2024年高考數(shù)學二輪復習 平面向量小題全歸類（精講精練）（解析版）

平面向量小題全歸類

【命題規(guī)律】

平面向量的數(shù)量積、模、夾角是高考考查的重點、熱點，往往以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).常常以

平面圖形為載體，考查數(shù)量積、夾角、垂直的條件等問題；也易同平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何、不等

式等知識相結合，以工具的形式出現(xiàn).近幾年高考主要考查平面向量的坐標運算、模的最值、夾角等問題,

與三角函數(shù)、解析幾何密切相連，難度為中等.

【核心考點目錄】

核心考點一：平面向量基本定理及其應用

核心考點二：平面向量共線的充要條件及其應用

核心考點三：平面向量的數(shù)量積

核心考點四：平面向量的模與夾角

核心考點五：等和線問題

核心考點六：極化恒等式

核心考點七：矩形大法

核心考點八：平面向量范圍與最值問題

【真題回歸】

I.（2022?全國?高考真題）已知向量￡=（3,4）[=（1,0）,工=￡+員，若＜￡,"＞=＜瓦）＞，則/=（）

A.-6B.—5C.5D.6

【答案】c

9+3/+163+,

【解析】己=（3+f,4）,cos（扇3=cos（仇c）,即5同二百，解得’=5,

故選：C

2.（2022?全國?高考真題）在中，點。在邊N8上，BD=2DA.記0=流麗=河，則而=（）

A.3in—2nB.-2m+3nC.3玩+2元D.2成+3力

【答案】B

【解析】因為點。在邊N3上，BD=2D4,所以麗=2而，即函-通=2@-函），

所以而=3函-2田=3^-2云=-2玩+3力.

故選：B.

3.（2022?北京?高考真題）在“3C中，AC=3,BC=4,ZC=90°.尸為。BC所在平面內的動點，且

PC=1,則莎.麗的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【解析】依題意如圖建立平面直角坐標系，則C（0,0）,/（3,0）,8（0,4）,

設尸（cosasin。）,0G[0,2句,

所以尸4=（3-cos。,一sing）,尸5=（-cos3,4—sing）,

所以P4?PB=（一cos9）x（3-cos6）+（4-sin夕）x（-sin6）

=cos*20-3cos-4sin6^+sin20

=l-3cos。一4sin夕

?（\34

=1-5sin（8+°）,其中sin0=《，cos^=y,

因為一lVsin（O+夕）Wl,所以-4Vl-5sin（e+0）W6,即萬?麗e[-4,6]；

故選：D

4.（2022?天津?高考真題）在“3C中，CA=a,CB=b,。是/C中點，荏=2赤，試用"B表示瓦為

,若羽_L反，則//C8的最大值為

【答案】3-1-371

226

【解析】方法一:

A

__k?__1k3_]___________

DE=CE-CD^-b--a,AB=CB-CA=b-a,ABIDE(3b-a)-(b-a)=0,

獷+/=4幣=3/"重=儡=，'那=?'當且僅當同=網,時取等號’而

77

0</ACB<71,所以NACBE.(0,—].

6

3f1f71

故答案為：-b--a?—.

226

方法二：如圖所示，建立坐標系：

￡(0,0),5(1,0),C(3,0),A(x,y),DE==(l-x-y),

方，方n(芝3)(x-l)+Y=0n(x+ir+/=4,所以點A的軌跡是以M(-l,0)為圓心，以「=2為半徑的

r2171

圓，當且僅當C4與OM相切時，NC最大,止匕時$111。===：=；；,/。=：.

CM426

3-1-71

故答案為：-b--a；—.

226

【方法技巧與總結】

1、平面向量的應用考向主要是平面幾何問題，往往涉及角和距離，轉化成平面向量的夾角、模的問題,

總的思路有：

(1)坐標法：把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，則有關點與向量就可以用坐標表示，這樣就能進行相

應的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決.

(2)基向量法：適當選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關系構造關于未知量的方程

進行求解.

2、平面向量中有關范圍最值問題的求解通常有兩種思路：

①“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形

的特征直接進行判斷；

②“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程

有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關知識來解決.

【核心考點】

核心考點一：平面向量基本定理及其應用

【規(guī)律方法】

1、應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)

乘運算.

