2.3.1解一元二次方程-公式法

第1頁（共26頁）解一元二次方程—公式法1．（2015?杭州模擬）已知4個數(shù)據(jù)：，，a，b，其中a、b是方程x2﹣2x﹣1=0的兩個根，則這4個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．1 B． C．2 D．【考點】解一元二次方程-公式法；中位數(shù)．【分析】先求出a、b的值，再求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．【解答】解：∵a、b是方程x2﹣2x﹣1=0的兩個根，∴a=1+，b=1﹣，或a=1﹣，b=1+，這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，1﹣，1+，，中位數(shù)為（1﹣+1+）÷2=1，故選：A．【點評】本題考查的是一元二次方程與統(tǒng)計知識相結(jié)合的題目，是中等題．2．（2015秋?綦江區(qū)期末）方程x2﹣x﹣6=0的解是（）A．x1=﹣3，x2=2 B．x1=3，x2=﹣2 C．無解 D．x1=﹣6，x2=1【考點】解一元二次方程-公式法．【分析】利用公式法即可求解．【解答】解：a=1，b=﹣1，c=﹣6△=1+24=25＞0∴x=解得x1=3，x2=﹣2；故選B．【點評】本題主要考查了一元二次方程的求根公式，對于公式正確記憶是解題關鍵．3．（2015秋?廈門期末）關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根是（）A． B． C． D．【考點】解一元二次方程-公式法．【分析】熟記求根公式x=，進行選擇即可．【解答】解：當a≠0，b2﹣4ac＞0時，一元二次方程的求根公式為x=，故選D．【點評】本題考查了用公式法解一元二次方程，解一元二次方程的方法還有，配方法、因式分解法，要熟練掌握．4．（2015秋?武清區(qū)期中）用公式法解方程6x﹣8=5x2時，a、b、c的值分別是（）A．5、6、﹣8 B．5、﹣6、﹣8 C．5、﹣6、8 D．6、5、﹣8【考點】解一元二次方程-公式法．【分析】將原方程化為一般式，然后再判斷a、b、c的值．【解答】解：原方程可化為：5x2﹣6x+8=0；∴a=5，b=﹣6，c=8；故選C．【點評】此題主要考查確定一元二次方程三個系數(shù)的方法．首先要把方程轉(zhuǎn)化為一般形式．5．（2015秋?遼陽校級期中）一元二次方程4x2﹣x=1的解是（）A．x=0 B．x1=0，x2=4C．x1=0，x2= D．x1=，x2=【考點】解一元二次方程-公式法．【專題】計算題．【分析】方程整理后，利用公式法求出解即可．【解答】解：方程整理得：4x2﹣x﹣1=0，這里a=4，b=﹣1，c=﹣1，∵△=1+16=17，∴x=，解得：x1=，x2=，故選D【點評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．6．（2015秋?和平區(qū)期中）一元二次方程x2﹣x﹣1=0的兩個實數(shù)根中較大的根是（）A．1+ B． C． D．【考點】解一元二次方程-公式法．【分析】利用求根公式x=求得方程的兩個根，然后找出較大的根即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1=0中，a=1，b=﹣1，c=﹣1，∴x==，∴一元二次方程x2﹣x﹣1=0的兩個實數(shù)根中較大的根是．故選：B．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣公式法，熟記求根公式即可解答該題．7．（2015秋?武漢校級月考）用公式法解一元二次方程3x2﹣2x+3=0時，首先要確定a、b、c的值，下列敘述正確的是（）A．a(chǎn)=3，b=2，c=3 B．a(chǎn)=﹣3，b=2，c=3 C．a(chǎn)=3，b=2，c=﹣3 D．a(chǎn)=3，b=﹣2，c=3【考點】解一元二次方程-公式法．【分析】首先找出a、b、c的值，進一步比較得出答案即可．【解答】解：3x2﹣2x+3=0，a=3，b=﹣2，c=3．故選：D．【點評】本題考查了用公式法解一元二次方程，一元二次方程的一般形式的應用，注意：項的系數(shù)帶著前面的符號．8．（2015秋?安陸市校級月考）用公式解方程﹣3x2+5x﹣1=0，正確的是（）A．x= B．x= C．x= D．x=【考點】解一元二次方程-公式法．【分析】求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：﹣3x2+5x﹣1=0，b2﹣4ac=52﹣4×（﹣3）×（﹣1）=13，x==，故選C．【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，能正確利用公式解一元二次方程是解此題的關鍵．9．（2015秋?