遼寧省大連市2024屆高三年級(jí)下冊(cè)第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

遼寧省大連市2024屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:.姓名:.班級(jí):考號(hào):

一、單選題

1.已知集合。={123,4,5,6},集合A={1,2,4},B={1,3,5},則BgA=()

A.{2,4}B.{1,6}C.{3,5}D.{1}

2.為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了“塊地作試驗(yàn)田.這"塊地的畝產(chǎn)量(單位：

依)分別為XI,X2,…，W,下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程

度的是

A.Xl,X2,尤”的平均數(shù)B.尤1,尤2,…，X”的標(biāo)準(zhǔn)差

C.尤1,X2,初的最大值D.XI,XI,XW的中位數(shù)

22

3.方程上+匕=1表示橢圓，則實(shí)數(shù)加的取值范圍()

4m

A.m>0B.m>4C.0<m<4D.加>0且相。4

4.已知直線4,b,C是三條不同的直線，平面a,B，〃是三個(gè)不同的平面，下列命題

正確的是()

A.若a_Lc,b-Lc,貝|a//〃

B.若allb,alia,則blla

C.若1〃a,blla,c±a,且c_LZ?,則c_La

D.若/7_La,yLa,且,y=a,則々_11

5.將ABCDEF六位教師分配到3所學(xué)校，若每所學(xué)校分配2人，其中分配到同一

所學(xué)校，則不同的分配方法共有()

A.12種B.18種C.36種D.54種

,且5cos2a=Vising-

6.若,則tana=()

A.」B.N

c.--D.1

343

33

7.設(shè)函數(shù)/(x)=sinm+e^-一工十3貝|滿足/(x)+/(3—2%)<4的工的取值范圍是

()

A.(3,+co)B.(-oo,3)C.(l,+oo)D.(-oo,l)

22

8.設(shè)斗鳥是雙曲線C:二-多=l(a>0,人>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是雙曲線C右支

ab

上一點(diǎn)，若△△耳工的內(nèi)切圓M的半徑為a(M為圓心)，且m/leR,使得

AM+30M=%耳￡,則雙曲線C的離心率為()

A.y/3B.y/5C.2D.2A/5

二、多選題

9.已知i是虛數(shù)單位，下列說(shuō)法正確的是()

A.已知a,b,c,deR,若a>c,b=d,貝!ja+bi>c+M

B.復(fù)數(shù)4，Z2滿足Z1=Z2,則㈤=同

C.復(fù)數(shù)z滿足|z-iHz+i|,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為一條直線

D.復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=|l-后則z=0(cos：-isin：］

10.已知函數(shù)/(x)=sin(0x+0)(ty>O,O<9<7t),若且

都有則()

A.>=〃可在(0,1|］單調(diào)遞減

B.y=的圖象關(guān)于11,01寸稱

C.直線>=-氐+：是一條切線

D.y=〃x)的圖象向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)是偶函數(shù)

11.已知函數(shù)“X)是定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)，若〃x+y)=〃x)+〃y)+3Ay(x+y),

且廣⑼=一3,則()

A.〃尤)是奇函數(shù)B.是減函數(shù)

C./(^)=0D.x=l是“X)的極小值點(diǎn)

三、填空題

12.“函數(shù)〃同=--sinx是奇函數(shù)”的充要條件是實(shí)數(shù)”.

13.在邊長(zhǎng)為4的正方形A8CD中，如圖1所示，E,F,M分別為BC,CD,BE的中

點(diǎn)，分別沿AE，河及所所在直線把AEB,AFD和EFC折起，使B,C,。三點(diǎn)重

合于點(diǎn)P,得到三棱錐尸-AEF,如圖2所示，則三棱錐P-A即外接球的表面積

是；過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐尸-3外接球所得截面的面積的取值范圍

是.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

圖1圖2

14.已知實(shí)數(shù)”>。,6>0,且"(a+8b)=4,則a+46的最小值為.

