2024年中考數(shù)學(xué)探究性訓(xùn)練-圖形的初步認(rèn)識

備考2024年中考數(shù)學(xué)探究性訓(xùn)練專題17圖形的初步認(rèn)識

一、選擇題

1.陽泉市郊區(qū)教科局提出開展“三有課堂”，某中學(xué)在一節(jié)體現(xiàn)“三有課堂”公開展示課上，李老師展示

一幅圖，條件是：C為直線AB上一點(diǎn)，NDCE為直角，CF平分NACD,CH平分NBCD,CG平分

ZBCE,各個小組經(jīng)過討論后得到以下結(jié)論：①NACF與NBCH互余②NFCG與NHCG互補(bǔ)

③/ECF與NGCH互補(bǔ)④NACD-/BCE=90。，聰明的你認(rèn)為哪些組的結(jié)論是正確的，正確的

2.在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐探究活動中，大家遇到了這樣的問題：

如圖，在一個圓柱體形狀的包裝盒的底部A處有一只壁虎，在頂部B處有一只小昆蟲，壁虎沿著

什么路線爬行，才能以最短的路線接近小昆蟲？

楠楠同學(xué)設(shè)計(jì)的方案是壁虎沿著A-C-B爬行；

浩浩同學(xué)設(shè)計(jì)的方案是將包裝盒展開，在側(cè)面展開圖上連接AB,然后壁虎在包裝盒的表面上沿著

AB爬行.

在這兩位同學(xué)的設(shè)計(jì)中，哪位同學(xué)的設(shè)計(jì)是最短路線呢？他們的理論依據(jù)是什么？（）

A.楠楠同學(xué)正確，他的理論依據(jù)是“直線段最短”

B.浩浩同學(xué)正確，他的理論依據(jù)是“兩點(diǎn)確定一條直線”

C.楠楠同學(xué)正確，他的理論依據(jù)是“垂線段最短”

D.浩浩同學(xué)正確，他的理論依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”

3.如圖是一個正方體，小敏同學(xué)經(jīng)過研究得到如下5個結(jié)論，正確的結(jié)論有（）個.

①用剪刀沿著它的棱剪開這個紙盒，至少要剪7刀，才能展開成平面圖形；②用一平面去截這個

正方體得到的截面是三角形ABC,則NABC=45。；③一只螞蟻在一個實(shí)心正方體木塊P點(diǎn)處想沿著

表面爬到C點(diǎn)最近的路只有4條；④用一平面去截這個正方體得到的截面可能是八邊形；⑤正方體

平面展開圖有11種不同的圖形.

A.1B.2C.3D.4

4.圖1、圖2均是正方體，圖3是由一些大小相同的正方體搭成的幾何體從正面看和左面看得到的形

狀圖，小敏同學(xué)經(jīng)過研究得到如下結(jié)論：

⑴若將圖1中正方體的表面沿某些棱剪開，展成一個平面圖形，需要剪開7條棱；

⑵用一個平面從不同方向去截圖1中的正方體，得到的截面可能是三角形、四邊形、五邊形或六邊

形；

⑶用一個平面去截圖1中的正方體得到圖2,截面三角形ABC中/ABC=45。；

⑷如圖3,要搭成該幾何體的正方體的個數(shù)最少是a,最多是b,則a+b=19

其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）

5.（體驗(yàn)探究題）如圖所示，該圖中包含的平面圖形有（）

①等腰梯形；②正六邊形；③四邊形；④三角形（實(shí)線與虛線組成）；⑤平行四邊形（實(shí)線與

虛線組成）

A.3種平面圖形B.5種平面圖形C.4種平面圖形D.以上都不對

二、填空題

6.先閱讀，后探究相關(guān)的問題

【閱讀】|5-2|表示5與2差的絕對值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離;

|5+2|可以看做|5-(-2)表示5與-2的差的絕對值，也可理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的

兩點(diǎn)之間的距離.