峨山縣校級月考）用公式法解方程x2﹣x=2時，求根公式中的a，b，c的值分別是（）A．a(chǎn)=1，b=1，c=2 B．a(chǎn)=1，b=﹣1，c=﹣2C．a(chǎn)=1，b=1，c=﹣2 D．a(chǎn)=1，b=﹣1，c=2【考點】解一元二次方程-公式法．【專題】計算題；一次方程（組）及應用．【分析】方程整理為一般形式，找出a，b，c的值即可．【解答】解：將方程整理得：x2﹣x﹣2=0，這里a=1，b=﹣1，c=﹣2，故選B【點評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關鍵．10．（2014?荊州）已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0較大的根，則下面對α的估計正確的是（）A．0＜α＜1 B．1＜α＜1.5 C．1.5＜α＜2 D．2＜α＜3【考點】解一元二次方程-公式法；估算無理數(shù)的大?。緦ｎ}】判別式法．【分析】先求出方程的解，再求出的范圍，最后即可得出答案．【解答】解：解方程x2﹣x﹣1=0得：x=，∵a是方程x2﹣x﹣1=0較大的根，∴a=，∵2＜＜3，∴3＜1+＜4，∴＜＜2，故選：C．【點評】本題考查了解一元二次方程，估算無理數(shù)的大小的應用，題目是一道比較典型的題目，難度適中．11．（2014?淄博）一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（）A．x1=x2= B．x1=0，x2=﹣2 C．x1=，x2=﹣3 D．x1=﹣，x2=3【考點】解一元二次方程-公式法．【專題】計算題．【分析】找出方程中二次項系數(shù)a，一次項系數(shù)b及常數(shù)項c，再根據(jù)x=，將a，b及c的值代入計算，即可求出原方程的解．【解答】解：∵a=1，b=2，c=﹣6∴x====﹣±2，∴x1=，x2=﹣3；故選：C．【點評】此題考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程時，首先將方程化為一般形式，找出二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項，計算出根的判別式，當根的判別式≥0時，將a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．12．（2014?武侯區(qū)校級自主招生）如圖，若將左圖正方形剪成四塊，恰能拼成右圖的矩形，設a=1，則這個正方形的面積為（）A． B． C． D．（1+）2【考點】解一元二次方程-公式法；二次根式的應用；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【分析】從圖中可以看出，正方形的邊長=a+b，所以面積=（a+b）2，矩形的長和寬分別是a+2b，b，面積=b（a+2b），兩圖形面積相等，列出方程得=（a+b）2=b（a+2b），其中a=1，求b的值，即可求得正方形的面積．【解答】解：根據(jù)圖形和題意可得：（a+b）2=b（a+2b），其中a=1，則方程是（1+b）2=b（1+2b）解得：b=，所以正方形的面積為（1+）2=．故選A．【點評】本題的關鍵是從兩圖形中，找到兩圖形的邊長的值，然后利用面積相等列出等式求方程，解得b的值，從而求出邊長，求面積．13．（2014?沈陽校級模擬）方程mx2﹣4x+1=0（m＜0）的根是（）A． B． C． D．【考點】解一元二次方程-公式法．【專題】計算題；一次方程（組）及應用．【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．【解答】解：這里a=m，b=﹣4，c=1，∵△=16﹣4m，∴x==．故選B．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關鍵．14．（2014?沈陽校級模擬）用公式法解一元二次方程，正確的應是（）A． B． C． D．【考點】解一元二次方程-公式法．【專題】計算題；一次方程（組）及應用．【分析】方程整理后，利用公式法求出解即可．【解答】解：方程整理得：4x2﹣8x﹣1=0，這里a=4，b=﹣8，c=﹣1，∵△=64+16=80，∴x==，故選B．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關鍵．15．（2014?沈陽校級模擬）關于x的一元二次方程的兩根應為（）A． B．， C． D．【考點】解一元二次方程-公式法．【專題】計算題．【分析】先把方程化為一般式，再計算判別式的值，然后利用求根公式解方程即可．【解答】解：x2﹣3ax+a2=0，△=（﹣3a）2﹣4××a2=a2，x=．所以x1=a，x2=a．故選B．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．記住一元二次方程的求根公式．16．（2013秋?