四、解答題

15.如圖多面體尸中，面E4B_L面ABC。，_E45為等邊三角形，四邊形ABC。

3

為正方形，EF//BC,S.EF=-BC=3,H,G分別為CE,C。的中點(diǎn).

4

⑴證明：BF±AD-,

⑵求平面與平面FG8所成角的余弦值；

AP

⑶作平面尸HG與平面ABC。的交線，記該交線與直線AO交點(diǎn)為尸，寫出F的值(不

AD

需要說(shuō)明理由，保留作圖痕跡).

16.己知函數(shù)/'(x)=xlnx+?x+l(aeR).

(1)若恒成立，求。的取值范圍；

(2)當(dāng)x>l時(shí)，證明：e*lnx>e(x-l).

17.一個(gè)不透明的盒子中有質(zhì)地、大小均相同的7個(gè)小球，其中4個(gè)白球，3個(gè)黑球,

現(xiàn)采取不放回的方式每次從盒中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，當(dāng)盒中只剩一種顏色時(shí)，停止取球.

⑴求停止取球時(shí)盒中恰好剩3個(gè)白球的概率；

(2)停止取球時(shí)，記總的抽取次數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望：

(3)現(xiàn)對(duì)方案進(jìn)行調(diào)整：將這7個(gè)球分裝在甲乙兩個(gè)盒子中，甲盒裝3個(gè)小球，其中2

個(gè)白球，1個(gè)黑球：乙盒裝4個(gè)小球，其中2個(gè)白球，2個(gè)黑球.采取不放回的方式先

從甲盒中每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球，當(dāng)盒中只剩一種顏色時(shí)，用同樣的方式從乙盒中抽取,

直到乙盒中所剩小球顏色和甲盒剩余小球顏色相同，或者乙盒小球全部取出后停止.記

這種方案的總抽取次數(shù)為匕求丫的數(shù)學(xué)期望，并從實(shí)際意義解釋X與y的數(shù)學(xué)期望的

大小關(guān)系.

18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)5(-1,-2),點(diǎn)“

滿足吃+啊=OAf.+響+2,記點(diǎn)M的軌跡為G.

⑴求曲線G的方程：

(2)若P,C,。為曲線G上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，/CPD的平分線交x軸于點(diǎn)。(。，0)(。＜-1),

點(diǎn)0到直線PC的距離為1.

(i)若點(diǎn)。為PCD重心，用a表示點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(ii)若尸QLCD,求a的取值范圍.

19.對(duì)于數(shù)列eN/=l,2,3),定義“T變換”：T將數(shù)列A變換成數(shù)列

8：4也%,其中4=際「⑷(7=1,2),且4=何-蜀.這種“T變換”記作3=7(A),繼

續(xù)對(duì)數(shù)列8進(jìn)行“T變換”，得到數(shù)列C:C”Q,C3,依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0

時(shí)變換結(jié)束.

⑴寫出數(shù)列人3,6,5經(jīng)過(guò)5次叮變換”后得到的數(shù)列：

⑵若4,出，內(nèi)不全相等，判斷數(shù)列A：%，%%不斷的“T變換”是否會(huì)結(jié)束，并說(shuō)明理由；

(3)設(shè)數(shù)列A2020,2,2024經(jīng)過(guò)七次“T變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求左的最小

值.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案：

1.C

【分析】由補(bǔ)集和交集的定義運(yùn)算.

【詳解】集合。={123,4,5,6},集合A={1,2,4},8={1,3,5},

則6A={3,5,6},有BgA={3,5}.

故選：C

2.B

【詳解】評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差或方差，故選B.

點(diǎn)睛:眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平；

中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)（起到分水嶺的作用），中位數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的中間水平；

平均數(shù)：反映一組數(shù)據(jù)的平均水平；

方差：反映一組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度，用來(lái)衡量一批數(shù)據(jù)的波動(dòng)大?。催@批數(shù)據(jù)偏離平

均數(shù)的大?。?在樣本容量相同的情況下，方差越大，說(shuō)明數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定.

