2024年內(nèi)蒙古赤峰市高考數(shù)學一模試卷（理科）及答案解析

2024年內(nèi)蒙古赤峰市高考數(shù)學一模試卷（理科）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（5分）已知復數(shù)z滿足z=>i,>為z的共輸復數(shù)，z—冷于（）

A.2iB.-2iC.1D.-i

2.(5分)若全集U=R,集合A={在Z*V25},B={X|JL2W0},則AG(CuB)=()

A.{2,3,4}B.{3,4}C.{x|2?5}D.{x|2<x<5}

3.（5分）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（）

A.y=sin2xB.y=\2x-1|C.產(chǎn)D.y=ln\x\

1

4.（5分）已知實數(shù)a=53,b=log53,c=Zogi3,則a,b,c這三個數(shù)的大小關(guān)系是（)

s

A.c〈a<bB.b〈c〈aC.c<-b<.aD.a〈c〈b

5.（5分）已知直線/：y=x+b,。0：/+/=4,則“步|<2"是''直線/與OO相交”的（）

A.充分必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分而不必要條件

D.既不充分也不必要條件

6.（5分）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F,點A的坐標是（4,3）,P為C上一點，貝1]|以|+|「尸|

的最小值為（）

A.4V2B.2V3C.6D.5

7.（5分）為了測量西藏被譽稱為“阿里之巔”岡仁波齊山峰的高度，通常采用人工攀登的

方式進行，測量人員從山腳開始，直到到達山頂分段測量過程中，已知豎立在8點處的

測量覘標高20米，攀登者們在A處測得，到覘標底點8和頂點C的仰角分別為45°,

75°,則A,B的高度差約為（）

B

A

A.7.32米B.7.07米C.27.32米D.30米

8.（5分）已知遞增的等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和為品，若〃3=12,〃2+1是41與〃3-1的等

差中項，則S3=（）

A.21B.21或57C.21或75D.57

9.（5分）七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，被譽為“東方模板”，它是由五塊等腰

直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的.如圖是一個用七巧板拼成

的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自黑色部分的概率為（）

9537

A.B.—C.一D.

3216816

10.（5分）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》中，后人稱為“三

角垛”，“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個

,111

球，…，設(shè)從上往下各層的球數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛即｝,則一+一+—F-------

aa

l2a2024

2023404840462023

2024202520251012

11.（5分）過雙曲線C：b>0）的右頂點A作斜率為1的直線/,與C的

兩條漸近線分別交于點尸.2,若PA=〈PQ,則雙曲線。的離心率為（）

V5C,亞4V2

B.一D.

223

12.（5分）已知函數(shù)/（、）定義域為R,g（x）h（x）=sin2x,則下列命題正

確的個數(shù)是（）

①若VxCR,/（x-1）<f（x）,則函數(shù)/（x）+g（x）在R上是增函數(shù)

②若Vxi,%2￡R,\f（XI）+f（X2）\^\g（XI）+g（X2）b則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)

③若X26R,\f（XI）-f（X2）|^|/z（xi）-h（X2）I，則函數(shù)/（x）是周期函數(shù)

11

④若%2e（―2，2）'且X1WX2，\f（xi）-f（X2）|W|/z（XI）-h（X2）I，則函數(shù)f

（x）+hG）在區(qū)間（—稱,》上單調(diào)遞增，函數(shù)/（x）-h（x）在區(qū)間（—稱，》上單調(diào)

遞減

A.3個B.2個C.1個D.0個

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）有3名同學同時被邀請參加一項活動，必須有人去，去幾人自行決定，共有

種不同的去法.（用數(shù)字回答）

TT—Tt—

14.（5分）已知單位向量a、b滿足|a—b|=L則|2a—b|=.