綦江縣校級期末）方程x（x﹣1）=2的兩根為（）A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=﹣1 C．x1=1，x2=2 D．x1=﹣1，x2=2【考點】解一元二次方程-公式法．【專題】計算題．【分析】解此題時應該先化簡、整理，然后根據(jù)方程形式用公式法進行解答．【解答】解：方程移項并化簡得x2﹣x﹣2=0，a=1，b=﹣1，c=﹣2△=1+8=9＞0∴x=解得x1=﹣1，x2=2．故選D．【點評】本題考查了公式法解方程，公式法是所有一元二次方程都適用的方法．17．（2013秋?溫州校級期末）已知b2﹣4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一個實數(shù)根，則ab的取值范圍為（）A．a(chǎn)b≥ B．a(chǎn)b≤ C．a(chǎn)b≥ D．a(chǎn)b≤【考點】解一元二次方程-公式法．【專題】計算題．【分析】設u=，利用求根公式得到關于u的兩個一元二次方程，并且這兩個方程都有實根，所以由判別式大于或等于0即可得到ab≤．【解答】解：因為方程有實數(shù)解，故b2﹣4ac≥0．由題意有：=b2﹣4ac或=b2﹣4ac，設u=，則有2au2﹣u+b=0或2au2+u+b=0，（a≠0）因為以上關于u的兩個一元二次方程有實數(shù)解，所以兩個方程的判別式都大于或等于0，即得到1﹣8ab≥0，所以ab≤．故選B．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的求根公式：x=（b2﹣4ac≥0）．18．（2014秋?惠州期中）方程（x﹣5）（x+2）=1的解為（）A．5 B．﹣2C．5和﹣2 D．以上結(jié)論都不對【考點】解一元二次方程-公式法．【分析】先把原方程化成一般形式，再代入求根公式x=，進行計算即可．【解答】解：∵（x﹣5）（x+2）=1，∴x2﹣3x﹣11=0，∵a=1，b=﹣3，c=﹣11，∴x==；故選D．【點評】此題考查了公式法解一元二次方程，用到的知識點是一元二次方程的求根公式，x=，注意△≥0．19．（2014秋?市北區(qū)校級月考）用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正確的是（）A．x1、2= B．x1、2=C．x1、2= D．x1、2=【考點】解一元二次方程-公式法．【專題】計算題．【分析】用公式法解一元二次方程時，首先要把方程化為一般形式，然后再確定a、b、c的值，代入公式即可．【解答】解：∵3x2+4=12x∴3x2﹣12x+4=0∴a=3，b=﹣12，c=4∴x1、2=，故選D．【點評】此題考查了學生對公式掌握的熟練程度，用公式法解一元二次方程時要注意把方程化為一般形式．20．（2014春?壽縣校級月考）下列說法正確的是（）A．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0B．方程x2=x的解是x=1C．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0的根是x=D．方程x（x+2）（x﹣3）=0的實數(shù)根有三個【考點】解一元二次方程-公式法；一元二次方程的一般形式；解一元二次方程-因式分解法．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，因式分解法解方程，求根公式進行判斷．【解答】解：A、當ax2+bx+c=0中的a=0時，該方程不是一元二次方程．故本選項錯誤；B、方程x2=x的解是x=1或x=0．故本選項錯誤；C、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0，且a≠0．故本選項錯誤；D、方程x（x+2）（x﹣3）=0的實數(shù)根是x=0或x=﹣2或x=3，共3個．故本選項正確；故選：D．【點評】本題考查了解一元二次方程的方法，一元二次方程的一般形式．一般地，任何一個關于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項；c叫做常數(shù)項．一次項系數(shù)b和常數(shù)項c可取任意實數(shù)，二次項系數(shù)a是不等于0的實數(shù)，這是因為當a=0時，方程中就沒有二次項了，所以，此方程就不是一元二次方程了．21．（2013?日照）已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的較小根為x1，則下面對x1的估計正確的是（）A．﹣2＜x1＜﹣1 B．﹣3＜x1＜﹣2 C．2＜x1＜3 D．﹣1＜x1＜0【考點】解一元二次方程-公式法；估算無理數(shù)的大?。痉治觥壳蟪龇匠痰慕?，求出方程的最小值，即可求出答案．