2、用基底表示某個向量的基本方法：（1）觀察各向量的位置；（2）尋找相應的三角形或多邊形；（3）

運用法則找關系；（4）化簡結果.

【典型例題】

例1.（2022?全國?模擬預測）如圖，在中，點。是邊N2上一點且E是邊2C的中點，

BC\

直線NE和直線CL（交于點尸，若AF是N48C的平分線，則局=（）

【答案】C

【解析】因為8尸是N/8C的平分線，所以存在一個實數(shù)2使得8尸=力（根據(jù)角平分線的條

件，選擇合適的基底）

—.[^22屜]42%

因為E是邊的中點，所以8尸=2=+『，又點/,E,尸共線，所以后i+用=1①.（三點共線

HM

的應用：OA=WB+^OC（4,〃為實數(shù)），若/,B,C三點共線，則文+〃=1）

_\BD氤32A,

因為AD=2N。，所以瓦J，又點C,F,。共線，所以赤j+后月=1②，聯(lián)立①②，得

MR

2網|5C|

故選：C.

例2.(2022?全國?模擬預測)如圖，在平行四邊形/BCD中，點E在線段BD上，且麗=加詼(meR),

^AC=AAE+juAD(A,〃eR)且彳+2〃=0,貝"機=()

【答案】B

【解析】方法1：在平行四邊形/BCD中，因為旃=加無，所以加-左=%(運-而卜

-----1----?m-----

所以4E=------AB+AD,

1+m1+機

^-9AB=DC=AC-AD^

：.AE

AC=(1+m)AE+(1—m)AD,

X'-9AC=AAE+jLiAD,

2=1+m,4=1-加，(平面向量基本定理的應用)

又,.?A+2〃=0,

/.l+m+2(l-m)=0,解得加=3,

故選：B.

方法2：如圖，以/為坐標原點，45所在直線為工軸建立平面直角坐標系,

斗DC

B%

則4(0,0),設3(見0),D也c),

'■'HB^DC則C（a+6,c）,

mb+a

x=---------

a-x=m^x-b）m+1

又：麗=機瓦，設E（xj）,則<

-y=m^y—c）me

y=~

m+l

Jmb+ame）

H即n：E\——一7

m+lm+\J

.?.荏/或叱AC^（a+b,c},而=（6,c）,

vm+lm+lJ'7、

又=京+//赤，4+2〃=0

/.AC=-2juAE+JLIAD

/,、_（mb+ame?、

...（a+b,c）=-2〃------——-+〃（b,（。1）

Vm+lm+\）

.+6=2〃（a+叫心①

.Im+l

c=^=+"②

、m+l

m+1

由②得〃=”，將其代入①得a=3,

故選：B.

例3.（2022?北京?牛欄山一中高三期中）在平行四邊形Z3CQ中，E是邊。。的中點,AE與BD交于點

F.若AB=a，AD=b?貝U/T7=（）

i3-?r1r

A.-a+-bB.-a+-bC.-a+-bD.-a+-b

44334433

【答案】D

【解析】AE=AD+DE=AD+^AB.

設方=2荏（0<%<1）,

則麗=萬一方=4益+；可_而=疝5+（11］在，

又而=石-方，且屬尸，。三點共線，則正，麗共線，

即3//GR,使得BF="BD,即44D+1~—1IAB=從AD—piAB,

4=〃A=-

又在，而不共線，則有,2,，解得，3

----1=-u2

12尸N=一

3

―?2—?2(—?1—1―?2—?1一2-

所以，AF=-AE=-\AD+-AB\=-AB+-AD=-a+-b.

33(2)3333

故選：D.

例4.（2022?廣東廣州?高三期中）如圖，在平行四邊形/BCD中，分別為上的點，且

AM=^AB,AN=^AD,連接交于尸點，若刀=4就，則幾的值為（）

8

A.-B.D.

57cn15

【答案】C

[解析]T^MP=kMN

則萬=瘋+礪=[方+癡而

___—>?2—?4—?

=AN-AM=-AD——AB

35

—?4—?4—、2k一4z、一?

^AP=-AB+k-AB\=^AD+-(i-k)AB

濘-5

顯然%=赤+方

因為萬=4%

2k—?4—?/—?—?