標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，意義在于反映一組數(shù)據(jù)的離散程度.

3.D

【分析】分焦點(diǎn)在x軸，y軸兩種情況討論，寫出機(jī)范圍即可.

22

【詳解】方程土+乙=1表示橢圓，

4m

若焦點(diǎn)在％軸上，4>m>0；

若焦點(diǎn)在y軸上，m>4.

綜上：實(shí)數(shù)加的取值范圍是m>0且機(jī)。4

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了學(xué)生概念理解，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

4.D

【分析】由空間中直線與平面的位置關(guān)系，對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行分析即可.

【詳解】若b^c,則〃，6可以是平行，也可以是相交或異面，故A錯(cuò)誤；

若a〃b,alia,則Z?//a或6ua,故B錯(cuò)誤；

若〃〃a,blla,,當(dāng)?！ㄈf(wàn)時(shí)，不能證明。，。，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若力_L&,yLa,且4y=a,在〃上取一點(diǎn)作PQ_La,

答案第1頁(yè)，共17頁(yè)

由面面垂直的性質(zhì)定理可得PQu夕且PQuy,既。與PQ重合，可得故D正確.

故選：D

5.B

【分析】先平均分組，再利用全排列可求不同分配方法的總數(shù).

r2C2

【詳解】將余下四人分成兩組，每組兩人，有j種分法，

2

故不同的分配方法共有』xA；=18種，

2

故選：B.

6.A

【分析】先利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)可得cosc+sina=g,結(jié)合cos?a+side=1可得

cosa,sina,進(jìn)而可得tana.

［詳解】由5cos2a=A/2sin匕-aJ得5(cos2a-sin?a)=夜下-cosa———sina,

即5(cosa-sincr)(cosa+sina)=cosa-sina,

因?yàn)閍,所以cosa-sinawO,

所以cosa+sina=g,結(jié)合cc^a+sin2a=1,且cosa<O,sina>0,

34

得cosa=--,sincr,

sina4

所以tana=----=——.

cosa3

故選：A.

7.C

【分析】觀察題設(shè)條件與所求不等式，構(gòu)造函數(shù)ga)=/(x+l)-2,利用奇偶性的定義與導(dǎo)

數(shù)說(shuō)明其奇偶性和單調(diào)性，從而將所求轉(zhuǎn)化為g(x-l)vg(2x-2),進(jìn)而得解.

【詳角軍】=sin7L￥+e3%-3-e3~3x-x+3,

所以/(x+l)=sin(7Lx+7i)+e3A3_3_e3-3--3-x-1+3

——sinTIX+e'—e"—x+2，

設(shè)g(%)=/(九+l)—2=—sin7tx+e3x—e—3x-x,顯然定義域?yàn)镽,g(x-l)=/(x)-2,

答案第2頁(yè)，共17頁(yè)

又g(_x)=_sin(_7tx)+e_e-'+x=_(_sinTUC+e3A_e一彳)=一g(*)，

所以g(x)為R上的奇函數(shù)，

又g'(x)=-兀cos7tr+3e"+3e-3'-1>-7tcosx+2^3e3x-3e-3x-1=5-兀cosx>0，

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，

又/(x)+〃3-2x)<4,則"(x)-2]+[〃3-2x)-2]<0,

所以g(x-l)+g(2—2x)<0,即g(x—l)<-g(2—2x)=g(2x—2),

所以x—l<2x—2,解得x〉l,

貝IJ滿足/(x)+“3—2%)<4的x的取值范圍是(1,口).

故選：C.

8.A

【分析】向量坐標(biāo)化并結(jié)合雙曲線定義與等面積得|A娟=3c+a,|M|=3c-a,點(diǎn)點(diǎn)距列方程

得A(3a,4a)代入雙曲線求出離心率.

