（人教A版）2024年高中數學高一暑假講義+練習05《全稱量詞與存在量詞》(原卷版)

.5全稱量詞與存在量詞1.5.1全稱量詞與存在量詞1.5.2全稱量詞命題和存在量詞命題的否定學習目標核心素養(yǎng)1.通過生活和數學中的豐富實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義以及全稱量詞命題和存在量詞命題的意義.2.掌握全稱量詞命題與存在量詞命題真假性的判定．(重點、難點)3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定．(重點、易混點)1.通過含量詞的命題的否定，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).2.借助全稱量詞命題和存在量詞命題的應用，提升數學運算素養(yǎng).1．全稱量詞與全稱量詞命題(1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示．(2)含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題，通常將含有變量x的語句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，變量x的取值范圍用M表示，那么全稱量詞命題“對M中任意一個x，p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M，p(x)．2．存在量詞與存在量詞命題(1)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示．(2)含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題，存在量詞命題“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”．思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有實數解”是存在量詞命題還是全稱量詞命題？請改寫成相應命題的形式．提示：是存在量詞命題，可改寫為“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．3．含有一個量詞的命題的否定﹁一般地，對于含有一個量詞的命題的否定，有下面的結論：全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)；存在量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)．全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．1．下列命題中全稱量詞命題的個數是()①任意一個自然數都是正整數；②有的菱形是正方形；③三角形的內角和是180°.A．0B．1C．2D．32．下列全稱量詞命題為真命題的是()A．所有的質數是奇數B．?x∈R，x2＋1≥1C．對每一個無理數x，x2也是無理數D．所有的能被5整除的整數，其末位數字都是53．下列命題中的假命題是()A．?x∈R，|x|≥0 B．?x∈N*，(x－1)2>0C．?x∈R，x＋2019<1 D．?x∈R,2x＞24．已知命題p：?x∈R，sinx≤1，則其否定是()A．￢p：?x∈R，sin≥1B．￢p：?x∈R，sinx≥1C．￢p：?x∈R，sinx＞1D．￢p：?x∈R，sinx＞1全稱量詞命題和存在量詞命題的判斷【例1】指出下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷它們的真假．(1)?x∈N,2x＋1是奇數；(2)存在一個x∈R，使eq\f(1,x－1)＝0；(3)對任意實數a，|a|＞0；(4)有一個角α，使sinα＝eq\f(1,2).全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法：1要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x證明px成立；但要判定全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個x，使得px不成立即可這就是通常所說的“舉出一個反例”.2要判定一個存在量詞命題是真命題，只要在限定集合M中，能找到一個x使px成立即可；否則，這個存在量詞命題就是假命題.1.判斷下列命題的真假．(1)任意兩個面積相等的三角形一定相似；(2)?x，y為正實數，使x2＋y2＝0；(3)在平面直角坐標系中，任意有序實數對(x，y)都對應一點P；(4)?x∈N，x2>0.含有一個量詞的命題的否定【例2】(1)設命題p：?n∈N，n2>2n，則命題p的否定為()A．?n∈N，n2>2n B．?n∈N，n2≤2nC．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n(2)命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2含有一個量詞的命題的否定的方法(1)一般地，寫含有一個量詞的命題的否定，首先要明確這個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并找到量詞及相應結論，然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞，存在量詞改成全稱量詞，同時否定結論．(2)對于省略量詞的命題，應先挖掘命題中隱含的量詞，改寫成含量詞的完整形式，再依據規(guī)則來寫出命題的否定．2．寫出下列命題的否定并判斷其真假：(1)p：?x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：?x∈R，x2＋2x＋3≤0；(4)s：至少有一個實數x，使x3＋1＝0.全稱量詞命題與存在量詞命題的應用【例3】對于任意實數x，函數y＝x2＋4x－1的函數值恒大于實數m，求m的取值范圍．求解含有量詞的命題中參數范圍的策略1對于全稱量詞命題“?x∈M，a＞y或a＜y”為真的問題，實質就是不等式恒成立問題，通常轉化為求函數y的最大值或最小值，即a＞ymax或a＜ymin.2對于存在量詞命題“?x∈M，a＞y或a＜y”為真的問題，實質就是不等式能成立問題，通常轉化為求函數y的最小值或最大值，即a＞ymin或a＜ymax.3．若命題“p：?x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命題，則實數m的取值范圍是()A．m≥1 B．m＞1C．m＜1 D．m≤11．判定一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題的主要方法是看命題中含有哪種量詞，判定時要特別注意省略量詞的全稱量詞命題．2．要判定一個全稱量詞命題為真命題，必須對限定集合M中的每一個元素x驗證p(x)成立，要判定其為假命題，只要舉出一個反例即可；對存在量詞命題真假的判定方法正好與之相反．3．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定，其模式是固定的，即把相應的全稱量詞改為存在量詞，存在量詞改為全稱量詞，并把命題的結論加以否定．1．思考辨析(1)命題“正方形都是長方形”是全稱量詞命題．()(2)命題“有些菱形是正方形”是全稱量詞命題．()(3)命題：?x∈R，x2－3x＋3>0的否定是?x?R，x2－3x＋3≤0.()2．下列存在量詞命題中，是假命題的是()A．?x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一個x∈Z，使x能同時被2和3整除C．有的三角形沒有外接圓D．某些四邊形不存在外接圓3．命題“存在一個無理數，它的平方是有理數”的否定是()A．任意一個有理數，它的平方是有理數B．任意一個無理數，它的平方不是有理數C．存在一個有理數，它的平方是有理數D．存在一個無理數，它的平方不是有理數4．判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷其真假．(1)對某些實數x，有2x＋1>0；(2)?x∈{3,5,7},3x＋1是偶數；(3)?x∈Q，x2＝3.A級：“四基”鞏固訓練一、選擇題1．命題“?x≥0，x3＋x≥0”的否定是()A．?x<0，x3＋x<0 B．?x<0，x3＋x≥0C．?x≥0，x3＋x<0 D．?x≥0，x3＋x≥02．命題“有些三角形是等腰三角形”的否定是()A．有些三角形不是等腰三角形B．所有三角形是等邊三角形C．所有三角形都不是等腰三角形D．所有三角形都是等腰三角形3．命題“?n∈N，n2＞2n”的否定是()A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2nC．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n4．命題“?m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有實數根”的否定是()A．?m∈R，方程x2＋mx＋1＝0無實數根B．不存在實數m，方程x2＋mx＋1＝0無實數根C．?m∈R，方程x2＋mx＋1＝0無實數根D．至多有一個實數m，使方程x2＋mx＋1＝0有實數根5．已知命題p：?x∈R，x2＋x＋a≠0，若命題p是假命題，則實數a的取值范圍是()A．a≤eq\f(1,4) B．a<eq\f(1,4)C．a<－eq\f(1,4)或a>0 D．a≤－eq\f(1,4)或a≥0二、填空題6．命題p：?x∈R，x2＋3x＋2<0，則命題p的否定為________．7．命題“存在一個三角形沒有外接圓”的否定是________．8．若命題“?x∈R,2x2＋3x＋a≠0”是假命題，則實數a的取值范圍是________．三、解答題9．寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假：(1)關于x的方程ax＝b都有實數根；(2)有些正整數沒有1和它本身以外的約數；(3)對任意實數x1，x2，若x1<x2，則xeq\o\al(2,1)＋1<xeq\o\al(2,2)＋1；(4)?x>1，x2－2x－3