15.（5分）《孫子算經(jīng)》中提到“物不知數(shù)”問題.如：被3除余2的正整數(shù)按照從小到大

的順序排成一列，即2,5,8,11,構(gòu)成數(shù)列｛?｝,記數(shù)列｛?｝的前〃項和為S”則

江的最小值為.

n

16.（5分）祖迪是我國南北朝時期的數(shù)學家，著作《綴術(shù)》上論及多面體的體積：緣幕勢

既同，則積不容異一一這就是祖曬原理.用現(xiàn)代語言可描述為：夾在兩個平行平面之間

的兩個幾何體，被平行于這個兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總

相等，那么這兩個幾何體的體積相等.在棱長為2的正方體ABCD-ALBICIDI中，M是

BC1上一點，MN上BC于■點、N,MN=h點Af繞A41旋轉(zhuǎn)一周所得圓的面積

為（用h表示）；將空間四邊形ABC14繞AA1旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體

積為.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60

分.

17.（12分）直播帶貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷售手段，目前已被廣大消費者所接受.針

對這種現(xiàn)狀，某公司決定逐月加大直播帶貨的投入，直播帶貨金額穩(wěn)步提升，以下是該

公司2023年前5個月的帶貨金額的統(tǒng)計表（金額y（萬元））.

月份1月2月3月4月5月

月份編號X12345

金額y（萬元）712131924

（1）根據(jù)統(tǒng)計表,

①求該公司帶貨金額的平均值歹；

②求該公司帶貨金額y與月份編號x的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01),并判斷它們是否具

有線性相關(guān)關(guān)系(0.75W|r|〈l,則認為y與x的線性相關(guān)性較強；|r|V0.75,則認為y與

x的線性相關(guān)性較弱)；

(2)該公司現(xiàn)有一個直播間銷售甲、乙兩種產(chǎn)品.為對產(chǎn)品質(zhì)量進行監(jiān)控，質(zhì)檢人員先

用簡單隨機抽樣的方法從甲、乙兩種產(chǎn)品中分別抽取了5件、3件產(chǎn)品進行初檢，再從中

隨機選取3件做進一步的質(zhì)檢，記抽到甲產(chǎn)品的件數(shù)為X,試求X的分布列與期望.

TT

Z(xf-x)(y-y)____

因：伯大東級公隊r=?E二?,，參考數(shù)據(jù)：V1740?41.7,

屈1(勾一為鬲(y-y)

(看-元)(%一7)=41,舊7(陽一用)2=Vio,(y(-y)2=V174.

18.(12分)在①cos2=^m，②及:osC=(2a-c)cosB中任選一個作為已知條件，補充

在下列問題中，并作答.

問題：在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為服6、c,已知.

(1)求8；

1

(2)若△A3C的外接圓半徑為2,且cosAcosC=-五，求〃+c.

o

注：若選擇不同條件分別作答，則按第一個解答計分.

19.(12分)如圖，在四棱柱ABC。-A1B1C1D1中，底面ABC。是等腰梯形，ZDAB=60°,

48=2C￡)=4,M是線段AB的中點.

(1)求證：C1M〃平面A1ADP；

(2)若CD1L平面ABCD,且CQ=2V3,求直線DiBi與平面C1D1M所成角的正弦值.

20.(12分)已知橢圓E：—+—=l(a>b>0)的左、右焦點分別為八(-1,0),F(1,

azoz2

0),左、右頂點分別為A,B,P(尤,y)為橢圓E上一點,且-1)2+y2+J(x+1)2+y2=

4.

(1)求橢圓E的方程；

(2)過乃的直線與橢圓E交于C,。兩點(其中點C位于x軸上方)，記直線AC,BD

的斜率分別為41,七，求七+二的最小值.

22

21.(12分)已知函數(shù)/(%)=_mx；a+l,g(x)=x(尤+3)-3(x+1)^.

(1)當a=l時，求/(x)在x=l處的切線方程；

(2)若e],3X2￡[-3,0],使得/'(xi)Wg(X2),

①求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

②求a的取值范圍.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23二題中任選一題作答.如果多做，則按所做

的第一題計分.作答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號涂黑.【選修4-4；坐

標系與參數(shù)方程】

(t2+l

X-—2

22.(10分)在直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為'G為參數(shù)).