所以有彳力。+1(1—左=

^\]^-AD+^(l-k)AB=AAD+AAB

2k,

——=Z

3

根據(jù)向量的性質可知

4

](1-￡)=2

76

k=——

11

解得

一

11

故選：c

例5.（2022?安徽模擬預測（文））已知平面向量加，礪滿足04=08=2,OAOB=-2,

點。滿足方=2而，￡為“的外心，則麗.麗的值為（）

881616

A.—B.-C.-----D.—

3333

【答案】A

|LU?|ULU|LUUXI?LU?>LUli

【解析】=4=2,A0A-0B^\pA\pB\cosZAOB=4cosZAOB--2,

cosZAOB=--,:.AA0B=—,

23

以。為原點，OA,垂直于CM所在直線為x,y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，

則。（0,0）,/（2,0）,?（-l,V3）,設C（x,0）

又加=2歷，知（2-x,0）=2（x,0）,解得x=g,.?.O?,。［

1TT

又E為A/103的外心，Z.AOE=—Z.A0B=—,OE=EA

23

AAOE=ZEAO=ZOEA=|,.1A/OE為等邊三角形，￡0,6)

例6.（多選題）（2022?湖北?華中師大一附中高三期中）如圖，中，BD=^-BC,AE^-AC,AD與

32

BE交于點尸，則下列說法正確的是（）

A

BC

D

—?1—>2—?

A.AD=-AB+-ACB.BF=-JE

332

C.S^BFD-^^AFE=1：3D.AF+2BF+CF=0

【答案】BCD

【解析】為了判斷下面的有關結論，先引入三點共線向量形式的充要條件,

設4瓦。三點共線，。為線外一點，則礪=加反+(1。宓，

即次與反前系數(shù)和為1，

證：???4瓦C三點共線，

/.AB=mAC，

:.0B-0A=m{0C-0A),

OB=mOC+(\-m)OA.

,-?-?.I—?.I/—?.\/.I''一”

AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB]=-AB+-AC,

33、f33

故A錯；

?「5尸I三點共線，

:.AF=AAB+(l-A)AE=AAB+^-^-AC,

?.?4尸,。三點共線，

-,AF=^AD=^AB+^AC,

33

,3

2=-

2

解得3，

—■■1—1—■

:.AF^-AB+-AE,

22

尸為8E的中點，

--1—.

BF=-BE，故B對；

s△麗=；%加=%；￡詼，

%FE="E=；X；"C，

一S&BFD-SzMFE=1：3,故C對；

取中點G,5c中點〃，如下圖,

則G,尸,〃三點共線，

=-（2濟+2而）=-（應+反）=6,故D對.

故選：BCD.

—?1—>—?3—?

例7.（2022?黑龍江?哈爾濱三中模擬預測）在“8C中，AD=-AB,AE=-AC,BE與DC交于點、尸，若

AF=AAB+/JAC,貝I]2+〃的值為.

【答案】七7

【解析】由已知可得，AD=\AB,AE=^-AC.

34

LILHHULUI

因為，。，尸，。三點共線，設DF=mDC，0<m<l.

uuuiuuinuunLuniuiuuunuunuunium(uuniuun>umuun

DC=AC-AD=AC--AB,貝|4尸=4D+O尸+冽—J=^—45+加4c.

uunuunumULDuunULU2+相比uun

BF=AF-AB=------AB+mAC-AB=----------AB+mAC,

33

nruunuunum3uun

yiBE=AE-AB=-AB+-AC,

4

uuuUU2+m""(uun3ULIDAULU3〃"

因為5,E,廠三點共線，則存在〃￡R,使得5/=〃5￡,即—一-AB+mAC=n\-AB+-AC\=-nAB+—ACf

2+m2

-----------二-nm=—

33

因為，商,就不共線，所以有,解得

3n8

m=——n=—

49

uun1um7uun177

所以，AF=-AB+-AC,即4=—,//=一，4+〃=上.

93939

7

故答案為：—.

9

A

例8.(2022?全國?高三專題練習)根據(jù)畢達哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長作正方形，從斜邊上

作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊上作出的正方形面積之和.現(xiàn)在對直角三角形CDE按上述操作作

圖后，得如圖所示的圖形，若灰=+y而，則x—=.

