地下水動力學(xué)

地下水動力學(xué)安徽建筑工業(yè)學(xué)院汪東林第一章

滲流理論基礎(chǔ)§1-1概述一、滲流與滲流力學(xué)滲流：流體在多孔介質(zhì)中的流動。流體：能流動的物體（氣體和液體）。多孔介質(zhì)：孔隙、裂隙和孔隙-裂隙介質(zhì)。

滲流力學(xué)：研究流體在多孔介質(zhì)中運動規(guī)律及其應(yīng)用的科學(xué)。滲流力學(xué)的基本理論-滲流理論。

本課程所涉及的是地下水及其溶質(zhì)的運移問題，研究地下水在多孔介質(zhì)中運動規(guī)律及其應(yīng)用的科學(xué)-地下水動力學(xué)。這里所講的滲流理論是以地下水滲流問題為重點的滲流理論，是研究地下水在多孔介質(zhì)中運動規(guī)律的基本理論。二、滲流理論的特點

滲流理論這門學(xué)科具有鮮明的數(shù)學(xué)-物理色彩，這要求對滲流規(guī)律的分析與概括既需要可靠的物理分析，又需要精細的數(shù)學(xué)概括。三、滲流理論的發(fā)展歷史

滲流理論的發(fā)展，許多學(xué)者都作出過重大貢獻，從一些學(xué)者的研究成果就可看出滲流理論的發(fā)展過程。Henry-Darcy(1856):

Darcylaw.J.Dupuit(1860’s):

Steady-statewellflow

P.Farchheimer(1880’s):

Steady-stateflow

J.Boussinesq(1904):Differentialequationforunsteadyflowinphreaticaquifer

C.V.Theis(1935):Unsteady-statewellflowJ.Bear(1970’s):Groundwaterflowinporousmedia§1-2多孔介質(zhì)與連續(xù)介質(zhì)一、多孔介質(zhì)

多孔介質(zhì)很難給出其精確定義，一般來說，具有以下特點的物質(zhì)就稱為多孔介質(zhì)。（1）該物體為多相體：固體相-骨架，流體相-空隙；（2）固體相的分布遍及整個多相體所占據(jù)的區(qū)域；（3）空隙空間具有連通性。二、滲流的特征

（1）運動途徑復(fù)雜多變；（2）狀態(tài)函數(shù)非連續(xù)；（3）只有平均性質(zhì)的滲透規(guī)律，研究地下水質(zhì)點的運動特征比較困難。uuVuuV=u*n三、連續(xù)介質(zhì)假說1流體連續(xù)介質(zhì)：流體是由連續(xù)分布的流體質(zhì)點組成的。從研究尺度上講，流體可以從分子規(guī)模和流體質(zhì)點規(guī)模來研究。分子規(guī)模-非連續(xù)性質(zhì)點規(guī)模-連續(xù)介質(zhì)p2多孔連續(xù)介質(zhì)--為數(shù)學(xué)點P處多孔介質(zhì)的表征體積元（簡稱為表征體元-REV），將其所包含的所有流體質(zhì)點與固體顆粒的總體稱為多孔介質(zhì)質(zhì)點。將其所包含的所有流體質(zhì)點稱為多孔介質(zhì)流體質(zhì)點。多孔介質(zhì)由連續(xù)分布的多孔介質(zhì)質(zhì)點組成—多孔連續(xù)介質(zhì)。多孔介質(zhì)中的流體由多孔介質(zhì)流體質(zhì)點構(gòu)成--多孔流體連續(xù)介質(zhì)。

p第二章飽和滲流理論基礎(chǔ)§2-1滲流的Darcy定律一、多孔介質(zhì)的滲透特征分類

均質(zhì)多孔介質(zhì)按多孔介質(zhì)的滲透性能是否隨空間位置的變化而變化

非均質(zhì)多孔介質(zhì)

各向同性多孔介質(zhì)按多孔介質(zhì)的滲透性能是否隨空間方向的變化而變化

各向異性多孔介質(zhì)