(1)寫出曲線C的普通方程；

T7TT

(2)設(shè)尸為曲線C上的一點，將。P繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)一得到。Q.當P運動時，設(shè)點

4

。的軌跡是E,求曲線E的直角坐標方程.

【選修4-5：不等式選講】“

23.已知函數(shù)/(x)=|x-2|+|2x-1|.

(1)求不等式無)》6的解集；

(2)已知對任意的xCR,都有/(x)若a,b,c均為正實數(shù)，a+2b+2,c=2t+2,在

空間直角坐標系中，點(a,b,c)在以點(0,-1,-1)為球心的球上，求該球表面

積的最小值.

2024年內(nèi)蒙古赤峰市高考數(shù)學一模試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（5分）已知復數(shù)z滿足z=^—32為z的共物復數(shù)，z—2等于（）

A.2iB.-2iC.1D.-i

【答案】B

【分析】先求出2,再利用復數(shù)的四則運算求解.

【解答】Vz=|-i,：,z=l+i,

一11

??z—z=7T—i—（—+i）=-2i.

22

故選：B.

【點評】本題主要考查了共甄復數(shù)的概念，考查了復數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）若全集U=R,集合A={xCZ|f<25},8={x|尤-2W0},則AH（CuB）=（）

A.[2,3,4}B.{3,4}C.{尤|2W無<5}D.{x|2<x<5}

【答案】B

【分析】求出集合4,8的元素，進而可得CuB的元素，再求出AC（CuB）.

【解答】解：集合A={xeZ|/<25}={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},B={x\x

-2W0}={x|xW2},

所以CuB={x|x>2},

所以API（CuB）={3,4}.

故選：B.

【點評】本題考查補集和交集的運算，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（）

1

A.y=sin2xB.y=\lx-1|C.>=/D.y=ln\x\

【答案】D

【分析】由已知結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性檢驗各選項即可判斷.

【解答】解：y=sin2x為奇函數(shù)，不符合題意；

y=|2'-1|為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；

產(chǎn)馬為奇函數(shù)，不符合題意；

y=/川尤I為偶函數(shù)，符合題意.

故選：D.

【點評】本題主要考查了基本初等函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

1

4.（5分）已知實數(shù)a=5b=log53,c=1ogi3,則a,6,c這三個數(shù)的大小關(guān)系是（）

5

A.c<a<bB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

【答案】C

【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷a,6,c的范圍，即可比較a,b,c的

大小.

1

【解答】解：a=5予，b=log53,c=logi3,

5

則\<a<2,0<b<l,c<Q,

所以a>b>c.

故選：C.

【點評】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在函數(shù)值大小比較中的應用，屬

于基礎(chǔ)題.

5.（5分）已知直線/：y=x+b,OO：?+/=4,貝！］“也|<2”是“直線/與。。相交”的（）

A.充分必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分而不必要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)點到直線的距離公式，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分別驗證充分性，必要性

即可得到結(jié)果.

【解答】解：由題意可得直線/：y=x+6與。。/+9=4相交，

,\b\「

則“+1<2n|/?|V2迎，

當以<2時，滿足圓心到直線的距離小于半徑，

即⑶<2是直線/與。0相交的充分條件；

當直線/：y=x+6與。0：/+/=4相交時，不一定有回<2,

所以也<2是直線/與。。相交的不必要條件.

故選：C.

【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查充分必要條件，屬于基礎(chǔ)題.

6.（5分）已知拋物線C：/=4x的焦點為E點A的坐標是（4,3）,P為C上一點，則|E4|+|PF|

的最小值為（）

A.4V2B.2V3C.6D.5

【答案】D

【分析】求出拋物線C的準線I的方程，過A作/的垂線段，結(jié)合幾何意義及拋物線定

義即可得解.