【答案】

【解析】如圖，以N為原點，分別以方，而為x，V軸建立平面直角坐標系，

設正方形/BCD的邊長為2a,則正方形?！暧〉倪呴L為6°,正方形ERGC邊長為。

可知/(0,0),8(2°,0),0(0,2°),r>F=(V3+l)a

3+65+V3

又AF=xAB+yAD,-----a,-----a=X（2Q,0）+y（0,2a）=（2辦,2砂）

即,2,gp2ax-lay=—―-a--—-a,化簡得工一'二一!

05+G222

2ay=--a

故答案為：-/

H

G

30°

ABx

核心考點二：平面向量共線的充要條件及其應用

【規(guī)律方法】

1、平面向量共線定理：已知刀=2赤+〃前，若4+〃=1,則4氏C三點共線；反之亦然.

2、兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：（1）若向量1=（占,%），b=（x2,y2），則,/石的充要條件

是再%-馬必=0；⑵若一/區(qū)心0），貝匕

【典型例題】

例9.（2022?全國?高三階段練習（理））已知點G是。5c的中線的的中點，過點G的直線交邊A8于點

D,交邊NC于點￡.若通=2萬（幾>0）,次=4％（〃>0）,則2+必的最小值為（）

A.1B.1C.2D.4

【答案】B

【解析】?「G是?中點，.?.4G=]/尸=a（/B+4C）,

AD=>0),AE=juAC^jU>0),AG=AD+——AE,

又。,G,E三點共線，1,

./+〃=(")限修（當且僅當%=〃=;時取等號）,

.?.2+M的最小值為1.

故選：B.

例10.（2022?安徽?合肥一中高三階段練習）己知向量2=（-6,1）,1=（5,-2）,且僅+叫//但回，則加=

【答案】

【解析】由題設“+〃石=（5加-6,1-2加），3a—b=（-23,5）,又（。+""）〃（3°-否）,

所以5（5加-6）=-23（1-2⑼，解得%=一；.

故答案為：

例11.（2022?全國?高三專題練習）已知）=（1,2）,1（1,1）,且方與@+4的夾角為銳角，則實數(shù)4的取值

范圍為?

【答案】,*0卜（0,+0

【解析】因為@=（1,2）,3=（1,1）,所以1+4=（1+42+為，

因為。與1+篇的夾角為銳角，所以小W+4）＞0,且7與“不共線，

所以1+2+2（2+/1）＞0且2（1+/1）工2+/1,

解得九＞_:目"wo,所以彳的取值范圍為,;,o["o,+8）,

故答案為：,g,o1u（o,+⑹

例12.（2022?黑龍江?哈爾濱三中模擬預測）在“3C中，AD=^AB,AE=^AC,BE與DC交于點、F,

^AF=AAB+^AC,貝!M+〃的值為.

7

【答案】

【解析】由己知可得，AD=^AB,AE=^AC.

umiULUI

因為，，尸,。三點共線，設DF=mDC，0<m<l.

iuniwuunuiiniuiiiuununouuniULU<uunium>ULUuun

DC=/C—AD=/C—貝ij//=Z0+O廠=§45+加1/C—§45)=^—/5+加力C.

uunumurniULULUHum2+相gtun

BF=AF-AB=---AB+mAC-AB=-------AB+mAC,

33

nruunumULU3ULK

^BE=AE-AB=-AB+-AC,

4

L1Mw2+mLUD(uun31110、um3〃uun

因為瓦E,尸三點共線，則存在〃$R,使得5/=〃8七，即—一--AB+mAC=n\-AB+-AC\=-nAB+—AC9

2+m2

------二—nm=—

因為，方，就不共線，所以有33

解得；

3n

m=——

uun1um2001n127

所以，AF=-AB+-AC,即X=ju=~,之+〃=§.

7

故答案為：—

—?2-?

例13.（2022?吉林東北師大附中模擬預測）在。3C中，M,N分別是邊48,ZC上的點，且=,

而=g75，點。是線段兒W上異于端點的一點，且滿足2a+3礪+4雙=。（2*0）,貝|J/1=.