均質(zhì)各向同性多孔介質(zhì)均質(zhì)各向異性多孔介質(zhì)非均質(zhì)各向同性多孔介質(zhì)非均質(zhì)各向異性多孔介質(zhì)二、Darcy實驗定律及其適用條件1856年法國水利工程師Henry-Darcy通過在直立均質(zhì)各向同性中的滲透實驗總結(jié)出了著名的Darcy定律：Darcy定律反映了滲流的能量守恒規(guī)律，其應(yīng)用條件為：（1）均質(zhì)等溫不可壓縮流體（=常數(shù)）在均質(zhì)各向同性介質(zhì)中的滲流；（2）低雷偌()條件下的層流;(3)在細粒土中，存在一個起始水能力坡度，此時有：三、各向同性介質(zhì)中Darcy實驗定律的推廣在各向同性介質(zhì)中，標量形式Darcy實驗定律的推廣式為：是沿流動方向上的方向?qū)?shù)。矢量形式Darcy實驗定律的推廣式為：是水頭梯度矢量、、三個矢量的關(guān)系見右圖。矢量在各坐標軸上的投影分別為：

流線四、各向異性介質(zhì)中Darcy實驗定律的推廣（一）各向異性介質(zhì)中滲流的基本特點各向異性介質(zhì)中滲流的基本特點是：和不共線。xy（二）各向異性介質(zhì)中Darcy實驗定律的推廣將沿X、Y、Z分解三個矢量、、，則，，于是有：

又因為

上式寫成矩陣形式為：--滲透系數(shù)張量各向異性介質(zhì)中Darcy定律為：（三）各向異性介質(zhì)的主方向與主滲透系數(shù)

如果存在三個坐標軸方向使?jié)B透系數(shù)張量變?yōu)閯t這三個方向就是主滲透方向，簡稱主方向，各方向所對應(yīng)的滲透系數(shù)就稱為主滲透系數(shù)。張量分析理論已經(jīng)證明：對于二階對稱張量，主方向是相互正交的。從物理意義上講，主滲透方向是滲透性能最強或最弱的特征方向。

當主滲透方向與坐標軸方向一致時，主滲透系數(shù)滿足：

Darcy定律為：課堂討論討論題目：1試概括總結(jié)一下連續(xù)介質(zhì)方法的基本思想，并對這種方法加以評述。2何謂水力坡度？何謂水頭梯度？兩者有何區(qū)別和聯(lián)系？3深入理解各向同性和各向異性介質(zhì)中滲流特征的區(qū)別，在各向異性介質(zhì)中，沿等水頭線方向是否存在著滲流分速度？為什么？§2-2滲流連續(xù)性方程一、積分形式的連續(xù)性方程(一）基本方程式滲流場中，控制體（U）內(nèi)流體總質(zhì)量隨時間的變化率，等于單位時間內(nèi)從控制面（A）凈流入控制體內(nèi)流體質(zhì)量（流入為正，流出為負）。UAVdAn(二）特例1、骨架不可壓縮的含水層中的穩(wěn)定滲流：此時n與t無關(guān)，又因是穩(wěn)定流，故，從而有：由此可得上式表明：任意時刻通過控制面流入與流出控制體的流體質(zhì)量是彼此相等的。

2、等溫不可壓縮流體在骨架不可壓縮的含水層中的滲流：

這時不論是穩(wěn)定流而是非穩(wěn)定流，由于，且n與時間無關(guān)，從而有：于是有：這表明：在上述條件下，不論是穩(wěn)定流而是非穩(wěn)定流，任意時刻通過控制面流入與流出控制體的流體質(zhì)量是彼此相等的。(三）實例分析例如下圖所示，假設(shè)含水層骨架不可壓縮，水為等溫不可壓縮的，且運動已達到穩(wěn)定狀態(tài)。(1)對控制體abcd（2）對控制體efgh

abcdwfeghq(四）以水頭為變量的積分形式連續(xù)性方程已知若取坐標方向與各向異性主方向一致，有從而有：

xz

由于

yn以水頭為變量的積分形式連續(xù)性方程二、微分形式的連續(xù)性方程（一）微分形式的連續(xù)性方程的一般形式（二）特例1骨架不可壓縮的含水層，，有2骨架不可壓縮的含水層，，有（三）以水頭為變量的微分形式的連續(xù)性方程這里僅以特例2為基礎(chǔ)給出以水頭為變量的微分形式的連續(xù)性方程：由此可得：在各向同性含水層中有：