【解答】解：拋物線C：/=?的準線/：x=-1,顯然點A在拋物線C內(nèi)，過A作AM

，/于交拋物線C于尸，如圖，

在拋物線C上任取不同于點尸的點尸,，過尸作P于點N,連PFAN,P'A,P'

F,

由拋物線定義知,|B4|+|PF|=\PA\+\PM\=\AM\<|AA^|<\P'A\+\P'N\=\P'A\+\P'F\,

于是得（|B4|+|P/q）min=\AM\=4-（-1）=5,即點尸是過A作準線/的垂線與拋物線

C的交點時，|以|+|尸川取最小值，

所以|以|+|尸目的最小值為5.

故選：D.

【點評】本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題.

7.（5分）為了測量西藏被譽稱為“阿里之巔”岡仁波齊山峰的高度，通常采用人工攀登的

方式進行，測量人員從山腳開始，直到到達山頂分段測量過程中，已知豎立在8點處的

測量覘標高20米，攀登者們在A處測得，到覘標底點2和頂點C的仰角分別為45°,

75°,則A,3的高度差約為（）

A.7.32米B.7.07米C.27.32米D.30米

【答案】A

【分析】先根據(jù)題意建立三角形模型，再根據(jù)解三角形的知識，求解即可.

【解答】解：根據(jù)題意畫出如圖的模型，則CB=20,/。48=45°,ZOAC=75°,

所以NC4B=30°，ZACB=15

BCAB

在△ABC中，由正弦定理可得

sinZ-CABsine'

乂配（。-。）_（孚孚一會?）

BCsinC20xsinl5°_205453020xx

可得4B==10V6-10V2,

sinZ-CABsin30°——1

22

所以在Rt/XAOB中，BO=ABsin45°=（IOV6-IOV2）x乎=10g一10心7.32（米）.

故選：A.

【點評】本題考查解三角形的實際應用問題，考查數(shù)學建模能力，是基礎(chǔ)題.

8.(5分)已知遞增的等比數(shù)列｛a“｝的前〃項和為若43=12，02+1是與1的等

差中項，則S3=()

A.21B.21或57C.21或75D.57

【答案】A

【分析】由等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的中項性質(zhì)，解方程可得首項和公比，注意

公比大于1,再由等比數(shù)列的求和公式，可得所求和.

【解答】解：遞增的等比數(shù)列｛板｝的前"項和為S,設(shè)公比為q,q>\,

由。3=12,可得

由〃2+1是m與〃3-1的等差中項，可得2（02+1）=〃1+〃3-1,即2（l+〃iq）

-1,

2

解得41=3,q=2,或m=27,q=《（舍去），

則S3==21.

故選：A.

【點評】本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式，以及等差數(shù)列的中項性質(zhì)，考查方

程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.（5分）七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，被譽為“東方模板”，它是由五塊等腰

直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的.如圖是一個用七巧板拼成

的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自黑色部分的概率為（）

【答案】C

【分析】設(shè)出大正方形的面積，求出陰影部分的面積，從而求出滿足條件的概率即可.

【解答】解：設(shè)“東方模板”的面積是4,

則陰影部分的三角形面積是1,

陰影部分平行四邊形的面積是:，

2

則滿足條件的概率p=^=^

故選：C.

【點評】本題考查了幾何概型問題，考查面積之比，是一道基礎(chǔ)題.

10.（5分）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》中，后人稱為“三

角垛”，“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個

111

球，…，設(shè)從上往下各層的球數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛而｝，則一+—+—I------=（）

ala2a2024

2023404840462023

A.----B.----C.----D.----

2024202520251012

【答案】B

【分析】直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系和裂項相消法求出數(shù)列的和.

