3.4.2圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（2015?邵陽）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，已知∠ADC=140°，則∠AOC的大小是（）A．80° B．100° C．60° D．40°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得∠ABC=40°，利用圓周角定理，得∠AOC=2∠B=80°．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=180°﹣140°=40°．∴∠AOC=2∠ABC=80°．故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得出∠B的度數(shù)是解題關(guān)鍵．（2015?淮安）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠A=70°，則∠C的度數(shù)是（）A．100° B．110° C．120° D．130°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】直接根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠C+∠A=180°，∴∠A=180°﹣70°=110°．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角．（2015?杭州）圓內(nèi)接四邊形ABCD中，已知∠A=70°，則∠C=（）A．20° B．30° C．70° D．110°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】直接根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解．【解答】解：∵四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=180°，∴∠C=180°﹣70°=110°．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．（2015?長(zhǎng)春）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若四邊形ABCO是平行四邊形，則∠ADC的大小為（）A．45° B．50° C．60° D．75°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．【分析】設(shè)∠ADC的度數(shù)=α，∠ABC的度數(shù)=β，由題意可得，求出β即可解決問題．【解答】解：設(shè)∠ADC的度數(shù)=α，∠ABC的度數(shù)=β；∵四邊形OADC是平行四邊形，∴∠ADC=∠AOC；∵∠ADC=β，∠AOC=α；而α+β=180°，∴，解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，故選C．【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了圓周角定理及其應(yīng)用問題；應(yīng)牢固掌握該定理并能靈活運(yùn)用．（2015?茂名）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B=70°，則∠D的度數(shù)是（）A．110° B．90° C．70° D．50°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)得出∠D+∠B=180°，即可解答．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠D+∠B=180°，∴∠D=180°﹣70°=110°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．（2015?湘潭）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠DAB=60°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．60° B．90° C．100° D．120°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠DAB+∠DCB=180°．∵∠DAB=60°，∴∠BCD=180°﹣60°=120°．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：解答本題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)．（2015?寧夏）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠BOD=88°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．88° B．92° C．106° D．136°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．【分析】首先根據(jù)∠BOD=88°，應(yīng)用圓周角定理，求出∠BAD的度數(shù)多少；然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得∠BAD+∠BCD=180°，據(jù)此求出∠BCD的度數(shù)是多少即可．【解答】解：∵∠BOD=88°，∴∠BAD=88°÷2=44°，∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°﹣44°=136°，即∠BCD的度數(shù)是136°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】（1）此題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）．（2）此題還考查了圓周角定理的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．（2012?深圳）如圖，⊙C過原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），M是第三象限內(nèi)上一點(diǎn)，∠BMO=120°，則⊙C的半徑長(zhǎng)為（）A．6 B．5 C．3 D．3【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；含30度角的直角三角形．【專題】探究型．【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠OAB的度數(shù)，由圓周角定理可知∠AOB=90°，故可得出∠ABO的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABMO是圓內(nèi)接四邊形，∠BMO=120°，∴∠BAO=60°，∵AB是⊙C的直徑，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°﹣∠BAO=90°﹣60°=30°，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），∴OA=3，∴AB=2OA=6，∴⊙C的半徑長(zhǎng)==3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．（2011?肇慶）如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若∠BAD=105°，則∠DCE的大小是（）A．115° B．105° C．100° D．95°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD與∠DEC為鄰補(bǔ)角，得到∠DCE=∠BAD=105°．【解答】解：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠BAD，而∠BAD=105°，∴∠DCE=105°．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．也考查了鄰補(bǔ)角的定義以及等角的補(bǔ)角相等．（2010?咸寧）如圖，兩圓相交于A，B兩點(diǎn)，小圓經(jīng)過大圓的圓心O，點(diǎn)C，D分別在兩圓上，若∠ADB=100°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．50° D．80°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】計(jì)算題．【分析】由A，B，O，D都在⊙O上，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠D+∠AOB=180°，可求得∠AOB=80°，再根據(jù)圓周角定理即可得到∠C的度數(shù)．【解答】解：連OA，OB，如圖，∵A，B，O，D都在⊙O上，∴∠D+∠AOB=180°，而∠ADB=100°，∴∠AOB=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；也考查了圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半．如圖1，平行四邊形紙片ABCD的面積為120，AD=20，AB=18．今沿兩對(duì)角線將四邊形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形紙片．若將甲、丙合并（AD、CB重合）形成一線對(duì)稱圖形戊，如圖2所示，則圖形戊的兩對(duì)角線長(zhǎng)度和（）A．26 B．29 C．24 D．25【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)題意，知要求的兩條對(duì)角線的和即為AD與AD邊上的高的和．【解答】解：∵AD=20，平行四邊形的面積是120，∴AD邊上的高是6．∴要求的兩對(duì)角線長(zhǎng)度和是20+6=26．故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要是能夠把線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系弄清．（2010?北海）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C=36°，則∠A的度數(shù)為（）A．36° B．56° C．72° D．144°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)得到∠A+∠C=180°，把∠C=36°代入計(jì)算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A+∠C=180°，而∠C=36°，∴∠A=180°﹣36°=144°．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．（2006?武漢）已知：四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠D=50°，則∠ABC等于（）A．100° B．110° C．120° D．130°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，得∠ABC=180°﹣∠D=130°．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形∴∠ABC+∠D=180°∵∠D=50°∴∠ABC=180°﹣∠D=130°．