A

-----------------1---------1-------->

025

(1)如圖，先在數(shù)軸上畫出表示點(diǎn)2.5的相反數(shù)的點(diǎn)B,再把點(diǎn)A向左移動L5個單位，得到點(diǎn)C,

則點(diǎn)B和點(diǎn)C表示的數(shù)分別為和,B,C兩點(diǎn)間的距離是；

(2)數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)A和B之間的距離表示為；如果|AB|=3,那么x

為;

(3)若點(diǎn)A表示的整數(shù)為x,則當(dāng)x為時，|x+4|與|x-2|的值相等；

(4)要使代數(shù)式|x+5|+|x-2|取最小值時，相應(yīng)的x的取值范圍是.

三、幾何探究題

7.如圖點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，M為PB上任一點(diǎn)，試探究2PM與AM-BM之間的大小關(guān)系，并

簡要說明理由？

APA1~B

8.如圖，已知線段a,b,射線AM.

實(shí)踐與操作：在射線AM上作線段AB=a,AC=a-b.(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫

作法)

?b，

?_______Q._______?AM

推理與探究：若線段AB的中點(diǎn)是點(diǎn)D,線段BC的中點(diǎn)是點(diǎn)E,請?jiān)谏蠄D中標(biāo)出點(diǎn)D,E.探究:

線段DE與AC有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

9.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，我們要不斷地歸納，思考和遷移，綜合運(yùn)用所學(xué)知識和解題方法，這樣才

能提高我們解決問題的能力，下面就從學(xué)完《數(shù)軸》發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，開始我們的探究之旅吧！

規(guī)律發(fā)現(xiàn)：

(1)點(diǎn)A表示的數(shù)是4,點(diǎn)B表示的數(shù)是10,則線段AB的中點(diǎn)C表示的數(shù)為:

(2)點(diǎn)A表示的數(shù)是-7,點(diǎn)B表示的數(shù)是5,則線段AB的中點(diǎn)C表示的數(shù)為；

(3)發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)A表示的數(shù)是a,點(diǎn)B表示的數(shù)是b,則線段AB的中點(diǎn)C表示的數(shù)為。

(4)直接運(yùn)用：

數(shù)軸上有三個不重合的點(diǎn)A、B、C,點(diǎn)A表示的數(shù)為x+2,點(diǎn)B表示的數(shù)為2x+3,C表示的數(shù)為x

-4,且AB=AC,則x值為o

(5)類比遷移：如圖：OB_LOX,OA±OC,NCOX=30。，若射線0A繞0點(diǎn)每秒30。的速度順

時針旋轉(zhuǎn)，射線OB繞O點(diǎn)每秒20。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，射線OC以每秒10。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，三線

同時旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一條射線與直線OX重合時，三條射線同時停止運(yùn)動，問：運(yùn)動幾秒時，其中一條射線

是另外兩條射線夾角的平分線？

問題解答：

設(shè)運(yùn)動時間為t秒，請用含t的式子表示：

NAOX=度；

乙BOX=度；

ACOX=度.

(6)請直接寫出你探究的所有符合條件的運(yùn)動時間.

10.觀察、探究與思考.根據(jù)圖，求解下列問題：

(1)比較NAOB、NAOC、NAOD、NAOE、的大小，并指出其中的銳角、直角、鈍角、平角.

(2)寫出NAOB、NAOC、/BOC、NAOE中某些角之間的兩個等量關(guān)系.

(1)一個正方體組合圖形的主視圖、左視圖(如圖1)所示.

①這個幾何體可能是（圖2）甲、乙中的；

②這個幾何體最多可由________個小正方體構(gòu)成，請?jiān)趫D3中畫出符合最多情況的一個俯視圖.

（2）如圖，已知一平面內(nèi)的四個點(diǎn)A、B、C、D,根據(jù)要求用直尺畫圖.

①畫線段AB,射線AD；

②找一點(diǎn)M,使M點(diǎn)即在射線AD上，又在直線BC上；

③找一點(diǎn)N,使N到A、B、C、D四個點(diǎn)的距離和最短.

12.探究：有一弦長6cm,寬4cm的矩形紙板，現(xiàn)要求以其一組對邊為點(diǎn)所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)180。,

得到一個圓柱，現(xiàn)可按照兩種方案進(jìn)行操作：

方案一：以較長的一組對邊中點(diǎn)所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，如圖①；

方案二：以較短的一組對邊中點(diǎn)所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，如圖②.

