）的統(tǒng)計(jì)分析。蒙特卡洛模擬的理論基礎(chǔ)與模擬結(jié)果的誤差大數(shù)定律中心極限定理對(duì)此，我們只對(duì)更強(qiáng)一些的中心極限定理展開討論，將概率論中所學(xué)的理論“機(jī)械”的移植過去就行！中心極限定理滿足（1）：獨(dú)立同分布（2）這表明，不等式近似地以概率1

成立。上式也表明，收斂到

的階為O(n-1/2)。通常，蒙特卡羅方法的誤差ε定義為或者是增大n

，或者是減小方差

2要減小誤差要把精度提高一個(gè)數(shù)量級(jí)，試驗(yàn)次數(shù)n需增加兩個(gè)數(shù)量級(jí)。因此，單純?cè)龃髇不是一個(gè)有效的辦法。O(n-1/2)這就是所謂的“方差縮減”技巧如減小估計(jì)的均方差

，比如降低一半，那誤差就減小一半，這相當(dāng)于n增大四倍的效果。Buffun投針中針長(zhǎng)對(duì)模擬精度的影響針的長(zhǎng)度增加能夠提高圓周率π估計(jì)精度.因此在應(yīng)用蒙特卡洛方法時(shí)，適當(dāng)設(shè)定模型可減小方差能夠使模擬的效率明顯提高.方差縮減實(shí)例：小結(jié)：蒙特卡洛方法的特點(diǎn)MonteCarlo方法原理極其簡(jiǎn)單（相對(duì)）——通過大量的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和簡(jiǎn)單計(jì)算實(shí)現(xiàn)該方法。2）收斂速度與問題維數(shù)無關(guān)（多重積分）——MonteCarl