【解析】因為麗=,就，AM=^AB,

所以疝號乒一羽，AM=^（OB-OA）,

_____.3—?—?_,kk

即OC.NN+6M,OB=3AM+OA，

因為2力+3赤+4反=0,所以％方+3（3戒+方）+4弓前+

=0,

即（X+7）歷=6河+9屈，即亞=而+而,

69

因為V,0,N三點共線，故^―-+---=1,解得4=8.

x+/x+/

故答案為：8

例14.（2022?遼寧沈陽?高三階段練習）如圖，點G為“3c的重心，過點G的直線分別交直線AB,AC

點。，￡兩點，AB=3mAD（m>0）<AC=3nAE（n>0）則加+〃=?

A

E

【答案】1

【解析】延長ZG交BC于尸，因為點G為△45C的重心,

t1->2f1-1-

貝ij//=一/5+—/C,，一/尸=—/5+—/C,

22333

f1f1一

所以NG=—4B+—/C

33

因為幾=3加4b（"z>0），AC=3nAE（n>0）>

所以/b=〃7ab+"&，

因為O,G,E三點共線，

所以加+〃=1.

故答案為：1

核心考點三：平面向量的數(shù)量積

【規(guī)律方法】

1、向量的數(shù)量積：設兩個非零向量扇B的夾角為e，則同.|3|.cos。叫做5與B的數(shù)量積，記作

2、數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積萬萬等于行的長度|利與B在后的方向上的投影|B|cos夕的乘積.

3、設向量5=（再,必），3=（工2,歹2），則之石二項4+必%,由此得到：

⑴若方=0/）,則|初2=。+、2或同=/2+,2?

⑵設/（國,乂）,8仇,力），則43兩點間的距離=|次|=,（馬一網）2+（%-%丫

（3）設兩個非零向量落B，且2=（%1，%），b=（x2,y2），貝0玉工2=°

（4）若瓦B都是非零向量，。是了與彼的夾角，則cos*三M「一

1?1161收+式居，+近

【典型例題】

例15.（2022?黑龍江?哈爾濱市第六中學校高三期中）己知4B,C,。在同一平面上，其中

BC=^BD=6,若點8,C,。均在面積為36萬的圓上，貝4萬一%卜（方一方可=（）

A.36B.-36C.18D.-18

【答案】B

【解析】依題意可知：圓的半徑為6,設圓心為。，

因為2C=；AD=6,所以8。為圓的直徑，

因為2c=6,則ABCO為等邊三角形，所以數(shù)，麗所成的角為60。，

則通,前所成的角為120。，

所以（在一AC）-（BA-DA）=CB-BD=|cs||55|cosl20°=-36,

故選：B.

例16.（2022?山東淄博?高三期中）在“BC中，內角4民。所對的邊分別為。也。，且6=6,c=4,點。為

外心，則亞.而=（）

A.-20B,-10C.10D.20

【答案】C

【解析】記3C的中點為。，連結如圖，

因為點。為。3c的外心，。為BC的中點，所以OO18C,則歷?元=0，

所以割?團=（而一歷）?就=通?就一麗?團=石?團

10.

故選：C.

例17.（2022?江蘇?南京市天印高級中學高三期中）已知菱形42。。的邊長為2,ZBAD=U0°,G是菱形

48CZ)內一點，^GA+GB+GC=0,貝?。菖?與=()

A.-2B.1C.-D.2

2

【答案】D

【解析】在菱形NBC。，4840=120。，則A/3C為等邊三角形,

因為9+礪+且=0,

所以田=-（赤+品），

設點"為8C的中點，

貝U擊=-2彷，所以田〃&,

所以G,4M三點共線，所以為3c的中線，

同理可得點AB,AC的中線過點G,

所以點G為3c的重心，

故/G=%M=氈，

33

在等邊“8C中，M為3c的中點，則/A4Af=30。，

所以就.在=9X2X3=2.

32

故選：D.