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)．（2006?寧德）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠BCD=110°，則∠BAD為（）A．140° B．110° C．90° D．70°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)求∠BAD的度數(shù)即可．【解答】解：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD+∠BAD=180°（圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)）；又∵∠BCD=110°，∴∠BAD=70°．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．解答此題時(shí)，利用了圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)來求∠BCD的補(bǔ)角即可．（2005?雙柏縣）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，如果它的一個(gè)外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（）A．128° B．100° C．64° D．32°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．【分析】由圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角知，∠A=∠DCE=64°，由圓周角定理知，∠BOD=2∠A=128°．【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A=∠DCE=64°，∴∠BOD=2∠A=128°．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．如圖，圓心角∠AOB=120°，P是上任一點(diǎn)（不與A，B重合），點(diǎn)C在AP的延長(zhǎng)線上，則∠BPC等于（）A．45° B．60° C．75° D．85°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【分析】設(shè)點(diǎn)E是優(yōu)弧AB（不與A，B重合）上的一點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理，可得∠AEB=60°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)知，∠BPA=180°﹣∠AEB=180°﹣∠BPC，即證∠BPC=∠AEB=60°．【解答】解：設(shè)點(diǎn)E是優(yōu)弧AB（不與A、B重合）上的一點(diǎn)，∵∠AOB=120°，∴∠AEB=60°，∴∠BPA=180°﹣∠AEB=180°﹣∠BPC，∴∠BPC=∠AEB=60°．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．和圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的知識(shí)．（2004?泰州）圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠A：∠B：∠C=1：2：5，則∠D等于（）A．60° B．120° C．140° D．150°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；多邊形內(nèi)角與外角．【分析】由圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，所以∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：5：4，即可求∠D=180°×=120°．【解答】解：∵四邊形ABCD圓內(nèi)接四邊形，∴∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：5：4，∴∠D=180°×=120°．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)求解．（2004?豐臺(tái)區(qū)）如圖，ABCD為圓內(nèi)接四邊形，若∠A=60°，則∠C等于（）A．30° B．60° C．120° D．300°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．【分析】∠A、∠C是圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)對(duì)角，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，可求出∠C的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠A=120°．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．（2004?武漢）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，已知∠C=80°，則∠A的度數(shù)是（）A．50° B．80° C．90° D．100°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，可得∠A+∠C=180°，已知了∠C的度數(shù)，可求出∠A的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A=180°﹣∠C=100°．故選D．【點(diǎn)評(píng)】主要考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．（2003?蘇州）如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在⊙O上，四邊形ABCD的一條外角∠DCE=70°，則∠BOD等于（）A．35° B．70° C．110° D．140°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】先利用圓的內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對(duì)角求出∠A=∠DCE=70°可求∠BOD．【解答】解：（圓的內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對(duì)角）∵四邊形ABCD的一條外角∠DCE=70°，∴∠A=∠DCE=70°，∴∠BOD=2∠A=140°．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理求解．（2003?甘肅）如圖，ABCD為圓內(nèi)接四邊形，E為DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若∠C=45°，則∠BAE等于（）A．90° B．30° C．135° D．45°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進(jìn)行分析即可．【解答】解：由圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角知，∠BAE=∠C=45°，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．（2003?泉州）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠BAD=110°，則∠BCD等于（）A．110° B．90° C．70° D．20°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【分析】由圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)知，∠BCD=180°﹣∠A=70°．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，又∵∠BAD=110°，∴∠BCD=180°﹣∠A=70°．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E在BC延長(zhǎng)線上，若∠A=50°，則∠DCE等于（）A．40° B．50° C．70° D．130°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角解答．【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DCE=∠A=50°．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解．（2002?蘇州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠BOD=160°，則∠BCD=（）A．160° B．100° C．80° D．20°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系，易求得圓周角∠BAD的度數(shù)；由于圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)對(duì)角互補(bǔ)，則∠BAD+∠BCD=180°，由此得解．【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD=180°；又∵∠BAD=∠BOD=80°，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=100°；故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理的綜合應(yīng)用能力．（2002?蘭州）四邊形ABCD內(nèi)接于圓，且CD=1，AB=，BC=2，∠ABC=45°，則四邊形ABCD的面積是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；解直角三角形．【分析】根據(jù)AB=，BC=2，∠ABC=45°可以推出BC是圓的直徑．過A作AF⊥BC于F，可以得到AF=BF=1，∠BAF=∠CAF=45°．在直角三角形BCD中，由CD=1，BC=2可以得到∠DBC=30°，∠BCD=60°．過D作DE⊥BC于E，可以求出DE=；過D作DH⊥AF于H，接著求出AH，DH，然后就可以求出三角形AHD的面積，三角形ABF的面積，矩形DHFE的面積，三角形EDC的面積，最后即可求出四邊形ABCD的面積．【解答】解：如圖，過A作AF⊥BC于F．∵AB=，∠ABC=45°，∴BF=AF=1，而BC=2，∴F為CB中點(diǎn)，∴AC=，∠BAC=90°，∴BC應(yīng)該是圓的直徑，∴∠BAF=∠CAF=45°，∴∠BDC=90°．∴直角三角形BCD中，CD=1，BC=2，∴∠DBC=30°，∠BCD=60°．過D作DE⊥BC于E．∴DE=，過D作DH⊥AF于H，∴AH=．DH=CF﹣CE=1﹣1.5=0.5，∴S△AHD=．而S△ABF=，S矩形DHFE=，S△EDC=，∴S四邊形ABCD=S△ABF+S△AHD+S△DEC+S矩形DHFE=．故選D．【點(diǎn)評(píng)】此題首先通過作輔助線把一般四邊形的面積問題轉(zhuǎn)換為幾個(gè)規(guī)則圖形的面積的和差，此題關(guān)鍵是根據(jù)邊的長(zhǎng)和角的度數(shù)來得出特殊三角形從而求出四邊形的面積．（2001?