【解答】解：x2﹣x﹣3=0，b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）=13，x=，方程的最小值是，∵3＜＜4，∴﹣3＞﹣＞﹣4，∴﹣＞﹣＞﹣2，∴﹣＞﹣＞﹣2，∴﹣1＞＞﹣故選：A．【點評】本題考查了求一元二次方程的解和估算無理數(shù)的大小的應用，關鍵是求出方程的解和能估算無理數(shù)的大?。?2．（2013?船山區(qū)校級自主招生）若m、n（m＜n）是關于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的兩根，且a＜b，則a、b、m、n的大小關系是（）A．m＜a＜b＜n B．a(chǎn)＜m＜n＜b C．a(chǎn)＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b【考點】解一元二次方程-公式法．【專題】壓軸題．【分析】方程可以化簡為x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，根據(jù)求根公式即可求得方程的兩個根，再根據(jù)m＜n，a＜b，即可判斷．【解答】解：方程可以化簡為x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，根據(jù)求根公式得到：x=，又因m=＜a，n=＞b，∵a=，b=∵a＜b，∴a＜＜b，又∵＜＜＜＜，∴m＜a＜b＜n．故本題選A．【點評】根據(jù)求根公式求出m，n的值，正確比較m，a的大小是解決本題的關鍵．23．（2013秋?霞山區(qū)校級月考）方程x2﹣x﹣1=0的根是（）A．x1=，x2= B．x1=，x2=C．x1=，x2= D．沒有實數(shù)根【考點】解一元二次方程-公式法．【分析】求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可．【解答】解：這里a=1，b=﹣1，c=﹣1，b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5，x=，x1=，x2=，故選B．【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，主要考查學生的計算能力．24．（2012?長汀縣校級模擬）已知m＞n＞0，且m2+n2=4mn，則的值等于（）A． B． C． D．2【考點】解一元二次方程-公式法；分式的化簡求值．【分析】先由條件變形為m2+n2﹣2mn=2mn，可以求得（m﹣n）2=2mn，可以表示出m+n和m﹣n，然后代入代數(shù)式求出其值就可以了．【解答】解：∵m2+n2=4mn，∴（m﹣n）2=2mn，∵m＞n＞0，∴m﹣n=，∵m2+n2=4mn，∴（m+n）2=6mn．∵m＞n＞0，∴m+n=．∵===．故答案為：．故選A．【點評】本題考查了解一元二次方程的方法，公式法的運用，分式的化簡求值的運用．解答本題利用完全平方公式變形是關鍵．25．（2012秋?元謀縣校級期中）下列說法正確的是（）A．方程3x2=5x﹣1中，a=3、b=5、c=1B．一元二次方程a2+bx+c=0（a≠0），當b2﹣4ac≥0時，它的根是C．方程x2=9的一般形式為x2﹣9=0D．方程（x+2）（x﹣4）=0的解是x1=2，x2=4【考點】解一元二次方程-公式法；一元二次方程的一般形式；解一元二次方程-因式分解法．【專題】計算題．【分析】根據(jù)一元二次方程的一般式對A、C進行判斷；根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式對B進行判斷；根據(jù)因式分解法解一元二次方程對D進行判斷．【解答】解：A、方程化為一般式得3x2﹣5x+1=0，則a=3、b=﹣5、c=1，所以A選項錯誤；B、一元二次方程a2+bx+c=0（a≠0），當b2﹣4ac≥0時，它的根是x=，所以B選項錯誤；C、方程x2=9的一般形式為x2﹣9=0，所以C選項正確；D、方程（x+2）（x﹣4）=0的解是x1=﹣2，x2=4，所以D選項錯誤．故選C．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣公式法：把x=（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式；用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了一元二次方程的一般式．26．（2011?浙江校級自主招生）如果a、b都是正實數(shù)，且，那么=（）A． B． C． D．【考點】解一元二次方程-公式法；解分式方程．【專題】計算題．【分析】整理后得出a2+ab﹣b2=0，把b當作已知數(shù)，求出a的值，代入求出即可．【解答】解：++=0，即=﹣，去分母后整理得：a2+ab﹣b2=0，∵a、b都是正實數(shù)∴a==，即a=，∴==，故選C．【點評】本題考查了解分式方程和解二元一次方程的應用，關鍵是能把b當作已知數(shù)求出a的值，題目具有一定的代表性，有一定的難度．