【詳解】設(shè)/(乙，％)，4(/，以)，由對(duì)稱性不妨設(shè)A在第一象限，此時(shí)M也在第一象限,

UULlLIULILILILIU

因?yàn)锳M+3O河=4耳鳥,所以，,一%+3,“=0,%=4坊=4a,

所以5期&=32c4a=((|M|+|A用+2。)@又慎同一M閶=2a,

解得|純|=3c+a,|盟|=3c-a,耳(一c,。),

所以

XC22211

|^|=7(A+)+^=J?+cj+b[今t]=^exA+2cxA+a==exA+a,

所以|前|=a+%,解得4=3a,所以A(3a,4a),代入雙曲線方程得：”一絲t=1,

ab

解得b=6a,c=yja2+b2=-J3a，所以e=?=6.

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查雙曲線的離心率，關(guān)鍵是向量坐標(biāo)化并充分利用曲線定義確

定A的坐標(biāo).

9.BCD

答案第3頁(yè)，共17頁(yè)

【分析】根據(jù)虛數(shù)不能比較大小可知A錯(cuò)誤；根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的定義可判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)的

幾何意義可判斷C；根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，可判斷D.

【詳解】對(duì)A,虛數(shù)不能比較大小，可知A錯(cuò)誤；

對(duì)B,根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的定義知，當(dāng)=時(shí)，4=三，

則閭=同，故B正確；

對(duì)C因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足|z-i|=|z+i|,

則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到（0,1）,（0,-1）兩點(diǎn)間的距離相等，

則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為兩點(diǎn)構(gòu)成線段的中垂線，

即z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為一條直線，故C正確；

因?yàn)閦（l+i）=|1-后|=2,

2_2（l-i）2（l-i）

則一百飛+訓(xùn)一廠^^，

兀..兀

又z=V5cos----ism—

44

故D正確,

故選：BCD.

10.BC

【分析】依題意可得了=兀即可求出口，再根據(jù)函數(shù)的最大值求出。，即可求出函數(shù)解析式,

再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B、D,設(shè)切點(diǎn)為%°,sin卜+副］,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義

求出方,即可判斷C.

【詳解】對(duì)A,因?yàn)?（x）=sinOx+e）O〉0,0<e<7i）,所以/（力儂二葭

又/HP閨j且Vx.W都有

所以7==兀，所以7=0=兀，解得0=2,

616Jco

BP/（x）=sin（2x+0）,

答案第4頁(yè)，共17頁(yè)

7T7TS1T

所以---(■"=—+2/CK,左￡Z,解得(p=一+2kit,keZ,

326

所以9=g571,所以“x)=sin(2x+g],

又

6

”吟5兀時(shí)2x+g5兀5兀5兀5兀

G，又丁=5111］在上不單調(diào),

12T'T~6,~3

所以y=/(x)在(。亮

上不單調(diào)，故A錯(cuò)誤;

7兀sin23+2

對(duì)B,因?yàn)榱?sin2兀=0,

12I126

石_，。］對(duì)稱，故B正確;

所以，=/(力的圖象關(guān)于

cos2X+&

對(duì)C,因?yàn)?'(x)=2，設(shè)切點(diǎn)為|毛,sin

I6

則「伉)=2-6,

所以

LLt、1c5兀5兀,r—IXc5715兀c,,一

以2%oH--------F2km,左￡Z2%oH---=-----\-2AJI,keZ,

6666

解得飛=E?wZ或％=--+fat,A:eZ,

6

1

又sin+2,

1,即-IV-若與+［《1,解得一旦飛4立,

因?yàn)門Vsin

262

所以%=0,

即直線>=-后+；是函數(shù)〃x)在

°4處的切線，故C正確;

對(duì)D,將y=/(x)的圖象向右平移;個(gè)單位長(zhǎng)度后得到

715兀

g(x)=sin2x+一=sin2x+-\,

6I6

顯然g(x)是非奇非偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：BC

11.ACD

【分析】令無(wú)=y=0求出f(0),令》=一》可確定奇偶性，將y當(dāng)作常數(shù)，x作為變量，對(duì)

答案第5頁(yè)，共17頁(yè)

原式求導(dǎo)，然后可通過(guò)賦值，解不等式求單調(diào)性及極值.

