建筑力學(xué) 課件 第6章 基本變形桿件的應(yīng)力和變形

工程力學(xué)第6章基本變形桿件的應(yīng)力和變形彈性變形—變形體在外力撤去后能完全消失的變形塑性變形—變形體在外力撤去后不能消失而殘留(殘余變形)下來(lái)的變形

在外力作用下，發(fā)生變形的固體稱為變形固體；6.1變形固體基本假設(shè)及基本概念一、變形固體的基本假設(shè)理想彈性體：外力撤除后能完全恢復(fù)原狀的物體工程力學(xué)研究對(duì)象：理想彈性體1.連續(xù)性假設(shè)：認(rèn)為組成物體的物質(zhì)毫無(wú)空隙地充滿了整個(gè)物體的幾何容積，其次物體受力產(chǎn)生的變形也是連續(xù)的，即不產(chǎn)生“空隙”，也不引起“擠入”。變形前：變形后：空隙擠入變形協(xié)調(diào)6.1變形固體基本假設(shè)及基本概念2.均勻性假設(shè)：認(rèn)為在物體內(nèi)各處的力學(xué)性質(zhì)完全相同。3.各向同性假設(shè)：認(rèn)為材料在一點(diǎn)的各個(gè)不同方向上具有相同的力學(xué)性質(zhì)。各向異性：如竹子、層合板、片巖等6.1變形固體基本假設(shè)及基本概念

假設(shè)物體產(chǎn)生的變形與整個(gè)物體的原始尺寸相比是極其微小的。4.小變形假設(shè)：可用變形前的幾何形狀和尺寸進(jìn)行計(jì)算6.1變形固體基本假設(shè)及基本概念

工程構(gòu)件的尺寸遠(yuǎn)大于材料微觀結(jié)構(gòu)的尺寸！因此，微觀結(jié)構(gòu)的不連續(xù)性、不均勻性及各向異性對(duì)構(gòu)件宏觀力學(xué)性能的影響是微不足道的。從材料的微觀尺度而言，上述基本假設(shè)一般不成立！低碳鋼混凝土6.1變形固體基本假設(shè)及基本概念

在材料力學(xué)部分，把構(gòu)件視為連續(xù)、均勻、各向同性的變形固體，研究的范圍限于材料的彈性階段，且構(gòu)件的變形是微小的。6.1變形固體基本假設(shè)及基本概念它有兩個(gè)分量：正應(yīng)力

：與截面垂直的分量切應(yīng)力

：與截面相切的分量為抵抗變形材料內(nèi)部將產(chǎn)生內(nèi)力，內(nèi)力在一點(diǎn)處的分布集度稱為應(yīng)力；一點(diǎn)處的平均應(yīng)力：Fm=F/A該點(diǎn)處的總應(yīng)力：二、應(yīng)力的概念6.1變形固體基本假設(shè)及基本概念

6.1變形固體基本假設(shè)及基本概念三、位移和應(yīng)變的概念1、位移（變形位移）線位移：物體中一點(diǎn)相對(duì)于原來(lái)位置所移動(dòng)的直線距離。角位移：物體中某一直線或平面相對(duì)于原來(lái)位置所轉(zhuǎn)過的角度。

梁右端面的角位移為θ6.1變形固體基本假設(shè)及基本概念三、位移和應(yīng)變的概念2、應(yīng)變線應(yīng)變：角應(yīng)變（切應(yīng)變）：應(yīng)變反應(yīng)的是變形的梯度;線應(yīng)變是量綱為1的量切應(yīng)變通常用弧度(rad)表示，也是量綱為1的量。為什么要研究桿件內(nèi)的應(yīng)力？6.2軸向拉壓桿件的應(yīng)力與變形

僅僅根據(jù)內(nèi)力無(wú)法判斷桿件的強(qiáng)度，而須用應(yīng)力來(lái)進(jìn)行分析判斷！1）橫截面上各點(diǎn)處產(chǎn)生何種應(yīng)力（正應(yīng)力或切應(yīng)力）；

2）應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律（如何分布）；

3）各點(diǎn)處應(yīng)力的數(shù)值（如何計(jì)算）。在已知橫截面上的內(nèi)力后，要求出其上的應(yīng)力，需要解決3個(gè)方面的問題：6.2.1軸向拉壓桿件的應(yīng)力一、實(shí)驗(yàn)觀察：橫向線——仍為平行的直線，且間距增大?？v向線——仍為平行的直線，且間距減小?？v向線橫向線拉伸前拉伸后FF6.2.1軸向拉壓桿件的應(yīng)力橫向線——仍為平行的直線，且間距減小。縱向線——仍為平行的直線，且間距增大。壓縮:6.2.1軸向拉壓桿件的應(yīng)力平面假定：變形前的橫截面，變形后仍為平面且各橫截面沿桿軸線作相對(duì)平移。二、假設(shè)及判斷：縱向纖維變形相同在橫截面上只有線應(yīng)變，沒有切應(yīng)變直桿軸向拉壓時(shí)，橫截面上只產(chǎn)生正應(yīng)力