27．（2011秋?武昌區(qū)校級期中）用公式解方程3x﹣1﹣2x2=0的過程中，a、b、c的值分別是（）A．a(chǎn)=3b=﹣1c=﹣2 B．a(chǎn)=﹣2b=﹣1c=3C．a(chǎn)=﹣2b=3c=﹣1 D．a(chǎn)=﹣1b=3c=﹣2【考點】解一元二次方程-公式法．【分析】先把方程3x﹣1﹣2x2=0，化為一般形式，再找到a，b，c即可．【解答】解：∵3x﹣1﹣2x2=0，∴﹣2x2+3x﹣1=0，∴a=﹣2，b=3，c=﹣1故選C．【點評】本題考查了用公式法求一元二次方程的解，再解方程時首先要將方程化為一般形式，正確的找到各項的系數(shù)．28．（2010?從化市一模）若關于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k=0的一個根為1，則另一個根為（）A．2 B．﹣1 C． D．【考點】解一元二次方程-公式法；一元二次方程的解．【分析】首先把x=1代入方程，即可求得k的值，代入k的值，解方程即可求得．【解答】解：根據(jù)題意得：2×1﹣3×1﹣k=0∴k=﹣1∴方程為：2x2﹣3x+1=0解得：x1=1，x2=．故選C．【點評】此題考查了方程解的定義．還應注意根與系數(shù)的關系的應用，解題時會更簡單．29．（2010秋?張家港市期末）方程x2﹣2x﹣4=0的一較小根為x1，下面對x1的估計正確的是（）A．﹣3＜x1＜﹣2 B． C． D．﹣1＜x1＜0【考點】解一元二次方程-公式法；估算無理數(shù)的大小．【專題】計算題．【分析】先根據(jù)求根公式求出原方程的根，再來估計較小根x1的大小．【解答】解：原方程的解為：x=，即x=1±，∵方程x2﹣2x﹣4=0的一較小根為x1，∴原方程的兩根為：x1=1﹣，x2=1；∵4＜5＜，∴2＜＜2.5，∴﹣2.5＜＜﹣2，∴﹣1.5＜1﹣＜﹣1，即﹣＜x1＜﹣1．故選C．【點評】本題主要考查了解一元二次方程﹣公式法、估算無理數(shù)的大?。獯鸫祟}時，采用了“加逼法”來估算無理數(shù)的大小．30．（2009秋?臺兒莊區(qū)期中）如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必須滿足的條件是（）A．b2﹣4ac≥0 B．b2﹣4ac≤0 C．b2﹣4ac＞0 D．b2﹣4ac＜0【考點】解一元二次方程-公式法．【分析】若一元二次方程能用公式法求解，則根的判別式必大于或等于0，由此可判斷出正確的選項．【解答】解：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，則b2﹣4ac≥0；故選A．【點評】在應用公式法解一元二次方程的過程中，前提條件是根的判別式△=b2﹣4ac≥0；若b2﹣4ac＜0，則一元二次方程無實數(shù)根．1．（2008?馬鞍山校級自主招生）已知方程x2﹣8x+4=0較大的根為a，則與a3最接近的整數(shù)是（）A．414 B．415 C．416 D．417【考點】解一元二次方程-公式法；估算無理數(shù)的大?。緦ｎ}】計算題．【分析】先求出方程x2﹣8x+4=0的根，再得出a，代入a3得出a3最接近的整數(shù)．【解答】解：∵a=1，b=﹣8，c=4，△=b2﹣4ac=（﹣8）2﹣4×1×4=64﹣16=48，∴x====4±2，∴較大根為a=4+2，∴a3=（4+2）3≈7.4643≈416．故選C．【點評】本題考查了用公式法解一元二次方程以及估計無理數(shù)的大小，是中檔題，難度偏大．2．（2007春?曲阜市校級月考）若方程（m﹣2）x|m|﹣2x+1=0是一元二次方程，則方程的根是（）A． B．C． D．以上答案都不對【考點】解一元二次方程-公式法；一元二次方程的定義．【專題】計算題．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義求出m，求出方程的b2﹣4ac，代入x=進行計算即可得到答案．【解答】解：∵方程（m﹣2）x|m|﹣2x+1=0是一元二次方程，∴m﹣2≠0，|m|=2，∴m=﹣2，∴方程為：﹣4x2﹣2x+1=0，b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×（﹣4）×1=20，∴x==，x1=，x2=．故選B．【點評】本題主要考查對解一元二次方程﹣公式法，一元二次方程的定義等知識點的理解和掌握，能求出m的值并熟練地運用公式法解一元二次方程是解此題的關鍵．3．當x=（a≠0，b2﹣4ac＞0）時，代數(shù)式ax2+bx+c的值是（）A．0 B． C．﹣ D．【考點】解一元二次方程-公式法．【分析】因為一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根為x=，所以代入任何一個根，方程都成立，由此得出答案即可．