【解答】解：ai=l,及=1+2=3,43=1+2+3=6,

所以Q九=1+2+3+...+71=

,,1211

故---7----=2(-----

ann(n+l)nn+1

1111111112n

所以一+—+...+—=2(1--十一一十…+——-----)=2(1—----)=----

223nn+1n+1n+1

1,1114048

故——+——+…+-----=----

口2。20242025

故選：B,

【點評】本題考查的知識要點：數(shù)列的求和，裂項相消法，主要考查學生的運算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

11.（5分）過雙曲線C：*'=l（a>0,b>0）的右頂點A作斜率為1的直線/,與C的

兩條漸近線分別交于點尸.Q,若R4=]PQ,則雙曲線C的離心率為（）

2A/3V5V64V2

A.---B.—C.—D.---

3223

【答案】B

【分析】由雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線離心率的求法求解.

【解答】解：過雙曲線C；盤—b>0）的右頂點A作斜率為1的直線/,與

C的兩條漸近線分別交于點尸，Q,

則ZAOP=ZAOQ且2彳1,

a

T1T

又P4=4PQ,

4

則|AP|：\AQ\=1：3,

喘=1

3

喘=1

3

y=x-a

聯(lián)立bx

y=-T

消y可得孫=南,

同理可得：|%0|=—

I-萬I

則=3,

則a=2b,

22

則￡yja+b聞_V5

aa2b~2

故選：B,

【點評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，重點考查了雙曲線離心率的求法，屬中檔題.

12.（5分）已知函數(shù)/（外定義域為R,g（x）=炭-/%,h（x）=sin2x,則下列命題正

確的個數(shù)是（）

①若/（x-1）<f（x）,則函數(shù)f（x）+g（x）在R上是增函數(shù)

②若Vxi,X2€R,If（XI）+f（X2）\^\g（XI）+g（X2）I，則函數(shù)/（x）是奇函數(shù)

③若Vxi,X2GR,If（XI）-f（X2）\^\h（XI）-h（X2）\,則函數(shù)f（x）是周期函數(shù)

11

e—

④若x2（22）'且％1WX2,，（xi）-f（%2）\^\h（xi）-h（X2）\,則函數(shù)/

（x）+h（無）在區(qū)間（T，》上單調(diào)遞增，函數(shù)/（x）-hG）在區(qū)間（T，》上單調(diào)

遞減

A.3個B.2個C.1個D.0個

【答案】A

【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)可以判斷.

【解答】解：???/(x-1)</(%),在R,"(%)在R上為增函數(shù)，

易知g(x)在R上為增函數(shù)，??j(x)+g(%)在R上是增函數(shù)，①正確；

g(-x)=ex-/=-g(x),1.g(x)為奇函數(shù)，令X2=~xi,則1/(xi)V(-xi)I

W|g(xi)+g(-xi)|=0,

.*./(xi)+f(-xi)=0,.*./(x)為奇函數(shù)，②正確；

設(shè)元2=羽+內(nèi)1,任Z,則//(xi)-h(x2)=sin2xi-sin2(xi+hi)=0,

.,.If(xi)-f(x2)\^\h(xi)-h(x2)|=0,/./(xi)-/(xi+hi)=0,

：.f(x)為周期函數(shù)，③正確；

i1i1

xG(-4，-)時，2在(-1,1),：.h(x)在(―--)上單調(diào)遞增，

2222

il

由|/(xi)-/(%2)|^|/z(xi)-h(%2由可知,f(x)在(—亍一)上單調(diào)遞增，且了(工)

乙2

Wg'(x),

11

...函數(shù)/(x)-h(X)在區(qū)間(一點-)可能恒為常函數(shù)，也可能單調(diào)遞減，④錯誤.

故選：A.

【點評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，以及周期性，有一定的難度，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)有3名同學同時被邀請參加一項活動，必須有人去，去幾人自行決定，共有_7

種不同的去法.(用數(shù)字回答)

【答案】7.

【分析】分別考慮去一人、兩人、三人的情況，結(jié)合分類加法計數(shù)原理，即可求解.