咸寧）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的外角∠ABE為85°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．120° B．95° C．85° D．42.5°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】直接根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得到答案．【解答】解：∵∠ABE=85°，∴∠ADC=∠ABE=85°．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角．（2000?廣西）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且AB=CD=5，AC=7，BE=3．下列命題錯(cuò)誤的是（）A．△ABE≌△DCE B．∠BDA=45°C．S四邊形ABCD=24.5 D．圖中全等的三角形共有2對(duì)【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法、同弧所對(duì)的圓周角相等、勾股定理的逆定理、對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線的乘積的一半等進(jìn)行分析．【解答】解：A、因?yàn)椤螧AE=∠CDE，∠AEB=∠CED，AB=CD，所以△ABE≌△DCE，故此選項(xiàng)正確；B、因?yàn)椤鰽BE≌△DCE，所以CE=BE=3，所以AE=4．則AB2=AE2+BE2，得∠AEB=90°，即∠AED=90°．又AE=DE，所以∠BDA=45°，故此選項(xiàng)正確；C、根據(jù)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線的乘積的一半，得S四邊形ABCD=×7×7=24.5，故此選項(xiàng)正確；D、圖中有3對(duì)全等三角形，即△ABC≌△DCB，△AEB≌△DEC，△ADC≌△DBA，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選D．【點(diǎn)評(píng)】綜合運(yùn)用了圓周角定理的推論、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性質(zhì)、對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積公式．（1999?成都）如圖，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且∠ABC=115°，那么∠AOC等于（）A．115° B．120° C．130° D．135°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理解答即可．【解答】解：∵ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且∠ABC=115°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣115°=65°，∴∠AOC=2∠ADC=2×65°=130°．故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題比較簡(jiǎn)單，考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理．（1998?宣武區(qū)）圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度數(shù)的比為2：3：6，∠D的度數(shù)為（）A．45° B．67.5° C．135° D．112.5°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】設(shè)∠A=x，則∠B=3x，∠C=4x，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)求出x的值，進(jìn)而得出∠B的度數(shù)，從而得出∠D的度數(shù)．【解答】解：∵圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度數(shù)的比為2：3：6，∴設(shè)∠A=2x，則∠B=3x，∠C=6x，∵∠A+∠C=180°，即2x+6x=180°，解得x=22.5°，∴∠B=3x=3×22.5°=67.5°，∴∠D=180°﹣67.5°=112.5°．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A．圓內(nèi)接平行四邊形是矩形B．一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊不相等的四邊形一定是梯形C．順次連接等腰梯形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形D．兩條對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；正方形的判定；梯形；中點(diǎn)四邊形．【專題】探究型．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：A、圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形，故本選項(xiàng)正確；B、一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊不相等的四邊形一定是梯形，故本選項(xiàng)正確；C、順次連接等腰梯形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形，故本選項(xiàng)正確；D、兩條對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形不一定是正方形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正方形及梯形的性質(zhì)，菱形的判定定理等知識(shí)，熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．（2015?泰州）如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A=115°，則∠BOD等于130°．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)求得∠C的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理求解即可．【解答】解：∵∠A=115°∴∠C=180°﹣∠A=65°∴∠BOD=2∠C=130°．故答案為：130°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解答此題的關(guān)鍵．（2015?青島）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD兩組對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠A=55°，∠E=30°，則∠F=40°．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【專題】計(jì)算題．【分析】先根據(jù)三角形外角性質(zhì)計(jì)算出∠EBF=∠A+∠E=85°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算出∠BCD=180°﹣∠A=125°，然后再根據(jù)三角形外角性質(zhì)求∠F．【解答】解：∵∠A=55°，∠E=30°，∴∠EBF=∠A+∠E=85°，∵∠A+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°﹣55°=125°，∵∠BCD=∠F+∠CBF，∴∠F=125°﹣85°=40°．故答案為40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角．也考查了三角形外角性質(zhì)．（2015?泉州）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上．若∠A=50°，則∠BCE=50°．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角求解．【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BCE=∠A=50°．故答案為50°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角．（2015?南京）如圖，在⊙O的內(nèi)接五邊形ABCDE中，∠CAD=35°，則∠B+∠E=215°．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【分析】連接CE，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可得∠B+∠AEC=180°，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．【解答】解：如圖，連接CE，∵五邊形ABCDE是圓內(nèi)接五邊形，∴四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形，∴∠B+∠AEC=180°，∵∠CED=∠CAD=35°，∴∠B+∠E=180°+35°=215°．故答案為：215．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓周角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出圓內(nèi)接四邊形是解題的關(guān)鍵．（2008?濟(jì)寧）如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，則∠CBD=38度．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理；確定圓的條件．【專題】壓軸題．【分析】由已知我們可以將點(diǎn)B，C，D可以看成是以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓上的三個(gè)點(diǎn)，從而根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半求得即可．【解答】解：∵AB=AC=AD，∴點(diǎn)B，C，D可以看成是以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓上的三個(gè)點(diǎn)，∴∠CBD是弧CD對(duì)的圓周角，∠CAD是弧CD對(duì)的圓心角；∵∠CAD=76°，∴∠CBD=∠CAD=×76°=38°．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了同弧對(duì)的圓周角是圓心角的一半的性質(zhì)求解．（2005?麗水）如圖，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是⊙O的直徑，過點(diǎn)D的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若∠ADE=25°，則∠C=115度．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理；切線的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)定理，得OD⊥DE，從而求得∠ADO的度數(shù)，根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠OAD=∠ADO；再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，即可求得∠C的度數(shù)．