【詳解】令x=y=O,得"0)=0,令》=一%得0="x)+〃r),所以“X)是奇函數(shù),

A正確；

f(x+y)=f(x)+f(y)+3x2y+3xy2,:.f'(x+y)=f'(x)+6yx+3y2

令x=0,"(加-(0)+3V,

2

又?r(O)=-3,.-.r(y)=3y-3,.-./(y)=/-3y+C,

/(O)=O,.-.c=O,.-/(y)=y3-3y,:.f(x)=x3-3x,:.f(^)=O,

令尸(x)=0,:.x=±l,/,(x)>0,x<-l或x>L/'(x)<0,T<x<l

■-f(x)在(-oo,-l)和(1,+oo)上為增函數(shù)，/(元)在(-1,1)上為減函數(shù)，

；.X=1是/(X)的極小值，故CD正確，B錯(cuò)誤.

故選：ACD.

12.0

【分析】結(jié)合三角函數(shù)奇偶性、幕函數(shù)奇偶性以及奇偶性的定義即可運(yùn)算求解.

【詳解】若函數(shù)〃￡)=改2-sinx是奇函數(shù)，

貝!I當(dāng)且僅當(dāng)/(無(wú))=內(nèi)2-sinx=-［。(一尤『一sin(-X)］=-/(-x),

也就是2ax2=0恒成立，從而只能a=0.

故答案為：0.

13.24兀［兀,6兀］

【分析】補(bǔ)體法確定外接球直徑進(jìn)而求得表面積；利用球的截面性質(zhì)確定面積最值.

【詳解】由題意，將三棱錐補(bǔ)形為邊長(zhǎng)為2,2,4長(zhǎng)方體，如圖所示：

A,

三棱錐尸-AEF外接球即為補(bǔ)形后長(zhǎng)方體的外接球，所以外接球的直徑

答案第6頁(yè)，共17頁(yè)

（2Z?）2=22+22+42=24,R=屈,

所以三棱錐尸-AEF外接球的表面積為S=4兀友=24兀，

過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐P-AEF的外接球所得截面為圓，其中最大截面為過(guò)球心。的大圓,

此時(shí)截面圓的面積為兀&=7l（V6）2=671,

最小截面為過(guò)點(diǎn)M垂直于球心。與加連線的圓，此時(shí)截面圓半徑

/=9一°“=,一筲］=肉？=1（其中長(zhǎng)度為長(zhǎng)方體前后面對(duì)角線長(zhǎng)度）,

故截面圓的面積為nr2=7t,

所以過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐尸-3的外接球所得截面的面積的取值范圍為［兀,6兀］.

故答案為：24兀;［兀,6兀］

14.2A/3

【分析】利用消元法得到。+助的函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性后可求最小值.

4

2

【詳解】（Q+4Z?）2=A+8QZ?+16/=Q（Q+8Z?）+16Z?2=—+16〃,

b

設(shè)g（b）=j+16〃，其中匕>o,貝1］/（匕）=_百+326=4^_H,

bv7b2b2

當(dāng)be［。,：1時(shí)，g'?<0,當(dāng)寸，g'?>0,

故g（9在1°，J上為增函數(shù)，在&，+s）上為減函數(shù)，

故gOL,=gg］=12,此時(shí)a=-2+2有>0,

故a+46的最小值為26.

故答案為：26.

15.（1）證明見(jiàn)解析

22

Ap1

⑶而北，作圖見(jiàn)解析

【分析】（1）由面面垂直得到線面垂直，從而證明出線線垂直;

答案第7頁(yè)，共17頁(yè)

(2)由面面垂直得到線面垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到平面的法向

量，進(jìn)而利用平面法向量求出面面角的余弦值；

(3)作出輔助線，得到線線平行，進(jìn)而得到結(jié)論.