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根為x=，∴當x=時，ax2+bx+c=0．故選：A．【點評】此題考查解一元二次方程的方法﹣公式法，一元二次方程的解，關鍵是掌握求根公式．4．若實數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算“﹡”，使a*b=（a+1）2﹣ab，則方程（x+2）*5=0的解為（）A．﹣2 B．﹣2，3 C． D．【考點】解一元二次方程-公式法．【專題】新定義．【分析】根據(jù)運算“﹡”的規(guī)則，可將所求的方程化為：（x+2+1）2﹣5（x+2）=0，然后解這個一元二次方程即可．【解答】解：依題意，可將所求方程轉(zhuǎn)化為：（x+3）2﹣5（x+2）=0，化簡得：x2+x﹣1=0解得x1=，x2=，故選D．【點評】本題是一個閱讀型的問題，弄清新運算的規(guī)則是解答此類題的關鍵．5．以x=為根的一元二次方程可能是（）A．x2+bx+c=0 B．x2+bx﹣c=0 C．x2﹣bx+c=0 D．x2﹣bx﹣c=0【考點】解一元二次方程-公式法．【分析】對照求根公式確定二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．【解答】解：根據(jù)求根公式知，﹣b是一次項系數(shù)，二次項系數(shù)是1或﹣1，常數(shù)項是﹣c或c．所以，符合題意的只有D選項．故選D．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．利用求根公式x=解方程時，一定要弄清楚該公式中的字母a、b、c所表示的意義．6．下列各數(shù)中，是方程x2﹣（1+）x+=0的解的有（）①1+；②1﹣；③1；④﹣A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【考點】解一元二次方程-公式法．【專題】計算題．【分析】利用公式法即可求得方程的解．【解答】解：a=1，b=﹣（1+），c=△=（1+）2﹣4=（1﹣）2＞0∴x=∴x1=1，x2=，所以四個選項中，是方程的解的只有一個1，故選B．【點評】根據(jù)方程的特點，靈活選擇解方程的方法，一般能用因式分解法的要用因式分解法，難以用因式分解法的再用公式法．7．用公式法解一元二次方程x2﹣5x=6，解是（）A．x1=3，x2=2 B．x1=﹣6，x2=﹣1 C．x1=6，x2=﹣1 D．x1=﹣3，x2=﹣2【考點】解一元二次方程-公式法．【專題】計算題．【分析】運用公式法，首先確定a，b，c的值，然后判斷方程是否有解，如有解代入公式即可求解．【解答】解：∵x2﹣5x=6∴x2﹣5x﹣6=0∵a=1，b=﹣5，c=﹣6∴b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×1×（﹣6）=49∴x=∴x1=6，x2=﹣1．故選C．【點評】解一元二次方程時要注意解題方法的選擇，配方法和求根公式法適用于任何一元二次方程，不過麻煩．還要注意題目有無解題要求，要按要求解題．8．方程ax2+bx+c=0（a＜0）有兩個實根，則這兩個實根的大小關系是（）A．≥B．＞C．≤D．＜【考點】解一元二次方程-公式法．【專題】計算題．【分析】根據(jù)≥0即可判斷．【解答】解：在△=b2﹣4ac中，當b2=4ac時，有兩根相等的情況，又a＜0，∴≥．故選A．【點評】此題考查了公式法中的公式，解題的關鍵是熟練應用公式．9．已知關于x的一元二次方程x2﹣px+q=0有兩個根，則這兩個根是（）A．x= B．x= C．x= D．x=【考點】解一元二次方程-公式法．【專題】計算題．【分析】先求出根的判別式，再代入公式，即可求出答案．【解答】解：x2﹣px+q=0，△=（﹣p）2﹣4q=p2﹣4q，x=，故選A．【點評】本題考查了用公式法解一元二次方程的應用，主要考查學生的計算能力．二．解答題（共21小題）10．解方程：x2+3=2x．【考點】解一元二次方程-公式法．【分析】先移項，再配方，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：移項得：x2﹣2x+3=0，（x﹣）2=0，x﹣=0，x1=x2=．【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，主要考查學生的計算能力．11．解方程：400+4（1+x）+4（1+x）2=1324．【考點】解一元二次方程-公式法．【專題】計算題．【分析】方程整理后，利用配方法求出解即可．【解答】解：方程整理得：4（1+x）2+4（1+x）=924，即（1+x）2+（1+x）=231，配方得：（1+x+）2=231，開方得：x+=±，解得：x1=﹣+，x2=﹣﹣．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關鍵．12．選擇恰當?shù)姆绞浇夥匠蹋海?）x2+6x﹣16=0；（2）x2+1=2x．