【解答】解：連接OD，∵過點(diǎn)D的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∴OD⊥DE，∴∠ADO=90°﹣∠ADE=65°；∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO=65°，∴∠C=115°．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了切線的性質(zhì)定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．（2005?安徽）如圖，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B=130°，則∠AOC的度數(shù)是100度．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】計(jì)算題．【分析】首先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，得∠D=180°﹣∠B=50°．再根據(jù)圓周角定理，得∠AOC=2∠D=100°．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠D=180°﹣∠ABC=50°；∴∠AOC=2∠D=100°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及圓周角定理的應(yīng)用．（2004?萬州區(qū)）圓內(nèi)接四邊形ABCD的內(nèi)角∠A：∠B：∠C=2：3：4，則∠D=90度．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求得四個(gè)角的比值，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，從而求得∠D的度數(shù)．【解答】解：∵圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)∴∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：4：3設(shè)∠A=2x，則∠B=3x，∠C=4x，∠D=3x∴2x+3x+4x+3x=360°∴x=30°∴∠D=90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和為360°的運(yùn)用．（2004?郴州）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠DCE=60°，則∠BAD=60度．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)進(jìn)行分析，即可得到答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形∴∠DAB+∠BCD=180°又∵∠BAD+DCE=180°，∠DCE=60°∴∠BAD=DCE=60°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，及兩角互補(bǔ)的性質(zhì)的運(yùn)用．（2004?太原）已知：如圖，⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，經(jīng)過A的直線CD與⊙O1交于點(diǎn)C、與⊙O2交于點(diǎn)D，經(jīng)過點(diǎn)B的直線EF與⊙O1交于點(diǎn)E、與⊙O2交于點(diǎn)F，連接CE、DF．若∠AO1E=100°，則∠D的度數(shù)為50度．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．【分析】連接AB，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半求得∠ABF的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)即可求解．【解答】解：連接AB∵∠AO1E=100°∴∠ABE=∠AO1E=×100°=50°∴∠ABF=180°﹣∠AOE=180°﹣50°=130°又∵∠ABF+∠D=180°∴∠D=180°﹣∠ABF=180°﹣130°=50°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用．（2003?寧波）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BCD=120°，則∠BOD=120度．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可求得∠A的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理，可求得∠BOD的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BCD=120°∴∠A=180°﹣∠BCD=180°﹣120°=60°故∠BOD=2∠A=2×60°=120°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單．需同學(xué)們熟練掌握．如圖：A、B、C、D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，BD是直徑，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，只考慮小于平角的角，圖上共有二對(duì)相等的角（不添加輔助線）．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．【分析】本題的相等角可通過兩種方式獲得：①圓周角定理；②圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．由圓周角定理的推論可得：∠A和∠C都是直角，這兩角相等；由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得：四邊形ABCD的外角∠CDE應(yīng)該和它的內(nèi)對(duì)角∠ABC相等．【解答】解：∵BD是⊙O的直徑，∴∠BAD=∠BCD=90°；∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，∴∠CDE=∠ABC；因此圖上共有兩對(duì)相等的角，即：∠BAD=∠BCD，∠CDE=∠ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，需同學(xué)們熟練掌握．圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度數(shù)的比是1：2：3，那么這四邊形最大角的度數(shù)是135度．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；多邊形內(nèi)角與外角．【分析】本題可設(shè)∠A=x，則∠B=2x，∠C=3x；利用圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，可求出∠A、∠C的度數(shù)，進(jìn)而求出∠B和∠D的度數(shù)，由此得解．【解答】解：設(shè)∠A=x，則∠B=2x，∠C=3x因?yàn)樗倪呅蜛BCD為圓內(nèi)接四邊形所以∠A+∠C=180°即：x+3x=180x=45°，則∠A=45°，∠B=90°，∠C=135°所以∠D=90°所以這個(gè)四邊形的最大角的度數(shù)為135度．【點(diǎn)評(píng)】本題需仔細(xì)分析題意，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和即可解決問題．（2002?婁底）如圖所示，已知四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠1=120°，則∠CDE=60度．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．【分析】根據(jù)圓周角定理可求出∠A的度數(shù)；由圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角，知∠CDE=∠A，由此可求出∠CDE的度數(shù)．【解答】解：∵∠1=120°∴∠A=∠1=60°∵四邊形ABDC內(nèi)接于⊙O∴∠CDE=∠A∴∠CDE=60°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理的綜合應(yīng)用能力．（1999?黃岡）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，則四邊形ABCD的面積為．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；解直角三角形．【專題】壓軸題．【分析】連接BD，構(gòu)造等邊三角形．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)得到BC+CD=AC=a．作AF⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于F，作AG⊥DC，交CD于G，將四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為S△ABC和S△ACD的面積之和解答．【解答】解：連接BD．∵∠BAD=60°，AB=AD，∴三角形ABD是等邊三角形．在AC上取CE=CD，連接DE．∠ECD=∠ABD=60°，∴△CDE是等邊三角形．CE=CD=DE，BD=AD，∠ADE=∠ADB﹣∠EDB，∠BDC=∠EDC﹣∠EDB，∠ADE=∠BDC，△ADE≌△BDC，AE=BC，BC+CD=AC=a．作AF⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于F，作AG⊥DC，交CD于G．∠ACB=∠ADB=60°（同弧圓周角相等），AF=AC?sin60°=，同理，AG=AC?sin60°=，四邊形ABCD的面積=S△ABC+S△ACD=+=×=?AC=．【點(diǎn)評(píng)】此題是一道難題，考查了同學(xué)們構(gòu)建特殊三角形、全等三角形解題的能力，是對(duì)同學(xué)們創(chuàng)造性思維的考驗(yàn)．（1999?遼寧）在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A：∠B：∠C=4：3：5，則∠D=120度．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【分析】設(shè)一份是x．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)進(jìn)行求解．【解答】解：設(shè)一份是x．則∠A=4x，∠B=3x，∠C=5x．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，得∠A+∠C=180°，∠D=9x﹣3x=6x．則4x+5x=180°，x=20°．∠D=6x=120°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．（2000?嘉興）如圖，⊙O1與⊙O2交于點(diǎn)A，B，延長(zhǎng)⊙O2的直徑CA交⊙O1于點(diǎn)D，延長(zhǎng)⊙O2的弦CB交⊙O1于點(diǎn)E．