（1）請通過計(jì)算說明哪種方法構(gòu)造的圓柱體積大；

（2）如果該矩形的長寬分別是5cm和3cm呢？請通過計(jì)算說明哪種方法構(gòu)造的圓柱體積大；

（3）通過以上探究，你發(fā)現(xiàn)對于同一個矩形（不包括正方形），以其一組對邊中點(diǎn)所在直線為軸旋

轉(zhuǎn)得到一個圓柱，怎樣操作所得到的圓柱體積大（不必說明原因）？

13.理解計(jì)算：如圖①，ZAOB=90°,NAOC為NAOB外的一個角，且NAOC=30。，射線OM平分

ZBOC,ON平分NAOC.求NMON的度數(shù)；

拓展探究：如圖②，NAOB=a,NAOC=[3.（a邛為銳角），射線OM平分NBOCON平分NAOC.求

ZMON的度數(shù)；

遷移應(yīng)用：其實(shí)線段的計(jì)算與角的計(jì)算存在著緊密的聯(lián)系，如圖③線段AB=m,延長線段AB到C,

使得BC=n,點(diǎn)M,N分別為AC,BC的中點(diǎn)，則MN的長為▲（直接寫出結(jié)果）.

14.如圖，AABC中，已知NBAC=45。，ADLBC于D,BD=2,DC=3,求AD的長.

小萍同學(xué)靈活運(yùn)用軸對稱知識，將圖形進(jìn)行翻折變換，巧妙地解答了此題.

請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：

（1）分別以AB、AC為對稱軸，畫出AABD、4ACD的軸對稱圖形，D點(diǎn)的對稱點(diǎn)為E、F,延長EB、

FC相交于G點(diǎn)，求證：四邊形AEGF是正方形；

（2）設(shè)AD=x,建立關(guān)于x的方程模型，求出x的值.

15.操作探究：已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖所示）.

--5-4-3-2-1012345>

（1）折疊紙面，使表示點(diǎn)1與-1重合，則-2表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合；

（2）折疊紙面，使-1表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合，回答以下問題：

@V3表示的點(diǎn)與數(shù)表示的點(diǎn)重合；

②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間距離為9（A在B的左側(cè)），且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，此時點(diǎn)A

表示的數(shù)是，點(diǎn)B表示的數(shù)是.

（3）已知在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是a,點(diǎn)A移動4個單位，此時點(diǎn)A表示的數(shù)和a互為相反數(shù)，

求a的值.

16.綜合與探究

(1)特例感知：如圖1,線段4B=16CTH,C為線段AB上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)D,E分別是AC,BC

的中點(diǎn).

①若AC=4cm,則線段DE的長為cm.

②設(shè)AC=acm,則線段DE的長為cm.

(2)知識遷移：我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖2,若乙4OB=120。，0C是乙40B內(nèi)部

的一條射線，射線0M平分乙40C,射線ON平分NBOC,求4M0N的度數(shù).

(3)拓展探究：已知在NAOB內(nèi)的位置如圖3所示，NAOB=a,乙COD=30°,且乙DOM=

2乙40M,乙CON=2乙BON,求AMON的度數(shù).(用含a的代數(shù)式表示)

17.定義：從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一

半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內(nèi)半角.如圖①所示，若NCOD=±NAOB,則NCOD

是NAOB的內(nèi)半角.

(1)如圖①所示，已知NAOB=70。，ZAOC=15°,NCOD是NAOB的內(nèi)半角，則NBOD

(2)如圖②，已知NAOB=63。，將NAOB繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度a(0<a<63°)至

ZCOD,當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度a為何值時，NCOB是NAOD的內(nèi)半角？

(3)已知NAOB=30。，把一塊含有30。角的三角板如圖③疊放，將三角板繞頂點(diǎn)O以3。/秒的速

度按順時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖④，問：在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，且射線OD始終在NAOB的外部，射線

OA,OB,OC,OD能否構(gòu)成內(nèi)半角？若能，請直接寫出旋轉(zhuǎn)的時間；若不能，請說明理由.

18.綜合與實(shí)踐

【問題情境】利用旋轉(zhuǎn)開展數(shù)學(xué)活動，探究體會角在旋轉(zhuǎn)過程中的變化.

(I)將NCOD繞著頂點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)45。如圖(2)所示，此時OB平分；ZBOC的余角

有個(本身除外)，分別是.