【詳解】(1)在正方形ABCD中，ADJ.AB,

；平面平面ABCD,平面E43［平面ABC￡)=AB,ADu平面ABCD,

:.AD_L平面又RFu平面E4B,

:.BF±AD;

(2)為等邊三角形，設(shè)A2中點(diǎn)為。，；.O尸，AB,

又平面平面ABCD,面FA8面ABCD=AS,OFu面￡鉆，則0尸_1面45?！?,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)3,OG,OP為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

3

因?yàn)镋B=—BC=3,貝UBC=4,則

4

B（2,0,0）,C（2,4,0）,F（0,0,2V3）,￡（0,3,2^）,H^,^,G（0,4,0）,

所以3尸=卜2,0,2百）,20=（0,4,0）,用=1[,一石],尸6=（0,4,-2如），

設(shè)平面8CEF的一個(gè)法向量為/〃=(%,y,z)

\m-BF=01一2尤+2君z=0

Anr'|m-BC=0^|4y=0取2=1得工=百,y=0,所以根=(也,0,1),

設(shè)平面bGH的一個(gè)法向量為"="c)

7

nFH=0ClH----b-^c=0取0=若得4=一；,吟，所以〃=［管,金

則n2

nFG=04b-2&=Q

n-m

所以cosn,m=

網(wǎng),同

答案第8頁(yè)，共17頁(yè)

所以平面與BCEF與平面FGH成角的余弦值為區(qū)；

22

（3）如圖所示：在AD上取一點(diǎn)尸，使得DP=EF,連接FRPG,

因?yàn)镋F//BC,AD//BC,所以EF//AD,即砂〃DP,

所以跳PD為平行四邊形，故EP//ED,

因?yàn)镠,G分別為CE,CD的中點(diǎn)，所以GH//DE,

取GH11PF,即G,H,P,P共面,

MAP1

故—=-

AD4

16.(1)?>-1

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）參變分離，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出最值，得到答案；

（2）法一：在（1）的基礎(chǔ)上得到＞1,再構(gòu)造函數(shù)得到e，＞ex,得到

XX

從而得到結(jié)論；

法二：即證lru＞呆，構(gòu)造函數(shù)G（無(wú)）=依-7,求導(dǎo)后再對(duì)分子求導(dǎo)，從而得到函數(shù)的

單調(diào)性，得到G（x）＞G⑴=0,證明出結(jié)論.

【詳解】（1）由已知得，-。411?+/在（0,+8）上恒成立，

設(shè)g（x）=lnx+±g1x）」--\=^~,

XXXX

g'（x）＞0,解得x＞l,g'（x）＜0,解得0＜彳＜1,

答案第9頁(yè)，共17頁(yè)

.,.g(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(I,+8)上為增函數(shù)，

.?.g(x)Ng⑴=1,即一aWl,

a2-1；

(2)法一：由(1)知42—1時(shí)，/(“N0恒成立，

取〃=一1,得lux之二’成立，x=l時(shí)取等號(hào).

X

所以當(dāng)x>l時(shí)，e'lru>e'(xT),

X

設(shè)/z(x)=e"-ex,/z'(x)=eX-e,故x>1時(shí)，

「./?(%)=e"-ex在(1,+。)上為增函數(shù)，

.\/2(X)>/z(l)=0,

ex>ex.

所以x>l時(shí)，->e,即e'"T>e(xT.

%Xv7

由此可證，當(dāng)尤>1時(shí)，e，lnx>e'°T>e(x-l),結(jié)論得證.

X

法二：當(dāng)X>1時(shí)，若證e'lnx>e(x-l)成立.即證:1取>與二，

e"+x~-2x

設(shè)G（x）=lnx->，尤>1,GW=-心彳一

xe、i

設(shè)〃?（無(wú)）=e*T+爐-2無(wú)，加（x）=e*T+2x-2=e"T+2（尤-1）,

當(dāng)x>1時(shí)，?/(%)>0,m(x)在(1,+8)上為增函數(shù).

m(x)>m(l)=0,；.G'(x)>0,

??.G⑺在(,+e)上為增函數(shù),G(x)>G⑴=0,

由此可證，當(dāng)尤>1時(shí)，e'lnx>e(x—l)成立.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)

法，使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過(guò)對(duì)具體函數(shù)的

研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)

合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過(guò)兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.