已知AC=6，AD：BC：BE=1：1：5，則DE的長(zhǎng)是9．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；解分式方程；圓與圓的位置關(guān)系；相交兩圓的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】連接公共弦AB，構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形ABED，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可證明△ABC∽△EDC，從而得出與AD、BC、BE有關(guān)的比例線段，根據(jù)AD：BC：BE=1：1：5，設(shè)線段長(zhǎng)度，代入比例式可求CD、CE的長(zhǎng)，在Rt△EDC中，用勾股定理求ED．【解答】解：連接AB，在圓內(nèi)接四邊形ABED中，∠BAC=∠E，∠ABC=∠EDC，因?yàn)锳C為⊙O2直徑，則∠ABC=90°，于是△ABC∽△EDC，因?yàn)锳D：BC：BE=1：1：5，所以，設(shè)AD=x，BC=x，BE=5x；于是：=，即6x2=36+6x，x2﹣x﹣6=0，解得x=3，x=﹣2（負(fù)值設(shè)去），在Rt△EDC中，ED==9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是對(duì)圓心角和圓周角的關(guān)系，以及圓的內(nèi)接四邊形的外角和相應(yīng)的內(nèi)對(duì)角關(guān)系的應(yīng)用．解答此類題關(guān)鍵是通過角的關(guān)系，在解題中應(yīng)用中間角來尋找等量關(guān)系．（2015?南京）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC的延長(zhǎng)線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且DC=DE．（1）求證：∠A=∠AEB；（2）連接OE，交CD于點(diǎn)F，OE⊥CD，求證：△ABE是等邊三角形．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理．【專題】證明題．【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠A+∠BCD=180°，根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得∠DCE+∠BCD=180°，進(jìn)而得到∠A=∠DCE，然后利用等邊對(duì)等角可得∠DCE=∠AEB，進(jìn)而可得∠A=∠AEB；（2）首先證明△DCE是等邊三角形，進(jìn)而可得∠AEB=60°，再根據(jù)∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，進(jìn)而可得△ABE是等邊三角形．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB，∴∠A=∠AEB；（2）∵∠A=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分線，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等邊三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)．（2007?綿陽）如圖，△ABC中，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)．①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．以此三個(gè)中的兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論，可構(gòu)成三個(gè)命題，即：①②?③，①③?②，②③?①．（1）試判斷上述三個(gè)命題是否正確（直接作答）；（2）請(qǐng)證明你認(rèn)為正確的命題．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【專題】證明題；壓軸題；開放型．【分析】根據(jù)已知及全等三角形的判定方法進(jìn)行分析，從而得到命題的真假．【解答】解：（1）①②?③，正確；①③?②，錯(cuò)誤，不符合三角形的判定；②③?①，正確．（2）先證①②?③．如圖．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，AD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF．∴DE=DF，∠ADE=∠ADF．設(shè)AD與EF交于G，則△DEG≌△DFG，∴∠DGE=∠DGF．∴∠DGE=∠DGF=90°．∴AD⊥EF．再證②③?①．如圖2，設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連接OE，OF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴OE，OF分別是Rt△ADE，Rt△ADF斜邊上的中線．∴OE=AD，OF=AD．即點(diǎn)O到A、E、D、F的距離相等．∴四點(diǎn)A、E、D、F在以O(shè)為圓心，AD為半徑的圓上，AD是直徑．∴EF是⊙O的弦．∵EF⊥AD，∴∠DAE=∠DAF．即AD平分∠BAC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定定理和性質(zhì)，同時(shí)考查了垂徑定理等知識(shí)的綜合運(yùn)用．（2006?江西）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．（1）請(qǐng)寫出四個(gè)不同類型的正確結(jié)論；（2）連接CD，設(shè)∠CDB=α，∠ABC=β，試找出α與β之間的一種關(guān)系式，并予以證明．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理．【專題】探究型．【分析】（1）AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD⊥BC于E，本題滿足垂徑定理．（2）根據(jù)四邊形ACDB為圓內(nèi)接四邊形，可以得到α﹣β=90°，再根據(jù)∠CDO=∠ODB=∠CDB得到α＞2β．【解答】解：（1）不同類型的正確結(jié)論有：①BE=CE；②BD=CD；③∠BED=90°；④∠BOD=∠A；⑤AC∥OD；⑥AC⊥BC；⑦OE2+BE2=OB2；⑧S△ABC=BC?OE；⑨△BOD是等腰三角形；⑩△BOE∽△BAC；等等．（說明：1．每寫對(duì)一條給（1分），但最多只給（4分）；（結(jié)論與輔助線有關(guān)且正確的，也相應(yīng)給分）．（2）α與β的關(guān)系式主要有如下兩種形式，請(qǐng)參照評(píng)分：①答：α與β之間的關(guān)系式為：α﹣β=90°（5分）證明：∵AB為圓O的直徑∴∠A+∠ABC=90°①（6分）又∵四邊形ACDB為圓內(nèi)接四邊形∴∠A+∠CDB=180°②（7分）∴②﹣①得：∠CDB﹣∠ABC=90°即α﹣β=90°（8分）（說明：關(guān)系式寫成α=90°+β或β=α﹣90°的均參照給分．）②答：α與β之間的關(guān)系式為：α＞2β（5分）證明：∵OD=OB∴∠ODB=∠OBD又∵∠OBD=∠ABC+∠CBD∴∠ODB＞∠ABC（6分）∵OD⊥BC，∴CD=BD∴∠CDO=∠ODB=∠CDB（7分）∴∠CDB＞∠ABC即α＞2β．（8分）（說明：若得出α與β的關(guān)系式為α＞β，且證明正確的也給滿分．）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的一些基本性質(zhì)，且有一定的開放性，第（1）小題只需根據(jù)已知的結(jié)論進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理即可得出不少不同類型的結(jié)論；第（2）題還考查了學(xué)生的方程思想，運(yùn)用代數(shù)知識(shí)解幾何問題．（2006?聊城）如圖，已知⊙O1和⊙O2相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作⊙O1的切線交⊙O2于點(diǎn)C，直線CB交⊙O1于點(diǎn)D，直線DA交⊙O2于點(diǎn)E．試證明：AC=EC．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓與圓的位置關(guān)系；相交兩圓的性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】連接AB；根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABD=∠E；由弦切角定理證得∠FAD=∠ABD=∠E，由于∠FAD=∠CAE，可證得∠CAE=∠E，從而得到AC=EC．【解答】證明：連接AB；∵AC是⊙O1的切線，切點(diǎn)為A，∴∠FAD=∠ABD；又∠FAD=∠CAE，∴∠ABD=∠CAE；而∠ABD是⊙O2的內(nèi)接四邊形ABCE的一個(gè)外角，∴∠ABD=∠E，∴∠EAC=∠E；∴AC=EC．【點(diǎn)評(píng)】連接公共弦是相交兩圓中常見的一條輔助線；熟練運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和弦切角定理，進(jìn)行角之間的轉(zhuǎn)換是解答本題的關(guān)鍵．（2006?佛山）已知：如圖，兩個(gè)等圓⊙O1和⊙O2相交于A，B兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A的直線與兩圓分別交于點(diǎn)C，點(diǎn)D，經(jīng)過點(diǎn)B的直線與兩圓分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F．若CD∥EF，求證：（1）四邊形EFDC是平行四邊形；（2）．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；平行四邊形的判定．【專題】證明題．【分析】（1）已知了CD∥EF，需證CE∥DF；連接AB；由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，知：∠BAD=∠E，∠BAD+∠F=180°，可證得∠E+∠F=180°，即CE∥DF，由此得證；（2）由四邊形CEFD是平行四邊形，得CE=DF．由于⊙O1和⊙O2是兩個(gè)等圓，因此．【解答】證明：（1）連接AB，∵ABEC是⊙O1的內(nèi)接四邊形，∴∠BAD=∠E．又∵ADFB是⊙O2的內(nèi)接四邊形，∴∠BAD+∠F=180°．∴∠E+∠F=180°．∴CE∥DF．∵CD∥EF，∴四邊形CEFD是平行四邊形．（2）由（1）得：四邊形CEFD是平行四邊形，∴CE=DF．∴．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、平行四邊形的判定以及等圓或同圓中等弦對(duì)等弧的應(yīng)用．（2006?韶關(guān)）如圖，在△ABC中，∠C=60°，以AB為直徑的半圓O分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，已知⊙O的半徑為．（1）求證：△CDE∽△CBA；（2）求DE的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；多邊形內(nèi)角與外角；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】幾何綜合題．