【考點】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．【專題】計算題．【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；（2）方程變形后，利用公式法求出解即可．【解答】解：（1）分解因式得：（x﹣2）（x+8）=0，可得x﹣2=0或x+8=0，解得：x1=2，x2=﹣8；（2）方程整理得：x2﹣2x+1=0，這里a=1，b=﹣2，c=1，∵△=20﹣4=16，∴x==±2．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關鍵．13．解方程：x2﹣|x﹣2|﹣6=0．【考點】解一元二次方程-公式法．【專題】分類討論．【分析】先分兩種情況討論，去掉絕對值，再根據(jù)求根公式進行計算即可．【解答】解：x2﹣|x﹣2|﹣6=0，當x﹣2＞0時，x2﹣x+2﹣6=0，則x2﹣x﹣4=0，解得：x==，x1=，x2=；當x﹣2＜0時，x2+x﹣8=0，解得：x==，x1=，x2=．【點評】此題考查了公式法解一元二次方程，掌握求根公式是本題的關鍵，注意分兩種情況討論．14．關于x的方程（a﹣）x2+2x+1=0不是一元二次方程，而方程x2=b只有一個實數(shù)根，解關于x的方程ax2+（b+1）x﹣=0．【考點】解一元二次方程-公式法；一元二次方程的定義；解一元二次方程-直接開平方法．【專題】計算題．【分析】由已知方程不為一元二次方程求出a的值，根據(jù)方程只有一個實數(shù)根確定出b的值，代入方程計算即可求出解．【解答】解：方程（a﹣）x2+2x+1=0不是一元二次方程，方程x2=b只有一個實數(shù)根，得到a=，b=0，代入方程得：x2+x﹣=0，即2x2+4x﹣1=0，這里a=2，b=4，c=﹣1，∵△=16+8=24，∴x==．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，一元二次方程的定義，熟練掌握求根公式是解本題的關鍵．15．解方程：[2000（1+x）﹣1000]（1+x）=1091.8．【考點】解一元二次方程-公式法．【分析】根據(jù)整式的乘法，可轉(zhuǎn)化成一元二次方程的一般形式，根據(jù)公式法，可得方程的解．【解答】解：化成一般式，得2000x2+3000x﹣91.8=0，a=2000，b=3000，c=﹣91.8，x===，∴x1=，x2=．【點評】本題考查了解一元二次方程，利用了公式法，注意先把方程化成一般形式再求解．16．用公式法解下列方程：（1）2x2﹣6x+3=0；（2）（x+1）（x﹣3）=6．【考點】解一元二次方程-公式法．【專題】計算題．【分析】兩方程整理后，找出a，b，c的值，計算出根的判別式大于0，代入求根公式即可求出解．【解答】解：（1）這里a=2，b=﹣6，c=3，∵△=36﹣24=12，∴x==；（2）方程整理得：x2﹣2x﹣9=0，這里a=1，b=﹣2，c=﹣9，∵△=4+36=40，∴x==1±．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關鍵．17．若x2+mx+15=（x+5）（x+n），試解關于x的方程nx2+mx+1=0．【考點】解一元二次方程-公式法；多項式乘多項式．【專題】計算題．【分析】已知等式右邊利用多項式乘以多項式法則計算，再利用多項式相等的條件求出m與n的值，代入方程計算即可求出解．【解答】解：x2+mx+15=（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n，得到m=n+5，5n=15，解得：m=8，n=3，代入方程得：3x2+8x+1=0，這里a=3，b=8，c=1，∵△=64﹣12=52，∴x==．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關鍵．18．用公式法解方程：（3y﹣1）（y+2）=11y﹣4．【考點】解一元二次方程-公式法．【分析】先整理，再求出b2﹣4ac的值，最后代入求出即可．【解答】解：整理得：3y2﹣6y+2=0，b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×3×2=12，y=，y1=，y2=．【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，主要考查學生的計算能力．19．用公式法解下列方程．（1）x2+x﹣12=0（2）x2﹣x﹣=0（3）x2+4x+8=2x+11（4）x（x﹣4）=2﹣8x（5）x2+2x=0（6）x2+2x+10=0．【考點】解一元二次方程-公式法．【分析】（1）（2）（5）（6）首先確定a、b、c的值，然后計算△的值，判斷△的符號，當△≥0時，利用求根公式即可求解；（3）（4）首先把方程化成一般形式，然后利用求根公式求解．