(2)【實(shí)踐探究】

將NCOD繞著頂點(diǎn)O順時針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)如圖(3)位置，若/BOC=45。，射線OE在NBOC內(nèi)部，且

NBOC=3NBOE.請?zhí)骄浚?/p>

①NBOC的補(bǔ)角有個，分別是A；

②求NDOE的度數(shù).

19.利用折紙可以作出角平分線.

圖⑶

(1)［知識初探］

如圖(1)所示，若NAOB=58。，求NBOC的度數(shù)；

(2)［類比再探］

折疊長方形紙片，OC,OD均是折痕，折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A，，點(diǎn)B落在點(diǎn)B，，連接OAI如圖(2)

所示，當(dāng)點(diǎn)B，在OA，上時，判斷NAOC與/BOD的關(guān)系，并說明理由；

(3)［類比探究］

如圖(3)所示，在圖(2)的基礎(chǔ)上，當(dāng)點(diǎn)B，在NCOA，的內(nèi)部時，連接OB〔若NAOC=44。，ZBOD=61°,

求NA，OB，的度數(shù).

20.【建立概念】

直線。上有三個點(diǎn)4,B,C,若滿足BC=aaB,我們稱點(diǎn)C是點(diǎn)/關(guān)于點(diǎn)3的“半距點(diǎn)”.如圖

①，BC=^AB,此時點(diǎn)C就是點(diǎn)/關(guān)于點(diǎn)8的一個“半距點(diǎn)”.

圖①圖②善用圖

（1）【概念理解】

如圖②，直線/上有兩個點(diǎn)N,且MN=4cm.若點(diǎn)尸是點(diǎn)/關(guān)于點(diǎn)N的“半距點(diǎn)”，則NP=

cm.

（2）點(diǎn)/和點(diǎn)N是數(shù)軸上的兩個點(diǎn)（點(diǎn)/在點(diǎn)N的左側(cè)），MN=4cm,點(diǎn)P是點(diǎn)、M關(guān)于點(diǎn)N

的“半距點(diǎn)”，若點(diǎn)〃對應(yīng)的數(shù)為加，則點(diǎn)N對應(yīng)的數(shù)可表示為，點(diǎn)尸對應(yīng)的數(shù)可表示為—

（均用含有制的式子表示）

（3）【拓展應(yīng)用】

點(diǎn)M和點(diǎn)N在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為哄n,且|m+4|+01—16）2=0,點(diǎn)少是線段MN的中點(diǎn)，

尸、。兩點(diǎn)分別從點(diǎn)〃和N同時出發(fā)，沿數(shù)軸作勻速運(yùn)動，點(diǎn)尸的速度是每秒1個單位，點(diǎn)。的速

度是每秒3個單位

若點(diǎn)P向右運(yùn)動,點(diǎn)。向左運(yùn)動，在點(diǎn)K相遇，試判斷點(diǎn)K是否是點(diǎn)/關(guān)于點(diǎn)彳的“半距點(diǎn)”，

并請說明理由.

（4）在（3）的條件下，若P、。兩點(diǎn)向左運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒.當(dāng)點(diǎn)。恰好是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的

“半距點(diǎn)”時,求f的值.

21.綜合與探究

（1）如圖1,線段4B=16cm,C為線段AB上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)。，E分別是AC,BC的中點(diǎn).

②設(shè)AC=acm,則線段DE的長為cm.

（2）知識遷移：我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖2,若乙MON=60。,OC是乙4OB內(nèi)部

的一條射線，射線。M平分N40C,射線。N平分NBOC,求乙40B的度數(shù).

(3)已知“0D在乙40B內(nèi)的位置如圖3所示，若“0。=30。，且4OM=2乙4OM,乙CON=

24BON,求乙MON與乙4OB的數(shù)量關(guān)系.

22.如圖(1)所示，線段與線段BN重合，點(diǎn)。是它們的中點(diǎn)，保持4M不動，將BN繞點(diǎn)。

順時針旋轉(zhuǎn)m°(0＜血＜180)；射線OP從與射線OM重合開始，繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)(至多旋轉(zhuǎn)到

與射線ON重合為止).

在此基礎(chǔ)上，我們給出如下定義：比較ZP04與"OB的大小，若乙POAH4POB,則將其中較小

角的度數(shù)定義為OP對N40B的“迷你角度”；若NP04=乙POB,則將NP04或NPOB的度數(shù)定義為OP

對乙4OB的“迷你角度”.