【解答】解：去一人，有3種去法，

去兩人，有3種去法，

去三人，有1種去法，

故共有3+3+1=7種去法.

故答案為：7.

【點評】本題主要考查了排列組合的知識，屬于基礎(chǔ)題.

_>—>_>—>tT

14.(5分)已知單位向量b滿足|a-b|=l,Pl!j|2a-b\=V3.

【答案】V3.

7T1

【分析】首先利用向量的模求出a小進一步求出結(jié)果.

【解答】解：由于單位向量a、b滿足|a-b\=1,則a?-2a-b+b2=1,整理得a?b=

_>T1T_>T—________

故12a—b\=14a2—4a-b+b2=V4-2+1=V3.

故答案為：V3.

【點評】本題考查的知識要點：向量的數(shù)量積，向量的模，主要考查學生的運算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

15.（5分）《孫子算經(jīng)》中提到“物不知數(shù)”問題.如：被3除余2的正整數(shù)按照從小到大

的順序排成一列，即2,5,8,11,…，構(gòu)成數(shù)列｛即｝,記數(shù)列｛劭｝的前〃項和為S,則

N的最小值為

n

【答案】19.

【分析】先根據(jù)可得數(shù)列｛金｝是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，再計算出前n項和

Sn的表達式并代入"近27進行化簡整理,然后運用均值不等式即可推導出出方的最

nn

小值.

【解答】解：由題意可知,

數(shù)列｛斯｝是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列,

...Sf+鳴也3=瞰

3n2+n

.2S+272?---+27

??n—

nn

_3幾2+幾+27

一n

=3〃+2=7+1

n

=2X9+1

=19,

當且僅當3〃=§,即〃=3時，等號成立,

...2Sn+27的最小值為］以

n

故答案為：19.

【點評】本題主要考查等差數(shù)列的運用.考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，等差數(shù)列的定義及求

和公式的運用，均值不等式的運用，以及邏輯推理能力和數(shù)學運算能力，屬中檔題.

16.（5分）祖瞄是我國南北朝時期的數(shù)學家，著作《綴術(shù)》上論及多面體的體積：緣幕勢

既同，則積不容異一一這就是祖附1原理.用現(xiàn)代語言可描述為：夾在兩個平行平面之間

的兩個幾何體，被平行于這個兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總

相等，那么這兩個幾何體的體積相等.在棱長為2的正方體ABC。-A1B1C1D1中，M是

BCi上一點，MN上BC于■點、N,MN=h（0</z<2）,點M繞AAi旋轉(zhuǎn)一周所得圓的面積

為n（一+4）（用力表示）；將空間四邊形繞441旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體

32

積為

32

【答案】It（7l2+4）;—7T.

【分析】第一空由已知，點M繞AA1旋轉(zhuǎn)一周所得圓的面積即為以AN為半徑的圓面積；

第二空空間四邊形ABCA1繞A41旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積，利用祖地原理可以轉(zhuǎn)化為

一個底面半徑和高均為2的圓柱體積加一個底面半徑和高均為2的圓錐的體積.

【解答】解：在正方體ABCO-A1B1C1O1中，棱長為2,M是BC1上一點，MNLBC于

點、N,MN=h（0</z<2）,

：.BN=h,：.AN=7AB2+BN?=74+h2,

即點M繞441旋轉(zhuǎn)一周所得圓的半徑為7￥不7笆，

.,.點M繞AAu旋轉(zhuǎn)一周所得圓的面積為TT（序+4）.

根據(jù)祖胞原理”夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這個兩個平面的任意平

面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等”，

將空間四邊形ABC14繞441旋轉(zhuǎn)一周，可以轉(zhuǎn)化為一個底面半徑和高均為2的圓柱體積

加一個底面半徑和高均為2的圓錐的體積，

;空間四邊形ABC1A1繞A41旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為：

7T-22-2+1-7r-22-2=竽.