對于均質(zhì)各向同性含水層，K=C，則有：對于平面二維流或剖面二維流，則有：

上述方程都是Lplace方程，在特例2的條件下，這些方程對穩(wěn)定流與非穩(wěn)定流都成立。（三）微分形式的連續(xù)性方程的物理意義流入流出凈流入

zxy

同理，對X、Y方向的凈流入分別為：在時間內(nèi)總凈流入為：

單位時間微元體內(nèi)流體質(zhì)量的變化率為根據(jù)凈流入等于變化率就可得：由推導(dǎo)過程可知：上式表示的是一個單位微元體內(nèi)流體質(zhì)量的守恒規(guī)律。思考題：1、下列概念是否科學(xué)，試作出評述：（1）在穩(wěn)定流中，沿流程各斷面的流量總是相等的；（2）在非穩(wěn)定流中，沿流程各斷面的流量總是不相等的。2、當介質(zhì)骨架和水都不可壓縮時，連續(xù)性方程div(v)=0對穩(wěn)定流和非穩(wěn)定流都是適用的，你是如何理解的？§2-3流函數(shù)、勢函數(shù)、流網(wǎng)一、流函數(shù)流線的微分方程為若存在一個標量函數(shù)，使得則函數(shù)就稱為流函數(shù)。對非穩(wěn)定流，流函數(shù)為

流函數(shù)的重要性質(zhì)：1、同一流線上各點的流函數(shù)值為常數(shù)，即等流函數(shù)值線就是流線。2、兩條流線間所通過的單寬流量，等于該兩條流線的流函數(shù)值之差。dldydxabABnxy二、勢函數(shù)（一）定義在滲流場中，若存在函數(shù)，使得則：為滲流場的勢函數(shù)。

存在勢函數(shù)的水流--勢流/無旋流

不存在勢函數(shù)的水流—渦流/有旋流（二）幾種例題1、均質(zhì)各向同性多孔介質(zhì)中均質(zhì)等溫流體的滲流是勢流。令，就有：2、非均質(zhì)各向同性多孔介質(zhì)中均質(zhì)等溫流體的滲流，除極個別情況外都是有旋流。令，這時有：

，對Y、Z方向類似。

3、各向異性多孔介質(zhì)中的滲流是有旋流。4、非均質(zhì)、非等溫、可壓縮的一般流體在多孔介質(zhì)中的滲流是有旋流

（三）流函數(shù)與勢函數(shù)的聯(lián)系1、在平面{XOY}勢流中，流函數(shù)滿足Laplace方程。2、流函數(shù)與勢函數(shù)的關(guān)系Laplace方程柯西—黎曼條件（Cauchy-Riemann)三、平面流網(wǎng)（一）定義流場中流線族與等水頭線族交織成的網(wǎng)格，稱為流網(wǎng)。（二）特性1、各向同性多孔介質(zhì)中的滲流（1）流網(wǎng)為正交網(wǎng)。（2）在一定制網(wǎng)規(guī)則下，均質(zhì)等溫不可壓縮流體在不可壓縮均質(zhì)多孔介質(zhì)中滲流的流網(wǎng)，其每個網(wǎng)格的邊長比為常數(shù)；在非均質(zhì)多孔介質(zhì)中則不為常數(shù)。2、各向異性多孔介質(zhì)中，流網(wǎng)一般為斜交網(wǎng)。（三）流網(wǎng)的繪制方法1、解析法；2、實驗法；3、徒手法。課堂討論

1、有文獻認為，當流網(wǎng)中各條相鄰流線的流函數(shù)差值相同且每個網(wǎng)格的水頭差值相同時，通過每個網(wǎng)格的流量相等。對此你有何評論？其中所說結(jié)論成立的根本條件為何？每個網(wǎng)格的水頭差值不相同時，結(jié)論是否成立？2、流速勢和水頭這兩個概念的區(qū)別與聯(lián)系為何？3、若把流網(wǎng)定義為流線族與等勢線族交織成的網(wǎng)格，你覺得是否全面？§2-4可壓縮多孔介質(zhì)中以水頭為變量的滲流連續(xù)性方程一、滲流基本微分方程考察滲流連續(xù)性方程：