【解答】解：（1）a=1，b=1，c=﹣12，△=1﹣4×1×（﹣12）=49＞0，故x=，則x1=﹣4，x2=3；（2）a=1，b=﹣，c=﹣，△=2+1=3，故x=，則x1=，x2=；（3）原式即：x2+2x﹣3=0，則a=1，b=2，c=﹣3，△=4+12=16＞0，故x=，則x1=1，x2=﹣3；（4）原式即：x2+4x﹣2=0，a=1，b=4，c=﹣2，△=16﹣4×1×（﹣2）=24＞0，故x=，則x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（5）a=1，b=2，c=0，△=4＞0，故x=，則x1=﹣2，x2=0；（6）a=1，b=2，c=10，△=（2）2﹣40=﹣20＜0，則方程沒有實數(shù)解．【點評】本題考查了一元二次方程的求根公式，正確記憶求根公式是關鍵．20．解關于x的方程：（a﹣1）x2﹣2ax+a=0．【考點】解一元二次方程-公式法．【專題】計算題．【分析】首先分a為1與a不為1兩種情況考慮，當a不為0時，根的判別式大于等于0時，利用求根公式求出解；根的判別式小于0時，方程無解．【解答】解：方程（a﹣1）x2﹣2ax+a=0，當a=1時，化為﹣2x+1=0，即x=；當a≠1時，二次項系數(shù)為a﹣1，一次項系數(shù)為﹣2a，常數(shù)項為a，當△=4a2﹣4a（a﹣1）=4a≥0，即a≥0時，則有x==；當a＜0時，方程無解．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關鍵．21．已知∠α為銳角，且tan2α﹣tanα+1=0，求∠α的度數(shù)．【考點】解一元二次方程-公式法；特殊角的三角函數(shù)值．【專題】計算題．【分析】把tan2α﹣tanα+1=0看作關于tanα的一元二次方程，利用求根公式法解得tanα=或tanα=，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解．【解答】解：△=（﹣）2﹣4×1×1=，tanα==，所以tanα=或tanα=，當tanα=，則銳角α=60°；當tanα=，則銳角α=30°，即∠α的度數(shù)為30°或60°．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣公式法：把x=（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式；用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了特殊角的三角函數(shù)值．22．解方程：（x+3）=（x+2）（4x﹣1）．【考點】解一元二次方程-公式法．【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，可化成一般式，根據(jù)公式法，可得方程的解．【解答】解：轉(zhuǎn)化成一般式，得4x2+6x﹣5=0，a=4，b=6，c=﹣5，x===，x1=，x2=．【點評】本題考查了解一元二次方程，利用了公式法解方程，先化成一般式，再用公式法．23．解一元二次方程：（x﹣5）（2x﹣1）=3．【考點】解一元二次方程-公式法．【分析】先整理，求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：整理得：2x2﹣11x+2=0，b2﹣4ac=（﹣11）2﹣4×2×2=105，x=，x1=，x2=．【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，主要考查學生的計算能力．24．已知a、b、c均為實數(shù)，且+|b﹣4|+（c+5）2=0，求方程ax2+bx+c=0的解．【考點】解一元二次方程-公式法；非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方；非負數(shù)的性質(zhì)：算術平方根．【專題】計算題．【分析】利用非負數(shù)的性質(zhì)求出a，b，c的值，代入方程計算即可求出解．【解答】解：∵+|b﹣4|+（c+5）2=0，∴a=2，b=4，c=﹣5，代入方程得：2x2+4x﹣5=0，這里a=2，b=4，c=﹣5，∵△=16+40=56，∴x==．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，以及非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．25．解方程：（y﹣2）（y+1）+y（y﹣1）=0．【考點】解一元二次方程-公式法．【分析】先把原方程轉(zhuǎn)化為一般式方程，然后利用求根公式進行解答．【解答】解：由原方程，得y2﹣y﹣1=0，則y==，解得，y1=，y2=．【點評】主要考查了方程的解的意義和一元二次方程的解法．要會熟練運用公式法求得一元二次方程