Dd

例18.（2022?四川省遂寧市教育局模擬預測（文））在。BC中，AC=3fBC=5,。為線段的中點,

|詬卜，前E為線段8c垂直平分線/上任一異于。的點，則2萬?瓦=（）

D.-6

【答案】C

【解析】因為在“3C中，。為線段8C的中點,

所以而=；（劉+次），^2AD=AB+AC，

因為/C=3,BC=5,回國網,

所以41而『=|而就『+2|元口l^cos/,即16=|方『+6|方卜os/,

因為前=就，益，

所以由2=|就『+網2-2|畫畫cos/,即16=*,-6%@cos/,

所以，16=|同2+6同cos/=|麗2_6同即/,即12網cos/=0,

所以cosZ=0,

因為/e（O㈤，所以4=（即。8C為直角三角形，

所以|48「=忸0「一|/0「=16

因為E為線段8c垂直平分線/上任一異于。的點，

所以2g=赤+瓦，CB=AB-AC-DEICB^

所以2通.赤=（2力+2反）?而=2屈.口=225.（萬一刀）

=（委+就）團-就卜網2T就『=16-9=7

故選：C

例19.（2022?江蘇南通?高三期中）已知“3C的外接圓的圓心為。，半徑為1,AO=^AB+^AC,茄在

1—,一_

2c上的投影向量為:臺。，則。11C=（）

4

A.-V3B.-1C.1D.V3

【答案】B

【解析】AO=^AB+^AC,則。為8c中點，。又是外接圓圓心，

1—?_

則。3c為直角三角形，為布在旅上的投影向量，

^4COsB_k1_.|^|COS51

嚴'

211

cosB=—,cosB=—

42

.\B=~,C=-,

36

22

.-.04.5C=-^0-5C=-1（^+^C）（^C-^）=-1（^C-^）

08c的外接圓半徑為1,二8。=2,=/C=6

AO4-SC=-1（3-1）=-1,

故選：B.

A

核心考點四：平面向量的模與夾角

【規(guī)律方法】

（1）向量的夾角要求向量“共起點”，其范圍為［0,幻.

（2）求非零向量泊B的夾角一般利用公式cos6=亙邑=/注」先求出夾角的余弦值,然后求

夾角.也可以構造三角形，將所求夾角轉化為三角形的內角求解，更為直觀形象.

【典型例題】

例20.（2022?湖北?武漢市高三階段練習）設M=2,W=5若對VxeR,歸+苫可沖+可，貝！|￡

與B的夾角等于（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【解析】,.,|（z+xS|>|a+/!|設COS（Q,b）=%

B+時川+邛

日pi-?2-?-?-*2-?2——-?2

即Q+2xa-b+xb>a+2a-b+b'

即4+46x1+3/N4+46+3對VxeR恒成立，

即3x2+4At-4"-320對VxeR恒成立，

（4V3/）2-12（-4V3f-3）<0,解得/=一［,

即cos伍%-等，又0。?一岸180。,

Z與B的夾角等于150°,

故選：D.

例21.（2022?江蘇連云港?高三期中）已知向量萬，B滿足同=右，網=1,且對任意實數(shù)x,不等式

行+拓印+,恒成立,設3與B的夾角為夕，則tan26=（）

121244

A.——B.—C.——D.-

5533

【答案】D

【解析1|萬+詞>|a+6|=>a2+2xa?b+x2b2>a2+2a-b+b2x2+2y[5xcos8—(1+2加）20,要想不等

式B+回沖+可恒成立,

只需A=(2V5cos夕y+4(1+2A/5COS^)<0=>(V5cos^+1)2<0,而(V5cos^+1)2>0,

所以(逐cos。+1)2=0,即后cos6+l=0ncose=-^^,。^[。，兀],

匚1=拽

則有sin0=Vl-cos20=

55

則有tane=/5=寶=2

5

2tan6>-44

所以二

tan20l-tan26?-i^4-3

故選：D

例（?甘肅?蘭州五十一中高三期中（理））已知向量與的夾角是,，且同=|

22.2022ZBa+對，則向量〃與

Z+B的夾角是（）

A.60°B.30°C.150°D.120°

【答案】D

|2

【解析】由向量的平方等于模長的平方可得時叩+昨（/=（4:+275+0)2,

所以同2第2+2|a||6|cos-y+|zj|2,解得網q=W，

@+麗

\+a-bcos<a,b>]

所以cos<a,a+b>=

ff2'

即向量3與Z+B的夾角為120。,

故選：D.