縱向線應(yīng)變均勻分布推斷：6.2.1軸向拉壓桿件的應(yīng)力橫截面上正應(yīng)力均勻分布正應(yīng)力

在橫截面上均勻分布應(yīng)力的分布規(guī)律:A──橫截面面積單位：6.2.1軸向拉壓桿件的應(yīng)力正應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定——同軸力拉應(yīng)力為正值，方向背離所在截面。壓應(yīng)力為負(fù)值，方向指向所在截面。6.2.1軸向拉壓桿件的應(yīng)力軸向拉壓桿件橫截面上的正應(yīng)力：1）桿必須是等截面直桿；

2）外力的作用線必須與桿的軸線重合；

3）除外力作用點(diǎn)附近以外的其它各點(diǎn)處

——圣維南原理公式的使用條件：6.2.1軸向拉壓桿件的應(yīng)力軸向拉壓桿件橫截面上的正應(yīng)力：圣維南原理上圖為軸向受拉構(gòu)件的應(yīng)力圖譜，顏色相同的各點(diǎn)應(yīng)力相同，白色部分為應(yīng)力較大區(qū)域，深灰色區(qū)域?yàn)閼?yīng)力極小區(qū)域。應(yīng)力集中現(xiàn)象6.2.1軸向拉壓桿件的應(yīng)力圣維南原理

外力作用于桿端形式的不同，只在距離桿端不大于桿橫向尺寸的范圍內(nèi)產(chǎn)生影響。應(yīng)力集中現(xiàn)象6.2.1軸向拉壓桿件的應(yīng)力例題

圖示結(jié)構(gòu)，試求桿件AB、CB的應(yīng)力。已知F=20kN；斜桿AB為直徑20mm的圓截面桿，水平桿CB為15×15mm的方截面桿。FABC解：1、計(jì)算各桿件的軸力45°12BF45°xy2、計(jì)算各桿件的應(yīng)力例題

圖示結(jié)構(gòu)，試求桿件AB、CB的應(yīng)力。已知F=20kN；斜桿AB為直徑20mm的圓截面桿，水平桿CB為15×15mm的方截面桿。解：1、計(jì)算各桿件的軸力1、軸向拉壓桿的變形縱向伸長(zhǎng)量：6.2.2軸向拉壓桿件的變形桿變形后的長(zhǎng)度減去變形前長(zhǎng)度

縱向線應(yīng)變：桿的伸長(zhǎng)量除以桿件的初始長(zhǎng)度正負(fù)號(hào)：伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)。

軸向拉壓時(shí)彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系:—胡克定律

6.2.2軸向拉壓桿件的變形E為材料彈性模量，量綱與應(yīng)力相同EA為桿件抗拉剛度鋼材的E約為200GPa，

約為0.25—0.33泊松比●橫向變形系數(shù)在彈性范圍內(nèi)有：（隨材料不同而異）

橫向線應(yīng)變：用表示。6.2.2軸向拉壓桿件的變形●△l與EA成反比，即EA越大，伸長(zhǎng)（壓縮）量越小，所以EA代表?xiàng)U件抵抗拉伸（壓縮）的能力，稱為抗拉（壓）剛度；●軸向變形△l與桿的原長(zhǎng)l有關(guān)，因此軸向變形不能確切地表明桿件的變形程度。只有線應(yīng)變才能衡量和比較桿件的軸向變形程度；

●△l的正負(fù)號(hào)與軸力FN的符號(hào)相同（伸長(zhǎng)為正、縮短為負(fù)）

●此式只適用于在l桿段內(nèi)FN、A和E均為常數(shù)的情況。若不符合：或6.2.2軸向拉壓桿件的變形ABC例題

2.求橫截面B、C及端面D的縱向位移。例：等直桿受力如圖，已知桿的橫截面面積A和材料的彈性模量E。

1.求各段桿的縱向變形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整個(gè)桿的縱向變形Δl。

例題FFFN

圖F+-+截面的位移：變形：例題例:如圖所示桿系，桿1、2長(zhǎng)度及橫截面都相同，荷載P=100kN，試求結(jié)點(diǎn)A的位移ΔA。已知：a

=30°，l=2m，圓截面桿直徑d=25mm，桿的材料(鋼)的彈性模量為E=210GPa。例題由胡克定律:

其中

1.求桿的軸力及伸長(zhǎng)解：結(jié)點(diǎn)A的位移ΔA系由兩桿的伸長(zhǎng)變形引起，故需先求兩桿的伸長(zhǎng)。

結(jié)點(diǎn)A:

例題2.由桿的變形求結(jié)點(diǎn)A的位移

由對(duì)稱性：

結(jié)點(diǎn)A只有豎向位移。例題

畫桿系的變形圖，確定結(jié)點(diǎn)A的位移：

例題這樣可使計(jì)算簡(jiǎn)化，又能滿足精度要求。小變形情況下，計(jì)算結(jié)點(diǎn)位移時(shí)：1)忽略桿件位置的變化，在桿件原始位置分析結(jié)點(diǎn)位移；2)以結(jié)點(diǎn)處垂直于桿件的垂線代替圓弧線。例題由幾何關(guān)系:例題

此桿系結(jié)點(diǎn)A的位移是因桿件變形所引起，但兩者雖有聯(lián)系又有區(qū)別。變形是指桿件幾何尺寸的改變，是個(gè)標(biāo)量；位移是指結(jié)點(diǎn)位置的移動(dòng)，是個(gè)矢量，位移除了與桿件的變形有關(guān)以外，還與結(jié)構(gòu)的形式以及各桿件所受約束有關(guān)。力學(xué)性質(zhì)：材料受力時(shí)在強(qiáng)度和變形方面所表現(xiàn)出來(lái)的性能。力學(xué)性質(zhì)取決于內(nèi)部結(jié)構(gòu)外部環(huán)境由試驗(yàn)方式獲得

本節(jié)討論的是常溫、靜載、軸向拉伸（或壓縮）變形條件下材料的力學(xué)性能。6.2.4材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)目的——確定材料強(qiáng)度和變形方面的重要性能指標(biāo)，以作為強(qiáng)度和剛度計(jì)算的依據(jù)。常溫、靜載標(biāo)距長(zhǎng)度一、拉伸試件和實(shí)驗(yàn)設(shè)備（三）材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)

設(shè)備：電子式萬(wàn)能實(shí)驗(yàn)機(jī)二、低碳鋼的拉伸（含碳量低于0.3﹪）（三）材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)低碳鋼拉伸實(shí)驗(yàn)動(dòng)畫：（三）材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)為了消除掉試件尺寸的影響，將試件拉伸圖轉(zhuǎn)變?yōu)椴牧系膽?yīng)力—應(yīng)變曲線圖。圖中：A

—原始橫截面面積

—名義應(yīng)力l—原始標(biāo)距

—名義應(yīng)變（三）材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)拉伸過程四個(gè)階段的變形特征及應(yīng)力特征：Ⅰ、彈性階段ob此階段試件變形完全是彈性的，且ob段

與

成線性關(guān)系E—線段oa的斜率比例極限

p

—對(duì)應(yīng)點(diǎn)a彈性極限

e

—對(duì)應(yīng)點(diǎn)b（1）強(qiáng)度性質(zhì)（三）材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)（失去抵抗變形的能力）Ⅱ、屈服階段bc此階段應(yīng)變顯著增加，但應(yīng)力基本不變—屈服現(xiàn)象。產(chǎn)生的變形主要是塑性的。拋光的試件表面上可見大約與軸線成45

的滑移線。屈服極限—屈服低限（三）材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)Ⅲ、強(qiáng)化階段ce此階段材料抵抗變形的能力有所增強(qiáng)。強(qiáng)度極限

b

—對(duì)應(yīng)點(diǎn)e

(拉伸強(qiáng)度)，最大名義應(yīng)力此階段如要增加應(yīng)變，必須增大應(yīng)力材料的強(qiáng)化

-

關(guān)系非線性，滑移線消失，試件明顯變細(xì)。（三）材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)Ⅳ、局部變形階段ef試件上出現(xiàn)局部橫截面急劇收縮——頸縮，直至試件斷裂。Q235鋼的主要強(qiáng)度指標(biāo)：斷口：杯口狀（三）材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)若在強(qiáng)化階段卸載，則卸載過程s-e關(guān)系為直線。立即再加載時(shí)，s-e曲線基本上沿卸載直線上升直至當(dāng)初卸載的位置，然后沿曲線def直至斷裂ee—彈性應(yīng)變ep

