（人教A版）2024年高中數(shù)學(xué)高一暑假講義+練習(xí)06《等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》(原卷版)

.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第1課時(shí)不等關(guān)系與不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.會(huì)用不等式(組)表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系．(難點(diǎn))2．會(huì)用比較法比較兩實(shí)數(shù)的大?。?重點(diǎn))1.借助實(shí)際問(wèn)題表示不等式，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．2.通過(guò)大小比較，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).1．不等關(guān)系不等關(guān)系常用不等式來(lái)表示．2．實(shí)數(shù)a，b的比較大小文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)語(yǔ)言等價(jià)條件a－b是正數(shù)a－b＞0a＞ba－b等于零a－b＝0a＝ba－b是負(fù)數(shù)a－b＜0a＜b3.重要不等式一般地，?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．1．大橋頭豎立的“限重40噸”的警示牌，是指示司機(jī)要安全通過(guò)該橋，應(yīng)使車貨總重量T不超過(guò)40噸，用不等式表示為()A．T<40B．T>40C．T≤40D．T≥402．某高速公路要求行駛的車輛的速度v的最大值為120km/h，同一車道上的車間距d不得小于10m，用不等式表示為()A．v≤120km/h且d≥10mB．v≤120km/h或d≥10mC．v≤120km/hD．d≥10m3．雷電的溫度大約是28000℃，比太陽(yáng)表面溫度的4.5倍還要高．設(shè)太陽(yáng)表面溫度為t℃，那么t應(yīng)滿足的關(guān)系式是________．4．設(shè)M＝a2，N＝－a－1，則M、N的大小關(guān)系為_(kāi)_______．用不等式(組)表示不等關(guān)系【例1】京滬線上，復(fù)興號(hào)列車跑出了350km/h的速度，這個(gè)速度的2倍再加上100km/h，不超過(guò)民航飛機(jī)的最低時(shí)速，可這個(gè)速度已經(jīng)超過(guò)了普通客車的3倍，請(qǐng)你用不等式表示三種交通工具的速度關(guān)系．在用不等式組表示不等關(guān)系時(shí)，要進(jìn)行比較的各量必須具有相同性質(zhì)，沒(méi)有可比性的兩個(gè)或幾個(gè)量之間不可用不等式組來(lái)表示.另外，在用不等式組表示實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一定要注意單位的統(tǒng)一.1．用一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18m，要求菜園的面積不小于216m2，靠墻的一邊長(zhǎng)為xm．試用不等式表示其中的不等關(guān)系．比較兩數(shù)(式)的大小【例2】已知x≤1，比較3x3與3x2－x＋1的大小．把本例中“x≤1”改為“x∈R”，再比較3x3與3x2－x＋1的大?。鞑罘ū容^兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的基本步驟：2．比較2x2＋5x＋3與x2＋4x＋2的大?。坏汝P(guān)系的實(shí)際應(yīng)用【例3】某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車前往．甲車隊(duì)說(shuō)：“如領(lǐng)隊(duì)買全票一張，其余人可享受7.5折優(yōu)惠”．乙車隊(duì)說(shuō)：“你們屬團(tuán)體票，按原價(jià)的8折優(yōu)惠”．這兩車隊(duì)的原價(jià)、車型都是一樣的，試根據(jù)單位去的人數(shù)，比較兩車隊(duì)的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠．解決決策優(yōu)化型應(yīng)用題，首先要確定制約著決策優(yōu)化的關(guān)鍵量是哪一個(gè)，然后再用作差法比較它們的大小即可．3．甲、乙兩家旅行社對(duì)家庭旅游提出優(yōu)惠方案．甲旅行社提出：如果戶主買全票一張，其余人可享受五五折優(yōu)惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集體票，按七五折優(yōu)惠．如果這兩家旅行社的原價(jià)相同，那么哪家旅行社價(jià)格更優(yōu)惠？1．比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要求出它們的差就可以了．a(chǎn)－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a<b.2．作差法比較大小的一般步驟第一步：作差；第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將“差”化成“和”或“積”；第三步：定號(hào)，就是確定是大于0，等于0，還是小于0(不確定的要分情況討論)；最后得結(jié)論．概括為“三步一結(jié)論”，這里的“定號(hào)”是目的，“變形”是關(guān)鍵.1．思考辨析(1)不等式x≥2的含義是指x不小于2.()(2)若a<b或a＝b之中有一個(gè)正確，則a≤b正確．()(3)若a>b，則ac>bc一定成立．()2．下面表示“a與b的差是非負(fù)數(shù)”的不等關(guān)系的是()A．a(chǎn)－b＞0 B．a(chǎn)－b＜0C．a(chǎn)－b≥0 D．a(chǎn)－b≤03．若實(shí)數(shù)a>b，則a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”)．4．完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工共需付工資每人500元，請(qǐng)瓦工共需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算20000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，試用不等式表示上述關(guān)系．第2課時(shí)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.掌握不等式的性質(zhì)．(重點(diǎn))2．能利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)或式的大小比較或不等式的證明．(難點(diǎn))3．通過(guò)類比等式與不等式的性質(zhì)，探索兩者之間的共性與差異.1.通過(guò)不等式性質(zhì)的判斷與證明，培養(yǎng)邏輯推理能力．2．借助不等式性質(zhì)求范圍問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1．等式的性質(zhì)(1)性質(zhì)1如果a＝b，那么b＝a；(2)性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；(3)性質(zhì)3如果a＝b，那么a±c＝b±c；(4)性質(zhì)4如果a＝b，那么ac＝bc；(5)性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的基本性質(zhì)(1)對(duì)稱性：a＞b?b＜a.(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c.(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.(5)加法法則：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.(6)乘法法則：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.(7)乘方法則：a＞b＞0?an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．1．若a＞b，c＞d，則下列不等關(guān)系中不一定成立的是()A．a(chǎn)－b＞d－c B．a(chǎn)＋d＞b＋cC．