故答案為：TT（序+4）；—n_

Cj

D__JQ

二二/

A1/

B

【點評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的體積，考查運算求解能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60

分.

17.（12分）直播帶貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷售手段，目前已被廣大消費者所接受.針

對這種現(xiàn)狀，某公司決定逐月加大直播帶貨的投入，直播帶貨金額穩(wěn)步提升，以下是該

公司2023年前5個月的帶貨金額的統(tǒng)計表（金額y（萬元））.

月份1月2月3月4月5月

月份編號尤12345

金額y（萬元）712131924

（1）根據(jù)統(tǒng)計表,

①求該公司帶貨金額的平均值區(qū)

②求該公司帶貨金額y與月份編號x的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）,并判斷它們是否具

有線性相關(guān)關(guān)系（0.75WMW1,則認為y與x的線性相關(guān)性較強；|“<0.75,則認為y與

x的線性相關(guān)性較弱）；

（2）該公司現(xiàn)有一個直播間銷售甲、乙兩種產(chǎn)品.為對產(chǎn)品質(zhì)量進行監(jiān)控，質(zhì)檢人員先

用簡單隨機抽樣的方法從甲、乙兩種產(chǎn)品中分別抽取了5件、3件產(chǎn)品進行初檢，再從中

隨機選取3件做進一步的質(zhì)檢，記抽到甲產(chǎn)品的件數(shù)為X,試求X的分布列與期望.

y（勺一元）（匕一切,____

附：相關(guān)系數(shù)公式?乙曰；,,參考數(shù)據(jù)：V1740?41.7,

加陶?-元）白隔（%—9）

2-元）（%一歹）=41,M=1（T一元）2=V10,M=1-7）2=V174.

【答案】（1）①歹=15；

②認為y與龍的線性相關(guān)性較強.

(2)X的分布列為:

X0123

P1—15—15—5

56562828

E(X)=-g-.

【分析】(1)①由統(tǒng)計數(shù)據(jù)利用平均數(shù)計算公式可得區(qū)

②由已知數(shù)據(jù)可得相關(guān)系數(shù)r,進而得出結(jié)論.

(2)利用超幾何分布列計算公式即可得出P(X=%),k=0,1,2,3,進而得出X的分

布列及其E(X).

【解答】解：(1)①由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得：一=.二上十個十2十空=6

②由于：“740x41.7,￡：=式/一元)(%—歹)=41,-x)2=V10,

-y)2=V174,

相關(guān)系數(shù)r=篇3x名-0?98＞。.75,

因此認為y與x的線性相關(guān)性較強.

6°「311r1[-

(2)由題意可得:尸(X=0)=警=京,尸(X=l)=警=||,P(X=2)=警=||,

。8。8。8

Z「°「

...X的分布列為:

X0123

P115155

56562828

11515515

E(X)=0x筋+1X函+2x而+3x麗=石

【點評】本題考查了線性相關(guān)性系數(shù)、超幾何分布列的應用，考查了推理能力與計算能

力，屬于中檔題.

18.(12分)在①COST1=與請，②bcosC=(2a-c)cosB中任選一個作為已知條件，補充

在下列問題中，并作答.

問題：在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為小b、c,已知.

(1)求&

1

(2)若△ABC的外接圓半徑為2,且cosAcosC=-6，求〃+c.

o

注：若選擇不同條件分別作答，則按第一個解答計分.

TT

【答案】(1)

(2)V30.

【分析】(1)若選①，由題意及正弦定理可得cosB的值，再由角8的范圍，可得角8的

大?。蝗暨x②，由正弦定理及兩角和的正弦公式，可得cosB的值，再由角8的范圍，可

得角B的大?。?/p>

(2)由正弦定理可得a,c的表達式，進而可得ac的值，再由余弦定理可得a+c的值.