答案第10頁(yè)，共17頁(yè)

3

17.（1）—

35

77

⑵分布列見(jiàn)解析，磯乂）=彳

40

（3）E"）=豆，在將球分裝時(shí)，甲盒取完后直接取乙盒，此時(shí)甲盒中還有其它球，該球干擾

作用己經(jīng)消失，所以同樣是要剩余同一顏色，調(diào)整后的方案總抽取次數(shù)的期望更低.

【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求A得概率；

（2）先確定X的取值，再就每一個(gè)取值的意義結(jié)合古典概型的概率公式可求分布列，再利

用公式可求期望.

（3）先確定y的取值，再設(shè)甲盒、乙盒抽取次數(shù)分別為X、Y2,根據(jù)題設(shè)得到三者之間的

關(guān)系，再結(jié)合古典概型的概率公式可求分布.

【詳解】（1）設(shè)“停止取球時(shí)盒中恰好剩3個(gè)白球”為事件A,

C；A；A；3

則/(4)=

A；35

（2）X的可能取值為3,4,5,6,

CAA

p(X=3)=與」，P(X=4)=A：+CgA；A：=巧,=5)=344+C4A4A3=2

A735A735A77

CCA；4

p(X=6)=

7

所以X的分布列為

X3456

1424

P

353577

i474?7

X的數(shù)學(xué)期望磯X）=3x至+4X35+5X]+6X]=*；

（3）￥的可能取值為3,4,5,6,設(shè)甲盒、乙盒抽取次數(shù)分別為X、y2,

因?yàn)橐液兄袃煞N小球個(gè)數(shù)相同，所以無(wú)論甲盒剩余小球什么顏色，乙盒只需取完一種顏色即

可，

p(y=3)=p(1i)p億=2)=；定=:,

答案第11頁(yè)，共17頁(yè)

尸(y=4)=*=1)尸化=3)+尸(耳=2)尸4=2)=；x當(dāng)生q,

D八4D64?

P(y=5)=P(K=l)P化=4)+尸(X=2)尸(％=3)

1(C；A；A；用)2c_7

A：+氏廠aA；-ii，

p(y=6)=p(K=2)p億=4)=gp1^+^j

177140

y的數(shù)學(xué)期望E(y)=3x—+4x—+5x—+6x—=——，

v71891839

在將球分裝時(shí)，甲盒取完后直接取乙盒，此時(shí)甲盒中還有其它球，該球干擾作用已經(jīng)消失,

所以同樣是要剩余同一顏色，調(diào)整后的方案總抽取次數(shù)的期望更低.

18.(l)/=-4x

⑵(i)尸］—(ii)a<—

.uuluUUUTIUULTzUiruim、

【分析】(1)對(duì)|MA+峭=OM.(OA+O8)+2向量坐標(biāo)化，整理得曲線軌跡方程；

(2)法一：由條件得尸。LCD,結(jié)合斜率和重心坐標(biāo)公式得尸坐標(biāo)，由角分線意義得

%:二%L1,平方化簡(jiǎn)得私〃是方程。-北田+2(%-a)卯-伍-4=0的兩根，直線

與曲線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出P坐標(biāo)，即可求解；法二：由圓切線方程抽方程可知直線收

2%@-

的方程為(X。一。)(%-。)+%丫=1，與圓聯(lián)立得勺+k=，結(jié)合韋達(dá)定理得尸坐標(biāo),

21-￥

即可求解.