a(chǎn)－c＞b－c D．a(chǎn)－c＜a－d2．與a>b等價(jià)的不等式是()A．|a|>|b|B．a(chǎn)2>b2C.eq\f(a,b)>1D．a(chǎn)3>b33．設(shè)x<a<0，則下列不等式一定成立的是()A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2C．x2<a2<ax D．x2>a2>ax利用不等式性質(zhì)判斷命題真假【例1】對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c下列命題中的真命題是()A．若a＞b，則ac2＞bc2B．若a＞b＞0，則eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)C．若a＜b＜0，則eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)D．若a＞b，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，則a＞0，b＜0運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷時(shí)，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì).解有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特殊值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算.1．下列命題正確的是()A．若a2＞b2，則a＞bB．若eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，則a＜bC．若ac＞bc，則a＞bD．若eq\r(a)＜eq\r(b)，則a＜b利用不等式性質(zhì)證明簡(jiǎn)單不等式【例2】若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求證：eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).本例條件不變的情況下，求證：eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)1利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問(wèn)題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.2應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.2．已知a>b，e>f，c>0，求證：f－ac<e－bc.不等式性質(zhì)的應(yīng)用[探究問(wèn)題]1．小明同學(xué)做題時(shí)進(jìn)行如下變形：∵2<b<3，∴eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，又∵－6<a<8，∴－2<eq\f(a,b)<4.你認(rèn)為正確嗎？為什么？提示：不正確．因?yàn)椴坏仁絻蛇呁艘砸粋€(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，但同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，在本題中只知道－6<a<8.不明確a值的正負(fù)．故不能將eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)與－6<a<8兩邊分別相乘，只有兩邊都是正數(shù)的同向不等式才能分別相乘．2．由－6<a<8，－4<b<2，兩邊分別相減得－2<a－b<6，你認(rèn)為正確嗎？提示：不正確．因?yàn)橥虿坏仁骄哂锌杉有裕荒芟鄿p，解題時(shí)要充分利用條件，運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)變形，而不可隨意“創(chuàng)造”性質(zhì)．3．你知道下面的推理、變形錯(cuò)在哪兒?jiǎn)?？?<a－b<4，∴－4<b－a<－2.又∵－2<a＋b<2，∴0<a<3，－3<b<0，∴－3<a＋b<3.這怎么與－2<a＋b<2矛盾了呢？提示：利用幾個(gè)不等式的范圍來(lái)確定某不等式的范圍要注意：同向不等式兩邊可以相加(相乘)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形．本題中將2<a－b<4與－2<a＋b<2兩邊相加得0<a<3，又將－4<b－a<－2與－2<a＋b<2兩邊相加得出－3<b<0，又將該式與0<a<3兩邊相加得出－3<a＋b<3，多次使用了這種轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致了a＋b范圍的擴(kuò)大．【例3】已知1＜a＜4,2＜b＜8，試求a－b與eq\f(a,b)的取值范圍．求含字母的數(shù)或式子的取值范圍時(shí)，一要注意題設(shè)中的條件，二要正確使用不等式的性質(zhì)，尤其是兩個(gè)同方向的不等式可加不可減，可乘不可除.3．已知－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的取值范圍．1．在應(yīng)用不等式性質(zhì)時(shí)，一定要搞清它們成立的前提條件，不可強(qiáng)化或弱化成立的條件．2．要注意“箭頭”是單向的還是雙向的，也就是說(shuō)每條性質(zhì)是否具有可逆性.1．思考辨析(1)若a>b，則ac>bc一定成立．()(2)若a＋c>b＋d，則a>b，c>d.()2．如果a＞b＞0，c＞d＞0，則下列不等式中不正確的是()A．a(chǎn)－d＞b－c B．－eq\f(a,d)＜－eq\f(b,c)C．a(chǎn)＋d＞b＋c D．a(chǎn)c＞bd3．若－1＜α＜β＜1，則下列各式中恒成立的是()A．－2＜α－β＜0 B．－2＜α－β＜－1C．－1＜α－β＜0 D．－1＜α－β＜14．若bc－ad≥0，bd>0.求證：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).A級(jí)：“四基”鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．若a>b，則b2＋1與3b－a的大小關(guān)系是()A．b2＋1>3b－a B．b2＋1≥3b－aC．b2＋1<3b－a D．b2＋1≤3b－a2．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0(a，b∈R)，則下列不等式恒成立的是()A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)＋b>abC．|a|>|b| D．a(chǎn)b<b23．設(shè)a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，則下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)c2>bc2 B．a(chǎn)－d>b－cC．a(chǎn)d<bd D．a(chǎn)2>b24．若－1<α<β<1，則下列各式中恒成立的是()A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<15．有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相同．已知三個(gè)房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x，y，z，且x<y<z，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用(單位：元/m2)分別為a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的總費(fèi)用(單位：元)是()A．a(chǎn)x＋by＋cz B．a(chǎn)z＋by＋cxC．a(chǎn)y＋bz＋cx D．a(chǎn)y＋bx＋cz二、填空題6．有以下四個(gè)條件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.其中能使eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的有________．7．已知60＜x＜84,28＜y＜33，則x－y的取值范圍為_(kāi)_______，eq\f(x,y)的取值范圍為_(kāi)_______．8．設(shè)x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，則實(shí)數(shù)a，