圖(2)圖(3)圖(4)

(1)當(dāng)m=60時，

①如圖⑵所示，若n=138,求OP對乙4OB的“迷你角度，是多少度；

②若OP對乙4OB的“迷你角度”為65。，請借助圖(3)和圖(4)進(jìn)行分析，求出n的值是多少.

(2)若加：n=1：2時，OP對乙4OB的“迷你角度”是42°,請直接寫出血的值，不用說明理由.

23.如圖①、②、③、④四個圖形都是平面圖形，觀察圖②和表中對應(yīng)數(shù)值，探究計(jì)數(shù)的方法并

解答下面的問題.

(1)數(shù)一數(shù)每個圖各有多少頂點(diǎn)、多少條邊、這些邊圍成多少區(qū)域，將結(jié)果填入下表:

圖①②③④

頂點(diǎn)數(shù)(V)

邊數(shù)(E)

區(qū)域數(shù)(F)

(2)根據(jù)表中的數(shù)值，寫出平面圖的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間的關(guān)系；

(3)如果一個平面圖形有20個頂點(diǎn)和11個區(qū)域，求這個平面圖形的邊數(shù).

24.綜合與探究

已知NAOB、ZBOC,ZAOB=90°,

(1)若NBOC為銳角，OE、0D分別平分NAOB和NBOC,

①如圖1,當(dāng)射線0C在NAOB外部，/BOC=40。時，求NEOD的度數(shù)；

②當(dāng)NBOC=a(0°<a<90°)時，則NEOD的度數(shù)是▲；

(2)若NAOC和NBOC均為小于平角的角，OE、OD分別平分NAOC和NBOC,

①當(dāng)NBOC=40。，OC位置如圖2所示時，求NEOD的度數(shù).

②當(dāng)NBOC=a時(0。<01<180。)，則NEOD的度數(shù)是▲.

四'實(shí)踐探究題

25.小冬閱讀了教材中“借助三角尺畫角”的探究活動(如圖1、圖2的實(shí)物圖所示)，他在老師指導(dǎo)下

畫出了圖1所對應(yīng)的幾何圖形，并標(biāo)注了所使用三角尺的相應(yīng)角度(如圖3),他發(fā)現(xiàn)用一副三角尺還

能畫出其他特殊角.

請你借助三角尺完成以下畫圖，并標(biāo)注所使用三角尺的相應(yīng)角度.

(1)畫出圖2對應(yīng)的幾何圖形；

(2)設(shè)計(jì)用一副三角尺畫出105。角的畫圖方案，并畫出相應(yīng)的幾何圖形；

(3)如圖4,已知NM0N=30。，畫NMON的角平分線OP.

26.探究實(shí)驗(yàn)：《鐘面上的數(shù)學(xué)》

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模毫私忡娒嫔蠒r針與分針在轉(zhuǎn)動時的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會用一元一次方程解決鐘面上的有關(guān)數(shù)

學(xué)問題，體會數(shù)學(xué)建模思想.

實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備：機(jī)械鐘(手表)一只

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟：

(1)觀察與思考：

①時針每分鐘轉(zhuǎn)動。，分針每分鐘轉(zhuǎn)動?

②從3點(diǎn)整到3點(diǎn)20分,分針轉(zhuǎn)動的角度為。.

(2)操作與探究：

①若時間為2：30,則鐘面角為。(鐘面角是時針與分針?biāo)傻膴A角).

②1點(diǎn)整到3點(diǎn)整之間，鐘面角為90。的情況有種.

(3)拓展延伸：

晚上七點(diǎn)剛過，小強(qiáng)開始做數(shù)學(xué)作業(yè)，一看時鐘，發(fā)現(xiàn)此時時針和分針在同一直線上，他做完作業(yè),

八點(diǎn)不到，此時，時針和分針又在同一直線上，則小強(qiáng)做數(shù)學(xué)作業(yè)花了多少時間？(直接寫出答案)

27.如圖，將一張正方形紙片的4個角剪去4個大小一樣的小正方形，然后折起來就可以制成一個無

蓋的長方體紙盒，設(shè)這個正方形紙片的邊長為a,這個無蓋的長方體盒子高為h.