由于，且有又由于令，就有：二、滲流基本微分方程的推廣1、各向同性介質(zhì)2、均質(zhì)各向同性介質(zhì)3、二維流三、幾點討論1、關(guān)于的物理意義---水頭下降（上升）一個單位時，由單位體積含水層內(nèi)孔隙體積的壓縮（擴大）而釋放（儲存）的水量（體積）。

---水頭下降（上升）一個單位時，由單位體積含水層內(nèi)水體積的膨脹（壓縮）而釋放（儲存）的水量（體積）。2、方程

（1）穩(wěn)定流；（2）不考慮彈性釋放的非穩(wěn)定流。

2、主滲透方向與坐標軸不一致時的微分方程3、關(guān)于源匯項（1）三維流

若存在抽水井，抽水流量為Q，進水長度為L，則W=-Q/L，假設(shè)抽水井的位置為，上式可表示為：（2）二維流3、積分形式的滲流方程思考題從物理意義上看，在三維流中，滲流的基本微分方程若采用如下形式是否妥當？四、Boussinesq方程1、假設(shè)條件（1）含水層骨架和水均不可壓縮（2）2、Boussinesq方程凈流入：變化率：XWh

由滲流的連續(xù)性方程可得Boussinesq方程4、Boussinesq方程應(yīng)用條件（1）滲流的鉛直分速度很小。（2）不適用鉛直平面內(nèi)的二維運動§2-5定解條件一、問題的提出描述地下水運動的基本微分方程普遍規(guī)律連續(xù)性方程（質(zhì)量守恒）Darcy定律（能量守恒）定解條件邊界條件初始條件特殊規(guī)律描述地下水運動的數(shù)學(xué)模型

二、初始條件初始時刻（t=0）滲流場中水頭的分布狀況--初始條件三、邊界條件（一）、第一、二、三類邊界條件1、第一類邊界條件：已知（或給定）邊界上水頭分布情況的邊界條件初始條件穩(wěn)態(tài)非穩(wěn)態(tài)

2、第二類邊界條件：已知（或給定）邊界上單寬流量分布情況的邊界條件3、第三類邊界條件：已知（或給定）邊界上水頭和其法線方向?qū)?shù)分布情況的邊界條件xyn§2-6數(shù)學(xué)模型一、建立數(shù)學(xué)模型的若干要點1、分析滲流特征，確定滲流維數(shù)；2、合理確定研究區(qū)范圍，圈定滲流區(qū)的邊界；3、分析確定滲流邊界的類型，正確給出相應(yīng)的邊界條件；4、給出滲流場的初始條件5、進行參數(shù)分區(qū)，定出各區(qū)適當?shù)膮?shù)6、選出適當?shù)臐B流微分方程7、數(shù)學(xué)模型的完善與修正二、建立數(shù)學(xué)模型舉例例1xLKW

例2QW§2-7疊加原理一、疊加原理1、算子：對地下水滲流問題，算子的表示為：對滲流問題，有故齊次算子非齊次算子2、疊加原理若為的解，則它們的線性組合也是的解。凡是滿足疊加原理的系統(tǒng)即為線性系統(tǒng)。反之則為非線性系統(tǒng)。疊加原理二、齊次問題的疊加原理若考慮平面二維滲流問題：三、非齊次問題的疊加原理

四、疊加原理的應(yīng)用舉例例1如圖所示，在一各矩形含水層中，有兩條給定水頭邊界和兩條給定流量邊界。含水層為均質(zhì)、等厚，且水平埋藏的承壓含水層。其中穩(wěn)定滲流服從Laplace方程。

描述地下水運動的數(shù)學(xué)模型為：

例2如圖所示，含水層中，有兩個給定流量的抽水井和，其抽水流量分別為A和B。含水層為均質(zhì)、等厚，且水平埋藏的承壓含水層。其中穩(wěn)定滲流服從Laplace方程。