—?dú)堄鄳?yīng)變（塑性）卸載定律及冷作硬化：—冷作硬化冷作硬化對(duì)材料力學(xué)性能的影響:ee—彈性應(yīng)變ep

—?dú)堄鄳?yīng)變（塑性）

s

b不變ep冷作硬化常用于工程中提高構(gòu)件在彈性范圍內(nèi)的承載能力。

s

bep材料的屈服極限提高，塑性降低。兩個(gè)塑性指標(biāo):延伸率斷面收縮率為塑性材料為脆性材料Q235鋼：為塑性材料（2）變形性質(zhì)（三）材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)三、其它材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)（三）材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)材料錳鋼硬鋁青銅退火球墨鑄鐵彈性階段√√√√屈服階段××××強(qiáng)化階段√√√√局部變形階段×√√√伸長(zhǎng)率（三）材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)對(duì)于沒有明顯屈服階段的塑性材料，用名義屈服極限

p0.2來(lái)表示。（三）材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)

對(duì)于脆性材料（鑄鐵），拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線為微彎的曲線，沒有屈服和頸縮現(xiàn)象，試件突然拉斷。斷后伸長(zhǎng)率約為0.5%。為典型的脆性材料。

bt—拉伸強(qiáng)度極限（約為200MPa）破壞斷口（三）材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)常溫、靜載四、壓縮試件（三）材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)屈服極限比例極限彈性極限E---彈性模量五、低碳鋼的壓縮（三）材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)特點(diǎn)：1、低碳鋼拉、壓時(shí)的σs以及彈性模量E基本相同。2、材料延展性很好，不會(huì)被壓壞。（三）材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)

脆性材料的抗拉與抗壓性質(zhì)不完全相同六、脆性材料（鑄鐵）的壓縮（三）材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)特點(diǎn)：

1、壓縮時(shí)的σb和??

均比拉伸時(shí)大得多，宜做受壓構(gòu)件；2、即使在較低應(yīng)力下其σ—ε

也只近似符合胡克定律;3、試件最終沿著與橫截面大致成45

55

的斜截面發(fā)生錯(cuò)動(dòng)而破壞。（三）材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)

塑性材料和脆性材料力學(xué)性能上的主要差異：

塑性材料的塑性指標(biāo)較高，常用強(qiáng)度指標(biāo)是屈服極限，且拉伸和壓縮時(shí)的值相同；

脆性材料的塑性指標(biāo)很低，其強(qiáng)度指標(biāo)只有強(qiáng)度極限，而且壓縮強(qiáng)度極限很高而拉伸強(qiáng)度極限很低。（三）材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)根據(jù)圖示三種材料拉伸時(shí)的應(yīng)力－應(yīng)變曲線，得出如下四種結(jié)論，請(qǐng)判斷哪一個(gè)是正確的：（A）強(qiáng)度極限σｂ（1）＝σｂ（2）＞σｂ（3）；彈性模量E（1）＞E（2）＞E（3）；延伸率δ（1）＞δ（2）＞δ（3）；（B）強(qiáng)度極限σｂ（2）＞σｂ（1）＞σｂ（3）；彈性模量E（2）＞E（1）＞E（3）；延伸率δ（1）＞δ（2）＞δ（3）；（C）強(qiáng)度極限σｂ（3）＝σｂ（1）＞σｂ（2）；彈性模量E（3）＞E（1）＞E（2）；延伸率δ（3）＞δ（2）＞δ（1）；（D）強(qiáng)度極限σｂ（1）＝σｂ（2）＞σｂ（3）；彈性模量E（2）＞E（1）＞E（3）；延伸率δ（2）＞δ（1）＞δ（3）；正確答案是（）B塑性材料冷作硬化后，材料的力學(xué)性能發(fā)生了變化。試判斷以下結(jié)論哪一個(gè)是正確的：（A）屈服應(yīng)力提高，彈性模量降低；（B）屈服應(yīng)力提高，塑性降低；（C）屈服應(yīng)力不變，彈性模量不變；（D）屈服應(yīng)力不變，塑性不變。

正確答案是（）B低碳鋼材料在拉伸實(shí)驗(yàn)過程中，不發(fā)生明顯的塑性變形時(shí)，承受的最大應(yīng)力應(yīng)當(dāng)小于的數(shù)值，有以下4種答案，請(qǐng)判斷哪一個(gè)是正確的：（A）比例極限；（B）屈服極限；（C）強(qiáng)度極限；（D）許用應(yīng)力。

正確答案是（）B關(guān)于有如下四種論述，請(qǐng)判斷哪一個(gè)是正確的：（A）彈性應(yīng)變?yōu)?.2%時(shí)的應(yīng)力值；（B）總應(yīng)變?yōu)?.2%時(shí)的應(yīng)力值；（C）塑性應(yīng)變?yōu)?.2%時(shí)的應(yīng)力值；（D）塑性應(yīng)變?yōu)?.2時(shí)的應(yīng)力值。