(1)若a=18cm,h=4cm,則這個無蓋長方體盒子的底面面積

為;

(2)用含a和h的代數(shù)式表示這個無蓋長方體盒子的容積

V=；

(3)若a=18cm,試探究：當(dāng)h越大，無蓋長方體盒子的容積V就越大嗎？請舉例說明；這個無

蓋長方體盒子的最大容積是.

小圣所在的綜合實(shí)踐小組準(zhǔn)備制作一些無蓋紙盒收納班級講臺上的粉筆.

【操作探究】

(1)圖1中的哪些圖形經(jīng)過折疊能圍成無蓋正方體紙盒？(填序號).

(2)小圣所在的綜合實(shí)踐小組把折疊成6個棱長都為2dm的無蓋正方體紙盒擺成如圖2所示的幾

何體.

①請計(jì)算出這個幾何體的體積；

②如果在這個幾何體上再添加一些相同的正方體紙盒，并保持從上面看到的形狀和從左面看到的

形狀不變，最多可以再添加個正方體紙盒.

答案解析部分

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】(1)-2.5；1；x-(-l)

(2)-4；2

(3)-1

(4)-5<x<2

7.【答案】解：根據(jù)點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，，AP=PB,

AAM-BM=AP+PM-(BP-PM)=AP+PM-PB+PM=2PM+AP-PB=2PM,

故2PM=AM-BM.

8.【答案】解：如圖，AB、AC為所作；

?b?

|----------1------f—L_)------------1

I--------------------q----------------------1ADCEBM

AC=2DE.

理由如下：?.?線段AB的中點(diǎn)是點(diǎn)D,線段BC的中點(diǎn)是點(diǎn)E,

VAD=BD,CE=BE,

AC=AD+CD=BD+CD=DE+BE+CD=DE+CE+CD=DE+DE=2DE.

9.【答案】(1)7

(2)-1

(3)嚶

(4)5

(5)120-30t；90-20t；30+10t

⑹解：郛或半秒或苧秒.

10.【答案】解：(1)根據(jù)圖形可得：NAOB<NAOC<NAOD<NAOE；

銳角的是NAOB,直角的是NAOC,鈍角的是NA0D,平角的是NAOE；

(2)根據(jù)圖形可得：

ZAOB=ZAOC-ZBOC；

ZAOB+ZBOC+ZAOC=ZAOE；

IL【答案】(1)乙；9

(2)解：①如圖所示，線段AB,射線AD即為所求；

②如圖所示，點(diǎn)M即在射線AD上，又在直線BC上；

③如圖所示，點(diǎn)N到A、B、C、D四個點(diǎn)的距離和最短.

方案二：兀x2?x6=24兀(cm3),

V36K>24K,

???方案一構(gòu)造的圓柱的體積大；

(2)方案一：兀x(京)2義3^^兀(cn?),

Z4

3

方案二：兀x(盤)2義5(cm),

Z4

..75、45

???方案一構(gòu)造的圓柱的體積大；

(3)由(1)、(2),得

以較長一組對邊中點(diǎn)所在直線為軸旋轉(zhuǎn)得到的圓柱的體積大.

13.【答案】解：理解計(jì)算：：ZBOC=ZAOB+ZAOC=90°+30°=120°,射線0M平分NBOC,二ZCOM=

|ZBOC=1X120°=60°,：0N平分NAOC,；.NCON=|ZAOC=1x30°=15°,.\ZMON=ZCOM

-ZCON=60°-15°=45°；拓展探究：VZBOC=ZAOB+ZAOC=a+p,;?射線OM平分/BOC,

/.ZCOM=|ZBOC=|(a+p),YON平分NAOC,.,.NCON=|ZAOC=1p,AZMON=ZCOM

-ZCON=1(a+p)-1p=1a；遷移應(yīng)用：VAB=m,BC=n,；.AC=AB+BC=m+n,\?點(diǎn)M,N

分別為AC,BC的中點(diǎn)，；.CM=1AC=1(m+n),CN=|BC=1n,/.MN=CM-CN=1m。

14.【答案】解；(1)證明：由題意可得：△ABDgAABE,AACD^AACF.