描述地下水運動的數(shù)學(xué)模型為：

例3非穩(wěn)定流定解問題的疊加。

第三章水動力彌散理論3.1水動力彌散現(xiàn)象及其機理3.2對流—彌散方程及其定解條件3.1水動力彌散現(xiàn)象及其機理

隨著近年來地下水遭到不同程度的污染，地下水溶質(zhì)運移理論愈來愈引起人們發(fā)關(guān)注。它不僅可以可以用來模擬地下水中污染物的運移過程，預(yù)測地下水污染的發(fā)展趨勢，控制地下水污染，還可以用于防止海水入侵及土壤鹽堿化等方面。一、多孔介質(zhì)從流體力學(xué)角度把多孔介質(zhì)定義為：1.多孔介質(zhì)是一多相物質(zhì)，在其所占據(jù)的空間至少有一相不是固體，他們可以是氣體相或液體相。2.孔隙空間在空間上接近均勻分布，并比較狹窄，固體骨架的比表面較大。3.至少構(gòu)成孔隙空間的某些孔洞應(yīng)相互連通，就多孔介質(zhì)的流動來說，相互連通的孔隙為有效孔隙，不連通的孔隙可以視為固體骨架部分。二、水動力彌散現(xiàn)象先考察兩個實例，通過他們大致了解水動力彌散現(xiàn)象。例1.將裝滿均質(zhì)砂的圓柱形管用水飽和，并讓水流不斷地穩(wěn)定均勻通過，在某一時刻(t=0)，開始注入含有示蹤劑濃度為C0的保守性示蹤劑溶液，在實驗過程中保持C0和Q不變。在砂柱末端測量示蹤劑濃度的變化C(t)。繪制示蹤劑相對濃度對時間的曲線。

CC0L

Q

Qt1.00.50圖1砂柱中的一維運動例2.在一口均勻的一維流場的井中連續(xù)注入一種保守性示蹤劑溶液，然后在井周圍觀察到示蹤物質(zhì)逐漸散布開來，而且分布范圍超出了按地下水平均流速所預(yù)計的區(qū)域。隨著時t的延續(xù)示蹤劑的分布范圍沿水流方向(縱向)和垂直水流方向(橫向)都在擴大，只是橫向擴展會加大，如下圖所示。污染源t1t4t2t3t5圖2一維均勻流場示蹤劑的擴展

上述事實說明，存在一種特殊的現(xiàn)象。因為如果不存在這種現(xiàn)現(xiàn)象，示蹤劑應(yīng)按水流的平均流速移動；含示蹤劑和不含示蹤劑的水的接觸面應(yīng)該是突變的；示蹤劑也不該橫向擴展開來。圖1中，曲線應(yīng)出現(xiàn)虛線所示的形式，即有一個以實際平均流速移動的直立鋒面。以上事實說明，在兩種成分不同的可以互相溶混的液體之間存在著一個不斷加寬的過度帶。這種現(xiàn)象稱為水動力彌散。因此，所謂的水動力彌散就是在多孔介質(zhì)中所觀察到的兩種成分不同的可溶混液體之間過度帶的形成和演化過程。這是一個不可逆的過程。水動力彌散是由溶質(zhì)在多孔介質(zhì)中的機械彌散和分子擴散所引起的。三、機械彌散

在多孔介質(zhì)中，無論液體運動速度的大小還是方向，都是很不均勻的。這種流速的不均勻性是由以下三方面的作用引起的：1.液體具有粘滯性以及結(jié)合水對重力水發(fā)摩擦阻力，使得最靠近孔隙部分的(重力)水流速度趨近于零，向軸部流速逐漸增大，至軸部最大；2.孔隙的大小不一，造成不同孔隙間軸部最大流速的差異；3.孔隙本身彎彎曲曲，水流方向也隨之不斷改變，因此對水流平均方向而言，具體流線的位置在空間是擺動的。這幾種現(xiàn)象是同時發(fā)生的，由此造成開始時彼此靠近的示蹤劑點群在流動過程中不是一律按平均流速運動，而是不斷向周圍擴展，超出按平均流速所預(yù)期的擴展范圍。沿平均流速方向和垂直它的方向上，都可以看到這種現(xiàn)象。液體通過多孔介質(zhì)流動時，由于速度不均一所找成的這種物質(zhì)運移現(xiàn)象稱為機械彌散。