正確答案是（）C關(guān)于材料的力學(xué)一般性能，有如下結(jié)論，請(qǐng)判斷哪一個(gè)是正確的：（A）脆性材料的抗拉能力低于其抗壓能力；（B）脆性材料的抗拉能力高于其抗壓能力；（C）塑性材料的抗拉能力高于其抗壓能力；（D）脆性材料的抗拉能力等于其抗壓能力。正確答案是（）A§6-3扭轉(zhuǎn)桿件的應(yīng)力與變形主要承受扭轉(zhuǎn)變形的桿件稱為軸，大多數(shù)為圓軸。1、圓截面桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形現(xiàn)象:6.3.1圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力⑴所有縱向線都傾斜了一個(gè)相同的角度

，變?yōu)槠叫械穆菪€；⑵所有圓周線都繞桿軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，仍保持為圓形，圓周長(zhǎng)不變，兩個(gè)圓周線之間的距離也沒變。圓周線縱向線MeMe圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力變形前后橫截面保持為形狀、大小未改變的平面，即橫截面如同剛性平面一樣旋轉(zhuǎn)了某一角度；MeMe圓周線——形狀、大小、間距不變縱向線——間距不變，傾斜了同一個(gè)角度內(nèi)部——推測(cè)（平截面假設(shè)）圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力MeMe推論——橫截面大小、形狀不變→半徑方向無(wú)正應(yīng)力；結(jié)論——橫截面上只有切應(yīng)力，且與所在半徑垂直(?)相鄰橫截面間距不變→軸線方向無(wú)正應(yīng)力；橫截面旋轉(zhuǎn)了角度γ

→存在角應(yīng)變→切應(yīng)力不為0；在上述假定、推論的基礎(chǔ)上，綜合考慮幾何、物理、靜力學(xué)三方面的關(guān)系，可推導(dǎo)出圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形。6.3.1圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力變形規(guī)律幾何關(guān)系切應(yīng)力計(jì)算公式靜力學(xué)關(guān)系2、切應(yīng)力計(jì)算公式物理關(guān)系切應(yīng)變分布規(guī)律切應(yīng)力分布規(guī)律dx1）幾何關(guān)系在圓桿中截取長(zhǎng)度為dx的微段：圓軸橫截面切應(yīng)力公式dxdxR圓軸外表面處切應(yīng)變：MeMed/dx為單位長(zhǎng)度上兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角圓軸內(nèi)任一點(diǎn)處切應(yīng)變：T2）物理關(guān)系（胡克定律）根據(jù)剪切胡克定律： 切應(yīng)力的大小與點(diǎn)到圓心的距離

成正比；切應(yīng)力的方向垂直于該點(diǎn)與圓心的連線，指向與扭矩轉(zhuǎn)向一致。R同一橫截面為常量圓軸橫截面切應(yīng)力公式TO切應(yīng)力對(duì)截面形心的合力矩即截面上的扭矩:3)靜力學(xué)關(guān)系dA

圓軸橫截面切應(yīng)力公式Ip是一個(gè)只取決于橫截面的形狀和大小的幾何量，稱為橫截面對(duì)形心的極慣性矩。量綱：[長(zhǎng)度]4TOdA

圓軸橫截面切應(yīng)力公式對(duì)于指定截面，T、Ip為定值。切應(yīng)力的大小與點(diǎn)到形心的距離成正比。——受扭圓軸橫截面上的切應(yīng)力計(jì)算式TO圓軸橫截面切應(yīng)力公式最大切應(yīng)力：抗扭截面系數(shù)，量綱：[長(zhǎng)度]3橫截面上切應(yīng)力分布：圓軸橫截面切應(yīng)力公式應(yīng)力分布：tmaxTtmaxtmax（實(shí)心截面）tmaxtmaxTtmax（空心截面）圓軸橫截面切應(yīng)力公式d實(shí)心圓截面：Odrr4）Ip

與Wp

的計(jì)算圓軸橫截面切應(yīng)力公式空心圓截面：DrOd圓軸橫截面切應(yīng)力公式注意：對(duì)于空心圓截面Dd圓軸橫截面切應(yīng)力公式實(shí)心軸與空心軸Ip

與Wp

對(duì)比：dDd圓軸橫截面切應(yīng)力公式一圓軸AC受力如圖所示。AB段為實(shí)心，直徑D=50mm；BC段為空心，外徑D=50mm，內(nèi)徑d=40mm。試求該軸內(nèi)最大切應(yīng)力。例題解：（1）作扭矩圖（2）分段計(jì)算軸內(nèi)最大切應(yīng)力AB段：BC段：例題AB段為實(shí)心，直徑D=50mm；BC段為空心，外徑D=50mm，內(nèi)徑d=40mm。試求該軸內(nèi)最大切應(yīng)力。