【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)M(x,y),QA(-l,2),3(-l,-2),

ULUUUUULUULlLILIULU

MA=(-l-x,2-y),MB=(-l-x,-2-y),OM=(x,y),OA=(-l,2),OB=(-1,-2)

LlUUULUUUULHULL

即+MB=(-2-2x,—2y),04+08=(-2,0),

lUUIUUUQ[|I------------------------------------------j---------------------------------------

/.\MA+MB\=^(-2-2x)2+(-2y)2=^/4X2+4^2+8X+4,

uuir/uuraim、

.(04+02)+2=(x,(-2,0)+2=-2x+2,

答案第12頁(yè)，共17頁(yè)

Iuuwuuutiuuir/uuruun、---------------

Q\MA+MB\=OM-（OA+OB\+2,:.ytl4x2+4y2+Sx+4=-2x+2,

2

化簡(jiǎn)得曲線G的方程：y=-4x;

⑵(i)解法L：設(shè)4看,必),。(%,方)，尸(如％)，尸。為，PCD的角平分線.

Q為，PCD重心...尸。為-PCD的中線，S三線合一可得PQLCD

-4%%

x一再*a

2-----a

4

Q為,PCD重心，%+%+%=。

kpQ,kcD=-1P(a-4,±2J4-a)(1)

設(shè)直線PC方程為：x-x0^m(y-y0),直線尸。方程為：x-x0=n(y-y0),

??.PQ是/CPD的平分線，點(diǎn)。到直線PC的距離為1,.,.點(diǎn)Q到直線尸。的距離為1,

.加%[]

■,Vl+m2'

可得（1一y；）"r+2（尤0-a）%”2_（元0_o）2=0

同理（1-尤）“2+2（毛-<2）%”-5-4）2=0,

x-x=m{y-%)聯(lián)立可得:

0y2+4my+4x-4my=0,

y2--4x00

：?%+%=-4wJi=~4m~y0,同理％=%乂+%=T（〃z+%）—2%,

點(diǎn)。為.PCD重心，，%+%+%=。，即~4（m+w）_%=-42（%_%=0,

、%—1）

8。+1

y0=±y/-8a-1

故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為②

聯(lián)立①②可得°=F即尸

答案第13頁(yè)，共17頁(yè)

（ii）由（i）知機(jī)+〃=2（%o

271

.卜二%-X=-4=_4=________2________（3Q-）

?8%—石％+為-4（m+zz）-2y02（x0-a）y0（-4a-l）y0，

QkpQ-，kpQ?kCD=-1,

4

216Q2+4Q—816Q2+4G—8八

...%:----------,/.----------->0

°-4a-9-4a-9

Qa<-1,:.I，"+4。_§.>o等價(jià)于-4a-9>0:.a<-—時(shí)滿足題意.

-4a-94

（i）解法2：

.「PQ是/CPD的平分線，點(diǎn)。到直線PC的距離為L(zhǎng).?.點(diǎn)。到直線尸。的距離為1,

.,?直線PC、PD與圓?！?幻2+/=1相切，

設(shè)直線PC、尸。與圓的切點(diǎn)分別為

設(shè)直線PC上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為尸（x,y）,則PE.QE=O,可得（西—x,%—力（占一凡％）=0,整

理得口一力（七一°）+%（%7）=0,

結(jié)合（%-4+才=1,進(jìn)一步可得直線PC方程為：（玉-a）（x—a）+yj=l,

同理直線尸。方程為（9一々）（工一。）+為'=1，

因?yàn)辄c(diǎn)尸（4,九）在兩條直線上，

所以可知直線￡T尸的方程為（不一。）（％-4）+為、=1,

代入圓方程可得：（x-a）2+y2=[（尤o-a）（x-a）+%y]~

即：（1-訴）>2-2（%0+[1-5-a）卜尤-a）2=0

設(shè)直線QE的斜率勺=旦，直線。尸的斜率為心=也二，

石_cix?-a

_2

「.（I-1）（4]2y0（x0-a）+l-（x0-a）=0

\\x-ayx-a

即匕+.2%（”叱

答案第14頁(yè)，共17頁(yè)

)2=-4%

聯(lián)立直線尸C與拋物線方程，