溶質(zhì)的機械彌散通量方程

式中：為機械彌散通量，即指由機械彌散造成的在單位時間內(nèi)通過單位面積的溶質(zhì)質(zhì)量；是機械彌散系數(shù)。四、分子擴散

分子擴散是由于液體中所含溶質(zhì)的濃度不均一而引起的一種物質(zhì)運移現(xiàn)象。濃度梯度使得物質(zhì)從濃度高的地方向濃度低的地方運移，以求濃度均一。因此，即使是在靜止液體中也會發(fā)生分子擴散，使示蹤劑擴散到越來越大的范圍。溶質(zhì)的分子擴散通量方程式中：為分子擴散通量，即指由分子擴散造成的在單位時間內(nèi)通過單位面積的溶質(zhì)質(zhì)量；是擴散系數(shù)；為該溶質(zhì)在溶液中的濃度C沿方向X變化的濃度剃度。液體在多孔介質(zhì)中流動時，機械彌散和分子擴散是同時出現(xiàn)的，事實上也不可分。當流速較大時，機械彌散是主要的；當流速較小時，分子擴散的作用就變得很明顯。顯然，機械彌散和分子擴散都會使溶質(zhì)既沿平均流動方向擴展（縱向彌散）又沿垂直它的方向擴展（橫向彌散）。

分子擴散過渡區(qū)機械彌散四、彌散系數(shù)在一般情況下，當液體在多孔介質(zhì)中流動時，分子擴散和機械彌散是同時起作用的，因此：其中：為彌散系數(shù)。它是二秩張量?？杀磉_為：因此，彌散通量的表達式為：在各坐標軸方向的分量為：3.2對流—彌散方程及其定解條件一、對流-彌散方程在含水層中，考察下圖所示特征單元體的溶質(zhì)的質(zhì)量守恒關(guān)系。

X

ZdydxdzY溶質(zhì)遷移(solutetransport)對流(advection)彌散(dispersion)機械彌散分子擴散

同理，可以寫出沿Y軸方向和Z軸方向單元體內(nèi)單位時間由水動力彌散和對流運動引起的溶質(zhì)質(zhì)量變化。若單位時間內(nèi)單元體內(nèi)溶質(zhì)的濃度發(fā)生了的變化，單元體內(nèi)的液體體積為，則由它所引起的該單元體中溶質(zhì)質(zhì)量的變化率為

如果沒有由化學(xué)反應(yīng)及其它原因所引起的溶質(zhì)質(zhì)量變化，則根據(jù)質(zhì)量守恒定律，兩者該相等，即：

當坐標軸與水平流速方向一致的時：故有：

上式稱為對流-彌散方程(水動力彌散方程)。它右斷后三項表示水流運動(習(xí)慣地把它喻為對流)所造成的溶質(zhì)運移，前三項表示水動力彌散所造成的溶質(zhì)運移。

對流(advection)彌散(dispersion)二、對流-彌散方程的源匯項上面所討論的問題是在理想示蹤劑的條件下的結(jié)論，對一般情況，溶質(zhì)在遷移過程中還存在如下反應(yīng)：去除作用吸附滯流衰變及降解考慮吸附滯流及衰變、降解水動力彌散方程三、對流-彌散方程的推廣二維流一維流

活塞模型無去除作用水動力彌散模型有去除作用水動力彌散模型四、定解條件3.3對流—彌散方程的解法一、解析解（一）一維彌散問題的解析解1、定解問題定解問題對流—彌散方程定解條件邊界條件初始條件X

2、解析公式上述問題的解為：其中：通?？珊喕癁椋?、解析公式的應(yīng)用上式可寫成：10.840.160.160.8410.5（二）二維彌散問題的解析解1、定解問題

如圖所示：一維流場中保守示蹤劑二維彌散瞬時注入條件下的數(shù)學(xué)模型為：XY2、解及其應(yīng)用

Hibsch和Krett等人（1979）曾給出一維流場中示蹤劑二維彌散瞬時注入條件下的數(shù)學(xué)模型的解析解。若忽略分子擴散，并以DL=αLu，DT=αTu代入該解析解中便可得到：其中：DL、DT為縱、橫向彌散系數(shù)（L2/T）,u為地下水平均流速（L/T）,n為有效孔隙度，m為單位厚度含水層中注入示蹤劑的質(zhì)量（m/L）,t為時間（T），αL、αT為縱、橫向彌散度（L）。

若以Cmax表示(x,y)處峰值濃度，且令CR=Ci/Cmax

；

tR=(ut)/αL

；

則其中:

經(jīng)變換整