MeMe圓軸外表任一微小單元體：

acddxb

′

′

6.3.2切應(yīng)力互等定理單元體截面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)叫純剪切應(yīng)力狀態(tài)。在相互垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力一定成對(duì)出現(xiàn)，其數(shù)值相等，方向同時(shí)指向或背離兩平面的交線，并與交線垂直。切應(yīng)力互等定理xyzacOdbdxdydzt'ttt'根據(jù)切應(yīng)力互等定理，在畫單元體的應(yīng)力狀態(tài)圖時(shí)，只要知道一個(gè)截面上的切應(yīng)力大小和方向，另外三個(gè)面上的切應(yīng)力也知道了。該定理具有普遍適用性，不僅對(duì)只有切應(yīng)力作用的單元體成立，對(duì)正應(yīng)力和切應(yīng)力共同作用的單元體也成立。切應(yīng)力互等定理

（1）在圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，外表面為自由表面，由切應(yīng)力互等定理可知：橫截面上切應(yīng)力垂直于半徑方向。（2）當(dāng)已知橫截面上的切應(yīng)力及其分布規(guī)律后，由切應(yīng)力互等定理便可知道縱截面上的切應(yīng)力及其分布規(guī)律切應(yīng)力互等定理MeTGIp—抗扭剛度圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，其變形可用橫截面之間的相對(duì)角位移，即相對(duì)扭轉(zhuǎn)角φ表示。6.3.3圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形dxR單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角：對(duì)一段等截面直桿，其上T為常量時(shí)圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形當(dāng)軸內(nèi)扭矩或截面分為若干不同數(shù)值段時(shí)：

—是整個(gè)構(gòu)件兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形注意：計(jì)算時(shí)扭矩的正負(fù)號(hào)要代入算式，正負(fù)號(hào)體現(xiàn)了不同的相對(duì)扭轉(zhuǎn)方向：解：1.作扭矩圖（求各段軸的扭矩）圖示鋼制實(shí)心圓截面軸，已知：M1=1592N·m，M2=955N·m，M3=637N·m，lAB=300mm，lAC=500mm，橫截面直徑d=70mm，G=80GPa。試求橫截面C相對(duì)于B的扭轉(zhuǎn)角。BAClABlAC例題2.求各段軸兩個(gè)端面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角：BAC

例題3.求橫截面C相對(duì)于B的扭轉(zhuǎn)角：BAC

例題Me

tl——通常指的圓管薄壁圓管

T

Me

nntR內(nèi)力偶矩——扭矩TT=Me6.3.4扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)nn橫截面上切應(yīng)力分布：由于管壁很薄，切應(yīng)力在橫截面上均勻分布（即所有各點(diǎn)處切應(yīng)力大小均相等），方向垂直于半徑。Me

nnRx

T

Me

nn薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力計(jì)算公式：

daR

T

橫截面的切應(yīng)力對(duì)于圓心的合力矩即為截面上的扭矩：薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)當(dāng)t≤R/10時(shí)，上式的誤差不超過4.52%，是足夠精確的。切應(yīng)變薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒實(shí)驗(yàn)證明：切應(yīng)力與切應(yīng)變之間存在著與拉壓胡克定律類似的關(guān)系。Me

比例常數(shù)G稱為剪切彈性模量，常用單位GPa。鋼材：剪切胡克定律剪切胡克定律當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限

p時(shí),切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比。對(duì)各向同性材料可以證明，彈性常數(shù)E、G、

存在關(guān)系：表明3個(gè)常數(shù)只有2個(gè)是獨(dú)立的材料常數(shù)：

剪切彈性模量G拉壓彈性模量E（也稱為楊氏模量）

泊松比

剪切胡克定律工程力學(xué)6.4平面彎曲桿件的應(yīng)力與變形§6-4平面彎曲桿件的應(yīng)力回顧與比較：內(nèi)力應(yīng)力FAyFSMTFAyFSM在橫截面上，只有法向內(nèi)力元素

dA才能合成M,只有切向內(nèi)力元素

dA才能合成剪力FS?！?-4平面彎曲桿件的應(yīng)力火車輪軸簡(jiǎn)化：梁段CD上，只有彎矩，沒有剪力——純彎曲梁段AC和BD上，既有彎矩，又有剪力——橫力彎曲Fs圖M圖§6-4平面彎曲桿件的應(yīng)力思路：實(shí)驗(yàn)觀察得應(yīng)變

的變化規(guī)律(變形幾何關(guān)系)應(yīng)力

的變化規(guī)律橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力公式§6-4.2純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力靜力學(xué)關(guān)系物理關(guān)系一、變形幾何關(guān)系用較易變形的材料制成的矩形截面等直梁作純彎曲試驗(yàn):MeMe純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力(1)變形前互相平行的縱向直線，變形后均變?yōu)閳A弧，且凸邊伸長(zhǎng)，凹邊縮短；(2)變形前垂直于縱向線的橫向線，變形后仍為直線，且仍與縱向曲線正交。實(shí)驗(yàn)觀察：MeMe純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力實(shí)驗(yàn)分析:(1)平面假設(shè)梁在純彎曲時(shí)的平面假設(shè)：