【解答】解：(1)若選①，由正弦定理可得2sin8cosA=2sinC-sinA,

在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以2sinAcosB=sinA,

因為sinAWO,

1

可得cos3=1,而86(0,IT),

可得B=J；

若選②，因為bcosC=(2a-c)cosB,由正弦定理可得sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosb

可得sin^cosC+sinCcosB=2sinAcosB,

即sin(B+C)=2sinAcosB,在△A5C中,sin(B+C)=sinA,且sinAWO,

可得COSB=4，而在(0,II),

可得B=J；

acbTT

(2)因為AABC的外接圓半徑為2,由正弦定理可得一一=—-=--=2X2,8=

sinAsinCsinBJ

可得b=2?,

a^4sinA,c^4sinC,

所以4c=16sinAsinC,

cosB=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC,

而cos/cosf=一1,

o

11

所以一=—+sinAsinC,

28

可得sinAsinC=Q,

o

一2

所以ac=16xQ=6,

o

由余弦定理可得：Z?2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-lac-2acX

即12=(a+c)2-3ac=(a+c)2-3X6,

可得a+c=V30.

【點評】本題考查正弦定理及余弦定理的應用，屬于中檔題.

19.(12分)如圖，在四棱柱ABCD-A121C1D1中，底面ABC。是等腰梯形，ZDAB=60°,

AB=2CD=4,M是線段AB的中點.

(1)求證：C1M〃平面AiADDi；

(2)若CD1，平面ABCD,且CO】=2V3,求直線與平面C1D1M所成角的正弦值.

【分析】(1)連接4。，推導出四邊形AMQD是平行四邊形，從而CiM〃AOi,由此

能證明〃平面AiADDi.

(2)連接￡)1C、BiM、BiDi,由加=應-cmiM，求出點21到平面CLDIM的距

離h,由此能求出直線D\B\與平面C1D1M所成角的正弦值.

【解答】解：(1)證明：如圖所示，連接D1A,

1

因為。1C1=￡>C,AM=^AB=DC,所以O(shè)Ci=4Af,

因為AM〃￡)1C1,所以四邊形AMCLDI是平行四邊形，所以C1M〃&￡>1,

因為C1MC平面AiADDi,ADiu平面AiADDi,

所以C1M〃平面A1AOO1.

(2)連接BiM、BiDi,

因為KW-BIRDI=且SABIJDI=收'CZ)i_L平面ABCDS.CD-^=28，

所以=Wxx2A/3=2,

因為GM=4心=2乃，D]M=J(2V3)2+22=4,CiDi=2,

由余弦定理得：cos^CMD=空?一=萼，

112x276x408

2

則s譏NTiMO]=yJl-cos^C1MD1=Jl-(等/=等，

所以SARD1M=**2乃X4X=V15,

設(shè)點Bi到平面C\D\M的距離為h,

因為%-31<?1。1=所以§*VlS/i=2,解得h=2^^，

設(shè)直線D\B\與平面C1QM所成角為9,

則直線D1B1與平面C1D1M所成角的正弦值為:

【點評】本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線

面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

x2y2

20.(12分)已知橢圓E：—+77=l(a>b>O)的左、右焦點分別為乃(-1，0),F2(1,

22

0),左、右頂點分別為A,2,P(x,y)為橢圓E上一點,且—1尸+點+7(%+I)+y=

4.

(1)求橢圓E的方程;

(2)過四的直線與橢圓E交于C,。兩點(其中點C位于x軸上方)，記直線AC,BD

的斜率分別為h上,求歷+6的最小值.

%2y2

【答案】(1)—+J=l;

43

(2)2V3.

【分析】(1)由橢圓的定義可得2a的值及c的值，進而求出6的值，求出橢圓的方程;

(2)設(shè)直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，求出直線AC,

的斜率之比的表達式，整理可得H=3Q，由C點在x軸的上方，可得近，fo>0,由

基本不等式可得七+二的最小值.

【解答】解：(1)因為1(％-1)2+丫2+/(汽+1)2+372=4,由橢圓的定義可得2〃=4,

c=l,