【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角知，∠CED=∠A（或∠CDE=∠B），又有∠C=∠C，故△CDE∽△CBA．（2）連接AE．由（1）中△CDE∽△CBA得DE：BA=CE：CA，由于直徑對(duì)的圓周角是直角，有∠AEB=∠AEC=90°；在Rt△AEC中，有∠C=60°，∠CAE=30°．則DE：BA=CE：CA=1：2，即DE=2．【解答】（1）證明：∵四邊形ABED為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠CED=∠A（或∠CDE=∠B）；又∠C=∠C，∴△CDE∽△CBA．（2）解法1：連接AE．由（1）得，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB=∠AEC=90°．在Rt△AEC中，∵∠C=60°，∴∠CAE=30°；∴，即DE=2．解法2：連接DO，EO．∵AO=DO=OE=OB，∴∠A=∠ODA，∠B=∠OEB；∵四邊形ABED為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A=∠CED，∠B=∠CDE；而∠CDE+∠CED=120°，∠A+∠B+∠ADE+∠DEB=360°，∴∠ODE+∠OED=120°則∠DOE=60°，∴△ODE為等邊三角形；∴DE=OB=2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力．（2006?梧州）如圖（1），四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．（1）求證：AB?DE=CD?BC；（2）如果四邊形ABCD仍是⊙O的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)C在劣弧上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，切線CE變?yōu)楦罹€EFC，請(qǐng)問要使（1）的結(jié)論成立還需要具備什么條件？請(qǐng)你在圖（2）上畫出示意圖，標(biāo)明有關(guān)字母，不要求進(jìn)行證明．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）可通過構(gòu)建相似三角形來求證，連接AC證三角形ABC和CDE相似，CE是圓的切線，根據(jù)弦切角定理可得出∠DCE=∠CAD，根據(jù)C是弧BD的中點(diǎn)，得出∠BAC=∠DAC，那么∠DCE=∠BAC，根據(jù)ABCD內(nèi)接于圓O，那么外角∠CDE=∠B，那么就構(gòu)成了兩三角形相似的條件，得出相似后，即可得出所要求證的比例關(guān)系；（2）要使（1）的條件成立，就必須保證△ABC和△CDE相似，因此就要保證∠DCF=∠BAC，那么需要滿足的條件就應(yīng)該是（也可以寫成角相等，線段相等或平行等樣式）．【解答】（1）證明：連接AC．∵C是的中點(diǎn)，∴，∠BAC=∠DAC∵CE切⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)C在⊙O上∴∠DCE=∠DAC=∠BAC，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠EDC=∠B，∴△EDC∽△CBA，∴，∴AB?DE=CD?BC；（2）解：如圖，條件為：（或DF=BC或∠DAF=∠BAC或∠DCF=∠BAC或FC∥BD等）如圖，（圖中虛線為可能畫的線）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的內(nèi)接四邊形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過構(gòu)建相似三角形來來求解是解題的關(guān)鍵．（2006?達(dá)州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)A作⊙O的切線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若AB：DA=BC：ED．求證：AD=AB．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；弦切角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題；壓軸題．【分析】連接AC；易得△EDA∽△ABC，有∠DAE=∠CAB，而∠DAE=∠DCA，∠DCA=∠CAB，即證AD=AB．【解答】證明：連接AC，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠EDA=∠B．又∵AB：DA=BC：ED，∴△EDA∽△CBA．∴∠DAE=∠CAB．∵∠DAE=∠DCA，∴∠DCA=∠CAB．∴AD=AB．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了圓周角定理，弦切角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)求解．（2005?荊門）已知，如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DE平分∠CDF（1）求證：AB=AC；（2）若AC=3cm，AD=2cm，求DE的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】綜合題．【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可求得∠ABC=∠2；由于∠1=∠2=∠3=∠4，故∠ABC=∠4，由此得證．（2）證△ABD∽△AEB，通過相似三角形的對(duì)應(yīng)成比例線段，求出AE及DE的值．【解答】（1）證明：∵∠ABC=∠2，∠2=∠1=∠3，∠4=∠3∴∠ABC=∠4∴AB=AC；（2）解：∵∠3=∠4=∠ABC，∠DAB=∠BAE∴△ABD∽△AEB∴∵AB=AC=3，AD=2∴AE=∴DE=（cm）．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了角平分線，相似三角形，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，是中學(xué)階段的常規(guī)題目．（2014?高青縣模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，CM切⊙O于點(diǎn)C，∠BCM=60°，則∠B的正切值是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；弦切角定理；特殊角的三角函數(shù)值．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】連接BD．AB是直徑，則∠ADB=90°，由弦切角定理知∠CDB=∠BCM=60°，∠CDA=150°．再由圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)可求∠CBA=30°，根據(jù)三角函數(shù)的求法可知tan∠ABC=．【解答】解：連接BD．AB是直徑，則∠ADB=90°，∴∠CDB=∠BCM=60°．∴∠CDA=∠CDB+∠ADB=150°．∵∠CBA=180°﹣∠CDA=30°，∴tan∠ABC=tan30°=．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了直徑對(duì)的圓周角是直角，弦切角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解．（2003?蘇州）如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在⊙O上，四邊形ABCD的一條外角∠DCE=70°，則∠BOD等于（）A．35° B．70° C．110° D．140°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】先利用圓的內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對(duì)角求出∠A=∠DCE=70°可求∠BOD．【解答】解：（圓的內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對(duì)角）∵四邊形ABCD的一條外角∠DCE=70°，∴∠A=∠DCE=70°，∴∠BOD=2∠A=140°．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理求解．（2013秋?湖州期中）如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，曲線FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六邊形的漸開線”，其中，，，，，，…的圓心依次按點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)循環(huán)，其弧長(zhǎng)分別記為l1，l2，l3，l4，l5，l6，…．當(dāng)AB=1時(shí)，l2013等于（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】利用弧長(zhǎng)公式，分別計(jì)算出L1，L2，L3，…的長(zhǎng)，尋找其中的規(guī)律，確定L2013的長(zhǎng)．【解答】解：根據(jù)題意得：L1==，L2==，L3===π，L4==，按照這種規(guī)律可以得到：Ln=，∴L2013=．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算，先用公式計(jì)算，找出規(guī)律，求出L2013的長(zhǎng)．（2006?雨花區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，BC是半圓O的直徑，EF⊥BC于點(diǎn)F，=5，又AB=8，AE=2，則AD的長(zhǎng)為（）A．1+ B． C． D．1+【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】連接BE，則△ABE與△BEC都是直角三角形，在直角△ABE利用勾股定理即可求得BE的長(zhǎng)，在直角△BEC中利用射影定理即可求得EC的長(zhǎng)，根據(jù)切割線定理即可得到：AD?AB=AE?AC．據(jù)此即可求得AD的長(zhǎng)．【解答】解：連接BE．∵BC是直徑．∴∠AEB=∠BEC=90°在直角△ABE中，根據(jù)勾股定理可得：BE2=AB2﹣AE2=82﹣22=60．∵=5∴設(shè)FC=x，則BF=5x，BC=6x．又∵BE2=BF?BC即：30x2=60解得：x=∴EC2=FC?BC=6x2=12∴EC=2∴AC=AE+EC=2+2∵AD?AB=AE?AC∴AD===故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了射影定理以及切割線定理，對(duì)于兩個(gè)定理的靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．（2012?棗陽市校級(jí)模擬）△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC=60°，D是的中點(diǎn)，AD=a，則四邊形ABDC的面積為a2．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；圓周角定理．