梁的各個(gè)橫截面在變形后仍保持為平面，并仍垂直于變形后的軸線，只是橫截面繞某一軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。MeMe純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力梁的各縱向?qū)踊ゲ粩D壓或牽拉（各縱向?qū)又g無(wú)正應(yīng)力），各縱向“纖維”均只受到拉伸或壓縮的作用。(2)單向受力假設(shè)純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力

(3)梁變形后，同一縱向?qū)涌v向纖維的長(zhǎng)度相同，即同層各條纖維的伸長(zhǎng)（或縮短）相同。純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力中性層中性軸凹入一側(cè)纖維縮短凸出一側(cè)纖維伸長(zhǎng)中間一層纖維長(zhǎng)度不變——中性層中間層與橫截面的交線——中性軸純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力OO

—中性層的曲率半徑純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力二、物理關(guān)系胡克定理

與y成正比,即正應(yīng)力沿截面高度呈線性變化,中性軸上各點(diǎn)的正應(yīng)力為零。各橫截面圍繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力

與y成正比,即正應(yīng)力沿截面高度呈線性變化,中性軸上各點(diǎn)的正應(yīng)力為零。中性軸之下,y>0,

>0，拉應(yīng)力；中性軸之上,y<0,

<0，壓應(yīng)力。當(dāng)M>0時(shí)：純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力三、靜力學(xué)條件1）正應(yīng)力的合力即截面上的軸力2）正應(yīng)力對(duì)y軸的合力矩即截面上的彎矩My3）正應(yīng)力對(duì)z軸（中性軸）的合力矩即截面上的彎矩Mz純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力重要結(jié)論：中性軸z必定通過截面的形心純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力重要結(jié)論：中性軸z必為截面的形心主慣性軸純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力——中性層或軸線的曲率公式梁在外力作用下，橫截面上的彎矩愈大，梁的彎曲程度就愈大；EIz愈大，梁的彎曲程度就愈小。

EIz：梁的抗彎剛度，其意義是梁抵抗彎曲變形的能力。

純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算梁的彎曲正應(yīng)力的一般公式：當(dāng)M>0且y>0時(shí)，中性軸z軸以下為拉應(yīng)力，而z軸以上為壓應(yīng)力。純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力正應(yīng)力分布：正應(yīng)力沿截面寬度方向均勻分布！純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力最大正應(yīng)力：令Wz——抗彎截面系數(shù)，是一個(gè)僅與截面的形狀和尺寸有關(guān)的幾何量。當(dāng)中性軸是橫截面的對(duì)稱軸時(shí)：拉、壓最大應(yīng)力相等純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力當(dāng)中性軸不是橫截面的對(duì)稱軸時(shí)：(拉)(壓)C不能用！純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力常見截面的IZ和WZ：矩形截面：箱形截面：純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力常見截面的IZ和WZ：圓截面：空心圓截面：純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力基本公式：注意:(1)計(jì)算正應(yīng)力時(shí),M、y等代數(shù)量均以絕對(duì)值代入。M>0時(shí),中性軸以下為拉應(yīng)力,中性軸以上為壓應(yīng)力;M<0時(shí)則相反。(M>0)純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力(3)上述基本公式由矩形截面梁導(dǎo)出,但它們也適用于其它截面梁的平面彎曲。(2)正應(yīng)力公式中不含彈性模量E，說(shuō)明正應(yīng)力的大小與材料無(wú)關(guān)。但在推導(dǎo)公式的過程中應(yīng)用了胡克定律，因此，公式只適用于材料處于線彈性階段?；竟剑鹤⒁?純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力(4)上述基本公式是在純彎曲(剪力=0)情況下導(dǎo)出的,但在一定條件下同樣適用于非純彎曲(剪力≠0)的情況?；竟剑鹤⒁?純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力橫力彎曲:FS圖M圖梁橫截面上的正應(yīng)力公式推廣上式是在平面假設(shè)和單向受力假設(shè)的基礎(chǔ)上推導(dǎo)的，實(shí)驗(yàn)證明在純彎曲情況下這是正確的。對(duì)于橫力彎曲，由于剪力的存在，橫截面產(chǎn)生剪切變形，使橫截面發(fā)生翹曲，不再保持為平面。梁的正應(yīng)力橫截面發(fā)生翹曲：橫力彎曲正應(yīng)力公式:彎曲正應(yīng)力分布彈性力學(xué)精確分析表明，當(dāng)跨度l