例23.（2022?浙江紹興?一模）已知向量鼠B滿足同=1,\a-2S|=-\/7,=

A.2B.V3C.1

2

【答案】D

【解析】因為歸-2可=77,

所以|a—2邛=|寸+4區(qū)（一4a%=同2+4忸1一4同.Wcos?,g）=7,

因為1|=1，（Q,B）=150°,

所以1+4忖2+26忖=7,BP2|S|2+V3|S|-3=0,解得忖=等或收卜一百（舍）

所以，w=?

故選：D

例24.（2022?全國?高三專題練習）已知向量萬，不滿足同=1,網=2,d-B=（后夜），則,+2,=（）

A.272B.2#>C.V17D.V15

【答案】C

【解析】因為。-彼=（后閭，所以|”可=火,

所以歸_盯=同2_203+|盯=5_2晨彼=5,則小B=0,

所以歸+26|2=|a|2+43萬+4出/=i+i6=17,

即卜+2可=

故選：C.

例25.（2022?山西?晉城一中教育集團南嶺愛物學校高三階段練習）已知。3c為等邊三角形，。為2C的

中點，AB-AD=3,則斥卜（）

A.V2B.y/3C.2D.4

【答案】C

【解析】由題意知“8C為等邊三角形，。為5c的中點，故/8/。=30°,

設|前卜。，則益.而=|卷'詬卜0$"90=0*5°義$=]]=3,

所以。=2,

故選：C.

核心考點五：等和線問題

【規(guī)律方法】

等和線

平面內一組基底刀，礪及任一向量而，OP=WA+^idB^,1u&R）,若點尸在直線48上或者在平行

于N8的直線上，則彳+〃=左（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和

線.

①當?shù)群途€恰為直線N2時，k=1；

②當?shù)群途€在。點和直線之間時，左e（O,l）;

③當直線48在點。和等和線之間時，左e（l,+8）；

④當?shù)群途€過O點時，k=0；

⑤若兩等和線關于。點對稱，則定值a互為相反數(shù);

【典型例題】

例26.（2022?全國?高三專題練習）在矩形中，48=4,AD=3,M,N分別是AB,上的

動點，且滿足2NM+/N=1,設/=工而+了前，則2x+3.y的最小值為（）

A.48B.49C.50D.51

【答案】B

【解析】如圖，建立平面直角坐標系，

則1（0,0）,5（4,0）,C（4,3）,0（0,3）,

設M（m,0）,N（0,n）,因為2/Af+/N=l,

所以2加+〃=1,0<m<—,0<?<1.

2

,-.___.-.~43

因為/C=x/Af+y/N,所以％=—，>=—，

mn

LLIICr89f89Y_、__8〃18m___.

所以2x+3>=——F—=——F—（2加+〃）=25H------1------>25+24=49.

mnymn）mn

當且僅當也=幽，即加=2,時取等號.

mn77

故選：B.

例27.（2022?山東煙臺?三模）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓。，尸為圓。上任一點，若

~AP=xAB+yAC,則2x+2y的最大值為（）

33

【答案】A

【解析】

作8c的平行線與圓相交于點P,與直線相交于點E,與直線/C相交于點

^AP=AAE+/JAF,貝!|彳+〃=1,

4FAF4

-BCHEF,：.^—=—=k,則左￡[0,7]

ABAC3

：.AE=kl4B,AF=kAC,AP=AAE+^uAF=AkAB+jukAC

x=Ak,y=冰

o

2x+2y=2（/1+//）k=2k<—

故選：A,

例28.（2022?全國?高一期末）在△/BC中，M為3C邊上任意一點，N為線段上任意一點，若

~AN=MB+^AC（2,〃eR）,則幾+〃的取值范圍是（）

A.0,—B.C.[0,1]D.[1,2]

【答案】C

【解析】由題意，設狐=蘇，(od),

當t=o時，京=6，所以4萬+〃％=6,

所以4=〃=0,從而有2+M=0；

當0</Wl時，因為左=4萬+〃就（A,〃eR）,

所以tAM=AAB+juAC）即AM=—AB+—AC,

因為〃、B、C三點共線，所以一+：=1,即彳