.,.ZDAB=ZEAB,ZDAC=ZFAC,又/BAC=45。，

?.ZEAF=90°.

XVAD1BC

???NE=NADB=90。，NF=NADC=900.

???四邊形AEGF是矩形，

又?.?AE=AD,AF=AD

??.AE=AF.

?,?矩形AEGF是正方形.

(2)解：設(shè)AD=x,貝ljAE=EG=GF=x.

,.?BD=2,DC=3

???BE=2,CF=3

/.BG=x-2,CG=x-3

在RtZkBGC中，BG2+CG2=BC2,

/.(x-2)2+(x-3)2=52.

化簡得，x2-5x-6=0

解得Xl=6,X2=-l（舍去）

所以AD=x=6.

15.【答案】（1）2

（2）2—V3;-3.5；5.5

（3）解：①4往左移動4個單位：（a—4）+a=0,

解得：a=2,

②4往右移動4個單位：（a+4）+a=0,

解得：a=—2,

綜上：a的值為2或—2.

16.【答案】（1）8；8

(2)解：因?yàn)?M平分zAOC,ON平分ZBOC,LAOB=120%

11

所以2MOC=RaOC,乙NOC="BOC.

1111

所以ZM0N=乙MOC+乙NOC="A0C+"BOC=^^AOB=今X120°=60°.

(3)解：因?yàn)镹AOB=a,ACOD=30°,

所以乙4?！?gt;+Z.BOC=a-30°.

因?yàn)閆OOM=2^AOM,乙CON=2乙BON,

22

=^ABOC,^DOM=^AAOD,

222

所以NMON=專乙BOC+乙COD+^AOD=1(zBOC+zAOD)+30°,

22

所以ZMON=^(a—30。)+30。=冢+10。.

17.【答案】(1)20°

(2)解：如圖2,由旋轉(zhuǎn)可知，ZAOC=ZBOD=a,

ZBOC=63°-a,NAOD=63°+a,

；NCOB是NAOD的內(nèi)半角，

/.ZCOB=iZAOD,即63°-a=63°+g,

乙z

解得a=21。，

當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度a為21。時，NCOB是NAOD的內(nèi)半角；

(3)解：在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，射線OA、OB、OC、OD能構(gòu)成內(nèi)半角，理由如下:

設(shè)按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角a,旋轉(zhuǎn)的時間為t,

①如圖，

VZBOC是NAOD的內(nèi)半角，ZAOC=ZBOD=a,

二ZAOD=30°+a,

.,.1(30°+a)=30°-a,

解得a=10。，

ZBOC是NAOD的內(nèi)半角，ZAOC=ZBOD=a,

二NAOD=30°+a,

.,.1(300+a)=a-30°,

解得a=90°,

t=當(dāng)=30秒;

③如圖，

,?ZAOD是NBOC的內(nèi)半角，ZAOC=ZBOD=360°-a,

ZBOC=360°+30°-a=390°-a,

.,.1(390°-a)=360°-a-30°,

解得a=270。，

綜上所述：在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，且射線OD始終在NAOB的外部，射線OA,OB,OC,OD能構(gòu)

成內(nèi)半角，旋轉(zhuǎn)的時間分別為：學(xué)秒；30秒；90秒.

18.【答案】(1)ZCOD；2；NAOC和NBOD

(2)解：①3；ZAOC,ZBOD,ZAOD

②因?yàn)镹BOC=45。，ZBOC=3ZBOE,

所以NBOE=1X45°=15°.

所以NCOE=ZBOC-ZBOE=450-15°=30°.

所以NDOE=ZCOD+ZCOE=90°+30°=120°.

19.【答案】(i)解：由折疊，知NAOC=/BOO|NAOB,

因?yàn)镹AOB=58。，所以NBOC=|NAOB=，58O=29。.

(2)解:NAOC+NBOD=90。.理由如下：

由折疊，知NAOC=NA，OC,所以NAOA，=2NAOC.

由折疊，知/BOD=/B，OD,所以NBOB，=2NBOD.

因?yàn)辄c(diǎn)B，落在OA，，

所以NAOA4NBOB，=180。.所以2ZAOC+2NBOD=180。.所以

ZAOC+ZBOD=90°.

(3)解：由折疊，知NAOA，=2NAOC,ZBOB^ZBOD.