與橫截面高度h

之比l/h>5

（細(xì)長(zhǎng)梁）時(shí)，純彎曲正應(yīng)力公式對(duì)于橫力彎曲近似成立。橫力彎曲最大正應(yīng)力:梁的正應(yīng)力FS圖M圖彎曲正應(yīng)力公式適用范圍：彎曲正應(yīng)力細(xì)長(zhǎng)梁的純彎曲或橫力彎曲橫截面慣性積Iyz=0，中性軸過截面形心彈性變形階段梁的正應(yīng)力BAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.C截面上K點(diǎn)正應(yīng)力2.C截面上最大正應(yīng)力3.全梁上最大正應(yīng)力FSx90kN90kN1.求C截面上K點(diǎn)正應(yīng)力解：例題FAyFBy（壓應(yīng)力）30zy180120KFSx90kN90kN2.C截面最大正應(yīng)力C

截面彎矩C

截面慣性矩例題BAl=3mq=60kN/mxC1mFAyFBy30zy180120KFSx90kN90kN3.全梁最大正應(yīng)力最大彎矩截面慣性矩例題BAl=3mq=60kN/mxC1mFAyFBy梁的撓度和轉(zhuǎn)角

在工程實(shí)踐中，對(duì)受彎構(gòu)件，除要求具有足夠的強(qiáng)度外，還要求變形不能過大，即要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證結(jié)構(gòu)或機(jī)器正常工作。一、梁變形計(jì)算的目的1、是梁的剛度計(jì)算的基礎(chǔ)2、是求解超靜定梁的基礎(chǔ)7-1

橋式起重機(jī)的橫梁變形過大,則會(huì)使小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。梁的撓度和轉(zhuǎn)角

搖臂鉆床的搖臂或機(jī)床的主軸變形過大，就會(huì)影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。梁的撓度和轉(zhuǎn)角7-2二、基本概念梁的軸線變成光滑連續(xù)曲線1、梁的變形梁的撓度和轉(zhuǎn)角y

向下為正轉(zhuǎn)角

：截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度

順時(shí)針方向?yàn)檎捎谛∽冃危孛嫘涡脑趚方向的位移忽略不計(jì)撓度轉(zhuǎn)角關(guān)系為：撓曲線方程：撓度y：截面形心在y方向的位移FABxyxy(x)

撓度轉(zhuǎn)角撓曲線2、梁的位移梁的撓度和轉(zhuǎn)角7-2鉸支座——限制截面A、B沿約束反力方向的移動(dòng)3、約束對(duì)位移的影響梁的撓度和轉(zhuǎn)角固定支座——限制截面B沿任意方向的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)梁的撓度和轉(zhuǎn)角撓曲線的近似微分方程：推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力時(shí)，得到：忽略剪力對(duì)變形的影響：梁的撓曲線的近似微分方程MM由數(shù)學(xué)知識(shí)可知：略去高階微量，得小撓度情形下：——彈性曲線的小撓度微分方程梁的撓曲線的近似微分方程梁的撓曲線的近似微分方程yyMM

由上式進(jìn)行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。梁撓曲線的近似微分方程：1）略去了剪力的影響2）略去了高階微量梁的撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程：積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：再積分一次得撓度方程為：7-3積分法計(jì)算梁的位移

積分常數(shù)C、D

由梁的位移邊界條件和變形連續(xù)條件確定。

積分常數(shù)C、D

由梁的位移邊界條件和變形連續(xù)條件確定。位移邊界條件變形連續(xù)條件積分法計(jì)算梁的位移AAAAAAA鉸支座處：固定支座處：連續(xù)桿件某點(diǎn)處：鉸結(jié)點(diǎn)處：例求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知。解：1）寫出x截面的彎矩方程2）列撓曲線近似微分方程并積分積分一次：再積分一次：積分法計(jì)算梁的位移ABF3）由位移邊界條件確定積分常數(shù)代入求解：4）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程ABF積分法計(jì)算梁的位移例求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知。5）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度積分法計(jì)算梁的位移例求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知。ABF()()例求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求A截面轉(zhuǎn)角和C截面撓度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解：1）由梁整體平衡分析得：2）彎矩方程AC

段：CB

段：積分法計(jì)算梁的位移3）列撓曲線近似微分方程并積分AC段：CB

段：4）由邊界條件確定積分常數(shù)位移邊界條件：變形連續(xù)條件：4）由邊界條件確定積分常數(shù)位移邊界條件：變形連續(xù)條件：5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程AC段：CB段：5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程轉(zhuǎn)角方程：撓度方程：6）確定A截面轉(zhuǎn)角和C截面撓度()()例:

用積分法求圖示外伸梁自由端C的截面轉(zhuǎn)角和撓度，其中