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】根據(jù)題意求得∠DBC=∠DCB=30°，設(shè)BD=DC=x，那么BC=x，由正弦定理和托勒密定理AB+AC=a，再根據(jù)S四邊形ABDC=S△ABD+S△ACD，從而求得答案．【解答】解：解法一：在ABDC中，∠BAC=60度，所以∠BDC=120°，∵點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)，∴BD=DC，∴∠DBC=∠DCB=30°，在△BDC中用正弦定理，得∴BC=BD，設(shè)BD=DC=x，那么BC=x，用托勒密定理：AD?BC=AB?DC+BD?AC，即ax=x?AB+x?AC，則AB+AC=a，S四邊形ABDC=S△ABD+S△ACD=（AB?AD?sin∠BAD+AC?AD?sin∠DAC），=（AB+AC）AD?sin30°，=a2；解法二：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，∵D是的中點(diǎn)，∴BD=CD，∠BAD=∠FAD，∴DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等），在Rt△DBE與Rt△DCF中，，∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），∴S△DBE=S△DCF，∴S四邊形ABDC=S四邊形AEDF，∵點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)，∠BAC=60°，∴∠BAD=∠BAC=×60°=30°，∵AD=a，∴AE=AD?cos30°=a，DE=AD?sin30?=a，∴S四邊形AEDF=2S△ADE=2××a×a=a2．故答案為：a2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及圓周角定理，是競(jìng)賽題難度偏大．（1998?宣武區(qū)）圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度數(shù)的比為2：3：6，∠D的度數(shù)為（）A．45° B．67.5° C．135° D．112.5°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】設(shè)∠A=x，則∠B=3x，∠C=4x，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)求出x的值，進(jìn)而得出∠B的度數(shù)，從而得出∠D的度數(shù)．【解答】解：∵圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度數(shù)的比為2：3：6，∴設(shè)∠A=2x，則∠B=3x，∠C=6x，∵∠A+∠C=180°，即2x+6x=180°，解得x=22.5°，∴∠B=3x=3×22.5°=67.5°，∴∠D=180°﹣67.5°=112.5°．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．（2000?廣西）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且AB=CD=5，AC=7，BE=3．下列命題錯(cuò)誤的是（）A．△ABE≌△DCE B．∠BDA=45°C．S四邊形ABCD=24.5 D．圖中全等的三角形共有2對(duì)【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法、同弧所對(duì)的圓周角相等、勾股定理的逆定理、對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線的乘積的一半等進(jìn)行分析．【解答】解：A、因?yàn)椤螧AE=∠CDE，∠AEB=∠CED，AB=CD，所以△ABE≌△DCE，故此選項(xiàng)正確；B、因?yàn)椤鰽BE≌△DCE，所以CE=BE=3，所以AE=4．則AB2=AE2+BE2，得∠AEB=90°，即∠AED=90°．又AE=DE，所以∠BDA=45°，故此選項(xiàng)正確；C、根據(jù)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線的乘積的一半，得S四邊形ABCD=×7×7=24.5，故此選項(xiàng)正確；D、圖中有3對(duì)全等三角形，即△ABC≌△DCB，△AEB≌△DEC，△ADC≌△DBA，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選D．【點(diǎn)評(píng)】綜合運(yùn)用了圓周角定理的推論、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性質(zhì)、對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積公式．（2005?麗水）如圖，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是⊙O的直徑，過點(diǎn)D的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若∠ADE=25°，則∠C=115度．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理；切線的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)定理，得OD⊥DE，從而求得∠ADO的度數(shù)，根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠OAD=∠ADO；再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，即可求得∠C的度數(shù)．【解答】解：連接OD，∵過點(diǎn)D的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∴OD⊥DE，∴∠ADO=90°﹣∠ADE=65°；∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO=65°，∴∠C=115°．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了切線的性質(zhì)定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．（2002?重慶）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD∥BC，弧AB+弧CD=弧AD+弧BC，若AD=4，BC=6，則四邊形ABCD的面積為25．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；全等三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】此題實(shí)質(zhì)是求等腰梯形ABCD的面積，已知上下底的長(zhǎng)，需求出梯形的高．作OE⊥AD于E，反向延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，則OF⊥BC，那么EF就是所求的梯形的高；連接OA、OB、OC、OD，通過證△AOE≌△OBF，可求得OE、OF的長(zhǎng)，即可求出梯形的高；由此可根據(jù)梯形的面積公式求出四邊形ABCD的面積．【解答】解：連接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AD于E，反向延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，∵AD∥BC，∴OF⊥BC，等腰△AOD和等腰△BOC中：OE⊥AD，OF⊥BC，因此∠AOE=∠AOD，∠BOF=∠BOC；AE=2，BF=3，∵弧AB+弧CD=弧AD+弧BC，∴∠AOE+∠BOF=90°，又∵∠AOE+∠OAE=90°，∴∠OAE=∠BOF，又∵OA=OB，∠AEO=∠OFB，∴△AOE≌△OBF，∵AD=4，BC=6，∴OE=BF=3，OF=AE=2，∴EF=5，∴該梯形的面積=×10×5=25．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及梯形的面積公式等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度稍大．（2001?天津）若一個(gè)梯形內(nèi)接于圓，有如下四個(gè)結(jié)論：①它是等腰梯形；②它是直角梯形；③它的對(duì)角線互相垂直；④它的對(duì)角互補(bǔ)．請(qǐng)寫出正確結(jié)論的序號(hào)．①，④（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】此題主要利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)對(duì)角互補(bǔ)和梯形的性質(zhì)來分析．【解答】解：①是正確的，∵梯形的一組對(duì)邊平行，根據(jù)垂徑定理的推論得另一組對(duì)邊相等；②是錯(cuò)誤的，∵圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)∴如果是直角梯形那這個(gè)四邊形就是矩形；③不一定正確，對(duì)角線無條件判斷它們是否垂直；④是正確的．∴正確的答案是①④．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查梯形的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．（1999?黃岡）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，則四邊形ABCD的面積為．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；解直角三角形．【專題】壓軸題．【分析】連接BD，構(gòu)造等邊三角形．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)得到BC+CD=AC=a．作AF⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于F，作AG⊥DC，交CD于G，將四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為S△ABC和S△ACD的面積之和解答．【解答】解：連接BD．∵∠BAD=60°，AB=AD，∴三角形ABD是等邊三角形．在AC上取CE=CD，連接DE．∠ECD=∠ABD=60°，∴△CDE是等邊三角形．CE=CD=DE，BD=AD，∠ADE=∠ADB﹣∠EDB，∠BDC=∠EDC﹣∠EDB，∠ADE=∠BDC，△ADE≌△BDC，AE=BC，BC+CD=AC=a．作AF⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于F，作AG⊥DC，交CD于G．∠ACB=∠ADB=60°（同弧圓周角相等），AF=AC?sin60°=，同理，AG=AC?sin60°=，四邊形ABCD的面積=S△ABC+S△ACD=+=×=?AC=．【點(diǎn)評(píng)】此題是一道難題，考查了同學(xué)們構(gòu)建特殊三角形、全等三角形解題的能力，是對(duì)同學(xué)們創(chuàng)造性思維的考驗(yàn)．（2009?濰坊）如圖所示，圓O是△ABC的外接圓，∠BAC與∠ABC的平分線相交于點(diǎn)I，延長(zhǎng)AI交圓O于點(diǎn)D，連接BD、DC．（1）求證：BD=DC=DI；（2）若圓O的半徑為10cm，∠BAC=120°，求△BDC的面積．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；等邊三角形的判定；圓周角定理；解直角三角形．