因?yàn)镹AOC=44。，ZBOD=61°,

所以NAOA'=2NAOC=2X44°=88°,ZBOB'=2ZBOD=2x61°=

122°.

所以/"03'=/人0人4/308'-180。=88。+122。-180。=30。，即NA'OB，的度數(shù)為30°.

20.【答案】(1)2

(2)m+4；m+2或m+6

(3)解:K是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)小的“半距點(diǎn)”

理由如下

V|m+4|+(n-16)2=0,且|zn+4|20,(n-16)2>0,

m+4=0,n-16=0

.".m—4,n—16

所以MN=16-(-4)=20

因?yàn)辄c(diǎn)W是線段MN的中點(diǎn)

11

所以MW=2"N=2X20=10

設(shè)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動時間為t秒，則

t+3t=20

解得t=5

所以K點(diǎn)表示的數(shù)為：-4+5=1

所以MK=1-(-4)=5

所以WK=WM-MK=10-5=5

1

所以WK=^MW

所以K是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)W的“半距點(diǎn)”.

(4)解：設(shè)原點(diǎn)為。，

1若Q在。的右邊，

Iill1

PMOQN

則P0=4+t,0Q=16-3t,

若點(diǎn)Q恰好是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的“半距點(diǎn)”，

則16-3t=*(4+t),

解得t=4；

②若Q在。的左邊，

11111

PQMON

則P0=4+t,OQ=3t-16,

若點(diǎn)Q恰好是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的“半距點(diǎn)”，

則3t-16=,(4+t),

解得t=7.2；

綜上所述，t的值為4或72

21.【答案】(1)8；8

(2)解：0M平分zAOC,ON平分ZBOC,

11

工乙MOC=*乙AOC,乙NOC=^^BOC.

ill

?"MON=乙MOC+Z.NOC=^AOC+^BOC=^AOB,

"MON=60°,

，?乙408=60。，

:.(AOB=120°；

(3)解：■:乙COD=30°,

：.^AOD+乙BOC=乙4。8-30°.

VZDOM=2Z.AOM,(CON=2(BON,

22

，乙CON="BOC,^DOM=^AOD,

222

:?乙MON="BOC+乙COD+^AOD=^{Z,BOC+zXOZ))+30°,

22

:?乙MON=j(^AOB-30°)+30°=JzXOB+10°.

22.【答案】(1)解：vm=60,

???Z-AOB=60°,

???乙MOB=180°-60°=120°,

①如圖(2)所示，若幾=138,

則乙MOP=138°,

Z.POB=138°-120°=18°,AAOP=60°-18°=42°,

???乙POB<Z.AOP,

???OP對乙40B的“迷你角度”是18°；

②若0P對乙10B的“迷你角度為65°,

則ZPOB=65?；蛞?0P=65°,

當(dāng)NP0B=65。是0P對乙40B的“迷你角度”時，如圖,

乙M0P=120°-65°=55°,n=55°；

當(dāng)乙40P=65。是0P對NA0B的“迷你角度”時，如圖,

乙MOP=180°+65°=245°,n=245°；

綜上，n=55°或九=245°；

(2)解：m：n=1：2,

設(shè)m=￡，n=lx,

則乙40B=m=x,乙MOP=n=2x,

???OP對乙40B的“迷你角度”是42°,

①當(dāng)NPOB=42。是0P對乙40B的“迷你角度”，0P在ZM0B之間時,

如圖，2久+42°+%=180°,

x=46°,m=46°,

則NPOB=42°,APOA=46°+42°=88°,

Z.POB<Z.POA,符合要求;

A

當(dāng)乙POB=42。是OP對ZAOB的“迷你角度”，OP在ZAOB之間時,

如圖，x+2x-42°=180°,

x—74°,m=74°,

則ZPOB=42。，ZP02=74°-42°=32。，

/-POB>APOA,不符合要求；

②當(dāng)乙40P=42。是OP對NAOB的“迷你角度”，OP在乙4ON之間時，如圖,

2%-42°=180°,

x—111°,m—111°；

則NPO4=42°,Z.POB=111°+42°=153%乙POA<乙POB,故符合題意;

當(dāng)乙4OP=42。是OP對乙4OB的“迷你角度”，OP在乙40B之間時,

如圖