【專題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）根據(jù)題意可得∠BAD=∠DAC，進(jìn)而可得BD=DC．同理可得∠BAD=∠DBC，易證△BDI為等腰三角形．結(jié)合BD=ID，容易得到證明．（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與圓周角定理，可得∠DBC=∠DCB=60°，△BDC為正三角形．又OB=10cm，可得△BDC的面積．【解答】（1）證明：∵AI平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴=，∴BD=DC．∵BI平分∠ABC，∴∠ABI=∠CBI．∵∠BAD=∠DAC，∠DBC=∠DAC，∴∠BAD=∠DBC．又∵∠DBI=∠DBC+∠CBI，∠DIB=∠ABI+∠BAD，∴∠DBI=∠DIB，∴△BDI為等腰三角形，∴BD=ID，∴BD=DC=DI．（2）解：當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，△ABC為鈍角三角形，∴圓心O在△ABC外．連接OB、OD、OC．∵BD=CD，∴=，∴∠DOC=∠BOD=2∠BAD=120°，∴∠DBC=∠DCB=60°，∴△BDC為正三角形．延長(zhǎng)CO交BD于點(diǎn)E，則OE⊥BD，∴BE=BD，又∵OB=10，∴BD=2OBcos30°=2×10×=10．∴CE=CD?sin60°=BD?sin60°=10×=15，∴S△BDC=BD?CE=×10×15=75．答：△BDC的面積為75cm2．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合性較強(qiáng)，綜合考查了等腰梯形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．（2007?綿陽）如圖，△ABC中，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)．①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．以此三個(gè)中的兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論，可構(gòu)成三個(gè)命題，即：①②?③，①③?②，②③?①．（1）試判斷上述三個(gè)命題是否正確（直接作答）；（2）請(qǐng)證明你認(rèn)為正確的命題．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【專題】證明題；壓軸題；開放型．【分析】根據(jù)已知及全等三角形的判定方法進(jìn)行分析，從而得到命題的真假．【解答】解：（1）①②?③，正確；①③?②，錯(cuò)誤，不符合三角形的判定；②③?①，正確．（2）先證①②?③．如圖．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，AD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF．∴DE=DF，∠ADE=∠ADF．設(shè)AD與EF交于G，則△DEG≌△DFG，∴∠DGE=∠DGF．∴∠DGE=∠DGF=90°．∴AD⊥EF．再證②③?①．如圖2，設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連接OE，OF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴OE，OF分別是Rt△ADE，Rt△ADF斜邊上的中線．∴OE=AD，OF=AD．即點(diǎn)O到A、E、D、F的距離相等．∴四點(diǎn)A、E、D、F在以O(shè)為圓心，AD為半徑的圓上，AD是直徑．∴EF是⊙O的弦．∵EF⊥AD，∴∠DAE=∠DAF．即AD平分∠BAC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定定理和性質(zhì)，同時(shí)考查了垂徑定理等知識(shí)的綜合運(yùn)用．（2006?達(dá)州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)A作⊙O的切線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若AB：DA=BC：ED．求證：AD=AB．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；弦切角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題；壓軸題．【分析】連接AC；易得△EDA∽△ABC，有∠DAE=∠CAB，而∠DAE=∠DCA，∠DCA=∠CAB，即證AD=AB．【解答】證明：連接AC，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠EDA=∠B．又∵AB：DA=BC：ED，∴△EDA∽△CBA．∴∠DAE=∠CAB．∵∠DAE=∠DCA，∴∠DCA=∠CAB．∴AD=AB．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了圓周角定理，弦切角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)求解．（2005?南充）如圖，△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與AB相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)．（1）DF與⊙O的位置關(guān)系是相切（填“相切”或“相交”）．（2）若AE=14，BC=12，BF的長(zhǎng)為2．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；一元二次方程的應(yīng)用；圓周角定理；切線的判定；切割線定理．【專題】壓軸題．【分析】（1）連接OD、AD，根據(jù)已知及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得OD是半徑且OD⊥DF，從而得到DF是⊙O的切線．（2）設(shè)BF=x，BE=2BF=2x，根據(jù)切割線定理即可求得BF的長(zhǎng)．【解答】解：（1）DF與⊙O的位置關(guān)系是相切．證明：連接OD，AD，∵AC是直徑，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∠BAD=∠DAC；∵∠BED是圓內(nèi)接四邊形ACDE的外角，∴∠C=∠BED，∴∠B=∠BED，即DE=DB；∵點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，DF⊥AB且OA和OD是半徑，∴∠DAC=∠BAD=∠ODA，∴OD⊥DF，DF是⊙O的切線；（2）設(shè)BF=x，BE=2BF=2x；∵BD=CD=BC=6，∵BE?AB=BD?BC，∴2x?（2x+14）=6×12，∴x2+7x﹣18=0，∴x1=2，x2=﹣9（不合題意，舍去）∴BF的長(zhǎng)為2．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了等腰三角形的性質(zhì)，直徑對(duì)的圓周角是直角，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，切線的定義，切割線定理求解．（2005?廣元）如圖，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，連接FB、FC．（1）求證：FB=FC；（2）求證：FB2=FA?FD；（3）若AB是△ABC外接圓的直徑，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）可通過證角相等來得出邊相等，根據(jù)ACBF是圓的內(nèi)接四邊形，那么外角∠DAC=∠FBC，那么關(guān)鍵就是證明∠FCB=∠DAC，根據(jù)AD平分∠EAC，即∠EAD=∠DAC=∠FAB，我們發(fā)現(xiàn)∠FAB和∠FCB正好對(duì)應(yīng)同一段弧，因此便可得出∠FBC=∠FCB；（2）本題實(shí)際要證明△FBA和△FDB相似，（1）中已證得∠FAB=∠FCB=∠FBC，又有一個(gè)公共角，因此兩三角形就相似；（3）根據(jù)∠EAC=120°可以得到∠DAC=60°，根據(jù)AB是△ABC外接圓的直徑可以提出AC⊥BC，然后在直角三角形ABC中，有∠BAC的度數(shù)，有BC的長(zhǎng)，就能求出AC的長(zhǎng)，然后在直角三角形ACD中，根據(jù)∠ACD=60°，即可用三角函數(shù)求出AD．【解答】（1）證明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC，∵四邊形AFBC內(nèi)接于圓，∴∠DAC=∠FBC，∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC；（2）證明：∵∠FAB=∠FCB=∠FBC，∠AFB=∠BFD∴△FBA∽△FDB，∴，∴FB2=FA?FD；（3）解：∵AB是圓的直徑，∴∠ACB=90°∵∠EAC=120°，∴∠DAC=∠EAC=60°，∵四邊形ACBF內(nèi)接于圓，∴∠DAC=∠FBC=60°，又FB=FC，∴△BFC是等邊三角形，∴∠BAC=∠BFC=60°，∴∠D=30°，∵BC=6，∴AC=2，∴AD=2AC=4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要的考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)圓周角定理和圓的內(nèi)接四邊形得出角相等是解題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的要求比較高．（2004?瀘州）如圖，⊙O為△ABC的外接圓，且AB=AC，過點(diǎn)A的直線交⊙O于D，交BC延長(zhǎng)線于F，DE是BD的延長(zhǎng)線，連接CD．（1）求證：∠EDF=∠CDF；（2）求證：AB2=AF?AD；（3）若BD是⊙O的直徑，且∠EDC=120°，BC=6cm，求AF的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；等邊三角形的判定；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．【專題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）可根據(jù)切割線定理先得出關(guān)于FD，F(xiàn)A，F(xiàn)C，F(xiàn)B的比例關(guān)系，然后得出三角形FDC和FBA相似，因此可得出∠CDF=∠ABC，∠EDF和∠ADB是對(duì)頂角，因此只要證得∠ABC=∠ADB相等即可，AB=AC，∠ABC=∠ACB，而∠ACB和∠ADB又對(duì)應(yīng)同一段弧，因此也就相等了，至此便可得出本題的結(jié)論；（2）關(guān)鍵是證△ABD，△ABF相似，已經(jīng)有一個(gè)公共角，根據(jù)（1）中證明的過程我們不難得出∠ABC=∠CDF，得到兩三角形相似后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)比例即可得出所求的結(jié)果；（3）可根據(jù)（2）的結(jié)果來求AF，關(guān)鍵是求AB，AD的值．如果∠EDC=120°，那么∠EDF=∠ADB=∠ACB=60°，我們得出了△ABC是個(gè)等邊三角形，這樣就求出了AB的長(zhǎng)，下面求AD的值，